Discrete Mathematics & Its Applications (Graphs)

Discrete Mathematics & Its Applications
Chapter 10 : Graphs
Fahrul Usman
Institut Teknologi Bandung
Pengajaran Matematika
16/12/2015

Sub Topik
A. Graf dan Model Graf
B. Terminologi Dasar Graf dan Jenis Khusus
Graf
C. Representasi Graf dan Graf Isomorfik
D. Keterhubungan
Fahrul Usman / Pengajaran Matematika ITB
2

Sejarah Graf
Menurut catatan sejarah, jembatan
Konigsberg adalah masalah yang
pertama kali menggunakan graf
(tahun 1736). Ia memodelkan
masalah ini ke dalam graf. Daratan
(titik-titik yang dihubungkan oleh
jembatan dinyatakan sebagai titik
(noktah) yang disebut simpul (vertex)
dan jembatan dinyatakan sebagai
garis yang disebut sisi (edge).
3

Peta Sulawesi
Sebuah peta jaringan jalan raya yang
menghubungkan sejumlah kota di
Sulawesi. Peta tersebut adalah sebuah
graf yang dalam hal ini kota
dinyatakan sebagai bulatan
sedangkan jalan dinyatakan sebagai
garis. Dengan diberikannya peta
tersebut, kita dapat mengetahui
apakah ada lintasan jalan antara dua
buah kota.

A. GRAF DAN MODEL GRAF
Secara matematis, graf didefinisikan sebagai berikut :
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis
dengan notasi G = (V, E) yang dalam hal ini V adalah
himpunan tidak kosong dari simpul (vertices atau node) dan E
adalah himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan
sepasang simpul.
Simpul pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti a, b, c,
..., v, w, ... dengan bilangan asli 1, 2, 3, ..., atau gabungan
keduanya. Sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul
v dinyatakan dengan pasangan (u, v) atau dinyatakan dengan
e1, e2, e3, ... Dengan kata lain, jika e adalah sisi yang
menghubungkan simpul u dengan simpul v, maka e dapat kita
tuliskan, e = (u, v)
6

Contoh :
Gambar di atas memperlihatkan tiga buah graf G1, G2, dan G3.
G1 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E
V = 1, 2, 3, 4
E = (1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4)
V = 1, 2, 3, 4
E = (1,2), (1,3), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4), (3,4)
sisi ganda adalah (1,3) dan (3,4)
V = 1, 2, 3, 4
E = (1,2), (1,3), (1,3), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (3,4)
gelang (loop) adalah (3,3) berawal dan berakhir pada simpul yang sama
7

Jenis-jenis Graf
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu
graf. Secara umum dapat digolongkan menjadi dua jenis :
1. Graf sederhana (simple graph)
Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi ganda.
2. Graf tak-sederhana (unsimple graph)
Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang. Ada dua
macam graf tak sederhana, yaitu graf ganda (multigraph)
dan graf semu (pseudograph).
8

Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf
dibedakan atas 2 jenis yaitu :
1. Graf tak-berarah (undirected graph)
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf
tak-berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh
sisi tidak diperhatikan. Jadi, (u, v) = (v, u) adalah sisi yang
sama.
2. Graf berarah (directed graph)
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf
berarah, (u, v) dan (v, u) menyatakan dua buah sisi yang
berbeda dengan kata lain (u, v)  (v, u).
9

Jenis Sisi Sisi ganda
dibolehkan?
Sisi gelang
dibolehkan?
Graf sederhana Tak-berarah Tidak Tidak
Graf ganda Tak-berarah Ya Tidak
Graf semu Tak-berarah Ya Ya
Graf berarah Berarah Tidak Tidak
Graf ganda berarah Berarah Ya Ya
Graf campuran Berarah dan
tak-berarah
Ya Ya
10
Terminologi Graf

Model Graf
Jaringan Sosial
Contoh :
Acquaintanceship and Friendship
Graphs
Kita dapat menggunakan graf
sederhana untuk mewakili apakah dua
orang saling mengenal satu sama lain.
Apakah mereka berkenalan atau
berteman di sosial media. Setiap
orang dalam kelompok tertentu
diwakili oleh simpul dan sisi berarah
untuk menghubungkan dua orang
yang saling mengenal satu sama lain.

Contoh :
Influence Graphs
Dalam studi pengamatan perilaku suatu kelompok, orang-orang
tertentu dapat mempengaruhi pemikiran orang lain. Setiap orang
dari kelompok diwakili oleh simpul dan sisi berarah diwakili oleh
pengaruh dari simpul. Graf ini tidak mengandung gelang (loop).
Contoh, Deborah tidak dapat dipengaruhi, tapi dia bisa
mempengaruhi Brian, Fred, dan Linda. Ivone dan Brian dapat
mempengaruhi satu sama lain.

Jaringan Komunikasi
Contoh :
Call Graphs
Secara khusus, graf-ganda berarah dapat digunakan untuk model
panggilan, dimana setiap nomor telepon diwakili oleh simpul dan
setiap panggilan telepon diwakili oleh sisi berarah. Sebagai
contoh, pada gambar dibawah, 3 panggilan telah dibuat dari 732-
555-1234 ke 732-555-9876 dan 2 arah lain, tetapi tidak ada
panggilan telah dibuat dari 732-555-4444 ke salah satu 6 nomor
lain kecuali 732-555-0011.

Turnamen
Contoh :
Round-Robin Tournaments
Turnamen yang setiap tim bertanding dengan tim lainnya
hanya sekali disebut turnamen round-robin. Turnamen
semacam itu dimodelkan dengan graf berarah. Simpul
menyatakan tiap tim yang bertanding. Sisi (a, b) berarti tim a
berhasil mengalahkan tim b.
(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
(2,3), (2,4)
(4,3)
(5,2), (5,3), (5,4), (5,6)
(6,2), (6,3), (6,4)
Syarat : tidak boleh ada yang seri
Gambar tersebut memperlihatkan 6 buah tim. Tim 1 tidak terkalahkan,
sedangkan tim 3 tidak pernah menang.

B. TERMINOLOGI DASAR GRAF DAN
JENIS KHUSUS GRAF
Kita akan sering menggunakan istilah yang berkaitan dengan
graf. Dibawah ini didefinisikan beberapa terminologi yang
sering dipakai. Gambar dibawah ini akan digunakan untuk
memperjelas terminologi yang kita definisikan. G1 adalah graf
sederhana, G2 adalah graf semu, dan G3 adalah graf dengan
sebuah simpul yang terpisah dari simpul lainnya. Ketiga buah
graf ini merupakan graf tidak berarah.
15
G1 G2 G3

1. Bertetangga (Adjacent)
Definisi. Dua buah simpul u dan v pada graf tak-berarah G
dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan
sebuah sisi. Dengan kata lain, u bertetangga dengan v jika (u, v)
adalah sebuah sisi pada graf G.
Contoh :
Pada gambar dibawah, simpul 4 bertetangga dengan simpul 2 dan
3, tetapi tidak bertetangga dengan simpul 1.
16

2. Bersisian (Incident)
Definisi. Untuk sembarang sisi e = (u, v), sisi e dikatakan
bersisian dengan simpul u dan simpul v
Contoh :
Gambar di bawah ini, sisi (1, 3) bersisian dngan simpul 1 dan
simpul 3, tetapi sisi (3, 4) tidak bersisian dengan simpul 2.
17

3. Simpul terpencil (Isolated Vertex)
Definisi. Simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian
dengannya atau dapat juga dinyatakan bahwa simpul terpencil
adalah simpul yang tidak satupun bertetangga dengan simpul-
simpul lainnya.
Contoh :
Simpul 5 adalah simpul terpencil
18

4. Graf Kosong (Null Graph atau Empty Graph)
Definisi. Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan
kosong disebut sebagai garaf kosong dan ditulis sebagai Nn
dalam hal ini n adalah julah simpul.
Contoh :
19

Ada istilah yang digunakan untuk menggambarkan suatu
himpunan pada simpul yang bertetangga pada suatu graf.
Definisi. Himpunan semua tetangga pada suatu simpul v dari
G = (V, E) dilambangkan dengan N(v).
5. Derajat (Degree)
Definisi. Derajat suatu simpul pada graf tak berarah adalah
jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Sisi gelang
(loop) dihitung berderajat dua. Derajat simpul v dilambangkan
dengan deg (v).

Contoh 1 :
Derajat simpul dan himpunan tetangga simpul dari gambar
berikut adalah :
Contoh 2 :
Derajat simpul dan himpunan tetangga simpul dari gambar
berikut adalah :
deg (a) = 4 N (a) = b,d,e
deg (b) = deg (e) = 6 N (b) = a,b,c,d,e
deg (c) = 1 N (c) = b
deg (d) = 5 N (d) = a,b,e
N (e) = a,b,d
deg (a) = 2 N (a) = b,f
deg (b) = deg (c) = 4 N (b) = a,b,c,e,f
deg (d) = 1 N (c) = b,d,e,f
deg (e) = 3 N (d) = c
deg (f) = 4 N (e) = b,c,f
deg (g) = 0 N (f) = a,b,c,e
N (d) = 

Teorema 1 (Teorema Jabat Tangan)
Biarkan G = (V, E) graf tak berarah dengan m jumlah sisi, maka
Catatan :
 Berlaku jika memiliki sisi ganda dan gelang (loop)
 2m selalu bernilai genap
Teorema ini dikenal dengan (handshaking theorem). Setiap sisi
dihitung dua kali, yaitu pada ujung kiri sebagai bagian dari
simpul kiri dan pada ujung kanan dihitung sebagai bagian dari
simpul kanan. Layaknya orang berjabat tangan maka jumlah
tangan yang berjabatan adalah genap dan jumlah tangan yang
berjabatan adalah dua kali jumlah jabatan tangan yang terjadi.

Contoh 1 :
Jumlah derajat seluruh simpul pada graf dibawah ini adalah :
deg(1) + deg(2) + deg(3) = 3 + 3 + 4 = 2  jumlah sisi = 2  5 = 10
Contoh 2 :
Berapa banyak sisi yang ada di graf dengan 10 simpul masing-
masing 6 derajat ?
Solusi
60= 2m
m = 30

Teorema 2
Graf tak berarah mempunyai jumlah simpul dari derajat ganjil,
untuk sembarang graf G, banyaknya simpul yang berderajat
ganjil selalu genap.
Bukti :
Misalkan V1 dan V2 masing-masing adalah himpunan simpul
yang berderajat genap dan berderajat ganjil pada graf G = (V, E).
Berdasarkan teorema sebelumnya dimana,
dengan demikian,
untuk v V1 genap dan v V2 ganjil.

Jika deg(v) genap untuk v V1, maka suku pertama dari ruas kiri
persamaan selalu bernilai genap. Ruas kanan juga bernilai genap.
Nilai genap pada ruas kanan hanya benar bila suku kedua dari
ruas kiri juga harus genap.
genap + genap = genap
Jika deg(v) ganjil untuk v V2, maka banyaknya simpul v di
dalam V2 harus genap agar jumlah seluruh derajatnya bernilai
genap. Jadi, banyaknya simpul yang berderajat ganjil selalu
genap.
ganjil + ganjil = genap
Perhatikan graf pada gambar dibawah, banyak simpul yang
berderajat ganjil ada dua buah, yakni simpul 3 dan simpul 4

Derajat simpul dibedakan menjadi dua macam untuk
mencerminkan jumlah sisi dengan simpul tersebut sebagai simpul
asal dan jumlah sisi dengan simpul tersebut sebagai simpul
terminal.
Definisi
Pada graf berarah derajat simpul v dinotasikan dengan degin(v)
dan degout(v).
degin(v) = jumlah busur yang masuk ke simpul v
degout(v) = jumlah busur yang keluar dari simpul v
jadi,
deg(v) = degin(v) + degout(v)
Catatan : Sisi gelang pada graf berarah menyumbangkan 1 untuk
derajat -masuk dan 1 untuk derajat-keluar

Contoh :
Derajat setiap simpul adalah
degin(a) = 2 degout(a) = 4
degin(b) = 2 degout(b) = 1
degin(c) = 3 degout(c) = 2
degin(d) = 2 degout(d) = 2
degin(e) = 3 degout(e) = 3
degin(f) = 0 degout(f) = 0
27

Teorema 3
Pada graf berarah G = (V, E) selalu berlaku hubungan
Pada contoh sebelumnya cukup jelas bahwa
jumlah degin(v) = jumlah degout(v)
28

Beberapa Graf Sederhana
1. Graf Lengkap (Complete Graph)
Graf sederhana terhubung yang setiap simpulnya mempunyai
sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah
simpul dilambangkan dengan Kn. Setiap simpul pada Kn
berderajat n – 1
29

2. Graf Lingkaran (Cycles)
Graf lingkaran berorde n, dilambangkan dengan Cn , adalah
graf yang titik-titiknya dapat dilabeli berturut-turut dengan
v1, v2, ..., vn-1, vn sehingga E(Cn ) = {v1v2, v2v3,..., vn-1vn, vnv1}.
30

3. Graf Teratur (Regular Graphs)
Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama.
Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut
disebut graf teratur berderajat r. Jumlah sisi pada graf teratur
derajat r dengan n buah simpul adalah nr/2.
31
n = 4, r = 3 n = 6, r = 3 n = 8, r = 3
(a) (c)(b)

Graf Bipartit
Definisi
Graf G yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi
dua himpunan bagian V1 dan V2, sedemikian sehingga setiap sisi
di dalam G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah
simpul di V2 dan dinyatakan sebagai G(V1, V2 ). Dengan kata lain,
setiap pasang simpul di V1 dengan simpul di V2 tidak bertetangga.
Apabila setiap simpul di V1 bertetangga dengan semua simpul di
V2, maka G(V1, V2 ) disebut graf bipartit lengkap, dilambangkan
dengan Km,n. Jumlah sisi pada graf bipartit lengkap adalah mn.
32

Contoh :
C6 adalah bipartit, seperti yang ditunjukkan pada gambar 7.
Himpunan simpulnya dikelompokkan menjadi dua yakni V1 dan
V2. V1 = {V1,V3,V5} dan V2 = {V2,V4,V6}. Setiap sisi C6
menghubungkan simpul di V1 dan simpul di V2.
33

Teorema 4
Sebuah graf sederhana dikatakan bipartit jika dan hanya jika ada
kemungkinan untuk menetapkan satu dari dua warna yang
berbeda untuk masing-masing simpul dari graf sehingga tidak ada
dua simpul yang berdekatan mempunyai warna yang sama.
Bukti :
Misalkan G = (V, E) graf sederhana bipartit. V =V1∪ V2 dua
himpunan yang berbeda. Setiap sisi dalam E menghubungkan
simpul V1 dan V2, masing-masing simpul menggunakan warna
yang berbeda. Biarkan V1 himpunan simpul satu warna dan V2
himpunan simpul dengan warna lain yang saling lepas. Selain itu,
setiap sisi menghubungkan simpul di V1 dan simpul di V2, karena
tidak ada dua simpul yang berdekatan maka G adalah bipartit.

Contoh :
Graf G pada gambar 9 adalah graf bipartit lengkap K2,3, K3,3, K3,5,
K2,6.
35

Teorema 5
Hall’s Marriage Theorem
Misalkan G adalah graf bipartit dengan V1 dan V2. Kemudian G mengandung pencocokan
lengkap dari V1 dan V2 jika dan hanya jika | T(S) | ≥ | S | untuk setiap S subsets V1.
Bukti :
Basis step : n = | V1 |, untuk n = 1
Inductive step : Misalkan n ≥ 2 berlaku untuk semua graf dengan | V1 | < n. Pertimbangkan
graf G dengan | V1 | = n dan asumsikan Hall’s Mariage terhadap 2 kasus :
a) Misalkan | T(S) | > | S | untuk setiap ∅ ≠ S subset V1. Biarkan xy berada disisi G dengan
x ∈ V1 dan y ∈ V2. Dengan menghilangkan simpul x dan y di G’ dari G maka G’
memenuhi kondisi Hall’s (jika ∅ ≠ S subset V1 x maka | T(S) | ≥ | T(S) | - 1 ≥ | S | ) dan
induksi G’ memiliki pencocokan lengkap dari V1 x ke V2 y . Dengan menambahkan
sisi xy maka pencocokan lengkap.
b) Jika kasus (a) not hold, maka | T(S) | = | S | untuk setiap ∅ ≠ S V1. Graf bipartit oleh
S ∪ T (S) memenuhi kondisi Hall’s sehingga ada pencocokan lengkap dari S ke T (S).
Perhatikan T = V1 S dan U = V2 T(S). Jika graf bipartit diinduksi oleh T ∪ U, maka
memenuhi kondisi Hall’s untuk setiap A subset T. Hal ini dapat kita buktikan dengan,

| T(A) ∩ U | = | T(A ∪ S) ∩ (V2 T(S) |
= | T(A ∪ S) - (T(S) |
≥ | A ∪ S | - | S | = | A | (karena | T(A ∪ S) | ≥ | A ∪ S | dan | T(S) | = | S |)
Dengan demikian, terdapat pencocokan lengkap dari T ke U.

Contoh :
Job Assignments
Misalkan m adalah karyawan dalam suatu kelompok
dan n adalah pekerjaan yang dilakukan, dimana m ≥ n.
Setiap karyawan dilatih untuk melakukan satu atau
lebih pekerjaan. Kita ingin menetapkan seorang
karyawan untuk setiap pekerjaan. Dalam hal ini, kita
dapat menggunakan graf untuk memodelkan
kemampuan karyawan. Setiap karyawan diwakili
dengan simpul dan setiap pekerjaan diwakili juga
dengan simpul. Masing-masing karyawan kita
hubungkan dengan pekerjaan yang telah dilatih untuk
melakukannya.
Pertama, anggaplah bahwa kelompok ini memilik 4
karyawan yakni, Alvarez, Berkowitz, Chen, dan
Davis. Ada 4 pekerjaan yang harus dilakukan yaitu,
requirements, architecture, implementation, dan
testing. Misalnya Alvarez telah dilatih untuk
melakukan requirements dan testing, Berkowizt telah
dilatih untuk melakukan architecture, implementation,
dan testing, Chen dilatih requirements, architecture,
dan implementation, dan Davis hanya dilatih untuk
melakukan requirements.
Seperti yang tertera pada gambar (a), model semacam
ini menggunakan graf bipartit.

Contoh :
Carilah gabungan graf G1 dan G2 yang ditunjukkan pada gambar
16.
Solusi :
Simpul G1 ∪ G2 merupakan gabungan dari dua himpunan simpul
yaitu {a,b,c,d,e,f}. Sisi himpunan adalah gabungan dari dua sisi
himpunan.
39

C. REPRESENTASI GRAF DAN
GRAF ISOMORFIK
Representasi Graf
Cara lain untuk mewakili graf tanpa sisi ganda
adalah dengan menggunakan daftar kedekatan yang
menentukan simpul yang berdekatan dengan simpul
lain dari graf.
40

1. Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix)
Matriks ketetanggaan adalah representasi graf yang paling
umum. Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan n simpul, n ≥ 1.
Matriks ketetanggaan G adalah matriks yang berukuran n × n.
aij = 1 jika simpul i dan j bertetangga, sebaliknya aij = 0 jika
simpul i dan j tidak bertetangga.
41

Contoh :
Memperlihatkan graf sederhana dengan matriks ketetanggaanna,
masing-masing graf terhubung, graf tak-terhubung, dan graf
berarah.
42

2. Matriks Bersisian (incidency matrix)
Matriks bersisian menyatakan kebersisian simpul dengan sisi.
Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan n simpul dan m buah sisi.
Matriks bersisian G adalah matriks yang berukuran n × m.
Baris menunjukkan label simpul, sedangkan kolom menunjukan
label sisinya. aij = 1 jika simpul i bersisian dengan sisi j,
sebaliknya aij = 0 jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j.
43

Contoh :
Memperlihatkan matriks bersisian untuk graf yang
direpresentasikan. Jumlah elemen matriks adalah 6 × 5 = 30
44

Graf Isomorfik
Definisi
Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat
korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan
antara sisi-sisi keduanya sedemikian sehingga jika sisi e bersisian
dengan simpul u dan v di G1, maka sisi e’ yang berkorespon di G2
juga harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ di G2.
45

Tunjukkan graf G = (V, E) dan H = (W, F) adalah isomorfik.
Perhatikan gambar G dan H dibawah ini.
46

Gambar (a) dan (b) merupakan isomorfik
47

D. KETERHUBUNGAN
1. Lintasan (Path)
Definisi
Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan vn di
dalam graf G adalah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-
sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2, ..., vn-1, en, vn sedemikian sehingga
e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ..., en = (vn-1, vn ) adalah sisi-sisi dari graf G.
Simpul dan sisi yang dilalui di dalam lintasan boleh berulang. Istilah
dalam lintasan yaitu, lintasan sederhana (simple path) jika semua
simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya satu kali), lintasan
tertutup (closed path) lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul
yang sama, dan lintasan terbuka (open path) lintasan yang tidak
berawal dan berakhir pada simpul yang sama.
48

Contoh :
 Lintasan 1, 2, 4, 3 merupakan lintasan sederhana dan lintasan
terbuka.
 Lintasan 1, 2, 4, 3, 1 merupakan lintasan sederhana dan
lintasan tertutup.
 Lintasan 1, 2, 4, 3, 2 bukan lintasan sederhana, tetapi lintasan
terbuka
49

2. Siklus (cycle) atau Sirkuit (circuit)
Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama.
Contoh :
 1, 2, 3, 1 adalah sirkuit sederhana
 1, 2, 4, 3, 2, 1 bukan sirkuit sederhana, sisi (1, 2) dilalui dua
kali.
50

3. Terhubung (Connected)
Definisi
Graf tak berarah G disebut graf terhubung jika untuk setiap
pasang simpul u dan v di dalam himpunan V terdapat lintasan
dari u ke v. Jika tidak, maka G graf tak terhubung
51

Definisi
Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tak berarahnya
terhubung (graf tak berarah dari G diperoleh dengan
menghilangkan arahnya).
Keterhubungan dua buah simpul pada graf berarah dibedakan
menjadi terhubung kuat dan terhubung lemah.
52

Definisi
Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected
graph) apabila untuk setiap pasang simpul sembarang u dan v
 Dua simpul u dan v pada graf berarah disebut terhubung kuat
(strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v.
 Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi tetap terhubung pada
graf tak berarah, maka u dan v dikatakan terhubung lemah
(weakly connected).
53

 Pada gambar (a), simpul 1 dan simpul 3 terhubung kuat karena
terdapat lintasan dari 1 ke 3 (yaitu 1, 2, 3), begitu juga terdapat
lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 4, 5, 1).
 Pada gambar (b), simpul 1 dan simpul 3 terhubung lemah
karena hanya terdapat lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 5, 4, 1),
tetapi tidak ada lintasan dari 1 ke 3.
54
(a)
1
2
3
5
4
(b)
25
34
1
Contoh :

Jawaban Latihan Soal
55

1. Graf perkenalan yang menunjukkan bahwa Tom dan Patricia,
Tom dan Hope, Tom dan Sandi, Tom dan Amy, Tom dan
Marika, Jeff dan Patricia, Jeff dan Mary, Patricia dan Hope,
my dan Hope, Amy dan Marika saling mengenal, tetapi tidak
ada pasangan lain yang saling mengenal.
Solusi :
56

2. Berapa banyak sisi yang ada pada graf dengan derajat
barisan 4, 3, 3, 2, 2 ? Gambarkanlah grafnya !
Solusi :
Misalkan banyak sisi pada graf adalah m maka,
4 + 3 + 3 + 2 + 2 = 2m
14 = 2m
7 = m
jadi, banyak sisi pada graf tersebut adalah 7
57

3. Tunjukkan bahwa isomorfisma dari graf sederhana adalah relasi ekuivalen.
Solusi :
Misalkan G, H, dan K graf sederhana yang isomorfik.
Refleksif, untuk semua graf sederhana, G ≅ G dengan f (Vg) = Vg .
Simetrik, jika G ≅ H maka H ≅ G. Artinya, terdapat fungsi korespondensi
satu-satu f dari G ke H yang mempertahankan sisi bersisian dan sisi tak
bersisian sehingga f-1 adalah fungsi korespondensi satu-satu dari H ke G yang
juga mempertahankan sisi bersisian dan tak bersisian.
Transitif, jika G ≅ H dan H ≅ K, maka G ≅ K. Artinya, terdapat fungsi
korespondensi satu-satu f dari G ke H dan korespondensi satu-satu g dari H ke
K yang mempertahankan sisi bersisian dan tak bersisian. Akibatnya, g ⃘ f juga
memenuhi fungsi korespondensi satu-satu dari G ke K yang mempertahankan
sisi bersisian dan tak bersisian.
Dengan demikian, isomorfisma graf sederhana merupakan relasi ekuivalen.
58

4. Tunjukkan bahwa setiap graf terhubung dengan n titik
mempunyai paling sedikit n -1 sisi
Solusi :
59

#Man Jadda Wa Jada
60

Discrete Mathematics & Its Applications (Graphs)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Discrete Mathematics & Its Applications (Graphs)

Similar to Discrete Mathematics & Its Applications (Graphs) (20)

More from Fahrul Usman

More from Fahrul Usman (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)

Discrete Mathematics & Its Applications (Graphs)