Geometri netral adalah sistem geometri yang tidak menganut postulat kesejajaran Euclid. Geometri ini didasarkan pada aksioma-aksioma insidensi, urutan, kongruensi, dan kekontinuan. Jumlah sudut segitiga dalam geometri netral tidak melebihi 1800.

1. Geometri Netral

2. Geometri
Netral
(Absolut)
Tidak menganut
postulat kesejajaran
Euclids
G. Netral
G. Terurut
Pengertian Geometri Netral

3. Definisi Geometri Netral
Suatu geometri yang dilengkapi sistem – sistem
aksioma insidensi, sistem aksioma urutan, sistem
aksioma kekongruenan, (ruas, garis, sudut segitiga),
dan sistem aksioma archimedes (kekontinuan)
Matematikawan
Pencetus
Geometri Netral
Wolgang Bolyai
Yanos Bolyai
Karl Friedrich Gauss

4. Jika Segmen AB kongruen CD maka dinotasikan dengan
AB CD
pengertian pangkal geometri netral (absolut), menurut
Pasch :
 titik – titik A, B, C, D,...
 keantaraan
 kongruensi
Pengertian pangkal ketiga :
 kongruensi
 Suatu relasi untuk pasangan titik
 Segmen dan interval
Titik dipandang sebagai unsur yang tidak didefinisikan
dan keantaraan dan kongruensi sebagai relasi-relasi
yang tidak didefinisikan

5. Aksioma Kesejajaran Euclid
“ Jika dua garis dipotong oleh sebuah garis transversal
sedemikian hingga membuat jumlah sudut dalam sepihak
kurang dari 180, maka kedua garis itu berpotongan pada
pihak yang jumlah sudut dalam sepihaknya kurang dari
180 ’’
Aksioma Kesejajaran Playfair
”Hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis yang
diketahui yang melalui sebuah titik di luar garis yang
tidak diketahui.”
Geometri
Euclid
Aksioma
Kesejajaran
Geometri
Netral

6. Sistem Aksioma Euclides tanpa Aksioma Kesejajaran.
Sistem Aksioma I.
Sepasang garis berinsiden dengan tepat satu titik yang sama.
Setiap titik berinsiden dengan tepat dua garis.
Banyaknya garis ada empat.
Teorema 1. Banyaknya titik ada enam.
Teorema 2. Dengan setiap garis berinsiden dengan tepat tiga titik.

7. Aksioma I. Aksioma Insidensi & Ekstensi
1.Ada garis
2.Pada setiap garis berinsiden minimal dua titik
3.Tidak semua titik segaris
4.Dua titik menentukan tepat satu garis yang berinsiden dengan
dua titik tersebut.

8. Definisi. 1. Titik B & Y berimpit jika dan hanya jika B = Y.
Definisi. 2. Garis m dan g berimpit jika dan hanya jika m = g.
Teorema 1.1. Berinsiden dengan suatu titik terdapat minimal
dua garis.
Definisi. 3. Dua garis dikatakan berpotongan jika dua garis
tersebut bersekutu dengan satu titik.
Definisi. 4. Beberapa titik dikatakan se garis jika titik-titik
tersebut terletak pada suatu garis.
Definisi. 5. Beberapa garis disebut setitik (konkruen)
Teorema 1.2. Tidak semua garis setitik.

9. Teorema 1.2. Tidak semua garis setitik.
Aksioma II. Aksioma Urutan/ Keantaraan
A, B, C, maka A, B, C berbeda dan segaris
A-B-C maka C-B-A
Untuk sebarang A, C, terdapat B  A-B-C dan D  A-C-D
Jika A, B, C segaris maka salah satu diantara dua yang lain.
Empat titik segaris, sebut A, B, C, D maka ada A-B-C, A-B-D, A-
C-D, B-C-D.

10. Teorema 2.1. Titik O pada g, maka O memisahkan titik g
diluar O menjadi dua bagian saling asing.
Sistem Aksioma II.
Berinsiden dengan dua titik terdapat tepat satu garis.
Sembarang dua garis selalu ada titik sekutunya/ bersekutu
dengan satu titik.
Terdapat paling sedikit satu garis.
Setiap garis memuat tepat tiga titik.
Tidak semua titik berinsiden dengan satu garis yang sama

11. Aksioma III. Kongruensi
 Diketahui ruas garis , garis g, P pada g, maka pada setiap sinar garis
pada g yang tertentu oleh P terdapat tepat satu titik Q sedemikian
sehingga PQ kongruen dengan AB.
 ( AB  BA) AB = BA (refleksif)
 ( AB  A`B` ) A`B`  BA (simetri)
 AB  A`B` dan A`B`  A`B` maka AB  A`B`
 AB dan BC pada g dengan B satu-satunya titik sekutu.
A’B’ dan B’C’ pada g’ dengan B’ satu-satunya titik sekutu.
Jika dan maka
 APB = (l,k)
 (h,k)  (h,k)
 (h,k)  (h’,k’) maka (h’,k’)  (h,k)
 (h,k)  (h’,k’) dan (h’,k’)  (h’’,k’’) maka (h,k)  (h’’,k’’)

12.  (k,l) dan (l,m) maka titik sudut bersekutu , daerah dalam
saling asing.
(k’,l’) dan (l’,m’) maka titik sudut bersekutu , daerah dalam saling asing.
(k’,l’)  (k,l) dan (l’,m’)  (l,m) maka (k’,m’)  (k,m)
Definisi Segitiga
Gabungan tiga ruas garis yang tertentu oleh tiga titik tak segaris.
 ABC dan A’B’C’ maka dan dan B=B’ maka C=C’

13. Aksioma IV. Kekontinuan dan
Kelengkapan.
 Diketahui A, B pada g. Dibuat A1, A2, A3, … An dengan
Jika A-A1- A2-B dan A-A1- A2- A3 dan A-A2- A3 maka terdapat n sedemikian
hingga A-B- An
 Tidak mungkin menambah suatu titik, garis, atau unsur lain
tanpa mengganggu sistem yang lain.

14. Teorema 1
Jumlah dua sudut dalam segitiga kurang dari 1800 .
Bukti :
B C D
A

15. Bukti Teorema 1
• Misalkan ∆ ABC merupakan sebarang segitiga.
• Ditunjukkan bahwa A+ B ‹ 180◦.
• Perpanjang BC melalui C hingga ke D, maka ACD merupakan sudut
eksterior ∆ABC.
• Dengan menggunakan teorema sudut eksterior, maka ACD › A,
tetapi ACD = 180◦ - C.
• Dengan mensubtitusikan ACD pada relasi pertama, sehingga
diperoleh
• 180◦ - C › A ‹─› 180◦ › A+ C.
• Jadi A+ C ‹ 180◦ (terbukti).

16. Teorema 2
diketahui ∆ ABC dan A. Maka terdapat suatu ∆ A1B1C1,
sedemikian sehingga ∆ A1B1C1 memiliki jumlah sudut yang sama
dengan jumlah besar sudut ∆ ABC dan A1 ≤ ½ A.
Bukti :
A
B
C
1
2
E
D
3
4
3’
2’
4’ 1’

17. Bukti Teorema 2
• Andai E titik tengah BC dan AD dan AED sehingga AE = ED
• Oleh karena AEB = CED maka ∆ ABE, ∆ DCE (s, sd, s)
Maka A+ B + C = 1+ 2+ 3+ 4
= 1+ 2’+ 3’+ 4
= CAD + ADC + DCA
• Selanjutnya
A = 1+ 2
A = 1+ 2
• Maka salah satu suku pada ruas kanan harus kurang atau sama dengan A.
• Andaikan 1 ≤ ½ sudut A dan sudut A sebagai sudut A1, sudut C sebagai
sudut C1, dan sudut D sebagai sudut B1, maka ∆ A1B1C1 adalah segitiga yang
dicari, sebab sudut A1+ sudut B1+ sudut C1 = sudut A+ sudut B+ sudut C dan
sudut A1 ≤ ½ sudut A.

18. Teorema 3
jumlah sudut segitiga sebarang kurang dari atau sama
dengan 180◦.
Bukti :
Bukti Teorema 3
• Andaikan diketahui ∆ ABC dan andaikan sudut A+ sudut B+ sudut
C › 180◦, maka ada p◦ › 0 sehingga sudutA+ sudut B+ sudut C =
(180◦+p◦).
• Maka menurut teorema 2,
• Jadi terdapat ∆A1B1C1 sehingga sudut A1+ sudut B1+ sudut C1 =(
180◦+p◦) dan sudut A1 ≤ ½ A1 ≤ ½ sudut A.
• Begitu pula terdapat segitiga A 2B2C2 sehinggs sudut A2 + Sudut
B2 + sudut c2 = ( 180 + P ) ˚ dan sudut A2 ≤ I/2 sudut A1 ≤ ½ ²
sudut A

19. • Maka diperoleh ∆ AnBnCn sehingga An+Bn+Cn = ( 180+p)◦ dan
dengan sudut An ≤ 1/2ⁿ sudut A.
•Kita dapat memilih ∆ AnBnCn sedemikian hingga sudut An ≤ ½ⁿ
sudut A ≤ p, dengan membuat n cukup besar.
• Jadi, sudut An + sudut Bn + Cn.p + Bn+Cn ≤ p + Bn + Cn
sehingga 180 + p ≤ p + Bn + Cn atau Bn+ Cn ≥ 180◦.
• Hal ini kontradiksi dengan teorema 1.
• Berarti pengandaian kita salah dan haruslah A+B+C ≤ 180◦.

20. Definisi: Sebuah segiempat dinamakan persegi
panjang apabila besar setiap sudutnya 900. Oleh
karena geometri yang kita bicarakan adalah
geometri netral yang tidak menganut aksioma
kesejajaran euclides, maka sifat-sifat dalam
persegi panjang yang kita kenal harus dibuktikan
tidak dengan menggunakan sifat-sifat yang ada
pada persegi panjang.

21. Teorema 1
Jika ada sebuah persegi panjang dalam
geometri netral, maka akan ada juga sebuah
persegi panjang dengan salah satu sisinya lebih
panjang dari ruas garis tertentu.
Bukti:
Andaikan diketahui persegi panjang ABCD dan
ruas garis yang diketahui adalah XY. Harus
dibuktikan adanya persegi panjang dengan
panjang salah satu sisi melebihi XY.

22. B C C1 C2 Cn
A D D1
D2 Dn
x Y
Perpanjang AD sampai DD1 sehingga AD = DD1. Perpanjang BC
sampai CC1 sehingga BC = CC1. Artinya ada D1 dengan ADD1 sehingga
panjang AD = DD1 dan ada C1 dengan BCC1 sehingga panjang BC =
CC1. Tarik C1D1 maka AD1C1B adalah sebuah persegi panjang. Proses
ini kita lanjutkan. Jadi ada D2 dengan DD1D2 sehingga panjang DD1 =
D1D2 dan ada C2 dengan CC1C2 sehingga CC1 = C1C2. Tarik C2D2 maka
AD2C2B suatu persegi panjang. Menurut aksioma archimides (aksioma
kekontinuan), ada Dn sehingga ADn = n x AD dan ADn > XY, maka
ADnCnB suatu persegi panjang. Persegi panjang inilah yang dicari.
Bukti Teorema 1

23. Teorema 2
Jika ada sebuah persegi panjang dalam
geometri netral maka ada persegi panjang
yang panjangnya dua sisi yang bersisihan
masing-masing melebihi panjang dua ruas
garis yang diketahui.
Bukti:
Andaikan diketahui persegi panjang ABCD
dan ruas garis XY dan PQ.

24. G H
F
E
C
D
B
A
Q
P
X Y
Dengan menggunakan teorema 1 dua kali
maka kita peroleh persegi panjang ABEF
dengan AF > XY. Kemudian ada persegi
panjang AGHF dengan AG > PQ. Maka persegi
panjang AGHF adalah persegi panjang yang
dicari
Bukti Teorema 2

25. Jumlah Sudut Suatu Segitiga
Untuk menentukan jumlah sudut suatu segitiga, maka kita
beranjak dari teorema 3 jumlah sudut persegi panjang.
Pada teorema 3 jumlah sudut persegi panjang disebutkan:
teorema 3: Jika dalam suatu geometri netral ada persegi
panjang, maka jumlah besar sudut-sudut dalam segitiga
siku-siku sama dengan 1800.
Prosedur pembuktiannya adalah dengan cara
menunjukkan bahwa:
1. Setiap segitiga siku-siku adalah tiruan dari segitiga
yang dibentuk dengan cara membelah persegi
panjang pada diagonalnya.
2. Segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut 1800.

26.  Dari 2 pernyataan di atas dapat kita gambarkan
seperti di bawah ini:
 Misalkan segitia ABC siku-siku di B, menurut
teorema 2 jumlah sudut persegi panjang, maka
terdapat persegi panjang A’B’C’D’ sedemikian
hingga A’B’ = AB dan B’C’ = BC.
 Hubungkan A’ dan C’, maka segitiga ABC
kongruen dengan segitiga A’B’C’.
 Sehingga kedua segitiga tersebut mempunyai
jumlah sudut yang sama.

27. Perhatikan gambar berikut:
 Misalkan p adalah jumlah sudut segitiga ABC dan q adalah jumlah sudut segitiga
A’B’C’
 menurut definisi segi empat semua sudutnya adalah 900, maka p + q = 4 x 900
………… (1)
 Menurut teorema 3, maka p ≤ 1800.
 Andaikan p < 1800.
 Sedangkan menurut persamaan (1), p + q = 3600, maka diperoleh q > 1800.
 Hal ini bertentangan dengan teorema 3 (Jika dalam suatu geometri netral ada
persegi panjang, maka jumlah besar sudut-sudut dalam segitiga siku-siku sama
dengan 1800.
 Karena dalam pembuktian harus sesuai dengan teorema, maka haruslah p = 1800
(terbukti)

28. Lalu berlanjut pada Teorema 4 yang berbunyi: Jika
dalam geometri netral ada persegi panjang maka
jumlah besar sudut-sudut dalam segitiga 1800
 Bukti :
 Akan ditunjukkan segitiga ABC memiliki jumlah sudut 1800.
 A + B + C = 1800
 Tarik garis tinggi CD, sehingga membagi segitiga ABC menjadi dua segitiga siku-siku
yaitu segitiga ACD dan BCD.
 Jumlah sudut ACD = ABD = 1800. (menurut teorema 3)
 Sehingga
 ( A + C1 + D1) + ( B + C2 + D2) = 2 x 1800 = 3600
 ↔ ( A + C1 + 900) + ( B + C2 + 900) = 3600
 ↔ ( A + C1 + 900) + ( B + C2 + 900) = 3600
 ↔ A + B ( C1 + C2) = 1800
 Jadi A + B + C = 1800
 bukti di atas dapat digambarkan seperti di bawah ini:

29. selanjutnya masuk pada Teorema 5 yang
berbunyi: Jika dalam geometri netral ada sebuah
segitiga dengan jumlah sudut 1800, maka akan
ada sebuah persegi panjang.
 Bukti : Perhatikan gambar berikut:
 Misalkan segitiga ABC mempunyai jumlah sudut 1800.
 Pertama kita tunjukkan bahwa ada segitiga siku-siku dengan jumlah sudut
1800.
 Potong segitiga ABC menjadi dua segitiga siku-siku yang masing-masing
mempunyai jumlah sudut p dan q, dengan menarik garis tinggi tertentu, tulis
AD.
 Maka p + q = 2 x 900 + 1800 = 3600
 Kita tunjukkan p = 1800, menurut teorema 3, p = 1800

30.  Jika p < 1800, q > 1800 maka ini bertentangan dengan
teorema 3.
 Jadi ada dua segitiga siku-siku, misalnya segitiga ABD
dengan sudut siku-siku di D yang mempunyai jumlah
sudut 1800.
 Sekarang kita mengambil dua segitiga siku-siku, kemudian
kedua segitiga siku-siku tersebut kita tempelkan bersama
untuk membentuk sebuah persegi panjang.
 Seperti terlihat pada gambar di bawah ini:
2’

31.  Lukis segitiga BAE kongruen dengan segitiga BED dengan E
berlainan pihak dengan D dari sisi AB, dengan BE bersesuaian
dengan AD. (lihat gambar di atas)
 Karena jumlah sudut segitiga ABD adalah 1800, maka
 1 + 2 = 900, karena 1 = 1’, 2 = 2’, maka kita peroleh 1 + 2’ =
900 dan 1’ + 2 = 900.
 Tetapi 1 + 2’ = EAB
 1’ + 2 = EAD
 Jadi EAB = EAD = 900, berarti ADBE persegi panjang (definisi
persegi panjang)
2’

32. Adanya persegi panjang dapat
digunakan untuk mempertajam
teorema I (teorema Saccheri –
Legendre tentang jumlah sudut
segitiga). Hal ini mudah sekali
dilakukan, seperti pada Teorema 5,
adanya segitiga dengan jumlah sudut
180° adalah ekuivalen dengan adanya
persegi panjang.

33. Sebenarnya jumlah sudut suatu segitiga itu hanya
mempunyai satu teorema yaitu
Teorema 6 yang berbunyi: Jika ada sebuah segitiga dengan
jumlah sudut 180°, maka akan ada sebuah persegipanjang.
Dari teorema 6 ini menghasilkan 2 akibat yaitu:
 Akibat 1 Teorema 6: Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah
sudut 180°, maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 180°.
 Akibat 2 Teorema 6: Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah
sudut kurang dari 180°, maka setiap segitiga mempunyai jumlah
sudut kurang dari 180°.

34. Dengan membandingkan teorema akibat 1 dan 2 dari
teorema 6, kita amati suatu fakta penting yang tidak
termuat dalam teorema Saccheri–Legendre. Geometri
netral adalah "homogen", dalam arti bahwa semua
segitiga mempunyai jumlah sudut 180', atau semua
segitiga mempunyai jumlah sudutya kurang dari 180°.
Jenis geometri netral yang pertama tersebut, sebagaimana
yang anda duga, adalah merupakan geometri Euclides,
sedangkan yang kedua secara historis muncul sebagai
geometri non-Euclides. Keduanya akan muncul sebagai
geometri non-Euclides.

35. Proposisi-proposisi Geometri
Netral
1.Dua garis yang tidak berhimpit
mempunyai paling banyak satu titik
potong.
2.Setiap segmen garis mempunyai tepat
satu titik tengah.
3.Setiap sudut mempunyai tepat satu
garis bagi.
4.Komplemen dari sudut-sudut yang
sama adalah sama.
5.Sudut yang bertolak belakang besarnya
sama.

36. 6. Kongrensi dua segitiga adalah SS-SD-SS, SD-
SS-SD, SS-SS-SS.
7. Jika dua sisi suatu segitiga adalah sama, maka
sudut-sudut dihadapanya adalah sama.
8. Jika dua sudut segitiga sama, maka dua sisi
dihadapannya sama.
9. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis
tertentu melalui satu titik pada garis tertentu
tersebut.
10. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis
tertentu melalui satu titik diluar garis tertentu
tersebut.

37. 11. Titik T terletak pada sumbu segmen garis AB jika
dan hanya jika TA = TB.
12. Jika dua sisi suatu segitiga tidak sama maka sudut-
sudut dihadapannya juga tidak sama, dan sudut
segitiga yang lebih besar berhadapan dengan sisi
yang lebih panjang.
13. Jika dua sudut suatu segitiga tidak sama maka sisi-
sisi dihadapannya juga tidak sama, dan sisi yang
lebih panjang berhadapan dengan sudut yang
lebih besar.
14. Segmen garis terpendek yang menghubungkan
sebuah titik dan sebuah garis adalah segmen yang
tegak lurus.
15. Jumlah panjang dua sisi lebih besar dari sisi ketiga.

38. 16.Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-
masing sama dengan dua sisi segitiga yang
kedua, dan sudut apit segitiga pertama lebih
besar dari sudut apit segitiga kedua, maka sisi
ketiga dari segitiga yang pertama lebih panjang
dari sisi ketiga dari segitiga kedua.
17.Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-
masing sama dengan dua sisi segitiga yang
kedua, dan sisi ketiga dari segitiga pertama lebih
panjang dari sisi ketiga dari segitiga yang kedua,
maka sudut apit dari segitiga yang pertama lebih
besar dari sudut apit dari segitiga ke dua.
18.Besar sudut luar dari suatu segitiga adalah lebih
besar dari salah satu sudut dalamnya yang tidak
bersisian dengan sudut luar tersebut.

39. 19.Jumlah dua sudut dari suatu segitiga
adalah kurang dari 1800.
20.Jika dua garis dipotong oleh garis lain
dan membentuk sepasang sudut
dalam berseberangan yang sama dua
garis tersebut sejajar.
21.Dua garis yang tegak lurus pada garis
yang sama adalah sejajar.
22.Sekurang-kurangnya ada satu garis
yang sejajar dengan suatu garis
tertentu yang melalui titik di luar garis
tertentu tersebut.

40. 23. Misalkan garis 1 melaui titik C yang jaraknya
kepusat lingkaran kurang dari panjang jari-
jarinya maka garis satu memotong lingkaran
di dua titik.
24. Sebuah garis merupakan garis singgung
lingkaran jika dan hanya jika garis tersebut
tegak lurus pada jari-jari lingkaran.
25. Jika diketahui segitiga ABC dan segmen garis
PQ sedemikian hingga PQ=AB maka ada titik
R di luar PQ sedemikian sehingga segitiga
PQR kongruen segitiga ABC.
26. Sebuah lingkaran dapat digambarkan melalui
sebarang segitiga.

41. Terima Kasih