aksioma kekontinuan dengan pembuktiannya pada pembelajaran geometri transformasi semester VI

1. ATIK RODIAWATI A1C009054
METALIA FRANSISKA A1C009071
OKTIFA HARMANINGSIH A1C009077
WISNU YAHYA A1C009092

2. AKSIOMA KEKONTINUAN
A 1. Aksioma Archimedes atau Aksioma Ukuran
Misalkan AB dan CD dua segmen garis, maka ada bilangan
berhingga titik-titik A1 , A2 , A3 , , An pada garis lurus AB sehingga
segmen-segmen AA , AA2 , AA3 ,, An 1 An kongruen terhadap CD
1
dan titik B di antara A dan An
A A1A2A3............................. B …………..... An
C D

3. AKSIOMA KEKONTINUAN
A 2. Aksioma Kelengkapan
Himpunan titik-titik pada garis lurus yang memenuhi aksioma urutan,
aksioma pertama kekongruenan dan aksioma archimedes adalah
lengkap, yaitu tidak ada titik lain yang dapat ditambahkan pada
himpunan tersebut, sehingga semua aksioma ini adalah sama benar
Aksioma urutan 1
Jika titik B diantara titik A dan C, maka A, B dan C adalah titik – titik
yang berbeda dan B juga terletak diantara C dan A
ABC

4. Aksioma urutan 2
Untuk sebarang dua titik A dan C, ada sedikitnya sebuah titik B pada garis AC .
Sehingga C diantara A dan B.
AC B

5. Aksioma urutan 3
Dari sebarang tiga titik pada garis lurus, tidak lebih dari satu terletak
diantara keduanya.
ABC

6. Aksioma urutan 4
Aksioma Pasch
Misalkan A, B, dan C tiga titik tidak pada satu garis dan a suatu garis
terletak di bidang α yang tidak melalui sebarang titik A, B, dan C.
AB
Maka, apabila a melalui titik pada segmen , garis a juga akan melaui
titik pada segmen AC atau titik pada segmen BC .
a a
B
A
C
α

7. Aksioma Kekongruenan
A1.Jika A dan B dua titik berbeda pada garis lurus a dan A’ sebarang titik pada
garis yang sama atau garis berbeda a’ , maka ada suatu titik B’ pada sisi yang
sama pada a’ terhadap A’ sehingga segmen AB
kongruen terhadap A’B’
a
A’ A B B’
a’
A’ B’

8. aksioma Archimedes atau
Aksioma Ukuran
Misalkan AB dan CD dua segmen garis, maka ada bilangan
berhingga titik-titik A1 , A2 , A3 , , An pada garis lurus AB sehingga
segmen-segmen AA , AA2 , AA3 ,, An 1 An kongruen terhadap CD
1
dan titik B di antara A dan An
AA1A2A3……………...................B …………..... An
C D

9. Teorema Kelengkapan
Unsur-unsur (titik-titik, garis-garis dan bidang-bidang) dari sistem
geometri tidak dapat diperluas menjadi titik-titik, garis-garis dan bidang-
bidang karena kekontinuan aksioma insidensi, aksioma urutan, aksioma
kekongruenan serta aksioma Archimedes.
Bukti
i. Kita asumsikan bahwa unsur-unsur dari sistem geometri dapat
diperluas.
ii. Misalkan unsur-unsur yang ada sebelum diperluas kita sebut
sebagai unsur lama, sedangkan unsur-unsur yang telah diperluas
kita sebut sebagai unsur baru.

10. (Sekarang kita gunakan contoh)
H L
L
K K
F G
I
iii. Terdapat segitiga FGH , segmen FG dan titik I pada bidang lama.
iv. Menurut aksioma urutan (4) Jika sebuah titik baru L dihubungkan
dengan titik I maka garis IL dan FH atau garis IL dan GH
berpotongan di titik K.
v. Jika K adalah titik baru maka sebuah titik baru K berada pada garis
lama FH atau GH . Sedangkan jika K adalah titik lama maka L
adalah titik baru yang berada pada garis lama IK .
vi. Semua asumsi ini bertentangan dengan aksioma kelengkapan
karena tidak ada titik yang dapat ditambahkan pada himpunan titik-
titik yang telah ada.
vii. Asumsi bahwa unsur-unsur dari sistem geometri dapat diperluas
tidak dapat diterima maka dapat disimpulkan bahwa unsur-unsur
dari sistem geometri tidak dapat diperluas.

11. Referensi
Hilbert, David. 1992. Foundation of Geometry. e/2. open
Court Publishing Company Illinois – USA.
Kusno. 2004. Geometri. Universitas Jember : Jember.