1. บทที่ 2 การวัดตำาแหน่งที่ของข้อมูล
เราเคยวัดตำาแหน่งของข้อมูลโดยใช้ลำาดับที่ของข้อมูลเป็นตัวบอก
ตำาแหน่ง เช่น ในการสอบของ
นักเรียนห้องหนึ่ง เมื่อนำาข้อมูลมาเรียงลำาดับตามค่ามากน้อยของข้อมูลแล้ว
สมมติว่า นายเอ สอบได้ที่ 4 ของห้อง
ก็หมายความว่าเมื่อเรียงลำาดับคะแนนสอบทั้งหมดแล้วนับจากคะแนนนสูงมา
เป็นลำาดับที่ 4
การบอกตำาแหน่งโดยวิธีดังกล่าวนี้ เป็นการกล่าวถึงตำาแหน่งของ
นักเรียนที่สอบได้ ซึ่งไม่ได้บอกให้
เข้าใจว่าตำาแหน่งที่นักเรียนแต่ละคนสอบได้นั้นอยู่ตรงส่วนไหนของข้อมูล
ทั้งหมด เพราะโดยปกติการ
จัดตำาแหน่งดังกล่าวไม่ได้บอกจำานวนข้อมูลทั้งหมดให้ทราบ
ดังนั้นการที่กล่าวว่า นายเอสอบได้ที่ 4 ของห้อง เราไม่ทราบว่านายเอ
สอบได้ที่ 4 จากจำานวนนักเรียน
ทั้งหมดกี่คน จึงกล่าวไม่ได้ว่านายเอ เรียนเก่งหรือไม่ ด้วยเหตุนี้จึงได้มีวิธีการ
หาวิธีการวัดตำาแหน่งที่ของข้อมูล
เพื่อที่จะสามารถบอกได้ทันทีว่าตำาแหน่งนั้นดีหรือไม่เพียงไรในกลุ่มของข้อมูล
ชุดนั้นๆ
วิธีการหาตำาแหน่งที่ของข้อมูลมีดังนี้
1. การวัดตำาแหน่งที่โดยใช้ควอร์ไทล์ ( Quartile)
2. การวัดตำาแหน่งที่โดยใช้เดไซล์ ( Decile )
3. การวัดตำาแหน่งที่โดยใช้เปอร์เซนต์ไทล์ (Percentile)
การวัดตำาแหน่งของข้อมูลแบบควอร์ไทล์ คือ การแบ่งข้อมูลออก
เป็น 4 ส่วนเท่าๆกัน โดยเมื่อเรียงลำาดับ
ข้อมูลจากน้อยไปหามาก ค่าที่ตรงจุดแบ่ง 3 จุดเรียกว่า ควอร์ไทล์ที่ 1 (Q1)
ควอร์ไทล์ที่ 2 (Q2) ควอร์ไทล์ที่ 3 (Q3) ตามลำาดับ ดังนั้น
Q1 Q2 Q3
Q1 คือ ค่าของข้อมูลที่มีจำานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ หนึ่งใน
สี่ของข้อมูลทั้งหมด
Q2 คือ ค่าของข้อมูลที่มีจำานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ สองใน
สี่ของข้อมูลทั้งหมด
Q 3 คือ ค่าของข้อมูลที่มีจำานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ สามใน
สี่ของข้อมูลทั้งหมด
การวัดตำาแหน่งของข้อมูลแบบเดไซล์ คือ การแบ่งข้อมูลออกเป็น
10 ส่วนเท่าๆกัน โดยเมื่อเรียงลำาดับ
ข้อมูลจากน้อยไปหามาก ค่าที่ตรงจุดแบ่ง 9 จุดเรียกว่า เดไซล์ ที่ 1 (D1) เด
ไซล์ ที่ 2 (D2) เดไซล์ ที่ 3 (D3) . . .
เดไซล์ ที่ 9 (D9) ตามลำาดับ ดังนั้น
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7
D8 D9
D1 คือ ค่าของข้อมูลที่มีจำานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ หนึ่งใน
สิบของข้อมูลทั้งหมด
1

2. D2 คือ ค่าของข้อมูลที่มีจำานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ สองใน
สิบของข้อมูลทั้งหมด
D 3 คือ ค่าของข้อมูลที่มีจำานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ สามใน
สิบของข้อมูลทั้งหมด
-
-
-
D 9 คือ ค่าของข้อมูลที่มีจำานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ เก้าใน
สิบของข้อมูลทั้งหมด
การวัดตำาแหน่งของข้อมูลแบบเปอร์เซนต์ไทล์ คือ การแบ่งข้อมูล
ออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกัน โดยเมื่อ
เรียงลำาดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก ค่าที่ตรงจุดแบ่ง 99 จุดเรียกว่า เปอร์
เซนต์ไทล์ ที่ 1 (P1) เปอร์เซนต์ไทล์ ที่ 2 (P2) เปอร์เซนต์ไทล์ ที่ 3 (P3) . . .
เปอร์เซนต์ไทล์ ที่ 99 (P99) ตามลำาดับ ดังนั้น
P1 P2 P3 P4
.............................................................................. P97 P98
P99
P10 คือ ค่าของข้อมูลที่มีจำานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณร้อยละ
10 ของข้อมูลทั้งหมด
P40 คือ ค่าของข้อมูลที่มีจำานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณร้อยละ
40 ของข้อมูลทั้งหมด
จงตอบคำาถามต่อไปนี้
ถ้าคะแนนสอบวิชาภาษาไทยของณเดชตรงกับตำาแหน่ง P70 ข้อความใดต่อ
ไปนี้เป็นจริง
1) คะแนนสอบวิชาภาษาไทยของณเดชเท่ากับ 70 %
2) 30 % ของคนที่สอบวิชาภาษาไทยเหมือนณเดชได้คะแนนน้อยกว่า
หรือเท่ากับคะแนนที่ณเดชได้
3) 70 % ของคนที่สอบวิชาภาษาไทยเหมือนณเดชได้คะแนนเท่ากับ
คะแนนที่ณเดชได้
4) 70 % ของคนที่สอบวิชาภาษาไทยเหมือนณเดชได้คะแนนน้อยกว่าหรือ
เท่ากับคะแนนที่ณเดชได้
การวัดตำาแหน่งที่ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
การหา Qr , Dr และ Pr ให้ r แทนตำาแหน่ง , N แทนจำานวนข้อมูล
ทั้งหมด
ขั้นที่ 1 เรียงลำาดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก
ขั้นที่ 2 หาตำาแหน่ง ของ Qr , Dr และ Pr
2.1 ตำาแหน่ง Qr = )1(
4
+N
r
2.2 ตำาแหน่ง Dr = )1(
10
+N
r
2.3 ตำาแหน่ง Pr = )1(
100
+N
r
ขั้นที่ 3 หาค่าของ Qr , Dr และ Pr
3.1 ถ้าตำาแหน่งเป็นจำานวนเต็มอ่านค่าได้จากตาราง
3.2 ถ้าตำาแหน่งเป็นทศนิยม 0.5 หาค่าเฉลี่ย
2

3. 3.3 ถ้าเป็นทศนิยมอื่นๆ ใช้การประมาณค่า
ตัวอย่างที่ 1 กำาหนดคะแนนสอบของนักเรียน 9 คน ดังนี้
26 , 45 , 34 , 12, 11 , 49 , 50 , 43 , 37 จงหา Q2
, Q3 , D5 , D8 , P20 , P90
วิธีทำา 1. เรียงลำาดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก
ตำาแหน่
งที่
1 2 3 4 5 6 7 8 9
คะแนน 1
1
1
2
2
6
3
4
3
7
4
3
4
5
49 50
2. หาตำาแหน่ง Q2 , Q3 , D5 , D8 , P20 , P90 โดยใช้สูตร )N(
r
1
4
+ ,
)N(
r
1
10
+ , )N(
r
1
100
+
1) ตำาแหน่งของ Q2 = )( 19
4
2
+ =
5
ดังนั้น ค่าของ Q2 = 37
คะแนน @@@
2) ตำาแหน่งของ Q3 = )( 19
4
3
+ =
7.5
ดังนั้น ค่าของ Q2 = 2
4945 +
=
47 คะแนน
3) ตำาแหน่งของ D5 = )( 19
10
5
+ =
5
ดังนั้น ค่าของ D5 = 37 คะแนน
@@@
4) ตำาแหน่งของ D8 = )( 19
10
8
+ =
8
ดังนั้น ค่าของ D5 = 49
คะแนน @@@
5) ตำาแหน่งของ P20 = )( 19
100
20
+
= 2
ดังนั้น ค่าของ P20 = 12
คะแนน @@@
6) ตำาแหน่งของ P90 = )( 19
100
90
+
= 9
ดังนั้น ค่าของ P90 = 50
คะแนน @@@
การวัดตำาแหน่งที่ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
การหา Qr , Dr และ Pr ให้ r แทนตำาแหน่ง , N แทนจำานวนข้อมูล
ทั้งหมด
ขั้นที่ 1 เรียงลำาดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก
ขั้นที่ 2 หาตำาแหน่ง ของ Qr , Dr และ Pr
2.1 ตำาแหน่ง Qr = )1(
4
+N
r
2.2 ตำาแหน่ง Dr = )1(
10
+N
r
2.3 ตำาแหน่ง Pr = )1(
100
+N
r
ขั้นที่ 3 หาค่าของ Qr , Dr และ Pr
3.1 ถ้าตำาแหน่งเป็นจำานวนเต็มอ่านค่าได้จากตาราง
3.2 ถ้าตำาแหน่งเป็นทศนิยม 0.5 หาค่าเฉลี่ย
3.3 ถ้าเป็นทศนิยมอื่นๆ ใช้การประมาณค่า
วิธีที่ 1 อัตราส่วน
วิธีที่ 2 การเทียบบัญญัติไตรยางค์
วิธีที่ 3 ใช้สูตร
การประมาณค่า ควอร์ไทล์ เดไซล์ เปอร์เซ็นต์ไทล์
ตัวอย่างที่ 2 คะแนนสอบของนักเรียน 6 คน ดังนี้
3

4. 8 , 14 , 18 , 20 , 23 , 25 จงหา Q1 , Q3 และ P40
วิธีทำา
คะแนน 8 14 18 20 23 25
ตำาแหน่ง 1 2 3 4 5 6
ตำาแหน่ง Q1 =
4
)16(1 +
= 1.75
ตำาแหน่ง Q3 =
4
)16(3 +
= 5.25
ตำาแหน่ง P40 = 100
1640 )( +
= 2.8
วิธีที่ 1 ใช้อัตราส่วน วงเล็บ ให ญ่
ว งเล็บเล็ก
= วงเล็บให ญ่
ว งเล็บ เล็ก
1.1 หา Q1
8 1
Q1
1.75
14 2
วงเล็บใหญ่
ว งเล็บ เล็ก
⇒
814
81
−
−Q
=
12
1751
−
−.
Q1 – 8 = 6
×0.75
Q1 – 8 =
4.5
Q1 =
4.5 + 8
Q1 =
12.5
1.2 หา Q3
23 5
Q3
5.25
25 6
ว งเล็บ ให ญ่
วงเล็บเล็ก
⇒
2325
233
−
−Q
=
56
5255
−
−.
Q1 – 23 =
2×0.25
Q1 – 23 =
0.5
Q1 =
0.5 + 23
Q1 =
23.5
วิธีที่ 2 การเทียบบัญญัติไตรยางค์
ความถี่สะสมต่างกัน 2 – 1 = 1 คะแนนต่างกัน 14 - 8 = 6
ความถี่สะสมต่างกัน 1.75 – 1 = 0.75 คะแนนต่างกัน 6×0.75 = 4.5
ค่าของ Q1 = 8 + 4.5 = 12.5
ความถี่สะสมต่างกัน 6 – 5 = 1 คะแนนต่างกัน 25 - 23 = 2
ความถี่สะสมต่างกัน 5.25 – 5 = 0.25 คะแนนต่างกัน 2×0.25 = 0.5
ค่าของ Q3 = 23 + 0.5 = 23.5
วิธีที่ 3 ใช้สูตร
3.1 ถ้าตำาแหน่ง Q1 = .75
2
2ค่า
2
2ค่า1ค่า
+
+
=
2
14
2
148
+
+
=
2
1411+
= 12.5
3.2 ถ้าตำาแหน่ง Q3 = .25
2
2
2ค่า1ค่า
1ค่า
+
+
= 2
2
2523
23
+
+
= 2
2423+
= 23.5
หา P40
14 2
P40 2.8
18 3
วงเล็บใหญ่
ว งเล็บ เล็ก
⇒
1418
1440
−
−P
= 23
28.2
−
−
P40 - 14 = 0.8 × 4
4

5. P40 = 3.2 + 14
P40 = 17.2
ขั้นที่ 3 ตรวจสอบคำาตอบ
3. การใช้โปรแกรม SPSS วิเคราะห์ข้อมูลค่าของควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซนต์
ไทล์ ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
1. เข้าโปรแกรมสำาเร็จรูป (SPSS)
2. กำาหนดตัวแปร(Variable View) x
3. กรอกข้อมูล(Data View) ในช่อง x (นักเรียนกำาหนดข้อมูลขึ้นมา
เอง)
4. วิเคราะห์ข้อมูล Analyze เลือก descriptive statistics เลือก
frequencies
x ส่งมาช่อง Variable
x ส่งมาช่อง Variable
5. เลือก statistics จะปรากฏหน้าต่าง
เลือก Quartile Q1 , Q2 , Q3 ตรงกับ P25 , P50 , P75 , P40 ตามลำาดับ
เลือก Percentile ถ้าเป็นตำาแหน่งอื่นๆ เช่น P45 , P60 , P80
6. ผลการวิเคราะห์ข้อมูล
5

6. Statistics
X
6
0
12.5000
17.2000
19.0000
23.5000
Valid
Missing
N
25
40
50
75
Percentiles
2.2 การวัดตำาแหน่งของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
2.2.2 การหาควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซนต์ไทล์
ของข้อมูลที่แจงแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น
วิธีการคำานวณ
1. หาความถีสะสม
2. หาตำาแหน่ง
2.1 ตำาแหน่ง Qr = 4
rN
2.2 ตำาแหน่ง Dr = 10
rN
2.3 ตำาแหน่ง Pr = 100
rN
3. ค่าของ หาควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซนต์ไทล์
3.1 ถ้าตำาแหน่งของ Qr , Dr , Pr เท่ากับความถี่สะสมของ
อันตรภาคชั้นใด ขอบบนของอันตรภาคชั้นนั้นจะเป็นค่าของ Qr , Dr
, Pr เช่น 5 – 9 ขอบบนเท่ากับ 9.5
3.2 ถ้าตำาแหน่งของ Qr , Dr , Pr ไม่เท่ากับความถี่สะสมของ
อันตรภาคชั้นใด
วิธีที่ 1 ใช้สูตร Qr = L + i










−
−
12
1
4
cfcf
cf
rN
Dr = L + i










−
−
12
1
10
cfcf
cf
rN
Pr = L + i










−
−
12
1
100
cfcf
cf
rN
L เป็นขอบล่าง ของชั้นที่มี Qr , Dr , Pr
i เป็นความกว้างของอันตรภาคชั้น N เป็นจำานวนข้อมูล
ทั้งหมด
cf1 เป็นความถี่สะสมของชั้นก่อนตำาแหน่งที่มี Qr , Dr , Pr อยู่
cf2 เป็นความถี่สะสมของชั้นหลังตำาแหน่งที่มี Qr , Dr , Pr อยู่
วิธีที่ 2 ใช้อัตราส่วน (ตั้งสัดส่วน) ว งเล็บ ให ญ่
ว งเ ล็บเล็ก
=
ว งเล็บ ให ญ่
ว งเล็บเ ล็ก
ตัวอย่างที่ 1 คะแนนสอบกลางภาควิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 5 ค 33201 ของ
นักเรียน 40 คน ดังนี้
จงหา Q2 , D7 , P90 และ P50
วิธีทำา
6

7. คะแนน ความถี่ ความถี่สะสม
1 – 5 8 8
6 - 10 16 24
11 – 15 10 34
16 - 20 6 40
รวม 40 -
1. หา Q2
1) ตำาแหน่ง Q2 = 4
)40(2
=
20
ให้ x เป็นค่าของ Q2
ช่วงคะแนน ความถี่สะสม
1 – 5 8
x 20
6 – 10 24
ช่วงคะแนน 1 – 5 ขอบบน 5.5
ตั้งสัดส่วน
510
55
−
− .x
= 824
820
−
−
x – 5.5 = 5
16
12
×
x = 3.75 +
5.5
x = 9.25
ดังนั้น ค่าของ Q2 เท่ากับ 9.25
คะแนน @@@
2. หา D7
2) ตำาแหน่ง D7 = 10
)40(7
=
28
ให้ x เป็นค่าของ D7
ช่วงคะแนน ความถี่สะสม
6 – 10 24
x 28
11 - 15 34
ช่วงคะแนน 6 – 10 ขอบบน
10.5
ตั้งสัดส่วน
1015
510
−
− .x
= 2434
2428
−
−
x – 10.5 = 5
10
4
×
x = 2 + 10.5
x = 12.5
ดังนั้น ค่าของ D7 เท่ากับ 12.5
คะแนน @@@
3. หา P90
3) ตำาแหน่ง P90 = 100
4090 )(
=
36
ให้ x เป็นค่าของ P90
ช่วงคะแนน ความถี่สะสม
11 – 15 34
x 36
16 - 20 40
ช่วงคะแนน 11 – 15 ขอบบน
15.5
ตั้งสัดส่วน
1520
515
−
− .x
= 3440
3436
−
−
x – 15.5 = 5
6
2
×
x = 1.67 +
15.5
x = 17.17
4. หา P50
4) ตำาแหน่ง P50 = 100
4050 )(
=
20
ให้ x เป็นค่าของ P50
ช่วงคะแนน ความถี่สะสม
1 – 5 8
x 20
6 – 10 24
ช่วงคะแนน 1 – 5 ขอบบน 5.5
ตั้งสัดส่วน
510
55
−
− .x
= 824
820
−
−
x – 5.5 = 5
16
12
×
x = 3.75 +
5.5
x = 9.25
ดังนั้น ค่าของ P50 เท่ากับ 9.25
7

8. ดังนั้น ค่าของ P90 เท่ากับ 17.67
คะแนน @@@
คะแนน @@@
2.3 การหาตำาแหน่ง ( ค่า r ) ของ Qr , Dr , Pr
นักเรียนคนหนึ่งสอบได้คะแนน 70 คะแนน จงหาว่า คะแนนของ
นักเรียนคนนี้อยู่ที่ตำาแหน่ง
ควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซนต์ไทล์ ที่เท่าไร
วิธีการคำานวณค่า r
1. หาความถี่สะสม
2. ตั้งสัดส่วน
2.1 เลือกอันตรภาคชั้น
2.2 หาขอบบน
2.3 ให้ค่า y เป็นค่าของความถี่สะสม ของ Qr , Dr , Pr ของคะแนนที่
ได้
3. หาตำาแหน่ง (ค่า r)
3.1 ตำาแหน่ง Qr = 4
rN
r = N
Qr4
3.2 ตำาแหน่ง Dr = 10
rN
r = N
Dr10
3.3 ตำาแหน่ง Pr = 100
rN
r = N
Pr100
ตัวอย่างที่ 1 ในการสอบครั้งนี้มีนักเรียน 10 คน ที่ได้คะแนนสอบวิชา
คณิตศาสตร์เท่ากับหรือน้อยกว่า 25 คะแนน
ถ้าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 ของคะแนนสอบครั้งนี้เท่ากับ 25 คะแนน จงหา
จำานวนนักเรียนทั้งหมดที่เข้าสอบ
วิธีทำา มีนักเรียน 12 คน ที่ได้คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์เท่ากับหรือน้อย
กว่า 25 คะแนน
P25 = 25 คะแนน ถ้ามีนักเรียนเข้าสอบทั้งหมด N คน
จะได้ Pr = 100
rN
100
25N
= 10
N = 40
ดังนั้น การสอบครั้งนี้มีนักเรียนทั้งหมด 40 คน
ตัวอย่างที่ 2 ถ้าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 40 ของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์คือ
78 คะแนนและมีนักเรียน 12 คน
ที่ได้คะแนนเท่ากับหรือน้อยกว่า 78 คะแนน อยากทราบว่ามีนักเรียนกี่คนที่
ได้คะแนนมากกว่า 78 คะแนน
วิธีทำา ถ้ามีนักเรียนเข้าสอบทั้งหมด N คน
จาก Pr = 100
rN
จะได้ 100
40N
= 12
N = 30
ดังนั้น มีนักเรียนที่ได้คะแนนมากกว่า 78 คะแนน อยู่ 30 – 12
= 18 คน
ตัวอย่างที่ 3 ถ้ามีนักเรียน 20 คน จากนักเรียนทั้งหมด 25 คน ได้
คะแนนน้อยกว่าหรือเท่ากับคือ 92 คะแนน
อยากทราบว่าเปอร์เซ็นไทล์ของคะแนน 92 คะแนนเท่ากับเท่าใด
8

9. วิธีทำา เนื่องจาก มีนักเรียน 20 คน จากนักเรียนทั้งหมด 25 คน คิด
เป็น 100
25
20
× = 80%
ดังนั้น 92 คะแนน คือ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 80
ตัวอย่างที่ 4 ข้อมูลต่อไปนี้เป็นคะแนนสอบวิชา สถิติ ของนักเรียน 120 คน
คะแนน จำานวน
นักเรียน(คน)
ความถี่สะสม
0 – 19 10 10
20 –39 16 26
40 – 59 32 58
60 – 79 40 98
80 - 99 22 120
รวม 120
จงหา
1. สุชาติสอบได้คะแนน 65.5 คะแนน จงหาตำาแหน่งเปอร์เซนไทล์ของสุชาติ
2. สุพจน์สอบได้คะแนน 90 คะแนน จงหาตำาแหน่งเดไซล์ของสุพจน์
3. จงหาคะแนนตำ่าสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนสงสุด ซึ่งนักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น
30 % ของนักเรียนทั้งชั้น
4. จงหาคะแนนสูงสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนตำ่าสุด ซึ่งนักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น
20 %ของนักเรียนทั้งชั้น
1. ให้ y เป็นความถี่สะสมของคะแนน
65.5 คะแนน
ช่วงคะแนน ความถี่สะสม
40 – 59 58
65.5 y
60 – 79 98
ช่วงคะแนน 40 – 59 ขอบบน
59.5
5979
559565
−
− ..
= 5898
58
−
−y
40
20
6
× = y - 58
12 + 58 = 70 = y ( ความถี่สะสม
ของ Pr)
หาตำาแหน่ง (r) จาก ตำาแหน่ง Pr =
100
rN
r =
N
Pr100
= 120
70100)(
=
58.33
นั่นคือ สุชาติได้คะแนน ตรงกับเปอร์เซน
ไทล์ 58.33 @
2. ให้ y เป็นความถี่สะสมของคะแนน 90
คะแนน
ช่วงคะแนน ความถี่สะสม
60 – 79 98
70 y
80 – 99 120
ช่วงคะแนน 60 – 79 ขอบบน
79.5
7999
57990
−
− .
= 98120
98
−
−y
22
20
510
×
.
= y - 98
11.55 + 98 = 109.55 = y (
ความถี่สะสมของ Pr)
หาตำาแหน่ง (r) จาก ตำาแหน่ง Dr =
10
rN
r =
N
Dr10
= 120
5510910 ).(
= 9.13
นั่นคือ สุพจน์ได้คะแนน ตรงกับเดไซล์
9.13 @
10 , 9 , 8
2 , 3 , 4
7
5 , 6
9

10. ตัวอย่างกลุ่มคะแนนสูง ตัวอย่างกลุ่ม
คะแนนตำ่า
3. จงหาคะแนนตำ่าสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้
คะแนนสูงสุด
ซึ่งนักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น 30 % ของ
นักเรียนทั้งชั้น
เนื่องจากกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนสงสุด
ซึ่งนักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น 30 % ของ
นักเรียนทั้งชั้น
= 120
100
30
× = 36
( หมายความว่า 1 –35 ได้คะแนนกลุ่มสูง)
ดังนั้น นักเรียนที่ได้คะแนนตำ่าสุดของกลุ่มนี้
อยู่ในตำาแหน่งที่
120 – 35 = 85
ให้ x แทนคะแนนตำ่าสุดของนักเรียนกลุ่ม
นี้
ช่วงคะแนน ความถี่สะสม
40 – 59 58
x 85
60 – 79 98
ช่วงคะแนน 40 – 59 ขอบบน
59.5
5979
559
−
− .x
= 5898
5885
−
−
x - 59.5 = 20
40
27
×
x = 13.5 + 59.5 = 73
นั่นคือ คะแนนตำ่าสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้
คะแนนสูง
เท่ากับ 73 คะแนน @
4. จงหาคะแนนสูงสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้
คะแนนตำ่าสุด ซึ่งนักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น 20
% ของนักเรียนทั้งชั้น
เนื่องจาก กลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนตำ่าสุด
ซึ่งนักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น 20 % ของ
นักเรียนทั้งชั้น
= 120
100
20
× = 24
ดังนั้นนักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุดของกลุ่มนี้
อยู่ในตำาแหน่งที่ 24
ให้ x แทนคะแนนตำ่าสุดของนักเรียนกลุ่มนี้
ช่วงคะแนน ความถี่สะสม
0 – 19 10
x 24
20 – 39 26
ช่วงคะแนน 0 – 19 ขอบบน 19.5
1939
519
−
− .x
= 1026
1024
−
−
x - 19.5 = 20
16
14
×
x = 17.5 + 19.5 = 37
นั่นคือ คะแนนสูงสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้
คะแนนตำ่าสุด
เท่ากับ 37 คะแนน @
การประมาณค่า ควอร์ไทล์ เดไซล์ เปอร์เซ็นต์ไทล์
ข้อมูล 8 14 18 20 23 25
ตำาแหน่ง 1 2 3 4 5 6
ตำาแหน่ง Q1 = 4
161 )( +
= 1.75
ตำาแหน่ง Q3 = 4
163 )( +
= 5.25
วิธีที่ 1 การเทียบบัญญัติไตรยางค์
ความถี่สะสมต่างกัน 1 คะแนนต่าง
กัน 14 - 8 = 6
ความถี่สะสมต่างกัน .75 คะแนน
ต่างกัน 6×.75 = 4.5
ค่าของ Q1 = 8 + 4.5 =
12.5
ความถี่สะสมต่างกัน 1 คะแนนต่าง
กัน 25 - 23 = 2
ความถี่สะสมต่างกัน .25 คะแนน
ต่างกัน 2×.25 = 0.5
ค่าของ Q3 = 23 + 0.5 =
23.5
วิธีที่ 2 ใช้สูตร
2.1 ถ้าตำาแหน่ง Q1 = .75
2
2
2
21
ค่า
ค่าค่า
+
+
=
2
14
2
148
+
+
=
2
1411+
= 12.5
2.2 ถ้าตำาแหน่ง Q3 = .25
2
2
21
1
ค่าค่า
ค่า
+
+
= 2
2
2523
23
+
+
= 2
2423+
=23.5
10

11. ขั้นที่ 3 ตรวจสอบคำาตอบ วิเคราะห์ข้อมูลด้วยโปรแกรม SPSS
ค่าของควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซนต์ไทล์ ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
1. เข้าโปรแกรมสำาเร็จรูป (SPSS)
2. กำาหนดตัวแปร(Variable View) x
3. กรอกข้อมูล(Data View) ในช่อง x (นักเรียนกำาหนดข้อมูลขึ้นมา
เอง)
4. วิเคราะห์ข้อมูล Analyze เลือก descriptive statistics เลือก
frequencies
x ส่งมาช่อง Variable
5. เลือก statistics จะปรากฏหน้าต่าง
เลือก Quartile Q1 , Q2 , Q3 ตรงกับ P25 , P50 , P75 ตามลำาดับ
เลือก Percentile ถ้าเป็นตำาแหน่งอื่นๆ เช่น P45 , P60 , P80
6. ผลการวิเคราะห์ข้อมูล
Statistics
X
9
0
19.0000
37.0000
47.0000
Valid
Missing
N
25
50
75
Percentiles
Statistics
X
9
0
35.5000
43.0000
45.0000
Valid
Missing
N
45
60
70
Percentiles
11

12. บทที่ 1.3 การวัดการกระจายของข้อมูล
การวัดการกระจาย มี 2 แบบ คือ
1. การวัดการกระจายสัมบูรณ์ ( absolute variation ) คือการวัด
การกระจายของข้อมูลเพียงชุดเดียว
2. การวัดการกระจายสัมพัทธ์ ( relative variation ) คือการวัดการก
ระจายของข้อมูลแต่ละชุดเพื่อนำาไปเทียบกับการกระจายกับข้อมูลชุด
อื่นๆ
3.1 การวัดการกระจายสัมบูรณ์ที่นิยมใช้ มี 4 ชนิด คือ
1. พิสัย ( range ) คือผลต่างระหว่างข้อมูลที่มีค่าสุงสุดกับข้อมูลที่มีค่า
ตำ่าสุด สัญลักษณ์ R
พิสัย = Xmax - Xmin
2. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ หรือกึ่งควอร์ไทล์ (quartile deviation
or semi-interquartile range)
ใช้สัญลักษณ์ Q.D. = 2
13 QQ −
3. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ( mean deviation or average
deviation )ใช้สัญลักษณ์ M.D.
M.D. =
n
|Xx|
n
i
i∑ −
=1
4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( standard deviation ) สัญลักษณ์
S.D. หรือ S หรือ 
สูตรที่ 1 S.D. =
1
2
1
−
∑ −
=
n
)Xx(
n
i
i
สูตรที่ 2 S.D. =
)n(n
)x(xn
n
i
n
i
1
1 1
22
−
∑ ∑−
= =
2. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
2.1 ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
ตัวอย่างที่ 1 คะแนนสอบกลางภาคของนักเรียน 9 คน ดังนี้
18 , 16 , 10 , 12 , 6 , 13 , 14 , 11 , 8
จงหาพิสัย ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยและส่วน
เบี่ยงเบนมาตรฐาน
วิธีทำา 1. พิสัย = Xmax - Xmin
= 18 – 6 = 12
2. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ Q.D. = 2
13 QQ −
คะแนน 6 8 10 11 1
2
13 1
4
1
6
18
ตำาแหน่
ง
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2.1 หา Q3 2.2
หา Q1
1) ตำาแหน่ง Qr = 4
)1( +Nr
Q3 = 4
)19(3 +
1) ตำาแหน่ง Qr = 4
)1( +Nr
Q1 = 4
)19(1 +
12

13. = 7.5
2) ค่าของ Q3 = 2
1614 +
=
15
= 2.5
2) ค่าของ Q1 = 2
108 +
= 9
ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ Q.D. = 2
13 QQ −
= 2
915 −
= 3 @
3) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
1) หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต X = n
x∑
= 9
108
= 12
18 , 16 , 10 , 12 , 6 , 13 , 14 , 11 , 8
2) Σ| x - X| = | 6 – 12 | + | 8 – 12 | + | 10 – 12 | + | 11
– 12 |+| 12 – 12 | +
| 13 – 12 |+| 14 – 12 | + | 16 – 12 |+| 18 –
12 |
= 6 + 4 + 2 + 1+ 0 + 1 + 2 + 4 + 6 = 26
M.D. =
n
|Xx|
n
i
i∑ −
=1 = 9
26
= 2.89 @
4) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต X = n
x∑
= 9
108
= 12
สูตรที่ 1 S.D. =
1
2
1
−
∑ −
=
n
)Xx(
n
i
i
19
12181216121412131212121112101286 222222222
−
−+−+−+−+−+−+−+−+− )()()()()()()()()12(
= 8
3616410141636 ++++++++
= 8
114
= 2514. = 3.774 ≈ 3.77
1.2 ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
ตัวอย่างที่ 1 ข้อมูลต่อไปนี้เป็นคะแนนสอบกลางภาควิชาคณิตศาสตร์
รอบรู้ 5
ซึ่งมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน ของนักเรียน 20 คน ดังนี้
คะแนน ความถี่
(f)
cf
1 – 5 4 4
6 – 10 5 9
11- 15 8 17
16 - 20 3 20
รวม 20
จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
วิธีทำา จาก ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ Q.D. = 2
13 QQ −
หาค่าของ Q3
ตำาแหน่งของ Q3 = )20(
4
3
= 15
หาค่าของ Q1
ตำาแหน่งของ Q1 = )20(
4
1
= 5
13

14. จะได้ 5
5103 .Q −
= 917
915
−
−
Q3 – 10.5 = 5
8
6
×
Q3 = 105
+ 3.75
=
14.25
จะได้ 5
551 .Q −
= 49
45
−
−
Q1 – 5.5 = 5
5
1
×
Q1 = 5.5 +
1
= 6.5
Q.D. = 2
13 QQ −
= 2
5.625.14 −
= 3.875
ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของข้อมูลเท่ากับ 3.875 คะแนน
@
3. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ( mean deviation or average deviation )ใช้
สัญลักษณ์ M.D.
2 3.1 ข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
M.D. =
n
|Xx|
k
i
i∑ −
=1
ตัวอย่างที่ 1 ข้อมูลคะแนนสอบของนักเรียน 5 คน ดังนี้
18 , 16 , 10 , 12 , 14 , จงหาส่วนเบี่ยง
เบนเฉลี่ย
วิธีทำา 1) หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต X = n
x∑
= 5
70
= 14
2) Σ| x - X| = | 18 – 14 | + | 16 – 14 | + | 10 – 14 |
+| 12 – 14 | + | 14 – 14 |
= 4 + 2 + 4 + 2 + 0 = 12
M.D. =
n
|Xx|
n
i
i∑ −
=1 = 5
12
= 2.4 @
3.2 ข้อมูลที่แจกแจงความถี่
M.D. =
n
|Xx|
k
i
i∑ −
=1
ตัวอย่างที่ 3.1 ข้อมูลต่อไปนี้เป็นคะแนนสอบกลางภาควิชาคณิตศาสตร์
รอบรู้ 5
ซึ่งมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน ของนักเรียน 20 คน ดังนี้
14

15. จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
วิธีทำา ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( X) =
n
Xf
N
i
ii∑
=1
= 20
210
= 10.5
M.D. =
n
|Xx|f
k
i
ii∑ −
=1 = 20
85
= 4.25
ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของคะแนนสอบเท่ากับ 4.25
คะแนน
ตัวอย่างที่ 3.2 คะแนนสอบปลายภาควิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 5
ค 33201 ของนักเรียน 40 คน ดังนี้
จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
คะแนน f x fx | x - X| f| x - X|
5 - 9 12 7 84 | 7 – 12.5 |
= 5.5
12x5.5 = 66
10 –
14
16 12 192 | 12 – 12.5|
= 0.5
16x0.5 = 8
15 -
19
8 17 136 | 17 – 12.5 |
= 4.5
8x4.5 = 36
20 -
24
4 22 88 | 22 – 12.5 |
= 9.5
4x9.5 = 38
รวม 40 - ∑fx =
500
- ∑ − |Xx|f =
148
คะแนน ความ
ถี่ (f)
จุด
กึ่งกลาง
(x)
(f)(x) f |x - X|
1 – 5 4 3 12 4 |3-10.5| =
4(7.5) = 30
6 – 10 5 8 40 5|8-10.5| = 5
(2.5) = 12.5
11- 15 8 13 104 8|13-10.5| = 8
(2.5) = 20
16 - 20 3 18 54 3|18-10.5| = 3
(7.5) = 22.5
รวม 20 ∑fx =
210
|Xx|f∑ − = 85
15

16. วิธีทำา หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต X =
n
xf
n
i
ii∑
=1
= 40
500
= 12.5
M.D. =
n
|Xx|f
k
i
ii∑ −
=1
= 40
148
= 3.7 @
4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( standard deviation ) สัญลักษณ์
S.D. หรือ S หรือ 
 แทน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร
S.D. หรือ S แทน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
ตัวอย่าง
ข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
ประชากร
สูตรที่ 1 σ =
N
)x(
N
i
i
2
1
∑ µ−
=
สูตรที่ 2 σ = 21
2
µ−
∑
=
N
x
N
i
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
กลุ่มตัวอย่าง
สูตรที่ 1 S.D. =
1
2
1
−
∑ −
=
n
)Xx(
n
i
i
สูตรที่ 2 S.D. =
)n(n
)x(xn
n
i
n
i
1
1 1
22
−
∑ ∑−
= =
ข้อมูลที่แจกแจงความถี่
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
ประชากร
สูตรที่ 1 σ =
N
)x(f
N
i
ii
2
1
∑ µ−
=
สูตรที่ 2 σ = 21
2
µ−
∑
=
N
xf
N
i
i
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
กลุ่มตัวอย่าง
สูตรที่ 1 S.D. =
1
2
1
−
∑ −
=
n
)Xx(f
n
i
ii
สูตรที่ 2 S.D. =
1
2
1
2
−
∑ −
=
n
Xnxf
n
i
ii
1. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
ตัวอย่างที่ 4.1 คะแนนสอบกลางภาคของนักเรียน 5 คน ดังนี้
2 , 4 , 6 , 8 , 10 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และถ้า
กลุ่มที่ 1 นำา 2 บวก กลุ่มที่ 2 นำา 2 ลบ
กลุ่มที่ 3 นำา 2 คูณ กลุ่มที่ 4 นำา 2 หาร
จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่
วิธีทำา 1) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิม 2 , 4 , 6 , 8 , 10
16

17. 1) หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต X= n
x∑
= 5
30
= 6
สูตร ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (S เดิม) =
1
2
1
−
∑ −
=
n
)xx(
n
i
i
=
15
61068666462 22222
−
−+−+−+−+− )()()()()(
= 4
1640416 ++++
= 10= 3.262 ≈ 3.16
2) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดกลุ่มที่ 1 นำา 2 บวก
ข้อมูลใหม่ คือ 4 , 6 , 8 , 10 , 12
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 5
40
= 8
S.ใหม่ = 15
812810888684 22222
−
−+−+−+−+− )()()()()(
= 4
1640416 ++++
= 10= 3.162 ≈ 3.16
3) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดกลุ่มที่ 2 นำา 2 ลบ
ข้อมูลใหม่ คือ 0 , 2 , 4 , 6 , 8
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 5
20
= 4
S ใหม่ = 15
8846444240 22222
−
−+−+−+−+− )()()()()(
= 4
1640416 ++++
= 10= 3.162 ≈ 3.16
4) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดกลุ่มที่ 3 นำา 2 คูณ
ข้อมูลใหม่ คือ 4 , 8 , 12 , 16 , 20
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 5
60
= 12
S.ใหม่ = 15
122012161212128124 22222
−
−+−+−+−+− )()()()()(
= 4
641601664 ++++
= 40= 2 10 ≈ 6.32
5) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดกลุ่มที่ 4 นำา 2 หาร
ข้อมูลใหม่ คือ 1 , 2 , 3 , 4 , 5
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 5
15
= 3
S ใหม่ = 15
3534333231 22222
−
−+−+−+−+− )()()()()(
= 4
41014 ++++
= 52. = 1.58
4.2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง
สูตรที่ 1 S.D. =
1
2
1
−
∑ −
=
n
)Xx(f
n
i
ii
สูตรที่ 2 S.D. =
1
2
1
2
−
∑ −
=
n
Xnxf
n
i
ii
17

18. ตัวอย่างที่ 1 ข้อมูลต่อไปนี้เป็นคะแนนสอบกลางภาควิชาคณิตศาสตร์
รอบรู้ 5
ซึ่งมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน ของนักเรียน 20 คน ดังนี้
คะแนน ความถี่
(f)
x (f)(x) f (x - X)2
1 – 5 4 3 12 4(7.5)2
=
225
6 – 10 5 8 40 5(2.5)2
=
31.25
11- 15 8 13 104 8(2.5)2
= 50
16 - 20 3 18 54 3(7.5)2
=
168.75
รวม 20 ∑fx =
210
2
∑ − )Xx(f =
475
จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
วิธีทำา ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( X) =
n
Xf
N
i
ii∑
=1
= 20
210
= 10.5
สูตรที่ 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน S =
1
2
1
−
∑ −
=
n
)Xx(f
N
i
ii
= 19
475
= 25 =
5
ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับ 5
คะแนน @@
กิจกรรมฝึกทักษะ (นักเรียนฝึกใช้สูตรที่ 2)
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน สูตรที่ 2
S.D. =
1
2
1
2
−
∑ −
=
n
Xnxf
n
i
ii
ตัวอย่างที่ 1 ข้อมูลต่อไปนี้เป็นคะแนนสอบกลางภาควิชาคณิตศาสตร์
รอบรู้ 5
ซึ่งมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน ของนักเรียน 20 คน ดังนี้
18

19. คะแนน ความถี่
(f)
x (f)(x) fx2
1 – 5 4 3 12 4(3)2
=
6 – 10 5 8 40 5(8)2
=
11- 15 8 13 104 8(13)2
=
16 - 20 3 18 54 3(18)2
=
รวม 20 ∑fx=
210
2
∑fx=
จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
วิธีทำา ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( X) =
n
Xf
N
i
ii∑
=1
= 20
210
=
10.5
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน สูตรที่ 2
S.D. =
1
2
1
2
−
∑ −
=
n
Xnxf
n
i
ii
= 120
510202680 2
−
− ).(
= 19
22052680−
= 19
475
= 25 = 5
ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับ 5
คะแนน @@@
ตัวอย่างที่ 2 คะแนนสอบปลายภาควิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 5
(ค 33201) ของนักเรียน 40 คน ดังนี้
จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
คะแนน f x fx x2
fx2
5 - 9 12 7 84 49 12 x 49
= 588
10 –
14
16 12 192 144 16 x 144
= 2304
15 -
19
8 17 136 289 8 x 289
= 2312
20 -
24
4 22 88 484 4 x 484
= 1936
รวม 40 - ∑fx =
500
2
∑fx =
7140
19

20. วิธีทำา หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( X) =
n
Xf
N
i
ii∑
=1
= 40
500
= 12.5
สูตรที่ 2 S.D. =
1
2
1
2
−
∑ −
=
n
Xnxf
n
i
ii
=
140
512407140 2
−
− ).(
= 39
62507140−
= 39
890
= 8222. = 4.777 ≈ 4.78
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานวิธีลัด ใช้กับข้อมูลที่อันตรภาคชั้นมีค่า
มากๆ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน S.D. =
2
11
2












−
∑∑ ==
N
fd
N
fd
i
N
i
N
i
เมื่อ X คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต A คือค่าเฉลี่ย
สมมติ ( ชั้นที่มีความถี่สูงสุด)
i คือความกว้างของอันตรภาคชั้น d = i
AX −
ตัวอย่างที่ 2 ค่าจ้างรายวันของพนักงานบริษัทแห่งหนึ่งจำานวน 200
คน ดังนี้
ค่า
จ้าง(บา
ท)
ความถี่(f
)
จุดกึ่งกลาง
ชั้น
(X)
d =
i
AX − fd fd2
1 - 100 20 50.5 - 2 - 40 80
101 –
200
80 150.5 - 1 -80 80
201 –
300
50
250.5
***A
0 - 0 0
301 -
400
40 350.5 1 40 40
401 –
500
10 450.5 2 20 40
รวม 200 Σ fd = - Σ fd2
=
20

21. 60 240
จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
วิธีที่ 1 S.D. =
2
11
2












−
∑∑ ==
N
fd
N
fd
i
N
i
N
i
=
2
200
60
200
240
100 




 −
−
=
2
2
200
60
)200(
200240
100 




 −
−
x
= 2
)200(
360048000
100
−
= 44400
200
100
≈ 2
1
×210.71 ≈
105.36
ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ของค่าจ้าง
ประมาณ 105.36 บาท
@@@
วิธีที่ 2 S.D. =
2
11
2












−
∑∑ ==
N
fd
N
fd
i
N
i
N
i
=
2
200
60
200
240
100 




 −
−
=
100
9
10
12
100 −
=
100
9120
100
−
= 11.1100
≈
100(1.0536)
 105.36
ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
ค่าจ้าง
ประมาณ 105.36 บาท
@@@
สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
1. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลใดๆ มีค่าเป็นจำานวนบวกหรือ
ศูนย์
S.D. =
N
xx
N
i
i
2
1
)(∑=
−
≥0
2. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลเท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อ ทุกค่าในข้อมูล
เท่ากันหมดและ
เท่ากับค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดนั้น
S.D. = 0 ก็ต่อเมื่อ
N
xx
N
i
i
2
1
)(∑=
−
= 0
3. ถ้าคำานวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน โดยใช้ค่ากลางของข้อมูลชนิดอื่นๆ ที่
ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ที่ได้จะมีค่ามากกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
N
ax
N
i
i
2
1
)(∑=
−
>
N
)Xx(
N
i
i
2
1
∑ −
=
เมื่อ a เป็นค่ากลางขอ’ข้อมูลที่ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
4. ถ้านำาค่าคงตัว a ไปบวกเข้าหรือลบออกจากทุกค่าในข้อมูล ส่วนเบี่ยง
เบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่และ
ของข้อมูลเดิมจะเท่ากัน
5. ถ้านำาค่าคงตัว a ไปคูณเข้าทุกค่าในข้อมูล ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
ข้อมูลชุดใหม่จะเท่ากับ
| a | คูณกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิม
21

22. 6. ถ้านำาค่าคงตัว a ไปหารเข้าทุกค่าในข้อมูล ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
ข้อมูลชุดใหม่จะเท่ากับ
| a | หารกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิม
7. ให้ x แทนค่าในข้อมูลชุดเดิม และ y แทนค่าในข้อมูลขุดใหม่ โดยที่ a
และ b เป็นค่าคงตัว ถ้า Sx และ Sy เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
ข้อมูลชุดเดิมและชุดใหม่ตามลำาดับ แล้ว Sy = | a | Sx
ความแปรปรวน ( variance ) = (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน)2
ใช้
สัญลักษณ์ S.D.2
หรือ S2
หรือ 2
ความแปรปรวนรวม (S2
รวม)
ให้ N1 และ N2 เป็นจำานวนข้อมูลของข้อมูลชุดที่ 1 และชุดที่ 2 ตามลำาดับ
S1
2
และ S2
2
เป็นความแปรปรวนของข้อมูลชุดที่ 1 และชุดที่ 2 ตาม
ลำาดับ
X1 และ X2 เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 1 และชุดที่ 2 ตาม
ลำาดับ
1. ถ้า X1 = X2 แล้ว
S2
รวม =
21
2
12
2
11
NN
SNSN
+
+
2. ถ้า N1 = N2 และ X1 = X2
แล้ว
S2
รวม =
2
2
2
2
1 SS +
3. ถ้า X1 ≠ X2 แล้ว
S2
รวม =
21
2
22
2
11
2
22
2
11
NN
)XX(N)XX(NSNSN รวมรวม
+
−+−++
−−−−
ตัวอย่างที่ 1 จงหาความแปรปรวนรวมจากสิ่งที่กำาหนดให้
N X S.D.
กลุ่ม
ที่1
6 15 4
กลุ่มที่
2
4 15 5
วิธีทำา จาก ถ้า X1 = X2 แล้ว
S2
รวม =
21
2
12
2
11
NN
SNSN
+
+
= 46
)5(4)4(6 22
+
+
= 10
2096 +
= 11.6 @@@
ตัวอย่างที่ 2 จากการสำารวจค่าอาหารกลางวัน(บาท) ของนักเรียนชั้น
มัธยมศึกษาปีที่ 6 ซึ่งมี 3 กลุ่ม กลุ่มที่ 1 มี 20 คน
กลุ่มที่ 2 มี 20 คน กลุ่มที่ 3 มี 10 คน และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของทั้ง 3
กลุ่มเป็น 2 , 3 และ 4 ตามลำาดับ
จงหาความแปรปรวนรวม
วิธีทำา S2
รวม =
321
2
33
2
22
2
11
NNN
SNSNSN
++
++
= 102020
)4(10)3(20)2(20 222
++
++
= 50
16018080 ++
=
50
420
= 8.4
22

23. ดังนั้นความแปรปรวนรวมของค่าอาหารกลางวันเท่ากับ 8.4
บาท 2
@@@
ตัวอย่างที่ 3 นาย ก นาย ข และนาย ค มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุทั้งสาม
คนเท่ากับ 18 ปี
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุเท่ากับ 0 ถ้านาย ง นำาอายุของเขามาคำานวณ
ด้วย
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของทั้งสี่คนจะเท่ากับ 20 ปี จงหา
1) พิสัยของอายุทั้งสี่คน
2) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุของทั้งสี่คน
วิธีทำา ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุนาย ก ข และ ค เท่ากับ 0 ( จาก
สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานข้อที่ 2 ) แสดงว่าคนทั้งสามมีอายุเท่ากัน
และเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิต ดังนั้นอายุของคนทั้งสามเท่ากับ 18 ปี
ให้ x แทนอายุของนาย ง ดังนั้น
4
181818 x+++
= 20
x = 80 – 54 = 26 ปี
1) พิสัยของอายุทั้งสี่คน = 26 – 18 = 8 ปี
2) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุของทั้งสี่คน
S.D. =
N
)Xx(
N
i
i
2
1
∑ −
=
= 4
)2026()2018()2018()2018( 2222
−+−+−+−
=
36444 +++
= 4
48
= 12 ≈
3.46 @@@
การวัดการกระจายสัมพัทธ์
ใช้ในการเปรียบเทียบข้อมูลตั้งแต่ 2 ชุดขึ้นไปเพื่อตัดสินว่าข้อมูลชุดใด
มีการกระจายมากกว่ากัน ค่าของการกระจายสัมพัทธ์ไม่มีหน่วยจึง
สามารถวัดการกระจายของข้อมูลแต่ลุชุดที่มีหน่วยต่างกันได้
การวัดการกระจายมี 4 ชนิดคือ
1. สัมประสิทธิ์ของพิสัย ( coefficient of range )
=
minmax
minmax
XX
XX
+
−
2. สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (coefficient of
quartile ) =
13
13
QQ
QQ
+
−
3. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (coefficient of mean
deviation) = −
x
.D.M
4. สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน (coefficient of variation )
= −
x
.D.S
ตัวอย่างที่ 1 จงเปรียบเทียบการกระจายของราคาสินค้า 2 ชนิด ที่ได้จาก
ร้านค้าที่ขายสินค้าดังกล่าว
23

24. สินค้าชนิดที่
ที่ 1
6 7 8 9 12
สินค้าชนิดที่
2
44 49 50 52 55
จงเปรียบเทียบตารางการกระจายของครอบครัวของอายุบุตรของครอบครัวทั้ง
สอง
ค่าสถิติ ราคาสินค้า (บาท )
สินค้าชนิดที่
1
สินค้าชนิดที่
2
1. ค่าควอร์ไทล์ที่ 1 (Q1) 6.50 46.50
2. ค่าควอร์ไทล์ที่ 3 (Q3) 10.50 53.50
3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (
−
X ) 8.40 50
4. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (Q.D.) 2 3.5
5. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D.) 1.68 2.8
6. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( S.D.) 2.06 3.63
7. สัมประสิทธิ์ของพิสัย =
minmax
minmax
XX
XX
+
− 0.33 0.11
8. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์
ไทล์
13
13
QQ
QQ
+
−
0.24 0.07
9. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
−
x
DM ..
0.20 0.06
10. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของแปรแปรผัน
−
x
DS ..
0.24 0.07
จากการเปรียบเทียบการวัดการกระจายสัมพัทธ์ของราคาสินค้า 2
ชนิดโดยวิธีต่างๆกัน จะเห็นว่าผลที่ได้
จากการวัดแต่ละวิธีเหมือนกันคือ ราคาสินค้าชนิดที่ 1 มีการกระจายมา
กกว่าราคาสินค้าชนิดที่ 2
ข้อสังเกต การวัดการกระจายสัมพัทธ์ไม่มีหน่วย
ตัวอย่างที่ 2 ถ้าสัมประสิทธิ์ของ
นำ้าหนักของนักเรียนห้องหนึ่ง
เท่ากับ 0.5 นักเรียนที่หนักที่สุดใน
ห้องมี
นำ้าหนัก 120 กิโลกรัม จงหาว่า
นักเรียนที่ผอมที่สุด
ในห้องมีนำ้าหนักเท่าไร
วิธีทำา สัมประสิทธิ์ของพิสัย =
minmax
minmax
XX
XX
+
−
0.5 =
min
min
120
120
X
X
+
−
ตัวอย่างที่ 3 สัมประสิทธิ์ของส่วน
เบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 0.4 และส่วน
เบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 6 ถ้าส่วนเบี่ยง
เบนมาตรฐานเท่ากับ 12 จงหา
สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน
วิธีทำา สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบน
เฉลี่ย = −
x
DM ..
0.4 = x
6
x = 4.0
6
= 15
24

25. 0.5 ( 120 + Xmin) = 120 -
xmin
60 + 0.5 Xmin = 120
- xmin
1.5 xmin = 60
xmin = 40
ดังนั้น นักเรียนที่ผอมที่สุดในห้องมี
นำ้าหนัก
เท่ากับ 40 กิโลกรัม
@@@
สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน =
−
x
DS ..
= 15
12
= 0.8
ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน
เท่ากับ 0.8 @@@
แบบฝึกทักษะชุดที่ 2.1
1. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 9 คน ดังนี้
35 31 42 43 30 35 49 48 25
จงหา 1) Q1 , D5 และ P60 2) Q3 , D4 และ P80
2. ถ้าคะแนนสอบปลายภาคของนักเรียนห้องหนึ่งจำานวน 25 คน มีดังนี้
60, 65, 65, 67, 71, 70, 73, 75, 76, 76,
79, 81, 83, 84, 85, 85, 88, 89, 90, 92,
95, 96, 99, 100, 100
จงหาคะแนนที่อยู่ในตำาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 68 ควอร์ไทล์ที่ 2 และ
เดไซล์ที่ 3
3. ในการสอบวิชาหนึ่งมีนักเรียนเข้าสอบ 32 คน คะแนนที่นักเรียนทำาได้
เป็นดังนี้
71 70 69 69 69 64 64 63
61 60 59 58 58 57 56 55
54 54 54 54 53 52 52 51
50 50 49 47 40 39 34 30
1) จงหาคะแนนที่มีจำานวนนักเรียนซึ่งได้คะแนนน้อยกว่าคะแนนนี้อยู่
ประมาณร้อยละ 30 และร้อยละ 55
2) จงหาคะแนนที่มีจำานวนนักเรียนที่ได้คะแนนน้อยกว่าคะแนนนี้อยู่
ประมาณ 4 ใน 10 และ 9 ใน 10
3) นักเรียนจะต้องสอบได้กี่คะแนนจึงจะมึผู้ที่สอบได้คะแนนน้อยกว่าอยู่
3 ใน 4
4. อายุของนักเรียน 8 คนดังนี้ 20 , 18 , 16 , 16 , 15 , 14, 14 , 12
ปี
จงหา 1) Q1 , D5 และ P60 2) Q3 , D4 และ P80
5. คะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ของนักเรียน 12 คน ดังนี้
20 , 22 , 15 , 18 , 18 , 24 , 16 , 22 , 26 , 19 , 25 , 27
จงหา 1) Q1 , D5 และ P60 2) Q3 , D4 และ P80
25

26. 6. การสอบแข่งขันคณิตคิดเร็วของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ของ
โรงเรียนแห่งหนึ่ง โดยใช้ข้อสอบ 30 ข้อ มีจำานวนนักเรียนที่
เข้าแข่งขัน 30 คน เวลา (นาที) ที่ใช้ในการคิดของนักเรียนที่เข้าร่วมการ
แข่งขันมีดังนี้
70 50 45 60 55 40 43 49 52 51
65 75 80 72 73 44 62 58 53 61
30 35 42 39 48 46 57 63 58 69
(1) ถ้ามีนักเรียนที่เข้าแข่งขันใช้เวลาในการทำาข้อสอบน้อยกว่าสมชาย
และสมศักดิ์ประมาณร้อยละ 55 และ 68
ตามลำาดับสมชายและสมศักดิ์ใช้เวลาเท่าไรในการทำาข้อสอบ
(2) จงหาเวลาที่ดวงใจใช้ในการทำาข้อสอบ เมื่อทราบว่านักเรียนที่เข้า
แข่งขันประมาณ 8 ใน 10 ใช้เวลาในการทำาข้อสอบน้อยกว่าดวงใจ
(3) ถ้านักเรียนที่ใช้เวลาในการทำาข้อสอบมากกว่านักเรียนที่เข้าแข่งขัน
ทั้งหมดประมาณ 3 ใน 4 ได้รางวัลเป็นกล่องดินสอ นักเรียนที่ได้รับรางวัล
เป็นกล่องดินสอใช้เวลาในการทำาข้อสอบน้อยที่สุดเท่าไร
8. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 9 คน ดังนี้
35 31 42 43 30 35 49 48 25
จงหา 1) Q1 , D5 และ P60 2) Q3 , D4 และ P80
9. อายุของนักเรียน 8 คนดังนี้ 15,14 , 12 , 10 , 10 , 9 , 8 , 6 ปี
จงหา 1) Q1 , D5 และ P60 2) Q3 , D4 และ P80
10. คะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ของนักเรียน 10 คน ดังนี้
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
จงหา 1) Q1 , D5 และ P60 2) Q3 , D4 และ P80
แบบฝึกทักษะชุดที่ 2.2
1. ตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวิชาสถิติของนักเรียน 40 คน ดังนี้
คะแนน 3 - 5 6 - 8 9 - 11 12 - 14 15 - 17
จำานวน(
คน)
4 6 10 12 8
จงหา Q2 , D4 และ P75
2. ตารางแจกแจงความถี่แสดงคะแนนสอบปลายภาควิชาคณิตศาสตร์ของ
นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
จำานวน 50 คน จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ส่วน
เบี่ยงเบนมาตรฐาน
คะแนน 10 - 14 15 - 19 20 - 24 25 - 29 30 - 34 35 -39
จำานวน(
คน)
3 7 10 14 9 7
จงหา Q3 , D7 และ P20
3. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จำานวน
60 คน เป็นดังนี้
26

27. คะแน
น
11 -
20
21 -
30
31 -
40
41 -
50
51 -
60
61 -
70
71 -
80
81 -
90
จำานว
น
1 2 4 12 20 10 5 6
1) นายเอสอบได้ 56 คะแนน อยู่ตำาแหน่งเปอร์เซนไตล์ที่เท่าใด
2) นางสาวบีสอบได้ 66.5 คะแนน อยู่ตำาแหน่งควอร์ไทล์ที่เท่าใด
3) นายเอฟสอบได้ 75.5 คะแนน อยู่ตำาแหน่งเดไซล์ที่เท่าใด
4. ข้อมูลต่อไปนี้เป็นคะแนนสอบวิชา สถิติ ของนักเรียน 40 คน
คะแนน 20 - 26 27 - 33 34 - 40 41 - 47 48 - 54
จำานวน(ค
น)
6 12 18 3 1
จงหา
1) สมชายสอบได้คะแนน 35.5 คะแนน อยู่ตำาแหน่งเปอร์เซนไตล์ที่
เท่าใด
2) สมลักษณ์สอบได้คะแนน 50 คะแนน อยู่ตำาแหน่งเดไซล์ที่เท่าใด
3) จงหาคะแนนตำ่าสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุด ซึ่งนักเรียน
กลุ่มนี้คิดเป็น 30 %
ของนักเรียนทั้งชั้น
4) จงหาคะแนนสูงสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนตำ่าสุด ซึ่งนักเรียน
กลุ่มนี้คิดเป็น 20 %
ของนักเรียนทั้งชั้น
แบบฝึกทักษะชุดที่ 3.1
1. ครอบครัวหนึ่งมีบุตรเท่ากัน ครอบครัวละ 5 คน ซึ่งบุตรแต่ละคนมีอายุดังนี้
ครอบครัวที่
1
14 18 20 23 25
ครอบครัวที่
2
5 9 12 16 18
จงเปรียบเทียบตารางการกระจายของครอบครัวของอายุบุตรของ
ครอบครัวทั้งสอง
2. ครอบครัวหนึ่งมีบุตรเท่ากัน ครอบครัวละ 6 คน ซึ่งบุตรแต่ละคนมีอายุดังนี้
ครอบครัวที่
1
8 14 18 20 23 25
ครอบครัวที่
2
5 6 9 12 16 18
จงเปรียบเทียบตารางการกระจายของครอบครัวของอายุบุตรของ
ครอบครัวทั้งสอง
อายุบุตร (ปี )
ค่าสถิติ ครอบครัวที่ 1 ครอบครัวที่ 2
1. ค่าควอร์ไทล์ที่ 1
2. ค่าควอร์ไทล์ที่ 3
3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
4. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
5. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
6. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
7. สัมประสิทธิ์ของพิสัย
8. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยง
27

28. เบนควอร์ไทล์
9. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยง
เบนเฉลี่ย
10. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของ
แปรแปรผัน
3. ปัจจุบัน อายุของนักเรียน 8 คนดังนี้ 15 14 12 10 10 9 8
6 จงหา
พิสัย , Q.D. , M.D. และ S.D. ของอายุปัจจุบันและของอายุในอีก 5 ปีข้าง
หน้า
4. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล 10 ข้อมูลเท่ากับ 3 และส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 1
จงหาผลรวมกำาลังสองของข้อมูลเดิม
5. มีนักเรียน 4 คน จากการสำารวจเงินที่เขาติดตัวไปโรงเรียนเป็นค่าอาหาร
กลางวัน พบว่า มีฐานนิยมเท่ากับ
15 บาท มัธยฐานเท่ากับ 18 บาท และมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 19 บาท
จงหา
1) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย 2) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
6. ถ้าสัมประสิทธิ์ของพิสัยของนำ้าหนักนักเรียนห้องหนึ่ง เท่ากับ 0.25
นักเรียนที่หนักที่สุดในห้องมีนำ้าหนัก
65 กิโลกรัม จงหาว่านักเรียนที่ผอมที่สุดในห้องมีนำ้าหนักเท่าไร
7. ตารางแจกแจงความถี่แสดงคะแนนสอบปลายภาควิชาคณิตศาสตร์ของ
นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
จำานวน 50 คน จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ส่วน
เบี่ยงเบนมาตรฐาน
คะแนน 10 - 14 15 - 19 20 - 24 25 - 29 30 - 34 35 -39
จำานวน(
คน)
3 7 10 14 9 7
8. จากการสำารวจค่าอาหารกลางวันของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ซึ่งมี 3
กลุ่ม กลุ่มที่ 1 มี 20 คน
กลุ่มที่ 2 มี 30 คน กลุ่มที่ 3 มี 30 คน และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของทั้ง 3
กลุ่มเป็น 2 , 2.5 และ 1.5 ตามลำาดับ
จงหาความแปรปรวนรวม
28