3. Pendahuluan
Di dalam geometri tedapat teorema-teorema,
salah satunya adalah Teorema Lima Lingkaran.
Teorema Lima Lingkaran dikemukakan oleh
matematikawan Prancis bernama Auguste Miquel
dan dipublikasikan pada Journal de Mathematiques
Pures et Appliquees (Liouville ‘s Journal) Tome
Troisieme pada tahun 1838.
Dikatakan pada teorema ini bahwa suatu
lingkaran dapat dibentuk dari suatu segilima
sebarang.
4. Tujuan
Untuk membuktikan Teorema Lima
Lingkaran menggunakan konsep bangun
datar yaitu pentagon, pentagram,
segiempat tali busur,lingkaran serta sifat
– sifat dan hubungan antar sudut dalam
lingkaran.
5. Materi Penunjang
1.Definisi Pentagon
Dalam geometri, pentagon atau segilima adalah semua
segi banyak yang bersisi lima.
2. Definisi Pentagram
Pentagram atau segilima bintang adalah bentuk dari
sebuah bintang bersisi lima (pentagon) yang digambar
dari perpanjangan lima garis lurus masing – masing sisi
pentagon.
6. 3. Definisi Lingkaran
Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang
merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak
sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama
tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu
disebut pusat lingkaran.
E
Bagian – Bagian Lingkaran
O = Pusat Lingkaran
OA = OB = OC = Jari – jari Lingkaran
BC = Diameter Lingkaran
AC = Tali Busur
OD = Apotema
Daerah ACE = tembereng
Daerah AOB = Juring
7. 4. Lingkaran Luar Segitiga
Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang
melalui semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong
ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga.
5. Segiempat Siklis
Segi empat siklis (segi empat tali busur) adalah segi empat
yang terletak dalam lingkaran, dimana tiap sudutnya
menyinggung lingkaran sedemikian hingga jumlah dua buah
sudut yang berhadapan pada segi empat siklis (segi empat tali
busur) adalah 180o. Sebaliknya, jika dua buah sudut yang
berhadapan pada suatu segiempat berjumlah 180o, maka
segiempat tersebut adalah segi empat tali busur
8. Lanjutan...
< CDE = < ABC
Bukti :
< CDE + < ADC = 180o
< ADC + <ABC = 180o
Jadi , < CDE = < ABC
A
B
C
D
E
9. 6. Titik - Titik Concyclic
Pada geometri, suatu
himpunan titik dikatakan
concyclic jika titik – titik
tersebut terletak pada suatu
lingkaran.
S = { A, B, C, D, E, F}
titik A, B, C, D, E, F
concyclic.
10. 7.Sudut keliling yang menghadap busur yang
sama
Sudut keliling yang
menghadap busur yang
sama memiliki ukuran
sudut/besar sudut yang
sama.
RPQ = RTQ = RSQ
Karena menghadap busur QR.
11. Materi Pokok
Teorema Lima
Lingkaran:
• Diberikan Segilima ABCDE
• Perpanjangan sisinya
membentuk pentagram
• Dibentuk lingkaran dari
segitiga AFB, BGC, CHD,
DIE, dan EJA
• Berpotongan dititik K, L, M,
N dan P
• Akan dibuktikan bahwa K, L,
M,N dan P concyclic
12. Akan dibuktikan α = α1 = α2 = α3.
Bukti :
Perhatikan MIE dan MNE
MIE = MNE adalah sudut
keliling lingkaran yang
menghadap busur ME.
MIE = MNE
α = α1 ... (1)
Perhatikan MIE dan EDM
MIE dan EDM adalah sudut
Yang berhadapan pada
segiempat tali busur EDMI
MIE + EDM = 180º
EDM = 180º - α ... (2)
13. Lanjutan...
Perhatikan MIE dan EDM
EDM dan MDH adalah sudut berpelurus
EDM + MDH = 180º
MDH = 180o - EDM
α2 = 180o – (180o – α )
α2 = α ... (3)
Perhatikan MCH dan MDH
MCH = MDH adalah sudut keliling lingkaran
yang menghadap busur MH.
MCH = MDH
α2 = α3 ... (4)
Berdasarkan persamaan (1) , (3) dan (4) terbukti
bahwa α = α1 = α2 = α3.
14. Perhatikan MCF dan MCH
adalah sudut berpelurus
MCF + MCH = 180o
MCF + α3 = 180o
karena α = α3
MCF = 180o - α
Sehingga FCMI adalah
segiempat siklis atau
segiempat tali busur, dengan
kata lain titik
F, C, M, I concyclic.
15. Akan dibuktikan β = β1 = β2
ABKF adalah segiempat tali
busur,
AFK = β
GBK = β1 = β ...(1)
KCG = GBK , karena
menghadap busur yang sama
yaitu busur KG
Sehingga β1 = β2 ...(2)
Berdasarkan persamaan (1)
dan (2) maka benar bahwa
β = β1 = β2
16. • Perhatikan GCK dan
IHK adalah sudut
berpelurus
GCK + IHK = 180o
GCK+ β1 = 180o karena
β = β1
MCF = 180o – β
• Dengan demikian FKCI
adalah segiempat siklis
atau segiempat tali
busur, dengan kata lain
titik F, K, C, I concyclic.
17. Akan dibuktikan α = α4
< FIM = α
karena FKMI
segiempat tali busur
Maka α4 = α
Benar bahwa α4 = α
18. Akan dibuktikan θ = θ1 = θ2
AENP adalah segiempat
tali busur,
Dimana ANE = θ
Maka θ1 = θ ... (1)
θ1 = θ2 karena θ1 dan θ2
menghadap busur yang
sama yaitu busur PF
Sehingga θ1 = θ2 ... (2)
Oleh karena itu terbukti
θ = θ1 = θ2
19. Perhatikan PKM dan
α4+ θ2 adalah sudut
berpelurus
PKM = 180o – (α4+
θ2) dan α1+ θ
Karena α = α4 dan θ =
θ2
Sehingga KMNP
adalah segiempat
siklis atau segiempat
tali busur, dengan kata
lain titik K, M, N, P
concyclic.
20. Dihubungkan busur
lingkaran yang
melalui titik K, M, N
dan P.
dan titik L terletak
pada lingkaran yang
sama .
Sehingga terbukti
bahwa titik K, L, M,
N dan P adalah titik
– titik concylic.
Dengan demikian
teorema Lima
Lingkaran terbukti,
21. Kesimpulan
• Dari sebuah segilima sebarang dapat dibuat suatu
lingkaran.
• Pembuktian Teorema Lima Lingkaran dapat
dibuktikan dengan penggunaan konsep pentagon,
pentagram, lingkaran, segiempat tali busur, sifat
sudut pada lingkaran, aturan sudut dalam
trigonometri, serta titik – titik concyclic. Sehingga
terbukti bahwa titik – titik K, L, M, N, P yang
dihasilkan dari perpotongan dua lingkar adalah
concyclic
22. Daftar Pustaka
• Aisyah, Nyimas. 2009. Diktat Geometri. Indralaya : Universitas sriwijaya
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan.
• Negoro dan Harahap. 1998. Ekslopedia Matematika. Jakarta : Yudhistira.
• Wikipedia. 2008. Geometri. http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri. Diakses
tanggal 8 Maret 2012.
• Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Five_circles_theorem. Diakses
tanggal 8 Maret 2012.
• http://agutie.homestead.com/files/miquel_pentagram1.htm. Diakses tanggal
8 Maret 2012.
• Wikipedia. http://id.wikipedia.org/wiki/Segi_lima. Diakses tanggal 9 Maret
2012.
• Crayonpedia.http://www.crayonpedia.org/mw/BSE:Garis_Singgung_Lingk
aran_8.2_(BAB_7) Diakses tanggal 11 Maret 2012.
• Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Pentagram. Diakses tanggal 29
Maret 2012.
23. • Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Inscribed_
angle_theorem#Theorem. Diakses tanggal 28
April 2012.
• Mathworld.http://mathworld.wolfram.com/Concy
clic.html. Diakses tanggal 28 April 2012.
• Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Circumscr
ibed_circle. Diakses tanggal 28 April 2012.
• Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Concyclic
_points. Diakses tanggal 28 April 2012.
• Wikipedia.
http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_quadrilateral.
Diakses tanggal 28 April 2012, 14 : 53 WIB.
