เอกสารตำแหน่งที่และกระจายปี

1
บทที่ 2 การวัดตาแหน่งที่ของข้อมูล
เราเคยวัดตาแหน่งของข้อมูลโดยใช้ลาดับที่ของข้อมูลเป็นตัวบอกตาแหน่ง เช่น ในการสอบของ
นักเรียนห้องหนึ่ง เมื่อนาข้อมูลมาเรียงลาดับตามค่ามากน้อยของข้อมูลแล้ว สมมติว่า นายเอ สอบได้ที่ 4 ของห้อง
ก็หมายความว่าเมื่อเรียงลาดับคะแนนสอบทั้งหมดแล้วนับจากคะแนนนสูงมาเป็นลาดับที่ 4
การบอกตาแหน่งโดยวิธีดังกล่าวนี้ เป็นการกล่าวถึงตาแหน่งของนักเรียนที่สอบได้ซึ่งไม่ได้บอกให้
เข้าใจว่าตาแหน่งที่นักเรียนแต่ละคนสอบได้นั้นอยู่ตรงส่วนไหนของข้อมูลทั้งหมด เพราะโดยปกติการ
จัดตาแหน่งดังกล่าวไม่ได้บอกจานวนข้อมูลทั้งหมดให้ทราบ
ดังนั้นการที่กล่าวว่า นายเอสอบได้ที่ 4 ของห้อง เราไม่ทราบว่านายเอสอบได้ที่ 4 จากจานวนนักเรียน
ทั้งหมดกี่คน จึงกล่าวไม่ได้ว่านายเอ เรียนเก่งหรือไม่ ด้วยเหตุนี้จึงได้มีวิธีการหาวิธีการวัดตาแหน่งที่ของข้อมูล
เพื่อที่จะสามารถบอกได้ทันทีว่าตาแหน่งนั้นดีหรือไม่เพียงไรในกลุ่มของข้อมูลชุดนั้นๆ
วิธีการหาตาแหน่งที่ของข้อมูลมีดังนี้
1. การวัดตาแหน่งที่โดยใช้ควอร์ไทล์ ( Quartile)
2. การวัดตาแหน่งที่โดยใช้เดไซล์ ( Decile )
3. การวัดตาแหน่งที่โดยใช้เปอร์เซนต์ไทล์ (Percentile)
การวัดตาแหน่งของข้อมูลแบบควอร์ไทล์ คือ การแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆกัน โดยเมื่อเรียงลาดับ
ข้อมูลจากน้อยไปหามาก ค่าที่ตรงจุดแบ่ง 3 จุดเรียกว่า ควอร์ไทล์ที่ 1 (Q1) ควอร์ไทล์ที่ 2 (Q2) ควอร์ไทล์ที่ 3 (Q3)
ตามลาดับ ดังนั้น
Q1 Q2 Q3
Q1 คือ ค่าของข้อมูลที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ หนึ่งในสี่ของข้อมูลทั้งหมด
Q2 คือ ค่าของข้อมูลที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ สองในสี่ของข้อมูลทั้งหมด
Q3 คือ ค่าของข้อมูลที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ สามในสี่ของข้อมูลทั้งหมด
การวัดตาแหน่งของข้อมูลแบบเดไซล์ คือ การแบ่งข้อมูลออกเป็น 10 ส่วนเท่าๆกัน โดยเมื่อเรียงลาดับ
ข้อมูลจากน้อยไปหามาก ค่าที่ตรงจุดแบ่ง 9 จุดเรียกว่า เดไซล์ ที่ 1 (D1) เดไซล์ ที่ 2 (D2) เดไซล์ ที่ 3 (D3) . . .
เดไซล์ ที่ 9 (D9) ตามลาดับ ดังนั้น
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
D1 คือ ค่าของข้อมูลที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ หนึ่งในสิบของข้อมูลทั้งหมด
D2 คือ ค่าของข้อมูลที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ สองในสิบของข้อมูลทั้งหมด
D3 คือ ค่าของข้อมูลที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ สามในสิบของข้อมูลทั้งหมด
-
-
-
D9 คือ ค่าของข้อมูลที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ เก้าในสิบของข้อมูลทั้งหมด
การวัดตาแหน่งของข้อมูลแบบเปอร์เซนต์ไทล์ คือ การแบ่งข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกัน โดยเมื่อ
เรียงลาดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก ค่าที่ตรงจุดแบ่ง 99 จุดเรียกว่า เปอร์เซนต์ไทล์ ที่ 1 (P1) เปอร์เซนต์ไทล์ ที่ 2 (P2)
เปอร์เซนต์ไทล์ ที่ 3 (P3) . . . เปอร์เซนต์ไทล์ ที่ 99 (P99) ตามลาดับ ดังนั้น

2
P1 P2 P3 P4 .............................................................................. P97 P98 P99
P10 คือ ค่าของข้อมูลที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณร้อยละ 10 ของข้อมูลทั้งหมด
P40 คือ ค่าของข้อมูลที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณร้อยละ 40 ของข้อมูลทั้งหมด
จงตอบคาถามต่อไปนี้
ถ้าคะแนนสอบวิชาภาษาไทยของณเดชตรงกับตาแหน่ง P70 ข้อความใดต่อไปนี้เป็นจริง
1) คะแนนสอบวิชาภาษาไทยของณเดชเท่ากับ 70 %
2) 30 % ของคนที่สอบวิชาภาษาไทยเหมือนณเดชได้คะแนนน้อยกว่าหรือเท่ากับคะแนนที่ณเดชได้
3) 70 % ของคนที่สอบวิชาภาษาไทยเหมือนณเดชได้คะแนนเท่ากับคะแนนที่ณเดชได้
4) 70 % ของคนที่สอบวิชาภาษาไทยเหมือนณเดชได้คะแนนน้อยกว่าหรือเท่ากับคะแนนที่ณเดชได้
การวัดตาแหน่งที่ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
การหา Qr , Dr และ Pr ให้ r แทนตาแหน่ง , N แทนจานวนข้อมูลทั้งหมด
ขั้นที่ 1 เรียงลาดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก
ขั้นที่ 2 หาตาแหน่ง ของ Qr , Dr และ Pr
2.1 ตาแหน่ง Qr = )1(
4
N
r
2.2 ตาแหน่ง Dr = )1(
10
N
r
2.3 ตาแหน่ง Pr = )1(
100
N
r
ขั้นที่ 3 หาค่าของ Qr , Dr และ Pr
3.1 ถ้าตาแหน่งเป็นจานวนเต็มอ่านค่าได้จากตาราง
3.2 ถ้าตาแหน่งเป็นทศนิยม 0.5 หาค่าเฉลี่ย
3.3 ถ้าเป็นทศนิยมอื่นๆ ใช้การประมาณค่า
ตัวอย่างที่ 1 กาหนดคะแนนสอบของนักเรียน 9 คน ดังนี้
26 , 45 , 34 , 12, 11 , 49 , 50 , 43 , 37 จงหา Q2 , Q3 , D5 , D8 , P20 , P90
วิธีทา 1. เรียงลาดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก
ตาแหน่งที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
คะแนน 11 12 26 34 37 43 45 49 50
2. หาตาแหน่ง Q2 , Q3 , D5 , D8 , P20 , P90 โดยใช้สูตร )N(
r
1
4
 , )N(
r
1
10
 , )N(
r
1
100

1) ตาแหน่งของ Q2 = )( 19
4
2
 = 5
ดังนั้น ค่าของ Q2 = 37 คะแนน @@@
2) ตาแหน่งของ Q3 = )( 19
4
3
 = 7.5
ดังนั้น ค่าของ Q2 =
2
4945 
= 47 คะแนน
3) ตาแหน่งของ D5 = )( 19
10
5
 = 5
ดังนั้น ค่าของ D5 = 37 คะแนน @@@
4) ตาแหน่งของ D8 = )( 19
10
8
 = 8
ดังนั้น ค่าของ D5 = 49 คะแนน @@@
5) ตาแหน่งของ P20 = )( 19
100
20
 = 2
ดังนั้น ค่าของ P20 = 12 คะแนน @@@
6) ตาแหน่งของ P90 = )( 19
100
90
 = 9
ดังนั้น ค่าของ P90 = 50 คะแนน @@@

3
การวัดตาแหน่งที่ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
การหา Qr , Dr และ Pr ให้ r แทนตาแหน่ง , N แทนจานวนข้อมูลทั้งหมด
ขั้นที่ 1 เรียงลาดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก
ขั้นที่ 2 หาตาแหน่ง ของ Qr , Dr และ Pr
2.1 ตาแหน่ง Qr = )1(
4
N
r
2.2 ตาแหน่ง Dr = )1(
10
N
r
2.3 ตาแหน่ง Pr = )1(
100
N
r
ขั้นที่ 3 หาค่าของ Qr , Dr และ Pr
3.1 ถ้าตาแหน่งเป็นจานวนเต็มอ่านค่าได้จากตาราง
3.2 ถ้าตาแหน่งเป็นทศนิยม 0.5 หาค่าเฉลี่ย
3.3 ถ้าเป็นทศนิยมอื่นๆ ใช้การประมาณค่า
วิธีที่ 1 อัตราส่วน
วิธีที่ 2 การเทียบบัญญัติไตรยางค์
วิธีที่ 3 ใช้สูตร
การประมาณค่า ควอร์ไทล์ เดไซล์ เปอร์เซ็นต์ไทล์
ตัวอย่างที่ 2 คะแนนสอบของนักเรียน 6 คน ดังนี้
8 , 14 , 18 , 20 , 23 , 25 จงหา Q1 , Q3 และ P40
วิธีทา
คะแนน 8 14 18 20 23 25
ตาแหน่ง 1 2 3 4 5 6
ตาแหน่ง Q1 =
4
)16(1 
= 1.75
4
)16(3 
= 5.25
ตาแหน่ง P40 =
100
1640 )( 
= 2.8
วิธีที่ 1 ใช้อัตราส่วน
วงเล็บใหญ่
วงเล็บเล็ก
=
1.1 หา Q1
8 1
Q1 1.75
14 2

814
81

Q
=
12
1751

.
Q1 – 8 = 60.75
Q1 – 8 = 4.5
Q1 = 4.5 + 8
Q1 = 12.5
1.2 หา Q3
23 5
Q3 5.25
25 6

2325
233

Q
=
56
5255

.
Q1 – 23 = 20.25
Q1 – 23 = 0.5
Q1 = 0.5 + 23
Q1 = 23.5

4
ความถี่สะสมต่างกัน 2 – 1 = 1 คะแนนต่างกัน 14 - 8 = 6
ความถี่สะสมต่างกัน 1.75 – 1 = 0.75 คะแนนต่างกัน 60.75 = 4.5
ค่าของ Q1 = 8 + 4.5 = 12.5
ความถี่สะสมต่างกัน 6 – 5 = 1 คะแนนต่างกัน 25 - 23 = 2
ความถี่สะสมต่างกัน 5.25 – 5 = 0.25 คะแนนต่างกัน 20.25 = 0.5
ค่าของ Q3 = 23 + 0.5 = 23.5
3.1 ถ้าตาแหน่ง Q1 = .75
2
2ค่า
2
2ค่า1ค่า


=
2
14
2
148


=
2
1411
= 12.5
3.2 ถ้าตาแหน่ง Q3 = .25
2
2
2ค่า1ค่า
1ค่า


=
2
2
2523
23


=
2
2423
= 23.5
หา P40
14 2
P40 2.8
18 3

1418
1440

P
=
23
28.2


P40 - 14 = 0.8  4
P40 = 3.2 + 14
P40 = 17.2
ขั้นที่3 ตรวจสอบคาตอบ
3. การใช้โปรแกรม SPSS วิเคราะห์ข้อมูลค่าของควอร์ไทล์เดไซล์และเปอร์เซนต์ไทล์ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
1. เข้าโปรแกรมสาเร็จรูป (SPSS)
2. กาหนดตัวแปร(Variable View) x
3. กรอกข้อมูล(Data View) ในช่อง x (นักเรียนกาหนดข้อมูลขึ้นมาเอง)
4. วิเคราะห์ข้อมูล Analyze เลือก descriptive statistics เลือก frequencies
x ส่งมาช่อง Variable

5
5. เลือก statistics จะปรากฏหน้าต่าง
เลือก Quartile Q1 , Q2 , Q3 ตรงกับP25 , P50 , P75 , P40 ตามลาดับ
เลือก Percentile ถ้าเป็นตาแหน่งอื่นๆ เช่น P45 , P60 , P80
6. ผลการวิเคราะห์ข้อมูล
Statistics
X
6
0
12.5000
17.2000
19.0000
23.5000
V alid
Missing
N
25
40
50
75
Percentiles
2.2 การวัดตาแหน่งของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
2.2.2 การหาควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซนต์ไทล์
ของข้อมูลที่แจงแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น
วิธีการคานวณ
1. หาความถีสะสม
2. หาตาแหน่ง
2.1 ตาแหน่ง Qr =
4
rN
2.2 ตาแหน่ง Dr =
10
rN
2.3 ตาแหน่ง Pr =
100
rN
3. ค่าของ หาควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซนต์ไทล์
3.1 ถ้าตาแหน่งของ Qr , Dr , Pr เท่ากับความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นใด ขอบบนของอันตรภาคชั้นนั้น
จะเป็นค่าของ Qr , Dr , Pr เช่น 5 – 9 ขอบบนเท่ากับ 9.5
3.2 ถ้าตาแหน่งของ Qr , Dr , Pr ไม่เท่ากับความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นใด

6
วิธีที่ 1 ใช้สูตร Qr = L + i












12
1
4
cfcf
cf
rN
Dr = L + i












12
1
10
cfcf
cf
rN
Pr = L + i












12
1
100
cfcf
cf
rN
L เป็นขอบล่าง ของชั้นที่มี Qr , Dr , Pr
i เป็นความกว้างของอันตรภาคชั้น N เป็นจานวนข้อมูลทั้งหมด
cf1 เป็นความถี่สะสมของชั้นก่อนตาแหน่งที่มี Qr , Dr , Pr อยู่
cf2 เป็นความถี่สะสมของชั้นหลังตาแหน่งที่มี Qr , Dr , Pr อยู่
วิธีที่ 2 ใช้อัตราส่วน (ตั้งสัดส่วน)
=
ตัวอย่างที่ 1 คะแนนสอบกลางภาควิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 5 ค33201 ของนักเรียน 40 คน ดังนี้
จงหา Q2 , D7 , P90 และ P50
วิธีทา
คะแนน ความถี่ ความถี่สะสม
1 – 5 8 8
6 - 10 16 24
11 – 15 10 34
16 - 20 6 40
รวม 40 -
1. หา Q2
1) ตาแหน่ง Q2 =
4
)40(2
= 20
ให้ x เป็นค่าของ Q2
ช่วงคะแนน ความถี่สะสม
1 – 5 8
x 20
6 – 10 24
ช่วงคะแนน 1 – 5 ขอบบน 5.5
ตั้งสัดส่วน
510
55

 .x
=
824
820


x – 5.5 = 5
16
12

x = 3.75 + 5.5
x = 9.25
ดังนั้น ค่าของ Q2 เท่ากับ 9.25 คะแนน @@@
2. หา D7
2) ตาแหน่ง D7 =
10
)40(7
= 28
ให้ x เป็นค่าของ D7
6 – 10 24
x 28
11 - 15 34
1015
510

 .x
=
2434
2428


x – 10.5 = 5
10
4

x = 2 + 10.5
x = 12.5
ดังนั้น ค่าของ D7 เท่ากับ 12.5 คะแนน @@@

7
3. หา P90
3) ตาแหน่ง P90 =
100
4090 )(
= 36
ให้ x เป็นค่าของ P90
11 – 15 34
x 36
16 - 20 40
1520
515

 .x
=
3440
3436


x – 15.5 = 5
6
2

x = 1.67 + 15.5
x = 17.17
ดังนั้น ค่าของ P90 เท่ากับ 17.67 คะแนน @@@
4. หา P50
4) ตาแหน่ง P50 =
100
4050 )(
= 20
ให้ x เป็นค่าของ P50
1 – 5 8
x 20
6 – 10 24
510
55

 .x
=
824
820


x – 5.5 = 5
16
12

x = 3.75 + 5.5
x = 9.25
ดังนั้น ค่าของ P50 เท่ากับ 9.25 คะแนน @@@
2.3 การหาตาแหน่ง ( ค่า r ) ของ Qr , Dr , Pr
นักเรียนคนหนึ่งสอบได้คะแนน 70 คะแนน จงหาว่า คะแนนของนักเรียนคนนี้อยู่ที่ตาแหน่ง
ควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซนต์ไทล์ ที่เท่าไร
วิธีการคานวณค่า r
1. หาความถี่สะสม
2. ตั้งสัดส่วน
2.1 เลือกอันตรภาคชั้น
2.2 หาขอบบน
2.3 ให้ค่า y เป็นค่าของความถี่สะสม ของ Qr , Dr , Pr ของคะแนนที่ได้
3. หาตาแหน่ง (ค่า r)
3.1 ตาแหน่ง Qr =
4
rN
r =
N
Qr4
3.2 ตาแหน่ง Dr =
10
rN
r =
N
Dr10
3.3 ตาแหน่ง Pr =
100
rN
r =
N
Pr100
ตัวอย่างที่ 1 ในการสอบครั้งนี้มีนักเรียน 10 คน ที่ได้คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์เท่ากับหรือน้อยกว่า 25 คะแนน
ถ้าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 ของคะแนนสอบครั้งนี้เท่ากับ 25 คะแนน จงหาจานวนนักเรียนทั้งหมดที่เข้าสอบ
วิธีทา มีนักเรียน 12 คน ที่ได้คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์เท่ากับหรือน้อยกว่า 25 คะแนน
P25 = 25 คะแนน ถ้ามีนักเรียนเข้าสอบทั้งหมด N คน
จะได้ Pr =
100
rN
100
25N
= 10
N = 40
ดังนั้น การสอบครั้งนี้มีนักเรียนทั้งหมด 40 คน

8
ตัวอย่างที่ 2 ถ้าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 40 ของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์คือ 78 คะแนนและมีนักเรียน 12 คน
ที่ได้คะแนนเท่ากับหรือน้อยกว่า 78 คะแนน อยากทราบว่ามีนักเรียนกี่คนที่ได้คะแนนมากกว่า 78 คะแนน
วิธีทา ถ้ามีนักเรียนเข้าสอบทั้งหมด N คน
จาก Pr =
100
rN
จะได้
100
40N
= 12
N = 30
ดังนั้น มีนักเรียนที่ได้คะแนนมากกว่า 78 คะแนน อยู่ 30 – 12 = 18 คน
ตัวอย่างที่ 3 ถ้ามีนักเรียน 20 คน จากนักเรียนทั้งหมด 25 คน ได้คะแนนน้อยกว่าหรือเท่ากับคือ 92 คะแนน
อยากทราบว่าเปอร์เซ็นไทล์ของคะแนน 92 คะแนนเท่ากับเท่าใด
วิธีทา เนื่องจาก มีนักเรียน 20 คน จากนักเรียนทั้งหมด 25 คน คิดเป็น 100
25
20
 = 80%
ดังนั้น 92 คะแนน คือ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 80
ตัวอย่างที่ 4 ข้อมูลต่อไปนี้เป็นคะแนนสอบวิชา สถิติ ของนักเรียน 120 คน
คะแนน จานวนนักเรียน(คน) ความถี่สะสม
0 – 19 10 10
20 –39 16 26
40 – 59 32 58
60 – 79 40 98
80 - 99 22 120
รวม 120
จงหา
1. สุชาติสอบได้คะแนน 65.5 คะแนน จงหาตาแหน่งเปอร์เซนไทล์ของสุชาติ
2. สุพจน์สอบได้คะแนน 90 คะแนน จงหาตาแหน่งเดไซล์ของสุพจน์
3. จงหาคะแนนต่าสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนสงสุด ซึ่งนักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น 30 % ของนักเรียนทั้งชั้น
4. จงหาคะแนนสูงสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนต่าสุด ซึ่งนักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น 20 %ของนักเรียนทั้งชั้น
1. ให้ y เป็นความถี่สะสมของคะแนน 65.5 คะแนน
40 – 59 58
65.5 y
60 – 79 98
5979
559565

 ..
=
5898
58

y
40
20
6
 = y - 58
12 + 58 = 70 = y ( ความถี่สะสมของ Pr)
หาตาแหน่ง (r) จาก ตาแหน่ง Pr =
100
rN
r =
N
Pr100
=
120
70100 )(
= 58.33
นั่นคือ สุชาติได้คะแนน ตรงกับเปอร์เซนไทล์58.33 @
2. ให้ y เป็นความถี่สะสมของคะแนน 90 คะแนน
60 – 79 98
70 y
80 – 99 120
7999
57990

 .
=
98120
98

y
22
20
510

.
= y - 98
11.55 + 98 = 109.55 = y ( ความถี่สะสมของ Pr)
หาตาแหน่ง (r) จาก ตาแหน่ง Dr =
10
rN
r =
N
Dr10
=
120
5510910 ).(
= 9.13
นั่นคือ สุพจน์ได้คะแนน ตรงกับเดไซล์9.13 @

9
10 , 9 , 8 2 , 3 , 4
7 5 , 6
ตัวอย่างกลุ่มคะแนนสูง ตัวอย่างกลุ่มคะแนนต่า
3. จงหาคะแนนต่าสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุด
ซึ่งนักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น 30 % ของนักเรียนทั้งชั้น
เนื่องจากกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนสงสุด
ซึ่งนักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น 30 % ของนักเรียนทั้งชั้น
= 120
100
30
 = 36
( หมายความว่า 1 –35 ได้คะแนนกลุ่มสูง)
ดังนั้น นักเรียนที่ได้คะแนนต่าสุดของกลุ่มนี้อยู่ในตาแหน่งที่
120 – 35 = 85
ให้ x แทนคะแนนต่าสุดของนักเรียนกลุ่มนี้
40 – 59 58
x 85
60 – 79 98
5979
559

 .x
=
5898
5885


x - 59.5 = 20
40
27

x = 13.5 + 59.5 = 73
นั่นคือ คะแนนต่าสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนสูง
เท่ากับ 73 คะแนน @
4. จงหาคะแนนสูงสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนต่าสุด ซึ่ง
นักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น 20 % ของนักเรียนทั้งชั้น
เนื่องจาก กลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนต่าสุด ซึ่งนักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น
20 % ของนักเรียนทั้งชั้น
= 120
100
20
 = 24
ดังนั้นนักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุดของกลุ่มนี้อยู่ในตาแหน่งที่ 24
ให้ x แทนคะแนนต่าสุดของนักเรียนกลุ่มนี้
0 – 19 10
x 24
20 – 39 26
1939
519

 .x
=
1026
1024


x - 19.5 = 20
16
14

x = 17.5 + 19.5 = 37
นั่นคือ คะแนนสูงสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนต่าสุด
เท่ากับ 37 คะแนน @
การประมาณค่า ควอร์ไทล์ เดไซล์ เปอร์เซ็นต์ไทล์
ข้อมูล 8 14 18 20 23 25
ตาแหน่ง 1 2 3 4 5 6
4
161 )( 
= 1.75
4
163 )( 
= 5.25
ความถี่สะสมต่างกัน 1 คะแนนต่างกัน 14 - 8 = 6
ความถี่สะสมต่างกัน .75 คะแนนต่างกัน 6.75 = 4.5
ค่าของ Q1 = 8 + 4.5 = 12.5
ความถี่สะสมต่างกัน 1 คะแนนต่างกัน 25 - 23 = 2
ความถี่สะสมต่างกัน .25 คะแนนต่างกัน 2.25 = 0.5
ค่าของ Q3 = 23 + 0.5 = 23.5
2.1 ถ้าตาแหน่ง Q1 = .75
2
2
2
21
ค่า
ค่าค่า


=
2
14
2
148


=
2
1411
= 12.5
2.2 ถ้าตาแหน่ง Q3 = .25
2
2
21
1
ค่าค่า
ค่า


=
2
2
2523
23


=
2
2423
=23.5

10
ขั้นที่ 3 ตรวจสอบคาตอบ วิเคราะห์ข้อมูลด้วยโปรแกรม SPSS
ค่าของควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซนต์ไทล์ ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
1. เข้าโปรแกรมสาเร็จรูป (SPSS)
2. กาหนดตัวแปร(Variable View) x
3. กรอกข้อมูล(Data View) ในช่อง x (นักเรียนกาหนดข้อมูลขึ้นมาเอง)
4. วิเคราะห์ข้อมูล Analyze เลือก descriptive statistics เลือก frequencies
5. เลือก statistics จะปรากฏหน้าต่าง
เลือก Quartile Q1 , Q2 , Q3 ตรงกับP25 , P50 , P75 ตามลาดับ
เลือก Percentile ถ้าเป็นตาแหน่งอื่นๆ เช่น P45 , P60 , P80
6. ผลการวิเคราะห์ข้อมูล
Statistics
X
9
0
19.0000
37.0000
47.0000
V alid
Missing
N
25
50
75
Percentiles
Statistics
X
9
0
35.5000
43.0000
45.0000
V alid
Missing
N
45
60
70
Percentiles

11
บทที่ 1.3 การวัดการกระจายของข้อมูล
การวัดการกระจาย มี 2 แบบ คือ
1. การวัดการกระจายสัมบูรณ์ ( absolute variation ) คือการวัดการกระจายของข้อมูลเพียงชุดเดียว
2. การวัดการกระจายสัมพัทธ์ ( relative variation ) คือการวัดการกระจายของข้อมูลแต่ละชุดเพื่อนาไป
เทียบกับการกระจายกับข้อมูลชุดอื่นๆ
3.1 การวัดการกระจายสัมบูรณ์ที่นิยมใช้มี 4 ชนิด คือ
1. พิสัย ( range ) คือผลต่างระหว่างข้อมูลที่มีค่าสุงสุดกับข้อมูลที่มีค่าต่าสุด สัญลักษณ์ R
พิสัย = Xmax - Xmin
2. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ หรือกึ่งควอร์ไทล์ (quartile deviation or semi-interquartile range)
ใช้สัญลักษณ์ Q.D. =
2
13 QQ 
3. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ( mean deviation or average deviation )ใช้สัญลักษณ์ M.D.
M.D. =
n
|Xx|
n
i
i 
1
4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( standard deviation ) สัญลักษณ์ S.D. หรือ S หรือ 
สูตรที่ 1 S.D. =
1
2
1

 

n
)Xx(
n
i
i
)n(n
)x(xn
n
i
n
i
1
1 1
22

 
 
2. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
2.1 ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
ตัวอย่างที่ 1 คะแนนสอบกลางภาคของนักเรียน 9 คน ดังนี้
18 , 16 , 10 , 12 , 6 , 13 , 14 , 11 , 8
จงหาพิสัย ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
วิธีทา 1. พิสัย = Xmax - Xmin
= 18 – 6 = 12
2. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ Q.D. =
2
13 QQ 
คะแนน 6 8 10 11 12 13 14 16 18
ตาแหน่ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2.1 หา Q3 2.2 หา Q1
1) ตาแหน่ง Qr =
4
)1( Nr
Q3 =
4
)19(3 
= 7.5
2) ค่าของ Q3 =
2
1614 
= 15
1) ตาแหน่ง Qr =
4
)1( Nr
Q1 =
4
)19(1 
= 2.5
2) ค่าของ Q1 =
2
108 
= 9
ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ Q.D. =
2
13 QQ 
=
2
915 
= 3 @

12
3) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
1) หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต X =
n
x
=
9
108
= 12
18 , 16 , 10 , 12 , 6 , 13 , 14 , 11 , 8
2) | x - X | = | 6 – 12 | + | 8 – 12 | + | 10 – 12 | + | 11 – 12 |+| 12 – 12 | +
| 13 – 12 |+| 14 – 12 | + | 16 – 12 |+| 18 – 12 |
= 6 + 4 + 2 + 1+ 0 + 1 + 2 + 4 + 6 = 26
M.D. =
n
|Xx|
n
i
i 
1
=
9
26
= 2.89 @
4) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต X =
n
x
=
9
108
= 12
1
2
1

 

n
)Xx(
n
i
i
19
12181216121412131212121112101286 222222222

 )()()()()()()()()12(
=
8
3616410141636 
=
8
114
= 2514. = 3.774  3.77
1.2 ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
ตัวอย่างที่ 1 ข้อมูลต่อไปนี้เป็นคะแนนสอบกลางภาควิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 5
ซึ่งมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน ของนักเรียน 20 คน ดังนี้
คะแนน ความถี่ (f) cf
1 – 5 4 4
6 – 10 5 9
11- 15 8 17
16 - 20 3 20
รวม 20
จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
วิธีทา จาก ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ Q.D. =
2
13 QQ 
หาค่าของ Q3
ตาแหน่งของ Q3 = )20(
4
3
= 15
จะได้
5
5103 .Q 
=
917
915


Q3 – 10.5 = 5
8
6

Q3 = 105 + 3.75
= 14.25
หาค่าของ Q1
ตาแหน่งของ Q1 = )20(
4
1
= 5
จะได้
5
551 .Q 
=
49
45


Q1 – 5.5 = 5
5
1

Q1 = 5.5 + 1
= 6.5

13
Q.D. =
2
13 QQ 
=
2
5.625.14 
= 3.875
ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของข้อมูลเท่ากับ 3.875 คะแนน @
3. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ( mean deviation or average deviation )ใช้สัญลักษณ์ M.D.
3.1 ข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
M.D. =
n
|Xx|
k
i
i 
1
ตัวอย่างที่ 1 ข้อมูลคะแนนสอบของนักเรียน 5 คน ดังนี้
18 , 16 , 10 , 12 , 14 , จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
วิธีทา 1) หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต X =
n
x
=
5
70
= 14
2) | x - X | = | 18 – 14 | + | 16 – 14 | + | 10 – 14 | +| 12 – 14 | + | 14 – 14 |
= 4 + 2 + 4 + 2 + 0 = 12
M.D. =
n
|Xx|
n
i
i 
1
=
5
12
= 2.4 @
3.2 ข้อมูลที่แจกแจงความถี่
M.D. =
n
|Xx|
k
i
i 
1
ตัวอย่างที่ 3.1 ข้อมูลต่อไปนี้เป็นคะแนนสอบกลางภาควิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 5
จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
วิธีทา ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (X ) =
n
Xf
N
i
ii
1
=
20
210
= 10.5
M.D. =
n
|Xx|f
k
i
ii 
1
=
20
85
= 4.25
ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของคะแนนสอบเท่ากับ 4.25 คะแนน
คะแนน ความถี่ (f) จุดกึ่งกลาง (x) (f)(x) f |x -X |
1 – 5 4 3 12 4 |3-10.5| = 4(7.5) = 30
6 – 10 5 8 40 5|8-10.5| = 5 (2.5) = 12.5
11- 15 8 13 104 8|13-10.5| = 8 (2.5) = 20
16 - 20 3 18 54 3|18-10.5| = 3 (7.5) = 22.5
รวม 20 fx = 210 |Xx|f  = 85

14
ตัวอย่างที่ 3.2 คะแนนสอบปลายภาควิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 5 ค33201ของนักเรียน 40 คน ดังนี้
จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
คะแนน f x fx | x - X | f| x - X |
5 - 9 12 7 84 | 7 – 12.5 | = 5.5 12x5.5 = 66
10 – 14 16 12 192 | 12 – 12.5| = 0.5 16x0.5 = 8
15 - 19 8 17 136 | 17 – 12.5 | = 4.5 8x4.5 = 36
20 - 24 4 22 88 | 22 – 12.5 | = 9.5 4x9.5 = 38
รวม 40 - fx = 500 -   |Xx|f = 148
วิธีทา หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต X =
n
xf
n
i
ii
1
=
40
500
= 12.5
M.D. =
n
|Xx|f
k
i
ii 
1
=
40
148
= 3.7 @
4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( standard deviation ) สัญลักษณ์ S.D. หรือ S หรือ 
 แทน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร
S.D. หรือ S แทน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง
ข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร
สูตรที่ 1  =
N
)x(
N
i
i
2
1
 

สูตรที่ 2  = 21
2



N
x
N
i
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง
1
2
1

 

n
)Xx(
n
i
i
)n(n
)x(xn
n
i
n
i
1
1 1
22

 
 
ข้อมูลที่แจกแจงความถี่
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร
สูตรที่ 1  =
N
)x(f
N
i
ii
2
1
 

สูตรที่ 2  = 21
2



N
xf
N
i
i
1
2
1

 

n
)Xx(f
n
i
ii
1
2
1
2

 

n
Xnxf
n
i
ii

15
1. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
ตัวอย่างที่ 4.1 คะแนนสอบกลางภาคของนักเรียน 5 คน ดังนี้
2 , 4 , 6 , 8 , 10 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และถ้า
กลุ่มที่ 1 นา 2 บวก กลุ่มที่ 2 นา 2 ลบ
กลุ่มที่ 3 นา 2 คูณ กลุ่มที่ 4 นา 2 หาร
จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่
วิธีทา 1) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิม 2 , 4 , 6 , 8 , 10
1) หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต X =
n
x
=
5
30
= 6
สูตร ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Sเดิม) =
1
2
1

 

n
)xx(
n
i
i
=
15
61068666462 22222

 )()()()()(
=
4
1640416 
= 10 = 3.262  3.16
2) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดกลุ่มที่ 1 นา 2 บวก
ข้อมูลใหม่ คือ 4 , 6 , 8 , 10 , 12
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต =
5
40
= 8
S.ใหม่ =
15
812810888684 22222

 )()()()()(
=
4
1640416 
= 10 = 3.162  3.16
3) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดกลุ่มที่ 2 นา 2 ลบ
ข้อมูลใหม่ คือ 0 , 2 , 4 , 6 , 8
5
20
= 4
Sใหม่ =
15
8846444240 22222

 )()()()()(
=
4
1640416 
= 10 = 3.162  3.16
4) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดกลุ่มที่ 3 นา 2 คูณ
ข้อมูลใหม่ คือ 4 , 8 , 12 , 16 , 20
5
60
= 12
S.ใหม่ =
15
122012161212128124 22222

 )()()()()(
=
4
641601664 
= 40 = 2 10  6.32

16
5) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดกลุ่มที่ 4 นา 2 หาร
ข้อมูลใหม่ คือ 1 , 2 , 3 , 4 , 5
5
15
= 3
Sใหม่ =
15
3534333231 22222

 )()()()()(
=
4
41014 
= 52. = 1.58
4.2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
1
2
1

 

n
)Xx(f
n
i
ii
1
2
1
2

 

n
Xnxf
n
i
ii
คะแนน ความถี่ (f) x (f)(x) f (x -X )2
1 – 5 4 3 12 4(7.5)2
= 225
6 – 10 5 8 40 5(2.5)2
= 31.25
11- 15 8 13 104 8(2.5)2
= 50
16 - 20 3 18 54 3(7.5)2
= 168.75
รวม 20 fx = 210 2
  )Xx(f = 475
จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
วิธีทา ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (X ) =
n
Xf
N
i
ii
1
=
20
210
= 10.5
สูตรที่ 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน S =
1
2
1

 

n
)Xx(f
N
i
ii
=
19
475
= 25 = 5
ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับ 5 คะแนน @@

17
กิจกรรมฝึกทักษะ (นักเรียนฝึกใช้สูตรที่ 2)
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน สูตรที่ 2
S.D. =
1
2
1
2

 

n
Xnxf
n
i
ii
คะแนน ความถี่ (f) x (f)(x) fx2
1 – 5 4 3 12 4(3)2
=
6 – 10 5 8 40 5(8)2
=
11- 15 8 13 104 8(13)2
=
16 - 20 3 18 54 3(18)2
=
รวม 20 fx = 210 2
fx =
วิธีทา ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (X ) =
n
Xf
N
i
ii
1
=
20
210
= 10.5
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน สูตรที่ 2
S.D. =
1
2
1
2

 

n
Xnxf
n
i
ii
=
120
510202680 2

 ).(
=
19
22052680
=
19
475
= 25 = 5
ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับ 5 คะแนน @@@
ตัวอย่างที่ 2 คะแนนสอบปลายภาควิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 5 (ค33201) ของนักเรียน 40 คน ดังนี้
คะแนน f x fx x2
fx2
5 - 9 12 7 84 49 12 x 49 = 588
10 – 14 16 12 192 144 16 x 144 = 2304
15 - 19 8 17 136 289 8 x 289 = 2312
20 - 24 4 22 88 484 4 x 484 = 1936
รวม 40 - fx = 500 2
fx = 7140

18
วิธีทา หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต (X ) =
n
Xf
N
i
ii
1
=
40
500
= 12.5
1
2
1
2

 

n
Xnxf
n
i
ii
=
140
512407140 2

 ).(
=
39
62507140
=
39
890
= 8222. = 4.777  4.78
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานวิธีลัด ใช้กับข้อมูลที่อันตรภาคชั้นมีค่ามากๆ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน S.D. =
2
11
2













 
N
fd
N
fd
i
N
i
N
i
เมื่อ X คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต A คือค่าเฉลี่ยสมมติ ( ชั้นที่มีความถี่สูงสุด)
i คือความกว้างของอันตรภาคชั้น d =
i
AX 
ตัวอย่างที่ 2 ค่าจ้างรายวันของพนักงานบริษัทแห่งหนึ่งจานวน 200 คน ดังนี้
ค่าจ้าง(บาท) ความถี่(f) จุดกึ่งกลางชั้น
(X)
d =
i
AX  fd fd2
1 - 100 20 50.5 - 2 - 40 80
101 – 200 80 150.5 - 1 -80 80
201 – 300 50 250.5 ***A 0 - 0 0
301 - 400 40 350.5 1 40 40
401 – 500 10 450.5 2 20 40
รวม 200  fd = - 60  fd2
= 240
วิธีที่ 1 S.D. =
2
11
2













 
N
fd
N
fd
i
N
i
N
i
วิธีที่ 2 S.D. =
2
11
2













 
N
fd
N
fd
i
N
i
N
i

19
=
2
200
60
200
240
100 




 

=
2
2
200
60
)200(
200240
100 




 

x
= 2
)200(
360048000
100

= 44400
200
100

2
1
210.71  105.36
ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าจ้าง
ประมาณ 105.36 บาท @@@
=
2
200
60
200
240
100 




 

=
100
9
10
12
100 
=
100
9120
100

= 11.1100
 100(1.0536)
 105.36
ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าจ้าง
ประมาณ 105.36 บาท @@@
สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
1. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลใดๆ มีค่าเป็นจานวนบวกหรือศูนย์
S.D. =
N
xx
N
i
i
2
1
)(

0
2. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลเท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อ ทุกค่าในข้อมูลเท่ากันหมดและ
เท่ากับค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดนั้น
S.D. = 0 ก็ต่อเมื่อ
N
xx
N
i
i
2
1
)(

= 0
3. ถ้าคานวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน โดยใช้ค่ากลางของข้อมูลชนิดอื่นๆ ที่ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ได้จะมีค่ามากกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
N
ax
N
i
i
2
1
)(

>
N
)Xx(
N
i
i
2
1
 

เมื่อ a เป็นค่ากลางขอ’ข้อมูลที่ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
4. ถ้านาค่าคงตัว a ไปบวกเข้าหรือลบออกจากทุกค่าในข้อมูล ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่และ
ของข้อมูลเดิมจะเท่ากัน
5. ถ้านาค่าคงตัว a ไปคูณเข้าทุกค่าในข้อมูล ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่จะเท่ากับ
| a | คูณกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิม
6. ถ้านาค่าคงตัว a ไปหารเข้าทุกค่าในข้อมูล ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่จะเท่ากับ
| a | หารกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิม
7. ให้ x แทนค่าในข้อมูลชุดเดิม และ y แทนค่าในข้อมูลขุดใหม่ โดยที่ a และ b เป็นค่าคงตัว ถ้า Sx และ Syเป็น
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิมและชุดใหม่ตามลาดับ แล้ว Sy = | a | Sx
ความแปรปรวน ( variance ) = (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน)2
ใช้สัญลักษณ์ S.D.2
หรือ S2
หรือ 2
ความแปรปรวนรวม (S2
รวม)
ให้ N1 และ N2 เป็นจานวนข้อมูลของข้อมูลชุดที่ 1 และชุดที่ 2 ตามลาดับ
S1
2
และ S2
2
เป็นความแปรปรวนของข้อมูลชุดที่ 1 และชุดที่ 2 ตามลาดับ
X 1 และ X 2 เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 1 และชุดที่ 2 ตามลาดับ

20
1. ถ้า X 1 = X 2 แล้ว
S2
รวม =
21
2
12
2
11
NN
SNSN


2. ถ้า N1 = N2 และ X 1 = X 2 แล้ว
S2
รวม =
2
2
2
2
1 SS 
3. ถ้า X 1  X 2 แล้ว
S2
รวม =
21
2
22
2
11
2
22
2
11
NN
)XX(N)XX(NSNSN รวมรวม



ตัวอย่างที่ 1 จงหาความแปรปรวนรวมจากสิ่งที่กาหนดให้
N X S.D.
กลุ่มที่1 6 15 4
กลุ่มที่ 2 4 15 5
วิธีทา จาก ถ้า X 1 = X 2 แล้ว
S2
รวม =
21
2
12
2
11
NN
SNSN


=
46
)5(4)4(6 22


=
10
2096 
= 11.6 @@@
ตัวอย่างที่ 2 จากการสารวจค่าอาหารกลางวัน(บาท) ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ซึ่งมี 3 กลุ่ม กลุ่มที่ 1 มี 20 คน
กลุ่มที่ 2 มี 20 คน กลุ่มที่ 3 มี 10 คน และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของทั้ง 3 กลุ่มเป็น 2 , 3 และ 4 ตามลาดับ
จงหาความแปรปรวนรวม
วิธีทา S2
รวม =
321
2
33
2
22
2
11
NNN
SNSNSN


=
102020
)4(10)3(20)2(20 222


=
50
16018080 
=
50
420
= 8.4
ดังนั้นความแปรปรวนรวมของค่าอาหารกลางวันเท่ากับ 8.4 บาท2
@@@
ตัวอย่างที่ 3 นาย ก นาย ข และนาย ค มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุทั้งสามคนเท่ากับ 18 ปี
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุเท่ากับ 0 ถ้านาย ง นาอายุของเขามาคานวณด้วย
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของทั้งสี่คนจะเท่ากับ 20 ปี จงหา
1) พิสัยของอายุทั้งสี่คน
2) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุของทั้งสี่คน
วิธีทา ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุนาย ก ข และ ค เท่ากับ 0 ( จากสมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานข้อที่ 2 )
แสดงว่าคนทั้งสามมีอายุเท่ากัน และเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิต ดังนั้นอายุของคนทั้งสามเท่ากับ 18 ปี
ให้ x แทนอายุของนาย ง ดังนั้น
4
181818 x
= 20
x = 80 – 54 = 26 ปี
1) พิสัยของอายุทั้งสี่คน = 26 – 18 = 8 ปี
2) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุของทั้งสี่คน
S.D. =
N
)Xx(
N
i
i
2
1
 

=
4
)2026()2018()2018()2018( 2222


21
= 36444 
=
4
48
= 12
 3.46 @@@
การวัดการกระจายสัมพัทธ์
ใช้ในการเปรียบเทียบข้อมูลตั้งแต่ 2 ชุดขึ้นไปเพื่อตัดสินว่าข้อมูลชุดใดมีการกระจายมากกว่ากัน ค่าของการ
กระจายสัมพัทธ์ไม่มีหน่วยจึงสามารถวัดการกระจายของข้อมูลแต่ลุชุดที่มีหน่วยต่างกันได้
การวัดการกระจายมี 4 ชนิดคือ
1. สัมประสิทธิ์ของพิสัย ( coefficient of range ) =
minmax
minmax
XX
XX


2. สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (coefficient of quartile ) =
13
13
QQ
QQ


3. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (coefficient of mean deviation) = 
x
.D.M
4. สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน (coefficient of variation ) = 
x
.D.S
ตัวอย่างที่ 1 จงเปรียบเทียบการกระจายของราคาสินค้า 2 ชนิด ที่ได้จากร้านค้าที่ขายสินค้าดังกล่าว
สินค้าชนิดที่ที่ 1 6 7 8 9 12
สินค้าชนิดที่ 2 44 49 50 52 55
จงเปรียบเทียบตารางการกระจายของครอบครัวของอายุบุตรของครอบครัวทั้งสอง
ค่าสถิติ ราคาสินค้า (บาท )
สินค้าชนิดที่ 1 สินค้าชนิดที่ 2
1. ค่าควอร์ไทล์ที่ 1 (Q1) 6.50 46.50
2. ค่าควอร์ไทล์ที่ 3 (Q3) 10.50 53.50
3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (

X ) 8.40 50
4. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (Q.D.) 2 3.5
5. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D.) 1.68 2.8
6. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( S.D.) 2.06 3.63
7. สัมประสิทธิ์ของพิสัย =
minmax
minmax
XX
XX

 0.33 0.11
8. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
13
13
QQ
QQ

 0.24 0.07
9. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย 
x
DM .. 0.20 0.06
10. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของแปรแปรผัน 
x
DS .. 0.24 0.07
จากการเปรียบเทียบการวัดการกระจายสัมพัทธ์ของราคาสินค้า 2 ชนิดโดยวิธีต่างๆกัน จะเห็นว่าผลที่ได้
จากการวัดแต่ละวิธีเหมือนกันคือ ราคาสินค้าชนิดที่ 1 มีการกระจายมากกว่าราคาสินค้าชนิดที่ 2
ข้อสังเกต การวัดการกระจายสัมพัทธ์ไม่มีหน่วย

22
ตัวอย่างที่ 2 ถ้าสัมประสิทธิ์ของน้าหนักของนักเรียน
ห้องหนึ่ง เท่ากับ 0.5 นักเรียนที่หนักที่สุดในห้องมี
น้าหนัก 120 กิโลกรัม จงหาว่านักเรียนที่ผอมที่สุด
ในห้องมีน้าหนักเท่าไร
วิธีทา สัมประสิทธิ์ของพิสัย =
minmax
minmax
XX
XX


0.5 =
min
min
120
120
X
X


0.5 ( 120 + Xmin) = 120 - xmin
60 + 0.5 Xmin = 120 - xmin
1.5 xmin = 60
xmin = 40
ดังนั้น นักเรียนที่ผอมที่สุดในห้องมีน้าหนัก
เท่ากับ 40 กิโลกรัม @@@
ตัวอย่างที่ 3 สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ
0.4 และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 6 ถ้าส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานเท่ากับ 12 จงหาสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน
วิธีทา สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย = 
x
DM ..
0.4 =
x
6
x =
4.0
6
= 15
สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน = 
x
DS ..
=
15
12
= 0.8
ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน เท่ากับ 0.8 @@@
แบบฝึกทักษะชุดที่ 2.1
1. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 9 คน ดังนี้
35 31 42 43 30 35 49 48 25
จงหา 1) Q1 , D5 และ P60 2) Q3 , D4 และ P80
2. ถ้าคะแนนสอบปลายภาคของนักเรียนห้องหนึ่งจานวน 25 คน มีดังนี้
60, 65, 65, 67, 71, 70, 73, 75, 76, 76,
79, 81, 83, 84, 85, 85, 88, 89, 90, 92,
95, 96, 99, 100, 100
จงหาคะแนนที่อยู่ในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 68 ควอร์ไทล์ที่ 2 และเดไซล์ที่ 3
3. ในการสอบวิชาหนึ่งมีนักเรียนเข้าสอบ 32 คน คะแนนที่นักเรียนทาได้เป็นดังนี้
71 70 69 69 69 64 64 63
61 60 59 58 58 57 56 55
54 54 54 54 53 52 52 51
50 50 49 47 40 39 34 30
1) จงหาคะแนนที่มีจานวนนักเรียนซึ่งได้คะแนนน้อยกว่าคะแนนนี้อยู่ประมาณร้อยละ 30 และร้อยละ 55
2) จงหาคะแนนที่มีจานวนนักเรียนที่ได้คะแนนน้อยกว่าคะแนนนี้อยู่ประมาณ 4 ใน 10 และ 9 ใน 10
3) นักเรียนจะต้องสอบได้กี่คะแนนจึงจะมึผู้ที่สอบได้คะแนนน้อยกว่าอยู่ 3 ใน 4
4. อายุของนักเรียน 8 คนดังนี้ 20 , 18 , 16 , 16 , 15 , 14, 14 , 12 ปี

23
5. คะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ของนักเรียน 12 คน ดังนี้
20 , 22 , 15 , 18 , 18 , 24 , 16 , 22 , 26 , 19 , 25 , 27
6. การสอบแข่งขันคณิตคิดเร็วของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง โดยใช้ข้อสอบ 30 ข้อ
มีจานวนนักเรียนที่เข้าแข่งขัน 30 คน เวลา (นาที) ที่ใช้ในการคิดของนักเรียนที่เข้าร่วมการแข่งขันมีดังนี้
70 50 45 60 55 40 43 49 52 51
65 75 80 72 73 44 62 58 53 61
30 35 42 39 48 46 57 63 58 69
(1) ถ้ามีนักเรียนที่เข้าแข่งขันใช้เวลาในการทาข้อสอบน้อยกว่าสมชายและสมศักดิ์ประมาณร้อยละ 55 และ68
ตามลาดับสมชายและสมศักดิ์ใช้เวลาเท่าไรในการทาข้อสอบ
(2) จงหาเวลาที่ดวงใจใช้ในการทาข้อสอบ เมื่อทราบว่านักเรียนที่เข้าแข่งขันประมาณ 8 ใน 10 ใช้เวลาในการทา
ข้อสอบน้อยกว่าดวงใจ
(3) ถ้านักเรียนที่ใช้เวลาในการทาข้อสอบมากกว่านักเรียนที่เข้าแข่งขันทั้งหมดประมาณ 3 ใน 4 ได้รางวัลเป็นกล่อง
ดินสอ นักเรียนที่ได้รับรางวัลเป็นกล่องดินสอใช้เวลาในการทาข้อสอบน้อยที่สุดเท่าไร
8. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 9 คน ดังนี้
35 31 42 43 30 35 49 48 25
9. อายุของนักเรียน 8 คนดังนี้ 15,14 , 12 , 10 , 10 , 9 , 8 , 6 ปี
10. คะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ของนักเรียน 10 คน ดังนี้
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1. ตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวิชาสถิติของนักเรียน 40 คน ดังนี้
คะแนน 3 - 5 6 - 8 9 - 11 12 - 14 15 - 17
จานวน(คน) 4 6 10 12 8
จงหา Q2 , D4 และ P75
2. ตารางแจกแจงความถี่แสดงคะแนนสอบปลายภาควิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
จานวน 50 คน จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
คะแนน 10 - 14 15 - 19 20 - 24 25 - 29 30 - 34 35 -39
จานวน(คน) 3 7 10 14 9 7
จงหา Q3 , D7 และ P20

24
3. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จานวน 60 คน เป็นดังนี้
คะแนน 11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90
จานวน 1 2 4 12 20 10 5 6
1) นายเอสอบได้ 56 คะแนน อยู่ตาแหน่งเปอร์เซนไตล์ที่เท่าใด
2) นางสาวบีสอบได้ 66.5 คะแนน อยู่ตาแหน่งควอร์ไทล์ที่เท่าใด
3) นายเอฟสอบได้ 75.5 คะแนน อยู่ตาแหน่งเดไซล์ที่เท่าใด
4. ข้อมูลต่อไปนี้เป็นคะแนนสอบวิชา สถิติ ของนักเรียน 40 คน
คะแนน 20 - 26 27 - 33 34 - 40 41 - 47 48 - 54
จานวน(คน) 6 12 18 3 1
จงหา
1) สมชายสอบได้คะแนน 35.5 คะแนน อยู่ตาแหน่งเปอร์เซนไตล์ที่เท่าใด
2) สมลักษณ์สอบได้คะแนน 50 คะแนน อยู่ตาแหน่งเดไซล์ที่เท่าใด
3) จงหาคะแนนต่าสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุด ซึ่งนักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น 30 %
ของนักเรียนทั้งชั้น
4) จงหาคะแนนสูงสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนต่าสุด ซึ่งนักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น 20 %
ของนักเรียนทั้งชั้น
1. ครอบครัวหนึ่งมีบุตรเท่ากัน ครอบครัวละ 5 คน ซึ่งบุตรแต่ละคนมีอายุดังนี้
ครอบครัวที่ 1 14 18 20 23 25
ครอบครัวที่ 2 5 9 12 16 18
2. ครอบครัวหนึ่งมีบุตรเท่ากัน ครอบครัวละ 6 คน ซึ่งบุตรแต่ละคนมีอายุดังนี้
ครอบครัวที่ 1 8 14 18 20 23 25
ครอบครัวที่ 2 5 6 9 12 16 18
อายุบุตร (ปี )
ค่าสถิติ ครอบครัวที่ 1 ครอบครัวที่ 2
1. ค่าควอร์ไทล์ที่ 1
2. ค่าควอร์ไทล์ที่ 3
3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
4. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
5. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
6. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
7. สัมประสิทธิ์ของพิสัย
8. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
9. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
10. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของแปรแปรผัน

25
3. ปัจจุบัน อายุของนักเรียน 8 คนดังนี้ 15 14 12 10 10 9 8 6 จงหา
พิสัย , Q.D. , M.D. และS.D. ของอายุปัจจุบันและของอายุในอีก 5 ปีข้างหน้า
4. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล 10 ข้อมูลเท่ากับ 3 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 1
จงหาผลรวมกาลังสองของข้อมูลเดิม
5. มีนักเรียน 4 คน จากการสารวจเงินที่เขาติดตัวไปโรงเรียนเป็นค่าอาหารกลางวัน พบว่า มีฐานนิยมเท่ากับ
15 บาท มัธยฐานเท่ากับ 18 บาท และมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 19 บาท จงหา
1) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย 2) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
6. ถ้าสัมประสิทธิ์ของพิสัยของน้าหนักนักเรียนห้องหนึ่ง เท่ากับ 0.25 นักเรียนที่หนักที่สุดในห้องมีน้าหนัก
65 กิโลกรัม จงหาว่านักเรียนที่ผอมที่สุดในห้องมีน้าหนักเท่าไร
7. ตารางแจกแจงความถี่แสดงคะแนนสอบปลายภาควิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
จานวน 50 คน จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
คะแนน 10 - 14 15 - 19 20 - 24 25 - 29 30 - 34 35 -39
จานวน(คน) 3 7 10 14 9 7
8. จากการสารวจค่าอาหารกลางวันของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ซึ่งมี 3 กลุ่ม กลุ่มที่ 1 มี 20 คน
กลุ่มที่ 2 มี 30 คน กลุ่มที่ 3 มี 30 คน และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของทั้ง 3 กลุ่มเป็น 2 , 2.5 และ 1.5 ตามลาดับ
จงหาความแปรปรวนรวม

เอกสารตำแหน่งที่และกระจายปี

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to เอกสารตำแหน่งที่และกระจายปี

Similar to เอกสารตำแหน่งที่และกระจายปี (18)

More from krurutsamee

More from krurutsamee (20)

เอกสารตำแหน่งที่และกระจายปี