Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

ลำดับและอนุกรม

24,796 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

ลำดับและอนุกรม

  1. 1. ลำดับและอนุกรม คณิตศาสตร์พื้นฐาน ม . 5 โดยครูสุภาวดี แรกตั้ง
  2. 2. ลำดับเลขคณิต
  3. 3. บทนิยาม <ul><li>ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่ผลต่างร่วมซึ่งได้จากพจน์ที่ </li></ul><ul><li>n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้เรียกว่า </li></ul><ul><li>ผลต่างร่วม (common difference) </li></ul><ul><li>ใช้ d แทนผลต่างร่วม จะได้พจน์ที่ n ของลำดับ </li></ul><ul><li>เลขคณิต คือ a n = a 1 + (n – 1)d </li></ul>
  4. 4. <ul><li>จงเขียน 4 พจน์ถัดไปของลำดับเลขคณิต 1 , 5 , 9 , 13 , ….. </li></ul><ul><li>วิธีทำ จาก 1 , 5 , 9 , 13 , ….. </li></ul><ul><li>จะได้ d = 5 – 1 = 4 และ a 4 = 13 </li></ul><ul><li>a 5 = a 4 + 4 = 13 + 4 = 17 </li></ul><ul><li>a 6 = a 5 + 4 = 17 + 4 = 21 </li></ul><ul><li> a 7 = a 6 + 4 = 21 + 4 = 25 </li></ul><ul><li>a 8 = a 7 + 4 = 25 + 4 = 29 </li></ul><ul><li>ดังนั้น สี่พจน์ถัดไปของลำดับเลขคณิตที่กำหนดให้คือ 17 , 21 , 25 , 29 </li></ul>ตัวอย่างที่ 1
  5. 5. ตัวอย่างที่ 2 <ul><li>จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต 5 , 2 , -1, -4 , … </li></ul><ul><li>วิธีทำ จากลำดับเลขคณิต 5 , 2 , -1, -4 , … </li></ul><ul><li> จะได้ d = 2 – 5 = -3 และ a 1 = 5 </li></ul><ul><li>จาก a n = a 1 + (n – 1)d </li></ul><ul><li>จะได้ a n = 5 + (n – 1)(-3) </li></ul><ul><li> = 5 – 3n + 3 </li></ul><ul><li>= 8 – 3n </li></ul><ul><li>ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตนี้ คือ a n = 8 – 3n </li></ul>
  6. 6. ตัวอย่างที่ 3 <ul><li>จงหาพจน์ที่ 15 ของลำดับเลขคณิต -1 , 6 , 13 , 20 , ….. </li></ul><ul><li>วิธีทำ จากลำดับเลขคณิต -1 , 6 , 13 , 20 , ….. </li></ul><ul><li>จะได้ d = 6 – (-1) = 7 , a 1 = -1 และ n = 15 </li></ul><ul><li>จาก a n = a 1 + (n – 1)d </li></ul><ul><li>จะได้ a 15 = -1 + (15 – 1)(7) </li></ul><ul><li>= -1 + (14)(7) </li></ul><ul><li>= 97 </li></ul><ul><li>ดังนั้น พจน์ที่ 15 ของลำดับเลขคณิตนี้ คือ 97 </li></ul>
  7. 7. ตัวอย่างที่ 4 <ul><li>จงหาจำนวนพจน์ทั้งหมดของลำดับเลขคณิต 4 , 6 , 8 , … , 68 </li></ul><ul><li>วิธีทำ จากลำดับเลขคณิต 4 , 6 , 8 , … , 68 </li></ul><ul><li>จะได้ d = 6 – 4 = 2 และ a 1 = 4 </li></ul><ul><li>จาก a n = a 1 + (n – 1)d </li></ul><ul><li>จะได้ 68 = 4 + (n – 1)(2) </li></ul><ul><li> 68 – 4 = (n – 1)(2) </li></ul><ul><li>64 = (n – 1)(2) </li></ul><ul><li> 32 + 1 = n </li></ul><ul><li> 33 = n </li></ul><ul><li>ดังนั้น ลำดับเลขคณิต 4 , 6 , 8 , … , 68 มีทั้งหมด 33 พจน์ </li></ul>
  8. 8. ตัวอย่างที่ 5 <ul><li>จงหาพจน์แรกของลำดับเลขคณิตที่มี a 6 = 26 และ a 11 = 61 </li></ul><ul><li>วิธีทำ จาก a n = a 1 + (n – 1)d และ a 6 = 26 และ a 11 = 61 </li></ul><ul><li>จะได้ 26 = a 1 + (6 – 1)d = a 1 + 5d …………………..(1) </li></ul><ul><li> 61 = a 1 + (11 – 1)d = a 1 + 10d …………………..(2) </li></ul><ul><li>(2) – (1) 35 = 5d </li></ul><ul><li>7 = d </li></ul><ul><li>แทน d = 7 ใน (1) </li></ul><ul><li>จะได้ 26 = a 1 + (5)(7) </li></ul><ul><li>26 = a 1 + 35 </li></ul><ul><li>a 1 = -9 </li></ul>
  9. 9. ตัวอย่างที่ 6 <ul><li>จงหาจำนวนที่อยู่ระหว่าง 7 และ 25 ที่ทำให้จำนวนทั้งสามนั้นเป็นพจน์ </li></ul><ul><li>สามพจน์ที่เรียงกันในลำดับเลขคณิต </li></ul><ul><li>วิธีทำ กำหนดให้จำนวนที่อยู่ระหว่าง 7 และ 25 คือ k </li></ul><ul><li>จากโจทย์จะได้ลำดับเลขคณิตคือ 7 , k , 25 </li></ul><ul><li> ซึ่งมี k – 7 = 25 – k </li></ul><ul><li> 2k = 32 </li></ul><ul><li> k = 16 </li></ul><ul><li> ดังนั้นจำนวนที่ต้องการ คือ 16 </li></ul>
  10. 10. ตัวอย่างที่ 7 <ul><li>ถ้า -3 , a , b , c , 17 เป็นพจน์ห้าพจน์ที่เรียงกันในลำดับเลขคณิต จงหา a , b , c </li></ul><ul><li>วิธีทำ จาก a n = a 1 + (n – 1)d </li></ul><ul><li> a = -3 + d </li></ul><ul><li> b = a + d = (-3 + d) + d = -3 + 2d </li></ul><ul><li> c = b + d = (-3 + 2d) + d = -3 + 3d </li></ul><ul><li>และ 17 = c + d = (-3 + 3d) + d = -3 + 4d </li></ul><ul><li>จะได้ 17 = -3 + 4d </li></ul><ul><li> 17 + 3 = 4d </li></ul><ul><li>20 = 4d </li></ul><ul><li>5 = d </li></ul>
  11. 11. ตัวอย่างที่ 7 ( ต่อ ) <ul><li>ดังนั้น a = -3 + 5 = 2 </li></ul><ul><li>b = 2 + 5 = 7 </li></ul><ul><li>c = 7 + 5 = 12 </li></ul>
  12. 12. ตัวอย่างที่ 8 <ul><li>จำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 16 ถึง 99 ที่หารด้วย 5 ลงตัวมีกี่จำนวน </li></ul><ul><li>วิธีทำ จากโจทย์จะได้ลำดับเลขคณิต คือ 20 , 25 , 30 , 35 , ...., 95 </li></ul><ul><li>จะได้ d = 25 – 20 = 5 และ a 1 = 20 </li></ul><ul><li> จาก a n = a 1 + (n – 1)d </li></ul><ul><li>จะได้ 95 = 20 + (n – 1)(5) </li></ul><ul><li> 95 – 20 = (n – 1)(5) </li></ul><ul><li>75 = (n – 1)(5) </li></ul><ul><li> 15 + 1 = n </li></ul><ul><li> 16 = n </li></ul><ul><li>ดังนั้น จำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 16 ถึง 99 ที่หารด้วย 5 ลงตัว </li></ul><ul><li>มี 16 จำนวน </li></ul>
  13. 13. ตัวอย่างที่ 9 <ul><li>นาเดียไปสมัครเป็นพนักงานร้านอาหาร โดยตกลงกับผู้จ้างดังนี้ วันแรกจะต้อง </li></ul><ul><li>ได้รับเงินค่าจ้าง 30 บาท วันที่สองต้องได้รับเงินค่าจ้าง 40 บาท วันที่สาม </li></ul><ul><li>ต้องได้รับเงินค่าจ้าง 50 บาท และจะได้รับเงินค่าจ้างเพิ่มขึ้น ในทำนองเดียวกัน </li></ul><ul><li>จนถึงวันสุดท้าย ถ้านาเดียทำงานเป็นเวลา 1 ปี (365 วัน ) นาเดียจะได้รับเงิน </li></ul><ul><li>ค่าจ้างในวันสุดท้ายเป็นเงินกี่บาท </li></ul><ul><li>วิธีทำ จากโจทย์จะได้ลำดับเลขคณิต คือ 30 , 40 , 50 , .... </li></ul><ul><li>จะได้ d = 40 – 30 = 10 , a 1 = 30 และ n = 365 </li></ul>
  14. 14. ตัวอย่างที่ 9 ( ต่อ ) <ul><li>จาก a n = a 1 + (n – 1)d </li></ul><ul><li>จะได้ a n = 30 + (365 – 1)(10) </li></ul><ul><li> = 30 + (364)(10) </li></ul><ul><li>= 30 + 3 , 640 </li></ul><ul><li>= 3 , 670 </li></ul><ul><li>ดังนั้น นาเดียจะได้รับเงินค่าจ้างในวันสุดท้ายเป็นเงิน 3,670 บาท </li></ul>
  15. 15. แบบฝึกหัด
  16. 16. <ul><li>1. จงเขียน 5 พจน์แรกของลำดับเลขคณิตที่กำหนดค่าต่าง ๆ ให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ </li></ul><ul><li>1.1 a 1 = 3 , d = 5 1.6 a 10 = 6 , d = 3 </li></ul><ul><li>1.2 a 1 = -2 , d = 3 1.7 a 1 = 14 , a 8 = 7 </li></ul><ul><li>1.3 a 1 = 8 , a 2 = 10 1.8 a 1 = 8 , a 9 = -24 </li></ul><ul><li>1.4 a 1 = 3 , a 8 - a 7 = 5 1.9 a 1 = 7 , a n = 3 + a n-1 </li></ul><ul><li>1.5 a 5 = 12 , d = -2 1.10 a 1 = 5 , a n+1 - a n = 2 </li></ul>
  17. 17. <ul><li>2. จงหาพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิตที่กำหนดให้ในแต่ละข้อ </li></ul><ul><li>2.1 4 , 9 , 14 , ... </li></ul><ul><li>2.2 -5 , 1 , 7 , ... </li></ul><ul><li>2.3 3 , 0 , -3 , ... </li></ul><ul><li>3. จงหาพจน์ที่ 7 ของลำดับเลขคณิต 2 , 9 , 16 , ... </li></ul><ul><li>4. จงหาพจน์ที่ 21 ของลำดับเลขคณิต 2.5 , 2 , 1.5 , … </li></ul>
  18. 18. <ul><li>5. จงหาว่าลำดับเลขคณิตที่กำหนดให้มีทั้งหมดกี่พจน์ </li></ul><ul><li>5.1) 2 , 5 , 8 ,... และ a n = 131 </li></ul><ul><li>5.2) 19 , 14 , 9 , ... และ a n = -251 </li></ul><ul><li>5.3) -21 , -10 , 1 ,...และ a n = 2,179 </li></ul><ul><li>5.4 ) 4 , 11 , 18 , 25 , … , 613 </li></ul><ul><li>6. – 176 เป็นพจน์ที่เท่าใดของลำดับเลขคณิต -1 , -6 , -11 , ... </li></ul><ul><li>7. จงหา a n และ d ของลำดับเลขคณิตที่มี a 2 = 16 และ a 12 = 116 </li></ul>
  19. 19. <ul><li>8. จำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 20 กับ 100 ที่ 3 หารลงตัว มีกี่จำนวน </li></ul><ul><li>9. จำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 32 กับ 400 ที่หารด้วย 9 แล้วเหลือเศษ 4 มีกี่จำนวน </li></ul><ul><li>10. ไม้กองหนึ่งวางซ้อนกันในแนวระดับเป็นชั้น ๆ แต่ละชั้นมีจำนวนไม้มากกว่าชั้นถัดขึ้นไปอยู่ 5 ท่อน ถ้ามีจำนวนไม้ชั้นบนสุดมี 57 ท่อน และชั้นติดพื้นดินมี 182 ท่อน จงหาว่าไม้กองนี้ มีกี่ชั้น </li></ul><ul><li>11. ชายผู้หนึ่งจ่ายเงินค่างวดซื้อรถยนต์เป็นเวลา 5 ปี โดยที่แต่ละเดือนจะต้องจ่าย 1 งวด ถ้างวดแรกจ่าย 12,000 บาท และเดือนถัดไปเงินค่างวดจะลดลงจากงวดที่แล้ว 100 บาท จงหาว่างวดสุดท้ายเขาต้องจ่ายเงินกี่บาท </li></ul>
  20. 20. <ul><li>1.1 ตอบ 3 , 8 , 13 , 18 , 23 </li></ul>
  21. 21. 1.2 ตอบ -2 , 1 , 4 , 7 , 10
  22. 22. 1.3 ตอบ 8, 10 , 12 , 14 , 16
  23. 23. 1.4 ตอบ 3 , 8 , 13 , 18 , 23
  24. 24. 1.5 ตอบ 20 , 18 , 16 , 14 , 12
  25. 25. 1.6 ตอบ - 21 , -18 , -15 , -12 , -9
  26. 26. 1.7 ตอบ 14 , 13 , 12 , 11 , 10
  27. 27. 1.8 ตอบ 8 , 4 , 0 , -4 , -8
  28. 28. 1.9 ตอบ 7 , 10 , 13 , 16 , 19
  29. 29. 1.10 ตอบ 5 , 7 , 9 , 11 , 13
  30. 30. 2.1 ตอบ a n = 4 + (n – 1)(5) = 4 + 5n – 5 = 5n – 1 ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตนี้ คือ a n = 5n – 1
  31. 31. 2.2 ตอบ a n = -5 + (n – 1)(6) = -5 + 6n – 6 = 6n – 11 ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตนี้ คือ a n = 6n – 11
  32. 32. 2.3 ตอบ a n = 3 + (n – 1)(-3) = 3 – 3n + 3 = 6 – 3n ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตนี้ คือ a n = 6 – 3n
  33. 33. 3. ตอบ a 7 = 2 + (7 – 1)(7) = 44 ดังนั้น พจน์ที่ 7 ของลำดับเลขคณิตนี้ คือ 44
  34. 34. 4. ตอบ a 21 = 2.5 + (21 – 1)(-0.5) = -7.5 ดังนั้น พจน์ที่ 21 ของลำดับเลขคณิตนี้ คือ -7.5
  35. 35. 5.1 131 = 2 + (n – 1)(3) 131 – 2 = (n – 1)(3) 129 = (n – 1)(3) 43 = n – 1 44 = n ตอบ 44 พจน์
  36. 36. 5.2 -251 = 19 + (n – 1)(-5) -251 – 19 = (n – 1)(-5) -270 = (n – 1)(-5) 54 = n – 1 55 = n ตอบ 55 พจน์
  37. 37. <ul><li>5.3 2,179 = -21 + (n – 1)(11) 2,179 + 21 = (n – 1)(11) 2,200 = (n – 1)(11) 200 = n – 1 201 = n </li></ul><ul><li>ตอบ 201 พจน์ </li></ul>
  38. 38. 5.4 613 = 4 + (n – 1)(7) 613 – 4 = (n – 1)(7) 609 = (n – 1)(7) 87 = n – 1 88 = n ตอบ 88 พจน์
  39. 39. 6. -176 = -1 + (n – 1)(-5) -176 + 1 = (n – 1)(-5) -175 = (n – 1)(-5) 35 = n – 1 36 = n ตอบ 36 พจน์
  40. 40. 7. a 12 = a 2 + 10d 116 = 16 + 10d 10 = d , a 1 = 6 a n = 6 + (n – 1)(10) = 6 + 10n – 10 = 10n – 4 ตอบ a n = 10n – 4 และ d = 10
  41. 41. 8. จากโจทย์จะได้ลำดับเลขคณิต คือ 21 , 24 , 27 , ...., 99 จะได้ d = 3 และ a 1 = 21 จาก a n = a 1 + (n – 1)d จะได้ 99 = 21 + (n – 1)(3) 99 – 21 = (n – 1)(3) 78 = (n – 1)(3) 26 = n – 1 27 = n ตอบ จำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 20 กับ 99 ที่หารด้วย 3 ลงตัว มี 27 จำนวน
  42. 42. 9. จากโจทย์จะได้ลำดับเลขคณิต คือ 40 , 49 , 58 , ...., 391 จะได้ d = 9 และ a 1 = 40 จาก a n = a 1 + (n – 1)d จะได้ 391 = 40 + (n – 1)(9) 391 – 40 = (n – 1)(9) 351 = (n – 1)(9) 39 = n – 1 40 = n ตอบ จำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 32 กับ 400 ที่หารด้วย 9 แล้วเหลือ เศษ 4 มี 40 จำนวน
  43. 43. 10. จากโจทย์จะได้ลำดับเลขคณิต คือ 182 , 177 , 172 , ...., 57 จะได้ d = -5 และ a 1 = 182 จาก a n = a 1 + (n – 1)d จะได้ 57 = 182 + (n – 1)(-5) 57 – 182 = (n – 1)(-5) -125 = (n – 1)(-5) 25 = n – 1 26 = n ตอบ มี 26 ชั้น
  44. 44. 11. จากโจทย์จะได้ลำดับเลขคณิต คือ 12,000 , 11,900 , 11,800 ,.... จะได้ d = -100 และ a 1 = 12,000 จาก a n = a 1 + (n – 1)d จะได้ a 60 = 12,000 + (60 – 1)(-100) = 12,000 + (-5,900) = 6,100 ตอบ งวดสุดท้ายเขาต้องจ่ายเงิน 6,100 บาท

×