Dokumen tersebut membahas sistem persamaan linear dua variabel pada kelas VIII SMP, termasuk pengertian, metode penyelesaian seperti grafik, eliminasi, dan substitusi, serta contoh penerapannya dalam menyelesaikan masalah-masalah matematika dan kehidupan sehari-hari.

1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL KELAS VIII SMP
FAHRUL USMAN
Magister Pengajaran Matematika
Sering kali kita melihat orang berbelanja di supermarket
membeli kebutuhan rumah tangga. Misalkan, Si A akan membeli
satu kg gula dan satu kg tepung seharga Rp. 20.000. Lalu Si B
membeli satu kg gula dan dua kg tepung dengan harga Rp. 32.000,
maka banyak masing-masing gula dan tepung yang dapat dibeli
dapat ditentukan dengan menggunakan sistem persamaan linear
dua variabel
Prasyarat
Pada buku kelas VII semester 1, kita telah belajar menyelesaikan
persamaan linear satu variabel. Hal ini sebagai prasyarat dalam
menjalankan sistem persamaan linear dua variabel. Namun, sebelum
melangkah ada baiknya kita mengulang kembali apa itu persamaan
linear satu variabel.
Perlu diketahui bahwa variabel atau peubah tidak selalu
menggunakan x. Kita dapat menggunakan variabel lainnya. Seperti
contoh :
3a – 2 = 7
atau variabel p, q, r, dan seterusnya.
Jawaban atau penyelesaian persamaan diatas dapat diperoleh
3a – 2 + 2 = 7 + 2 (masing-masing ruas ditambah 2)
3a= 9 (kedua ruas dibagi 3)
a= 3
pada pembahasan berikutnya dapat diperlihatkan bahwa persamaan
linear dua variabel dapat kita modelkan kedalam bentuk yang lebih
nyata.
Sistem persamaan linear secara umum dinyatakan sebagai berikut.
ax + by = p
cx + dy = q
Berikut, beberapa metode penyelesaian sistem persamaan linear dua
variabel.
Metode Grafik
Jika masing-masing persamaan dinyatakan dalam satu garis maka
terdapat tiga kemungkinan, yaitu :
 Mempunyai satu solusi. Terjadi jika dua garis berpotongan
 Jika kedua garis berimpit, maka tuliskan sistem tersebut sebagai
sistem dengan penyelesaian yang tak terhingga banyaknya.
 Jika kedua garis sejajar, maka tidak ada titik perpotongannya.
Tidak mempunyai solusi.
4x + y
Metode Eliminasi
Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan
linear dua variabel. Kata eliminasi sendiri mempunyai arti
menghilangkan.
Misalkan kita mempunyai sistem persamaan
x + y = 5
4x + y = 14
Kita dapat menuliskan masalah ini kedalam bentuk sederhana
karena kedua persamaan terdapat koefisien yang sama pada y maka
kita kurangkan secara langsung sehingga nantinya diperoleh x = 3
dan y = 2. Begitu seterusnya sampai menemukan solusi atas
persamaan x dan y.
145x + y
Metode Substitusi
Metode ini sering diistilahkan sebagai penggantian.
Misalkan kita mempunyai sistem persamaan
y = 4x – 1
y = x + 5
kita dapat menuliskan masalah ini kedalam bentuk bagan
sederhana
y 4x – 1 y x + 5
x + 54x – 1
Dengan bantuan gambar kita dapat menyelsaikan masalah yang
terdiri dari dua variabel. Seperti contoh :
 Harga 3 cangkir teh dan 2 gelas jus melon adalah Rp. 15.000
 Harga 3 cangkir teh dan 5 gelas jus melon adalah Rp. 33.000
Gunakan gambar untuk menyelesaikan masalah tersebut
15.000
rupiah
Berapa harga 4 gelas jus melon ?
Berapa harga 2 gelas jus melon ?
Berapa harga 2 cangkir teh ?
Berapa harga 3 cangkir teh ?
Saya membeli dua jenis es dan harus membayar Rp. 2.300. Jumlah
seluruh es adalah 10. Harga es jenis pertama adalah Rp. 300 dan
harga es jenis kedua adalah Rp. 200. Tentukan jumlah masing-
masing es !
Solusi :
Misalkan es jenis pertama x rupiah dan es jenis kedua y rupiah.
Persamaan dapat dituliskan
300x + 200y = 2.300
x + y = 10
dengan menggunakan salah satu metode sebelumnya, akan
diperoleh nilai x = 3 dan y = 7. Jadi, jumlah masing-masing es
pertama dan es kedua adalah 3 dan 7.
Mata Kuliah Kecakapan Matematika
Semester II Tahun Ajaran 2016/2017
PENDAHULUAN
dengan mengganti salah satu persamaan
4x – 1 = x + 5
(4x – x) – 1 + 1 = (x – x) + 5 + 1
3x = 6, diperoleh x = 2 dan y = 7
Dengan menggunakan beberapa metode memudahkan kita dalam
menentukan nilai x dan y.
33.000
rupiah
Metode Eliminasi
Misalkan, diberikan sistem persamaan
px + qy = u (*)
rx + sy = v (**)
untuk kasus ps – qr ≠ 0. Memiliki solusi tunggal dan disebut
konsisten bebas linear.
Langkah-langkah untuk mendapatkan nilai x dan y adalah
px + qy = u x s psx + sqy = us
rx + sy = v x q rqx + sqy = vq
kurangkan kedua persamaan diatas, sehingga didapatkan nilai
𝑥 =
𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
Lalu, substitusikan nilai x ke pers. (*)
𝑝
𝑢𝑠−𝑣𝑞
𝑝𝑠−𝑟𝑞
+ 𝑞𝑦 = 𝑢 maka 𝑦 =
𝑝𝑣−𝑟𝑢
𝑝𝑠−𝑟𝑞
Solusi dari persamaan diatas adalah
𝑢𝑠−𝑣𝑞
𝑝𝑠−𝑟𝑞
,
𝑝𝑣−𝑟𝑢
𝑝𝑠−𝑟𝑞
Sesuai persamaan, maka dapat dituliskan
𝑝
𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
+ 𝑞
𝑝𝑣 − 𝑟𝑢
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
= 𝑢
𝑟
𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
+ 𝑠
𝑝𝑣 − 𝑟𝑢
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
= 𝑣
Dengan demikian, kita telah mendapatkan sebuah metode
penyelesaian sistem persamaan yang disebut metode eliminasi.
Metode Substitusi
Misalkan, diberikan sistem persamaan
px + qy = u (*)
rx + sy = v (**)
untuk kasus ps – qr ≠ 0. Memiliki solusi tunggal dan disebut
konsisten bebas linear.
Langkah-langkah untuk mendapatkan nilai x dan y adalah
px + qy = u
px = u – qy maka 𝑥 =
𝑢−𝑞𝑦
𝑝
Lalu, substitusikan nilai x ke pers. (**)
r
𝑢−𝑞𝑦
𝑝
+ 𝑠𝑦 = 𝑣 maka 𝑦 =
𝑝𝑣−𝑟𝑢
𝑝𝑠−𝑟𝑞
dengan mengganti nilai y maka diperoleh 𝑥 =
𝑢𝑠−𝑞𝑣
𝑝𝑠−𝑟𝑞
Jadi, solusi dari persamaan diatas adalah
𝑢𝑠−𝑣𝑞
𝑝𝑠−𝑟𝑞
,
𝑝𝑣−𝑟𝑢
𝑝𝑠−𝑟𝑞
Sesuai persamaan, maka dapat dituliskan
𝑝
𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
+ 𝑞
𝑝𝑣 − 𝑟𝑢
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
= 𝑢
𝑟
𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
+ 𝑠
𝑝𝑣 − 𝑟𝑢
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
= 𝑣
Dengan demikian, kita telah mendapatkan sebuah metode
penyelesaian sistem persamaan yang disebut metode substitusi.
Bila kasus ps – qr = 0 maka ada dua kemungkinan
 Jika
𝑢
𝑣
=
𝑝
𝑟
= 𝐿, maka persamaan yang satu merupakan kelipatan
yang lainnya. karena itu, sistem dapat diganti dengan satu
persamaan. Sistem disebut konsisten bergantung linear. Semua
titik pada garis px + qy = u adalah solusi.
 Jika
𝑢
𝑣
≠
𝑝
𝑟
, maka sistem persamaan tidak memiliki solusi dan
terjadi pada dua garis yang sejajar. Sistem disebut tak konsisten.
Buatlah kelompok yang beranggotakan 5 siswa.
Masalah yang lebih rumit seperti yang ditunjukkan gambar berikut ini.
Tuliskanlah model matematika untuk masalah ini lalu carilah solusi
dari persamaannya !
DISKUSI KELOMPOK
SPLDV
PEMBUKTIAN METODE SPLDV
DIAGRAM ALUR
SPLDV
METODE
MEMODELKAN
IMPLEMENTASI
MEMODELKAN MASALAH DUA VARIABEL
METODE SPLDV
IMPLEMENTASI SPLDV DLM KEHIDUPAN
TUJUAN PEMBELAJARAN
• Siswa mampu menyelesaikan sistem persamaan linear dua
variabel
• Siswa mampu membuat model matematika yang berkaitan
dengan sistem persamaan linear dua variabel
• Siswa mampu menyelesaikan model matematika yang berkaitan
dengan sistem persamaan linear dua variabel
• Siswa mampu menerapkan sistem persamaan linear dua variabel
dalam kehidupan sehari-hari
Berapa berat kotak besar dan berat kotak kecil ?
Masalah ini dapat dituliskan dalam sistem persamaan dua variabel.
Jika x berat kotak besar dan y berat kotak kecil maka
x = y + 100 (*)
x = 2y + 50 (**)
jika diselesaikan melalui metode eliminasi maka akan diperoleh
x = 150 dan y = 50. Artinya, jika beban (dalam kg) ditambahkan
maka berat kotak besar akan semakin bertambah pula. Jadi, akan
berbanding lurus.
REFERENSI
Madhavi, V. dan Ved Dudeja. Jelajah Matematika SMP Kelas VIII. Bogor: Yudhistira, 2011.
Neswan, Oki dan Wono Setya Budhi. Matematika untuk Kurikulum Berbasis Kompetensi
SMA. Bandung: ITB, 2003.
Setya Budhi, Wono. Matematika untuk SMP Kelas VIII Semester 1. Jakarta: Erlangga, 2007.