Dokumen tersebut membahas tentang Geometri Netral yang melepaskan postulat kelima Euclides. Geometri Netral didasarkan pada empat postulat pertama Euclides dan geometri terurut. Dibahas pula beberapa teorema geometri netral seperti setiap segitiga memiliki jumlah sudut 180 derajat dan jika sebuah segitiga memiliki jumlah sudut 180 derajat, maka akan ada persegi panjang.

1. BAB I
PENDAHULUAN
Geometri Netral atau Geometri absolut pertama-tama diperkenalkan oleh Y. Bolyai
dari Hongaria (1802-1860). Geometri Netral didasari oleh geometri terurut dengan demikian
pengertian dasar dalam geometri terurut juga berlaku dalam geometri netral. Disamping itu
geometri ini juga didasari atas empat postulat pertama euclides dengan meninggalkan postulat
kelima. Untuk lebih jelasnya akan diulang kembali lima postulat euclides, yaitu :
1. Menarik garis lurus dari sebarang titik ke sebarang titik yang lain.
2. Memperpanjang suatu garis secara kontinu menjadi garis lurus.
3. Melukis lingkaran dengan sebarang titik pusat dan sebarang jarak.
4. Bahwa semua sudut siku-siku adalah sama.
5. Bahwa, jika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam
sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis itu jika diperpanjang tak terbatas ,
akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku.
Beberapa ahli matematika menganggap bahwa postulat kelima euclides bukan
merupakan postulat sehingga perlu dibuktikan dengan ke-empat postulat yang lain. Usaha
untuk membuktikan npostulat kelima ini berlangsung sejak Euclides hidup hingga tahun
1820. Karena masala inilah muncul geometri netral dengan menghilangkan postulat kelima
Euclides.
Geometri netral dengan geometri Affine ( yang juga termuat dalam geometri terurut)
membentuk geometri euclides. Hal ini dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar. Keterkaitan antar geometri
1
Geometri Terurut
Geometri NormalGeometri Afine
Geometri
Euclides

2. BAB II
PEMBAHASAN
GEOMETRI NETRAL
Karena teorema 1 sampai teorema 3 telah dibahas oleh kelompok sebelumnya, maka
pada kesempatan ini hanya akan dibahas teorema 4 sampai teorema 6 geometri netral.
Teorema 4: Jika ada sebuah persegi panjang maka setiap segitiga siku-siku mempunyai
jumlah sudut 180o
Bukti :
Prosedur pembuktiannya adalah dengan cara menunjukkan bahwa :
a. Setiap segitiga siku-siku adalah tiruan dari sebuah segitiga yang dibentuk dengan cara
membelah persegi panjang pada diagonalnya.
b. Segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut 1800
.
Perhatikan gambar berikut : E F
A A’ D’
B C B’ C D
Misalkan segitiga ABC siku-siku di B dan persegi panjang B’DFE, menurut teorema 3, maka
akan ada persegipanjang A’B’C’D’ sedemikian hingga A’B’ = AB dan B’C’ = BC.
Hubungkan A’ dan C’. Maka ABC kongruen dengan A’B’C’ , Dengan demikian
kedua segitiga tersebut mempunyai junlah sudut yang sama.
Misalkan : p adalah jumlah sudut segitiga ABC, dan
q adalah jumlah sudut segitiga A’B’C’
Menurut definisi segi empat semua sudutnya adalah 900
, maka :
p + q = 4.90 = 3600
, …………. (1)
2

3. Menurut teorem a 1, p ≤ 180. Andaikan p < 180 sedangkan menurut persamaan (1), p + q =
3600
maka diperoleh q > 1800
(bertentangan denagn teorema 1). Jadi p = 1800
. ( terbukti)
Teorema 5: Jika ada sebuah persegi panjang maka setiap segitiga memiliki jumlah sudut
180o
.
Bukti :
Akan ditunjukkan ∆ ABC memiliki jumlah sudut 180o
.
∠A + ∠B + ∠C = 180o
Tarik garis tinggi CD membagi segitiga ABC menjadi dua segitiga siku-siku
yaitu segitiga ACD dan segitiga BCD.
Jumlah sudut ACD = BCD = 180o
( teorema 4 )
(∠A + ∠C1+ ∠D1) + (∠B + ∠C2 + ∠D2) = 2(180o
)= 360o
∠A + ∠C1+ 90o
+ ∠B + ∠C2 + 90o
= 360o
∠A + ∠B + (∠C1 + ∠C2 ) = 180o
∠A + ∠B + ∠C = 180o
( Terbukti ) .
3
D B
C
A
1 2
1 2

4. Jumlah Sudut Suatu Segitiga
Teorema 6: Jika ada sebuah segitiga dengan jumlah sudut 180 0
, maka akan ada sebuah
persegi panjang.
Gambar .1
Bukti :
Misalkan segitiga ABC mempunyai jumlah sudut 1800
,
Pertama kita tunjukkan bahwa ada segitiga siku-siku dengan jumlah sudut 1800
Potong segitiga ABC menjadi dua segitiga siku-siku yang masing masing mempunyai jumlah
sudut p dan q, dengan menarik garis tinggi tertentu, misalnya AD,
Maka : p + q = 2.900
+ 1800
= 3600
……….. ( 1 )
Kita tunjukkan p = 1800
, menurut teorema 1, p ≤ 1800
Jika p < 1800
, q > 1800
bertentangan dengan teorema.1 .
Jadi ada dua segitiga siku siku , misalnya segitiga ABD dengan sudut siku-siku di D yang
mempunyai jumlah sudut 1800
.
Sekarang kita mengambil dua segitiga siku-siku, kedua segitiga tersebut kita tempelkan
bersama untuk membentuk persegi panjang.
Gambar. 2
4
DB C
p q
A
1’
A
B D
E
2
2’
1

5. Lukis segitiga BAE kongruen dengan segitiga ABD dengan E berlainan pihak dengan D dari
sisi AB, dengan BE bersesuaian dengan AD ( gambar 2 ).
Karena jumlah sudut segitiga ABD adalah 1800
, maka :
∠ 1 + ∠ 2 = 900
, karena ∠ 1 = ∠ 1’ , ∠ 2 = ∠ 2’
maka kita peroleh:
∠ 1 + ∠ 2’ = 900
dan ∠ 1’ + ∠ 2 = 900
Dan karena :
∠ 1 + ∠ 2’ = ∠ EBD,dan
∠ 1’ + ∠ 2 = ∠ EAD
Jadi ∠ EBD = ∠ EAD = 900
, berarti ADBE persegi panjang ( definisi persegi panjang )
Akibat 1 dari Teorema 6.
Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 1800
maka setiap segitiga mempunyai jumlah
sudut 1800
.
Bukti :
Diketahui sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 1800
Akan ditunjukkan bahwa setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 1800
Misalkan ada sebuah segitiga yang mempunyai jumlah sudut 1800
, maka menurut teorema 6
akan ada sebuah persegi panjang. sedangkan menurut teorema 5, Jika Ada sebuah persegi
panjang maka setiap segitiga memiliki jumlah sudut 1800
. ( terbukti)
5

6. Akibat 2 dari Teorema 6.
Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut kurang dari 1800
, maka setiap segitiga
mempunyai jumlah sudut kurang dari 1800
.
Bukti :
Misalkan segitiga ABC mempunyai jumlah sudut kurang dari 1800
. perhatika sebarang
segitiga PQR. Menurut teorema 1, jumlah sudutnya p dan p ≤ 1800
.
Misalkan p = 1800
maka akibat 1 teorema 6 diatas, segitiga ABC mempunyai jumlah sudut
1800
, bertentangan dengan pemisalan di atas, jadi p < 1800
.
Proposisi – Proposisi Geometri Netral Bidang
Berikut disajukan Proposisi – Proposisi Geometri Netral Bidang yang dapat digunakan :
1. Dua garis yang tidak berhimpit mempunyai paling banyak satu titik potong.
2. Setiap segmen garis mempunyai tepat satu titik tengah.
3. Setiap sudut mempunyai tepat satu garis bagi.
4. Komplemen dari sudut sudut yang sama adalah sama.
5. Sudut yang bertolak belakang besarnya sama.
6. Kongruensi dua segitiga adalah SS-SD-SS,SD-SS-SD, SS-SS-SS
7. Jika dua sisi suatu segitiga adalah sama, maka sudut-sudut dihadapannya adalah sama.
8. Jika dua sudut suatu segitiga sama, maka dua sisi dihadapannya sama.
9. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik pada garis tertentu
tersebut.
10. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik diluar garis
tertentu tersebut.
11. Titik T terletak pada sumbu segmen garis AB jika dan hanya jika TA = TB
12. Jika dua sisi suatu segitiga tidak sama maka sudut – sudut dihadapannya juga tidak
sama, dan sudut yang lebih besar berhadapan dengan sisi yang lebih panjang.
13. Jika dua sudut suatu segitiga tidak sama maka sisi – sisi dihadapannya juga tidak sama ,
dan sisi yang lebih panjang berhadapan dengan sudut yang lebih besar.
6

7. 14. segmen garis terpendek yang menghubungkan sebuah titik dan sebuah garis adalah
segmen yang tegak lurus.
15. Jumlah panjang dua sisi lebih besar dari sisi yang ketiga,.
16. Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing – masing sama dengan dua sisi segitiga
yang kedua, dan sudut apit segitiga pertama lebih besar dari sudut apit segitiga kedua,
maka sisi ketiga dari segitiga yang pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari segitiga
kedua.
17. Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing –masing sama dengan dua sisi segitiga
yang kedua, dan sisi ketiga dari segitiga pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari
segitiga yang kedua, maka sudut apit dari segitiga pertama lebih besar dari sudut apit
dari segitiga kedua.
18. Besar sudut luar dari suatu segitiga adalah lebih besar dari salah satu sudut dalamnya
yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut.
19. Jumlah dua sudut dari suatu segitiga adalah kurang dari 1800
.
20. Jika dua garis dipotong oleh garis lain dan membentuk sepasang sudut dalam
berseberangan yang sama dua garis tersebut sejajar.
21. Dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama adalah sejajar.
22. Sekurang – kurangnya ada satu garis yang sejajar dengan suatu garis tertentu yang
melalui titik diluar garis tertentu tersebut.
23. Misalkan garis 1 melalui titik C yang jaraknya kepusat lingkaran kurang dari panjang
jari-jari nya maka garis satu memotong lingkaran di dua titik.
24. Sebuah garis merupakan garis singgung lingkaran jika dan hanya jika garis tersebut
tegak lurus pada jari – jari lingkaran.
25. Jika diketahui segitiga ABC dan segmen garis PQ sedemikian hingga PQ=AB maka ada
titik R diluar PQ sedemikian hingga segitiga PQR kongruen segitiga ABC.
26. Sebuah lingkaran dapat digambarkan melalui sebarang segitiga.
7

8. ( REVISI )
DOSEN PENGAMPU:
DR. IZWITA DEWI,M.Pd
KELOMPOK 5
SIHAR
PAINGIN
SUYONO
M.YUS EFENDI
SYAIFUL ANSHARI
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
SEKOLAH PASCA SARJANA
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIMED 2010
8