Dokumen ini membahas tentang Kalkulus 1. Terdiri dari beberapa bab yang membahas bilangan riil, persamaan linier, nilai mutlak, fungsi, limit, turunan 1, dan turunan 2.

1. KALKULUS 1
DOSEN PEMBIMBING
HETTY ROHAYANI,Ah,St,M.Kom
Disusun oleh:
Taufik Hidayah Nim:8020140186
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA
SEKOLAH TINGGI ILMU KOMPUTER DINAMIKA BANGSA JAMBI
2014/2015

2. ii
KATA PENGANTAR
Pertama-tama penulis mengucapkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT dengan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyusun Resume Ini. Shalawat beserta salam tidak lupa penulis ucapkan kepada nabi besar Muhammad SAW yang telah membawa kita semua umatnya dari alam kegelapan menuju alam yang terang-menerang, dari alam kebodohan menuju alam yang penuh ilmu pengetahuan.
Penulis menyadari bahwa dalam pembuatan resume ini masih banyak terdapat kekurangan dan kesalahan, oleh sebab itu Penulis mohon maaf dan menerima kritik dan saran yang membangun/membaca.
Akhir kata kami berharap semoga makalah ini dapat menjadi motipasi
Dan pembelajaran bagi kita semua. Amin ya robbal ‘alamin

3. iii
DAFTAR ISI
Halaman
KATA PENGANTAR ....................................................................... ii
DAFTAR ISI ..................................................................................... iii
BAB I PEMBAHASAN
1.1 Bilangan Riil ....................................................................... 1
1.2 Persamaan Linier .............................................................. 14
1.3 Nilai Mutlak...................................................................... 33
1.4 Fungsi ............................................................................... 35
1.5 Limit ................................................................................. 42
1.6 Turunan1 ........................................................................... 46
1.7 Turunan 2 .......................................................................... 52
BAB II
2.1 Simpulan .......................................................................... 55
2.2 Saran ................................................................................. 55
Daftar Pustaka

4. 1
BAB I
1.1 Bilangan Riil
A. Himpunan Bilangan Riil
Bilangan rasional adalah bilangan yang bisa dinyatakan dalam bentuk . Sebarang bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Pernyataan desimal suatu bilangan rasional dapat mempunyai akhir atau akan berulang dalam daur yang tetap selamanya. Misalnya
=1,18181818
Bilangan yang tak bisa dinyatakan dalam bentuk dengan m.n bilangan bulat dan disebut bilangan tak rasional. Sebarang bilangan takrasional juga dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Pernyataan desimal suatu bilangan takrasional tidak berulang menurut suatu daur. Misalnya,0 n ≠ 0
√2=1,41421356223 π3,1415926335
Gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan tak rasional disebut himpunan bilangan riil ( biasa dilambangkan ). Anggota himpunan tersebut dinamakan bilangan riil. R
B. Sistem Bilangan Riil
Sistem bilangan riil dibentuk dari himpunan bilangan riil dan operasi yang didefinisikan pada himpunan tersebut. R yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk sistem aljabar lapangan, yakni berlaku:
1. x + y + y + x untuk sebarang x, y di R
2. (x + y) + z + x + (y + z) untuk sebarang x, y, z di R
3. Terdapat 0 di R demikian sehingga 0 + x + x + 0 + x untuk sebarang x di R
4. Untuk sebarang x di R terdapat - x di R demikian sehingga x + (+x) + (+x) + x + 0
5. xy + yx untuk sebarang x, y di R
6. (xy)z + x(yz) untuk sebarang x, y, z di R
7. Terdapat 1 di R demikian sehingga 1.x + x.1+ x untuk sebarang x di R

5. 2
8. Untuk sebarang x di R dengan x 0 terdapat demikian sehingga
Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan dan ) (y-x=x+(-y dan
C. Urutan pada Himpunan Bilangan Riil
Terdapat himpunan bagian dari R yang unsurnya dinamakan himpunan bilangan positif, yang memenuhi aksioma :
 jika a € R maka a= 0, atau a positif, atau –a
 jumlah dan hasil dua kali bilangan positif adalah suatu bilngan fositif ini memungkinkan kita mendfinisikan relasi urutan pada bilangan riil Dinefenisikan relasi urutan < (dibaca “kurang dari”) sebagai x<y – y-x positif selanjutnya relasi urutan<(Dibaca (“lebih dari”)didefinisikan sebagai x>yy<x
urutan tersebut memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
 Trikotomi, jika x dan y adalah bilangan riil, maka satu diantara yang berikut berlaku x<y atau x=y atau x>y
 Ketransitifan, x<y dan y<zx<z untuk sebarang x,y,z di R
 x<yx+z untuk sebarang x,y,z di R
 jika z positif, berlaku x< y xz<yz untuk sebarang x,y di R dan jika z negatif berlaku x < y  xz > yz untuk sebarang x,y di R, relasi≤ (dibaca” kurang dari atau sama dengan”), didefinisikan sebagai x ≤ y y ≤ x sifat sifat urutan 2,3 dan 4 berlaku dengan lambang < dan> diganti dengan lambang ≤ atau ≥.
D. Kerapatan pada Himpunan Bilangan Riil
Diantara dua bilangan riil sebarang yang berlainan x dan y terdapat suatu bilangan riil lainnya, khususnya z= dan karenanya terdapat juga bilangan riil diantara x dan z dan diantara z dan y. Argumentasi ini dapat diulang sampai tak hingga, sehingga kita dapat mengambil kesimpulan diantara dua

6. 3
bilangan riil sebarang ( tak peduli betapun dekatnya ) terdapat takterhingga banyaknya bilangan riil lain.
E. Garis riil
Bilangan riil dapat dipandang sebagai label untuk titik sepanjang garis mendatar. Pada garis tersebut bilangan riil mengukur jarak berarah ke kanan atau ke kiri dari suatu titik tetap yang diberi label . 0
c
0
Garis tersebut dinamakan garis riil
Catatan:
 Mengatakan x<y bearti bahwa x berada disebelah kiri y pada garis riil.
x y
 Pada garis riil, bilangan riil positif terletak di sebelah kanan 0 dan bilangan riil negatif terletak di sebelah kiri 0 .
F. Selang
Himpunan bagian tertentu dari himpunan bilangan riil yang disebut selang sering muncul dalam Kalkulus. Secara geometris ini berkaitan dengan ruas garis pada garis riil. Jika a b, interval buka dari a ke b terdiri dari semua bilangan diantara a dan b dan menggunakan simbol (a,b) . Dalam notasi pembentuk himpunan ditulis x a x b. Perlu dicatat bahwa titik a

7. 4
dan b tidak termasuk dalam selang tersebut. Selang tertutup dari a ke b adalah himpunan a,bx a x b, dalam hal ini a dan b termasuk dalam selang
tersebut. Lebih lanjut perhatikan tabel berikut
Simbol pada notasi di atas bukan mewakili sebuah bilangan. (a,) berartihimpunan semua bilangan yang lebih dari a . Secara geometris selang ini membentang mulai dari titik a tak berhingga jauhnya ke kanan dalam arah positif. Analog untuk [a,) , (,b) , (,b] dan (,) .
G. Macam-macam bilangan riil
1. Bilangan Asli (A)
Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk memebilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,...
A = {1,2,3,4,...}
2. Bilangan Genap (G)
Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, nÎA
G = {2,4,6,8,...}

8. 5
3. Bilangan Ganjil (Gj)
Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, nÎA
Gj = {1,3,5,7,...}
4. Bilangan Prima (P)
Bilangan prima adalah suatu bilanganyang dimulai dari 2 dan hanya dapat dibagi oleh bilngan itu sendiri dan ± 1
P = {2,3,5,7,...}
5. Bilangan Komposit (Km)
Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh bilangan yang lain
Km = {4,6,8,9,...}
6. Bilangan Cacah (C)
Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari nol
C = {0,1,2,3,4,...}
7. Bilangan Bulat (B)
Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangnan bulat positif.
B = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
8. Bilangan Pecahan (Pc)
Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
, a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut,
dengan a dan b ÎB serta b ≠0
9. Bilangan Rasional (Q)
Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
, a dan b ÎB serta b ≠0. (Gabungan bilangan bulat dengan himpunan bilangan pecahan)

9. 6
10. Bilangan Irasional (I)
Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
, a dan b €B serta b ≠0.
Contoh: 2, 3,p = 3,14159..., e = 2,71828...
11. Bilangan Real (R)
Bilangan real adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan dengan sebuah garis bilangan.
Contoh:
12. Bilangan Khayal (Kh)
Bilangan khayal adalah suatu bilangan yang hanya bisa dikhayalkan dalam pikiran, tetapi kenyataannya tidak ada.
Contoh: 1, 2, 3
13. Bilangan Kompleks (K)
Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan dan khayal.
Contoh: 2 + -1,5 - - 2
H. Perbedaan Antara Bilangan Rasional Dan Bilangn Irasional
Bilangan Rasional:
1. Dapat dtulis dalam bentuk pecahan biasa
2. Dapat ditulis dalam bentuk pecahan desimal terbatas.

10. 7
Bilangan Irasional:
1. Tidak dapat ditulis sebagai pecahan biasa
2. Jika didahului sebagai pecahan desimal, merupakan desimal tak terbatas.
Contoh:
3= 1,7320...
2= 1,4142...
3. Bilangan irasional ditulis dalam bentuk akar.
Contoh: 2, 3, 7
I. Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat
1. Sifat Komutatif:
a + b = b + a
a.b = b.a
Contoh:
1. 5 + 6 = 6 + 5 = 11
2. 9 . 3 = 3 . 9 = 27
2. Sifat Assosiatif:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a . b) . c = a . (b . c)
Contoh:
1. (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10
2. (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = 30
3. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan
a x (b + c) = ab + ac
Contoh:
5 x (3 + 6) = 5 . 3 + 5 . 6
= 15 + 30
= 45
4. Terdapat Dua Elemen Identitas

11. 8
Setiap bilangan a mempunyai dua elemen identitas, yaitu 1 dan 0, sehingga
memenuhi:
a + 0 = a
a . 1 = a
5. Terdapat Elemen Invers
Setiap bialngan a mempunyai balikan atau invers penjumlahan, yaitu a yang memenuhi:
a + (-a) = 0
Setiap a ≠ 0 mempunyai balikan perkalian yaitu , yang memenuhi: a. =1
J. Operasi Pada Bilangan Bulat:
1. Operasi Penjumlahan
a + b = c a, b dan c bilangan bulat
Contoh: 14 + 10 = 24
2. Operasi Pengurangan
A – b = c Ûa + (-b) = c a, b dan c bilangan bulat
Contoh: 10 – (-2) = 10 + 2 = 12
3. Operasi Perkalian
a . b = c a, b dan c bilangan bulat
Contoh: 5 . 4 = 20
(-9) . (-4) = 36
4. Operasi Pembagian
a . b = c a, b dan c bilangan bulat
Contoh: 5 . 4 = 20
(-9) . (-4) = 36.
5. Operasi Pembagian
. a,
b bilangan bulat dan b ≠ 0, c bilangan real

12. 9
K. Operasi Pada Bilangan Pecahan
1. Operasi Penjumlahan
2. Operasi Pengurangan
Contoh:
Tentukan hasil perkalian berikut!
3. Operasi Perkalian
Contoh:
Tentukan hasil perkalian berikut:
4. Operasi Pembagian
Contoh:
Tentukan hasil pembagian dari pecahan di bawah ini!
L. Konversi Pecahan
1. Mengubah pecahan biasa ke pecahan desimal

13. 10
 Mengubah penyebutnya menjadi 10 atau perpangkatan 10 lainnya.
 Dengan pembagian berulang
Contoh:
Ubahlah ke dalam pecahan desimal!
= 0,33333... = 0,33
2. Mengubah pecahan biasa ke bentuk persen.
Mengubah penyebutnya menjadi 100
3. Ubahlah 75% dan 30% ke dalam bentuk pecahan!
4. Mengubah persen ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal
Contoh:
Ubahlah persen berikut ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal!
M. Perbandingan, Skala, Dan Persen
1) Perbandingan digunakan untuk membandingkan dua buah bilangan
a. Perbandingan senilai Bentuk Umum:
= atau a1 : b1 = a 2 : b 2
b. Perbandingan berbalik nilai Bentuk Umum:

14. 11
atau a1 : b 2 = a 2 : b1
Contoh:
1. Seorang ibu menghabiskan ½ liter minyak tanah untukmerebus air sebanyak 15 liter air. Jika dia akan merebus airsebanyak 100 liter, berapa liter minyak tanah yangdiperlukan?
2. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 4 orang tukangdalam 20 hari. Jika pekerjaan itu harus selesai dalam 2 hari,maka berapa orang tukang yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan itu?
Jawab:
1. Jika perbandingan banyak minyak tanah (M) dengan banyak air (A) adalah M : A, maka:
2. Jika 4 orang tukang (T1 ) dapat menyelesaikan 20 hari (H1 ),maka untuk selesai selama 2 hari (H2 ) harus dipekerjakan lebih dari 4 orang.
2) Skala
Skala merupakan bentuk perbandingan nilai dari suatu besaran atau perbandingan antara ukuran gambar dengan ukuran sesungguhnya (kenyataannya). Suatu skala bisa merupakan pembesaran atau pengecilan dari ukuran sesungguhnya.
 Skala pembesaran
Contoh:
Jarak kota A ke kota B pada peta adalah 10 cm. Jika jarak
sesungguhnya adalah 100 km,berapakah skala kota A ke kota B?
Jawab:
Misal jarak pada peta = x

15. 12
Misal jarak sesungguhnya = y
X : y = 10 cm : 100 km
= 10 cm : 10.000.000 cm
= 1 : 1.000.000
Jadi, skala jarak kota A ke kota B adalah 1 : 1.000.000
 Skala Pengecilan
Contoh:
Tinggi seorang aktor adalah 180 cm. Berapakah tinggi aktor tersebut
pada layar TV jika skalanya 1 : 100?
Jawab:
Misal tinggi sesungguhnya = A = 180 cm
Tinggi pada TV = B
=
Jadi tinggi aktor pada layar TV 1,8 cm
3. Persen
Persen (%) berarti per seratus, merupakan bentuk lain dari perbandingan
yang ditulis dalam pecahan dengan penyebut 100.
Contoh:
Sebatang perunggu terbuat dari 100 kg tembaga, 20 kg timah hitam, dan 30 kg timah putih. Berapakah persentase tiap-tiap bahan tersebut dalam perunggu itu?
Jawab:
Massa total perunggu = 100 kg + 20 kg + 30 kg = 150 kg

16. 13
N. Penerapan Pada Bidang Keahlian
1) Komisi
Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukan.
2) Diskon
Diskon adalah potongan harga yang diberikan oleh penjual kepada pembeli
3) Laba dan Rugi
Laba = Penjualan – Pembelian
Rugi = Pembelian – Penjualan
Contoh soal:
 Seorang sales mendapat komisi 20% jika dia mampu menjual barang senilai Rp2.000.000,00. Tentukan komisi yang diterima!
Jawab:
Komisi = 20% x Rp2000.000,00
=Rp.2000.000.00
 Sebuah barang dibeli seharga Rp500.000,00, kemudian barang tersebut dijual dengan harga Rp750.000,00. Hitunglah persentase
keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!
Jawab:
Laba = Rp750.000,00 – Rp500.000,00 = Rp250.000,00
Persentase laba dari harga beli :
Persentase laba dari harga jual:

17. 14
1.2 Persamaan Linier
A. Persamaan Linear
Persamaan linear merupakan sebuah persamaan aljabar dimana tiap sukunya mengandung konstanta atau perkalian konstanta dengan tanda sama dengan serta variabelnya berpangkat satu. Persamaan ini dikatakan linear karena jika kita gambarkan dalam koordinat cartesius berbentuk garis lurus. Sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear satu variabel karena dalam sistem tersebut mempunyai satu variabel. Bentuk umum untuk persamaan linear satu variabel yaitu y=mx+b yang dalam hal ini konstanta m menggambarkan gradien garis serta konstanta b adalah titik potong garis dengan sumbu-y.
Jika dalam sistem persamaan linear terdapat dua variabel maka sistem persamaannya disebut sistem persamaan linear dua variabel yang mempunyai bentuk umum Ax+By+C=0 dimana bentuk umum ini mempunyai bentuk standar ax+by=c dengan konstanta ≠0.
Dalam mencari titik potong suatu gradien kita gunakan rumus sebagai berikut :
Titik potong dengan sumbu x maka

18. 15
Titik potong dengan sumbu y maka
Untuk persamaan linear yang memiliki lebih dari dua variabel memiliki bentuk umum :
dimana a1 merupakan koefisien untuk variabel pertama x1, begitu juga untuk yang lainnya sampai variabel ke-n.
Untuk lebih memahami masalah persamaan linera perhatikan contoh berikut :
A.. Berikut ini diberikan bentuk beberapa persamaan, tentukan apakah termasuk persamaan linear atau bukan.
a. x + y = 5 (persamaan linear dua variabel)
b. x2 + 6x = -8 (persamaan kuadrat satu variabel)
c. p2 + q2 = 13 (persamaan kuadrat dua variabel)
d. 2x + 4y + z = 6 (persamaan linear tiga varibel)
B. Carilah penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y = 6 Jawab ; x + 2y = 8 2x – y = 6 (i) mengeliminasi variable x x + 2y = 8 | x 2 | –> 2x + 4y = 16 2x – y = 6 | x 1 | –> 2x – y = 6 – ………* 5y = 10

19. 16
y = 2 masukkan nilai y = 2 ke dalam suatu persamaan x + 2 y = 8 x + 2. 2 = 8 x + 4 = 8 x = 8 – 4 x = 4 HP = {4, 2} (ii) mengeliminasi variable y x + 2y = 8 | x 1 | –> x + 2y = 8 2x – y = 6 | x 2 | –> 4x – 2y = 12 + ……* 5x = 20 x = 4 masukkan nilai x = 4 ke dalam suatu persamaan x + 2 y = 8 4 + 2y = 8 2y = 8 – 4 2y = 4 y = 2 4 = 2 HP = {4, 2}
C. Selesaikan soal no 2 menggunakan cara substitusi
Jawab :
Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8 Selanjutnya persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y, Persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan 2x – y = 6 menjadi : 2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua menjadi x = 8 – 2y) 16 – 4y – y = 6 16 – 5y = 6 -5y = 6 – 16

20. 17
-5y = -10 5y = 10 y = 2 masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan : x + 2y = 8 x + 2. 2. = 8 x + 4 = 8 x = 8 – 4 x = 4 Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2. Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}
D. Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,- Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga dan 5 . buah jeruk ? Jawab : Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model matematika. Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y Maka model matematika soal tersebut di atas adalah : 2x + 3 y = 6000 5x + 4 y = 11500 Ditanya 4 x + 5 y = ? Kita eliminasi variable x : 2x + 3 y = 6000 | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000 5x + 4 y = 11500 | x 2 | = 10x + 8 y = 23.000 – ( karena x persamaan 1 dan 2 +) 7y = 7000 y = 1000 masukkan ke dalam suatu persamaan : 2x + 3 y = 6000

21. 18
2x + 3 . 1000 = 6000 2x + 3000 = 6000 2x = 6000 – 3000 2x = 3000 x = 1500 didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk) sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk adalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000 = 6000 + 5000 = Rp. 11.000,-
B. Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear merupakan kalimat terbuka dalam matematika yang terdiri dari variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan. Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu :
ax+by>c
ax+by<c
ax+by≥c
ax+by≤c
dengan a koefisien untuk x, b koefisien dari y dan c konstanta dimana a,b,c anggota bilangan riil dan a≠0,b≠0 .
Suatu penyelesaian dari pertidaksamaan linear biasanya digambarkan dengan grafik, adapun langkah-langkah dalam menggambar grafik pertidaksamaan linear yaitu sebagai berikut :
1. Ubah tanda ketidaksamaan menjadi persamaan

22. 19
2. Tentukan titik potong koordinat kartesius dengan sumbu x dan sumbu y.
3. Gunakan titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian.
4. Gambarkan grafiknya dan beri arsiran pada daerah penyelesaiannya.
Untuk lebih memahami tentang pertidaksamaan perhatikan beberapa contoh berikut :
contoh 1.

23. 20
Contoh 2.

24. 21
Contoh 3.
Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut untuk x, y anggota bilangan real.
–x + 8y ≤ 80
2x – 4y ≤ 5
2x + y ≥ 12
2x – y ≥ 4
x ≥ 0, y ≥ 0

25. 22
Penyelesaian :
Ubah pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan dan gambarkan pada bidang koordinat.

26. 23
Selanjutnya uji titiknya untuk menentukan daerah penyelesaian. Dapat dengan cara substitusi atau dengan garis bilangan. Pada contoh kali ini menggunakan substitusi misalkan kita pilih titik (0,12)
Setelah titk tersebut disubstitusi menghasilkan pernyataan yang salah, sehingga daerah penyelesaiannya berlawanan dengan daerah yang mengandung titik (0,12).

27. 24
Dengan cara yang sama untuk persamaan yang lain telah kita peroleh grafik sebagai berikut.
Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah daerah yang terkena seluruh arsiran, yaitu :

28. 25
C. Persamaan linier satu variable
Persamaan adalah suatu pernyataan matematika dalam bentuk simbol yang menyatakan bahwa dua hal adalah persis sama. Dari bentuk-bentuk 3(x – 1) + x dan –x + 7, kita dapat membentuk persamaan
yang merupakan suatu persamaan linear satu variabel (PLSV). Untuk menyelesaikan suatu persamaan, kita harus menentukan nilai dari x sedemikian sehingga persamaan tersebut menjadi benar, yang berarti, nilai dari ruas kiri sama dengan ruas kanan. Perhatikan tabel berikut.
Berdasarkan tabel di atas, kita dapat menemukan bahwa persamaan 3(x – 1) + x = –x + 7 akan bernilai benar ketika kita mengganti x dengan bilangan 2, dan akan salah jika kita mengganti x dengan bilangan selain 2. Bilangan pengganti yang dapat menyebabkan suatu persamaan bernilai benar disebut selesaian atau akar.
Menyelesaikan persamaan dengan menggunakan tabel akan memakan waktu yang cukup lama. Untuk itu, kita dapat menuliskan suatu persamaan yang diberikan ke dalam persamaan ekuivalen yang lebih sederhana, sampai kita mendapatkan solusi yang diminta. Persamaan-persamaan yang ekuivalen

29. 26
adalah persamaan-persamaan yang memiliki himpunan selesaian sama, dan diperoleh dari penyederhanaan kedua ruas persamaan dengan menggunakan sifat-sifat penjumlahan, perkalian, dan distributif dari suatu persamaan, sampai diperoleh suatu persamaan dalam bentuk x = konstanta.
Sifat Penjumlahan dan Perkalian Suatu Persamaan Jika A, B, dan C merupakan bentuk-bentuk aljabar dan A = B, maka A + C = B + C, AC = BC, dan A/C = B/C (C ≠ 0).
Dengan kata lain, berdasarkan sifat penjumlahan suatu persamaan, kita dapat menambahkan suatu bilangan atau bentuk aljabar lain ke dalam ruas kanan dan kiri persamaan tersebut. Pernyataan yang serupa dapat dibuat untuk menyatakan sifat perkalian suatu persamaan. Sifat-sifat dari persamaan ini dapat dikombinasikan untuk dijadikan panduan dalam menyelesaikan suatu persamaan linear. Sebagai catatan, tidak semua langkah dalam panduan ini diperlukan dalam menyelesaikan setiap persamaan.
Berikut ini merupakan panduan/langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan linear satu variabel.
1. Hilangkan tanda kurung dengan menggunakan sifat distributif, kemudian operasikan suku-suku yang serupa.
2. Gunakan sifat penjumlahan suatu persamaan untuk menulis persamaan tersebut sehingga semua variabel berada di satu ruas, sedangkan semua konstanta berada di ruas lainnya. Sederhanakan masing-masing ruas.
3. Gunakan sifat perkalian suatu persamaan untuk menghasilkan persamaan yang berbentuk x = konstanta.
4. Untuk soal penerapan, jawablah ke dalam kalimat sempurna dan gunakan satuan yang sesuai dengan perintah.
Sebagai contoh pertama, kita akan mencoba menyelesaikan persamaan 3(x – 1) + x = –x + 7 yang merupakan masalah di awal pembahasan ini.

30. 27
Contoh 1: Menyelesaikan PLSV dengan Menggunakan Sifat-sifat Persamaan
Selesaikan persamaan 3(x – 1) + x = –x + 7.
Pembahasan
Seperti selesaian dengan menggunakan tabel, kita juga memperoleh bahwa selesaian dari persamaan tersebut adalah x = 2.
Untuk menguji selesaian yang kita peroleh, kita dapat mensubstitusikan selesaian ini ke dalam persamaan semula (proses ini sering disebut substitusi- balik), dan pastikan bahwa nilai pada ruas kiri sama dengan ruas kanan. Dari contoh 1 kita mendapatkan:
Jika ada koefisien-koefisien dalam suatu persamaan berbentuk pecahan, kalikan kedua ruas dengan Berikut ini merupakan panduan/langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan linear satu variabel.

31. 28
1. Hilangkan tanda kurung dengan menggunakan sifat distributif, kemudian operasikan suku-suku yang serupa.
2. Gunakan sifat penjumlahan suatu persamaan untuk menulis persamaan tersebut sehingga semua variabel berada di satu ruas, sedangkan semua konstanta berada di ruas lainnya. Sederhanakan masing-masing ruas.
3. Gunakan sifat perkalian suatu persamaan untuk menghasilkan persamaan yang berbentuk x = konstanta.
4. Untuk soal penerapan, jawablah ke dalam kalimat sempurna dan gunakan satuan yang sesuai dengan perintah.
Sebagai contoh pertama, kita akan mencoba menyelesaikan persamaan 3(x – 1) + x = –x + 7 yang merupakan masalah di awal pembahasan ini.
Contoh 1: Menyelesaikan PLSV dengan Menggunakan Sifat-sifat Persamaan
Selesaikan persamaan 3(x – 1) + x = –x + 7.
Pembahasan
Seperti selesaian dengan menggunakan tabel, kita juga memperoleh bahwa selesaian dari persamaan tersebut adalah x = 2.
Untuk menguji selesaian yang kita peroleh, kita dapat mensubstitusikan selesaian ini ke dalam persamaan semula (proses ini sering disebut substitusi- balik), dan pastikan bahwa nilai pada ruas kiri sama dengan ruas kanan. Dari contoh 1 kita mendapatkan:
Jika ada koefisien-koefisien dalam suatu persamaan berbentuk pecahan, kalikan kedua ruas dengan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari penyebut-penyebutnya, untuk menghilangkan pecahan tersebut. Karena setiap bilangan desimal dapat ditulis ke dalam bentuk pecahan, maka dalam

32. 29
menyelesaikan persamaan yang memuat koefisien desimal, kita dapat mengubah bentuk desimal tersebut ke dalam bentuk pecahan terlebih dahulu.uk menghilangkan pecahan tersebut. Karena setiap bilangan desimal dapat ditulis ke dalam bentuk pecahan, maka dalam menyelesaikan persamaan yang memuat koefisien desimal, kita dapat mengubah bentuk desimal tersebut ke dalam bentuk pecahan terlebih dahulu.
D. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
1. Pengertian persamaan linear dua variabel (PLDV) Persamaan linear dua variabel ialah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu. Bentuk Umum PLDV : ax + by = c x dan y disebut variabel
2. Sistem persamaan linear dua variable (SPLDV) Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear dua variable yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Bentuk umum SPLDV : ax + by = c px + qy = r dengan x , y disebut variabel a, b, p, q disebut keifisien c , r disebut konstanta C. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variable (SPLDV) Cara penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan dua cara yaitu : 1. Metode Substitusi Menggantikan satu variable dengan variable dari persamaan yang lain contoh : Carilah penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y = 6 jawab : Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8 Kemudian persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y, Kemudian persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan 2x – y = 6 menjadi : 2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua menjadi x = 8 – 2y)

33. 30
16 – 4y – y = 6 16 – 5y = 6 -5y = 6 – 16 -5y = -10 5y = 10 y = 2 masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan : x + 2y = 8 x + 2. 2. = 8 x + 4 = 8 x = 8 – 4 x = 4 Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2. Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2} 2. Metode Eliminasi Dengan cara menghilangkan salaj satu variable x atau y. contoh : Selesaikan soal di atas dengan cara eliminasi: Jawab ; x + 2y = 8 2x – y = 6 (i) mengeliminasi variable x x + 2y = 8 | x 2 | –> 2x + 4y = 16 2x – y = 6 | x 1 | –> 2x - y = 6 - ………* 5y = 10 y = 2 masukkan nilai y = 2 ke dalam suatu persamaan x + 2 y = 8 x + 2. 2 = 8 x + 4 = 8 x = 8 – 4

34. 31
x = 4 HP = {4, 2} (ii) mengeliminasi variable y x + 2y = 8 | x 1 | –> x + 2y = 8 2x – y = 6 | x 2 | –> 4x – 2y = 12 + ……* 5x = 20 x = 4 masukkan nilai x = 4 ke dalam suatu persamaan x + 2 y = 8 4 + 2y = 8 2y = 8 – 4 2y = 4 y = 2 4 = 2 HP = {4, 2} * catatan nilai + atau – digunakan untuk menghilangkan/eliminasi salah satu variable agar menjadi 0 Contoh (i) yang dieliminasi adalah x : x dalam persamaan satu + dan persamaan dua + digunakan tanda - (ii) yang dieliminasi adalah y : y dalam persamaan satu +, persamaan dua - atau sebaliknya digunakan tanda +
3. Penggunaan sistem persamaan linear dua variable Contoh: Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,- Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga dan 5 . buah jeruk ? Jawab : Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model matematika.

35. 32
Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y Maka model matematika soal tersebut di atas adalah : 2x + 3 y = 6000 5x + 4 y = 11500 Ditanya 4 x + 5 y = ? Kita eliminasi variable x : 2x + 3 y = 6000 | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000 5x + 4 y = 11500 | x 2 | = 10x + 8 y = 23.000 - ( karena x persamaan 1 dan 2 +) 7y = 7000 y = 1000 masukkan ke dalam suatu persamaan : 2x + 3 y = 6000 2x + 3 . 1000 = 6000 2x + 3000 = 6000 2x = 6000 – 3000 2x = 3000 x = 1500 didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk) sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk adalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000 = 6000 + 5000 = Rp. 11.000,-

36. 33
1.3 Nilai Mutlak
A. Memahami dan menemukan konsep Nilai Mutlak
Kegiatan pramuka adalah salah satu kegiatan
ekstrakurikuler yang diadakan di sebuah sekolah.
Sebuah grup pramuka sedang belajar baris berbaris
di lapangan sekolah pada hari Sabtu. Sebuah perintah
dari pimpinan pasukan: “Maju 4 langkah, jalan!”, hal
ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 langkah
ke depan. Jika perintah pimpinan pasukan: “Mundur
3 langkah, jalan!”, hal ini berarti bahwa pasukan akan
bergerak melawan arah sejauh 3 langkah. Demikian
seterusnya.
Besar pergerakan langkah pasukan tersebut merupakan
nilai mutlak, tidak ditentukan arah. “Maju 4 langkah”,
berarti mutlak 4 langkah dari posisi diam dan “mundur
3 langkah, berarti mutlak 3 langkah dari posisi
diam. Dalam hal ini, yang dilihat adalah nilainya,
bukan arahnya. Lebih jelasnya, mari bersama-sama mempelajari kasus-kasus di bawah ini.
B. Alternatif Penyelesaian
Kita definisikan lompatan ke depan adalah searah dengan sumbu x positif, dengan
demikian lompatan ke belakang adalah searah dengan sumbu x negatif.
Perhatikan sketsa berikut:

37. 34
Dari gambar di atas, kita misalkan bahwa x = 0 adalah posisi diam si anak.
Anak panah yang pertama di atas garis bilangan menunjukkan, langkah pertama si anak sejauh 2 langkah ke depan (mengarah ke sumbu x positif), anak panah kedua menunjukkan 3 langkah si anak ke belakang (mengarah ke sumbu x negatif) dari posisi akhir langkah pertama, demikianlah seterusnya sampai akhirnya si anak berhenti pada langkah ke 5.
Jadi, kita dapat melihat pergerakan akhir si anak dari posisi awal adalah 1 langkah saja ke belakang (x = –1). Banyak langkah yang dijalani si anak merupakan konsep nilai mutlak, karena kita hanya menghitung banyak langkah, bukan arahnya. Banyak langkah selalu dinyatakan dengan bilangan bulat positif walaupun arahnya ke arah sumbu x negatif. Banyak langkah dapat dinyatakan dengan nilai mutlak dari sebuah bilangan bulat. Misalnya mundur 3 langkah dinyatakan dengan harga mutlak negatif 3 (|-3|). Sehingga banyak langkah anak tersebut adalah |2| + |-3| + |2| + |-1| + |-1| = 9 (9 langkah).
Perhatikan Tabel 2.1 berikut.
Dari ilustrasi dan tabel di atas, dapatkah kamu menarik sebuah kesimpulan
tentang pengertian nilai mutlak tersebut? Jika x adalah variabel pengganti semua
bilangan real, dapatkah kamu menentukan nilai mutlak x tersebut?
Perhatikan bahwa x elemen himpunan bilangan real, kita tuliskan dengan x ∈ R.
Dari contoh pada tabel tersebut, kita melihat bahwa nilai mutlak akan bernilai
positif atau nol. Nilai mutlak adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. Perhatikan garis bilangan berikut. Kita lakukan beberapa percobaan perpindahan posisi sebagai berikut.

38. 35
1.4 Fungsi
A. Fungsi
Fungsi yang merupakan kombinasi dari beberapa fungsi. Misal
terdapat dua buah fungsi, yaitu f dan g. Jika daerah nilai fungsi merupakan
daerah definisi dari fungsi f, maka kombinasi f dan g kita tulis dengan fog
(baca f circle g) dan didefinisikan sebagai :
Sebaliknya jika daerah nilai fungsi f merupakan daerah definisi dari g
maka kombinasinya kita tulis dengan gof (baca g circle f) dan
didefinisikan sebagai:
Misal A dan B adalah suatu himpunan.
Suatu relasi dari A ke B yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat
satu anggota B disebut fungsi atau pemetaan dari A ke B, yang dinotasikan
dengan f:A->B.
A disebut daerah asal / domain.
B disebut daerah kawan / kodomain.
Himpunan dari B yang merupakan peta dari A disebut daerah hasil atau
range.
B. Jenis jenis fungsi

39. 36
C. Fungsi komposisi
Penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan akan menghasilkan sebuah fungsi baru. Penggabungan tersebut disebut komposisi fungsi dan hasilnya disebut fungsi komposisi.

40. 37
Misal:
Fungsi f:R->R, fungsi g:R->R dengan f(x)=x2+1 dan g(x)=x+1. Tentukan
D. Fungsitrigonometrik
Fungsitrigonometrik: fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan
bilangangonometrik. (sinus, cosinus, tangent, cotangent, secantdan cosecant).
persamaantrigonometriky = sin x
persamaanhiperboliky = arc cosx
( ) ( )( ) ( ( ))
( ) ( ( ))
: ( )
: ( ) ( ( ))
: ( )
h x g f x g f x
Jadi h x g f x atau
Fungsi h A C dengan z h x
Fungsi g B C dengan z g y g f x
Fungsi f A B dengan y f x
 

 
  
 

. ( (0)) . ( (0))
. ( ( )) . ( ( ))
. ( )(1) . ( )(1)
. ( )( ) . ( )( )
g f g h g f
e f g x f g f x
c g f d f g
a g f x b f g x
 
 

41. 38

42. 39
E. Rumus trigonometri
F. Grafik Fungsi sinus

43. 40
G. Grafik Fungsi cosinus
H. Grafik fungsi Tangen
I. Grafik Fungsi Contangen
J. Grafik Fungsi Secant

44. 41
K. Grafik Fungsi Cosecant
Latihan
Jika fog(x) = -2x+3 dan f(x) = 2x + 1 tentukan fungsi g(x).
Jawaban :
f(g(x)) = fog(x)2(g(x)) + 1 = -2x+32(
g(x)) = -2x+3 -12(
g(x)) = -2x+2
g(x)= -2x+2/2 = -x + 1

45. 42
Diketahui :
f(x) = x2-2x dan g(x) = x-1
tentukan gof dan fog kemudian gambar grafiknya masing-masing.
Diketahui f(x) = x +5,g(x) = 2x +3 dan h(x) = 3x -1Tentukan :
a. (fog)oh (x)
b. fo(goh) (x)
c. (hog)of (x)
d. ho(gof) (x)
1.5 Limit
 Pengertian Limit dan sifat-sifatnya.
 Teorema Limit.
 Kontinuitas Fungsi
A. Definisi Limit Fungsi
LxfxxxfxxxxxxxxhLxfxxxhxxLf(x) xx          )(limdengan dituliskan untuk Llimit mempunyai )( ,Untuk , memenuhi yang semuauntuk berarti ,0 Pernyataan .)(berlaku 0 memenuhi yang harga semuauntuk hingga sedemikian ,0bilangan ditunjuk dapat kecilnya),pun (bagaimana 0bilangan setiapuntuk bila ,untuk limitmempunyaidikatakan00000000    

46. 43
 Limit Kiri
 Limit Kanan
 Kontinuitas Fungsi:
f x a f x a
a
x x x x
x
 

 




lim ( ) atau ( )
sebagai berikut :
makan limit kiri, dan bila harga limit fungsi misalnya , maka dituliskan
Apabila didekati dari kiri atau ditulis ,maka limit dina -
0
x
0 0
0
f x a f x a
a
x x x x
x
 

 




lim ( ) atau ( )
sebagai berikut :
makan limit kanan, dan bila harga limit fungsi misalnya , maka dituliskan
Apabila didekati dari kanan atau ditulis ,maka limit dina -
0
x
0 0
0
f x f x a f x a
f x a
f x a x x
   

    
lim ( ) lim ( ) lim ( )
kiri dari ( ) adalah sama, yaitu sama dengan . Atau dengan kata lain
( ) dikatakan mempunyai limit untuk ,bila limit kanan dan limit
x x0 x x0 x x0
0
3. lim ( ).
2. lim ada.
1. ( ) terdefinisi.
Sebuah fungsi dikatakan pada bila
f(x) f a
f(x)
f a
y f(x) kontinu x a
x a
x a

 


f x f x a f x a
f x a
f x a x x
Definisi Limit
   

    
lim ( ) lim ( ) lim ( )
kiri dari ( ) adalah sama, yaitu sama dengan . Atau dengan kata lain
( ) dikatakan mempunyai limit untuk ,bila limit kanan dan limit
x x0 x x0 x x0
0
Tentukan lim ( ), dan apakah kontinu pada 0?
0, bila 0
1, bila 0
Misal, ( )
0

  




f x f(x) x
x
x
f x
x

47. 44
Contoh:
 Limit Fungsi Istimewa:
. Apakah kontinu pada semua titik ?
2
4
2. ( )
c. Dengan cara yang sama, selidiki apakah kontinu pada 0?
lim
b. Selidiki apakah kontinu pada 0?
a. Selidiki apakah kontinu pada 0?
Daerah definisi / domain
1. Bila ( ) . Buktikan bahwa kontinu pada semua titik.
2
f(x)
x
x
f x
f(x) b
f(x) |a|
f(a) |a|
f(x) a
f(x) x
D {x|- x }
f x x f(x)
x a








    


25
(4 10) sin( 5)
3. lim
1 cos 2
tan
2. lim
sin 3
sin 5
1. lim
:
1
tan
lim
tan
2. lim
1
sin
lim
sin
1. lim
5 2
0
0
0 0
0 0

 

 
 



 
 
x
x x
x
x x
x
x
Contoh
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
x x
x
2 2
2
2
2 2
0
6.cos 2 cos sin
5.cos 2 2cos 1
4.cos 2 1 2sin
3.sin 2 2sin cos
2.cos sin 1
1. cos x sin (90 )
Rumus Trigonomet ri :
 
 
 

 
 

48. 45
dengan cara pemfaktoran atau rasionalisasi akar.
, maka perhitungan limit dilakukan
0
0
( )
( )
( )
( )
atau lim
0
0
2. Jika subtitusi langsung menghasilk an bentuk tak tentu
.
( )
( )
1. subtitusi langsung
, dapat dilakukan dengan 3 cara
( )
( )
Untuk menentukan lim




 






g a
f a
g x
f x
g a
f a
g x
f x
x a
x a
4
2 8
3. lim
2 8
3
4
2
5. lim
2
2 8
2. lim
16 5
9
4. lim
1
4
1. lim
Contoh :
2
4
2 2 2 2
2
2
2
2
3 3
2
2

 




 

  
 
 




 
 
x
x x
x x x x x
x x
x
x
x
x
x
x x
x x

49. 46
1.6 Turunan 1
A. Materi Turunan
 Definisi Turunan.
 Aturan Pencarian Turunan.
 Turunan Sinus dan Cosinus
 Aturan Rantai
 Cara Penulisan Leibniz
B. Definisi Turunan
Leibniz. WilhelmGottfriedoleh kan diperkenalnan untuk turu atau )( Lambang)()( lim menjadi , Bila)()( limlim)( `)`( adalah terhadap dari pertamaTurunan )()( limlimdituliskan maka,0 sehinggakecil, sedemikian Apabila)()( Maka .sebesar berubah sehingga sebesar berubah nilaiMisalkan . iabeldengan var fungsisuatu adalah Bila00000dxdydxxdfhxfhxfhxxxfxxfxydxxdfdxdyyxfxyxxfxxfxyxxxfxxfyyyxxxf(x)yhxxxx                    

50. 47
C. Definisi Turunan (pendekatan geometri)
D. Rumus-Rumus Dasar Turunan
( )
( ) ( )
lim
( )
( ) ( )
lim lim lim
Dengan simbol matematis :
garis singgung grafik pada titik P (ditulis ).
Bila 0, gradien garis PQ berubah menjadi koefisien
dan menuju , sedemikian hingga mendekati 0, atau dituliskan 0.
berjalan sepanjang grafik
Bila titik diambil sebagai titik tetap, dan adalah titik yang
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
menghubungkan dan
sebesar . Gradien / slope , garis yang
Dari ke , bila bertambah sebesar , maka bertambah
y
Hubungan antara dan diberikan oleh
Titik adalah titik lain yang juga terletak pada .
Bila titik adalah sebuah titik pada grafik .
0
0 0
0
0
1 0
0 0
0 0 1 1
0
0 0
0
1 0
1 0
1 0
0 0
1 0 1 0
1 0 1 0
1 1
0 0
f x
f x x f x
f x
f x f x
x
y
m m
f(x) m
x
P x x
f(x)
P(x ,y ) Q(x ,y )
f x
f x x f x
f x
f x f x
x
y
x x
y y
m
P Q
y m
P Q x x y
y y y y y
x x x x x x
P Q
Q(x ,y ) y f(x)
P(x ,y ) y f(x)
Q P x x x
tg
tg
  





 
 
  
  











     
     


      
y x y x
y x y x
y C y
y x y nxn n
2. cos , ` sin
1. sin , ` cos
Turunan Fungsi Triginomet ri
, ` 0
, ` 1
  
 
 
  
x x
x x
g
y a y a a
y e y e
y x y
x
y x y
  
 
 
 
2. , ` ln
1. , `
Turunan Fungsi Eksponen
2. log , ` ???
1
1. ln , `
Turunan Fungsi Logaritma

51. 48
E. Teori Turunan
F. Pembuktian
   
 
8.sin( ),cos( ), tan( )
maka `( ) `( ) ( ) ( ) ( ) `( ) ( ) ( ) ( ) `( )
7. Jika ( ) ( ) ( ) ( ),
( )
`( ) ( ) ( ) `( )
, ( ) 0 maka `( )
( )
( )
9. Jika ( )
8. Jika ( ) ( ) , maka `( ) ( ) `( )
7. Jika ( ) ( ) ( ), maka `( ) `( ) ( ) ( ) `( )
6. Jika ( ) ( ) ( ), maka `( ) `( ) `( )
5. Jika ( ) ( ), maka `( ) `( )
4. Jika ( ) , maka `( )
3. Jika ( ) , maka `( )
2. Jika ( ) , maka `( ) 1
1. Jika ( ) , maka `( ) 0
2
1
1
1
x x x
f x u x v x w x u x v x w x u x v x w x
f x u x v x w x
v x
u x v x u x v x
v x f x
v x
u x
f x
f x u x f x n u x u x
f x u x v x f x u x v x u x v x
f x u x v x f x u x v x
f x Cu x f x Cu x
f x Cx f x Cnx
f x x f x nx
f x x f x
f x C f x
n n
n n
n n
        
  
  
  
  
     
   
 
 
 
 
 



 
5. Buktikan bahwa turunan dari adalah 2 .
4. Buktikan bahwa turunan dari 5 3adalah 5.
3. Buktikan bahwa turunan dari 5 adalah 0.
lim 2 2
2
lim
2
lim
( ) ( )
`( ) lim
( ) ( ) 2
( )
2. Buktikan bahwa turunan dari adalah 2 .
lim 0
( ) ( )
`( ) lim
( )
( )
1. Buktikan bahwa turunan fungsi konstanta sama dengan nol.
2
0
2
0
2 2 2
0 0
2 2 2
2
2
0
0
f(x) x x
f(x) x
f(x)
x x x
x
x x x
x
x x x x x
x
f x x f x
f x
f x x x x x x x x
f x x
f(x) x x
x
C C
x
f x x f x
f x
f x x C
f x C
x x
x x
x
x

 

   

  


    


  

         







  

  

   
   
 
 

52. 49
Contoh Soal
G. Turunan Fungsi Komposit
sumbu .
sedemikian hingga garis singgung di titik tersebut sejajar dengan
5. Tentukan koordinat titik - titik pada grafik 2 3 12 20
di titik (1,4).
4. Tentukan persamaan garis singgung pada grafik 6 2
memiliki gradien 1.
3. Tentukan titik koordinat pada grafik 3 pada saat
2. Hitunglah gradien garis 3 2 pada titik 3.
1 1 1
a. 9 6 b. 1
1. Hitunglah ` dari fungsi - fungsi dibawah ini
3 2
2 3
2
2
2 3
4 3
x
y x x x
y x x
y x -x
y x - x
x x x
f(x) x x f(x)
f (x)
   
 
 
 
      
 
`( ) ` ( ). `( ) `( ) `( )
atau ditulis dengan simbol lain :
maka .
( ) ( ) ,
( ), ( )
sebagai berikut :
diturunkan, dan bila F adalah fungsi komposit yang ditentukan
Bila dan masing -masing adalah fungsi dari dan yang dapat
F x g f x f x g u f x
dx
du
du
dy
dx
dy
y F x g f x
y g u u f x
f g x u
 

 
 

53. 50
Contoh Soal
Contoh Soal
 
 
   
83 2 1 3 1
4 3 2 1 6 2
6 2, 4 4 3 2 1
, diperoleh
Maka dengan subtitusi 3 2 1
1.Hitunglah dari 3 2 1 .
2 3
2 3
3 2 3
4
2
2 4
   
    
     

  
  
x x x
x x x
dx
du
du
dy
dx
dy
u x x
du
dy
x
dx
du
y u
u x x
y x x
dx
dy
4.Hitunglah dari tan(3 4)
3.Hitunglah dari ln(3 4) untuk 3x 4 0.
3cos(3 4)
3, cos cos(3 4)
sin , diperoleh
Maka dengan subtitusi 3 4
2.Hitunglah dari sin(3 4).
 
   
  
   

 
 
y x
dx
dy
y x
dx
dy
x
dx
du
du
dy
dx
dy
u x
du
dy
dx
du
y u
u x
y x
dx
dy
 
cos 1.(2 ) 2 cos 1
1 `( ) 2
sin( 1).
Contoh :
Jika sin ( ), maka cos ( ) ` .
2 2
2
2
   
   
 
 
x x x x
dx
dy
f(x) x f x x
y x
f x f (x)
dx
dy
y f x

54. 51
4. .cos(2 1)
ln
1
3.
cos
2.
1. .cos
Contoh :
.
` `
4. Bila maka `
3. Bila maka ` ` `.
2. Bila maka ` ` `.
1. Bila maka ` `, konstan.
merupakan fungsi dari . Maka berlaku
Untuk fungsi - fungsi rumit, dimana adalah fungsi dari dan ,
3
2
3
2
 






 
  
   
 
y x x
x x
x
y
x
x
y
y x x
v
u v uv
y
v
u
y
y uv y u v uv
y u v y u v
y ku y ku k
x
y u v
   
 
   
1
1 (2 ) 1
2
1
1 1
1 `( ) 2
1.
Contoh :
Jika ( ) , maka n ( ) ` .
2
2
1
1 2
2
1
2
2
1
2 2
2
2
n n-1

    
   
   
 
 
 
x
x
x x x x
dx
dy
y x x
f(x) x f x x
y x
f x f (x)
dx
dy
y f x
 
sin(2 1).2 2sin2 1
2 1 `( ) 2
cos(2 1).
Contoh :
Jika cos ( ), maka sin ( ) ` .
     
   
 
  
x x
dx
dy
f(x) x f x
y x
f x f (x)
dx
dy
y f x

55. 52
1.7 Turunan 2
A. Teori Turunan
B. Turunan Fungsi Implisit
   
 2
1
1
1
( )
`( ) ( ) ( ) `( )
, ( ) 0 maka `( )
( )
( )
9. Jika ( )
8. Jika ( ) ( ) , maka `( ) ( ) `( )
7. Jika ( ) ( ) ( ), maka `( ) `( ) ( ) ( ) `( )
6. Jika ( ) ( ) ( ), maka `( ) `( ) `( )
5. Jika ( ) ( ), maka `( ) `( )
4. Jika ( ) , maka `( )
3. Jika ( ) , maka `( )
2. Jika ( ) , maka `( ) 1
1. Jika ( ) , maka `( ) 0
v x
u x v x u x v x
v x f x
v x
u x
f x
f x u x f x n u x u x
f x u x v x f x u x v x u x v x
f x u x v x f x u x v x
f x Cu x f x Cu x
f x Cx f x Cnx
f x x f x nx
f x x f x
f x C f x
n n
n n
n n
  
  
  
     
   
 
 
 
 
 



` 1
1 ` 0
1 0
` ` 0
Turunan pertama dari 0 adalah
Turunan ruas kanan (0)` 0.
maka v` 1
maka ` 1
0
menurunkan suku demi suku. Contoh :
tiap - tiap suku sebagai fungsi dari , kemudian
implisit , 0,maka kita memandang
Untuk menghitung turunan pertama dari fungsi
  
  
  
 
 

   
  
 

y
y
dx
dy
u v
x y
dx
dy
dx
dy
dy
dv
dx
dv
v y
dx
du
u x u
x y
x
f(x y)

56. 53
C. Contoh Turunan Fungsi Implisit
D. Penurunan Dengan Bantuan Logaritma
2
2
2
2
2 3
3 2 2
2
2 3
3
2
`
`( 3 ) 2
2 `( 3 ) 0
2 ` 3 ` 0
Turunan pertama dari 0 adalah
Turunan ruas kanan (0)` 0.
maka 3 3 `
` ` ` )
maka ` ` ` ` (Ingat lagi : maka
maka ` 2
Tentukan turunan dari 0.
x y
x y
y
y x y x y
x y y x y
x y xy y y
x xy y
y y
dx
dy
y
dx
dy
dy
dw
dx
dw
w y
y u v v u
v x y y x y y x y uv
dx
dv
v xy
u x
dx
du
u x
x xy y

 
 
    
    
   
  

   
 
      
  
  
y y y e x
x
y x y
y e x y x
y e x
y y x
y
x
y x y
y x x
y x
y x
y uv
   
 
 

   

 
  



` 1 `
y
1
Kemudian kita turunkan (Ingat : ln maka ` 1 )
, maka ln
2. Tentukan turunan dari .
` ln 2 ln 2 2
` ln 2
y
1
Kemudian kita turunkan (Ingat : ln maka ` 1 )
ln ln(2 ) ln 2
2
1. Tentukan turunan dari 2 .
Contoh :
mencari turunannya.
Pada fungsi berbentuk , lebih mudah menggunaka n logaritma untuk

57. 54
Contoh Penurunan Dengan Bantuan Logaritma
  . dariturunan Tentukan 6. . dariurunan Tentukan t 5. sincos223cos` sincos223` sincos2231cosln22ln3lncoslnlnln)cosln(ln logaritmabantuan Dengan .cos dariurunan Tentukan t 4.223223223223xyxxxxxyxdxdyayx xxxexyx xxyyx- xxy` yxxxyxexxexyxexy                

58. 55
BAB II
SIMPULAN DAN SARAN
2.1 SIMPULAN
Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep peluang di atas, beberapa hal
penting dapat kita rangkum sebagai berikut.
Bilangan rasional adalah bilangan yang bisa dinyatakan dalam bentuk . Sebarang bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Pernyataan desimal suatu bilangan rasional dapat mempunyai akhir atau akan berulang dalam daur yang tetap selamanya.
2.2 SARAN
Dalam penulisan resume ini penulis menyadari bahwa masih terdapat kekurangan dan kesalahan, baik dari segi penulisan maupun dari segi penyusunan kalimatnya. Dari segi isi juga masih perlu ditambahkan. Oleh karena itu, kami sangat mengharpkan kepada para pembaca resume ini agar dapat memberikan kritikan dan masukan yang bersifat membangun.

59. DAFTAR PUSTAKA
http://denandika.wordpress.com/2013/03/09/materi-remidial-kalkulus-1/
http://leoriset.blogspot.com/2009/04/download-materi-kalkulus-lengkap.html
http://rumus-matematika.com/persamaan-dan-pertidaksamaan-linear/
http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_linear#Sistem_Persamaan_Linear_Dua_Variabel
http://eyig1.blogspot.com/2011/02/persamaan-linier.html
http://yos3prens.wordpress.com/2013/11/15/menyelesaikan-persamaan-linear-satu- variabel-plsv/