Letis adalah poset khusus yang memenuhi sifat tertentu terkait operasi batas bawah dan batas atas. Dokumen ini menjelaskan pengertian letis, beberapa sifat dasarnya, subletis, dan hasil kali letis.

1. BAB II
PEMBAHASAN
LETIS (LATTICE)
2.1 Pengertian Letis
Definisi :
Misalkan (𝑃, ≤) adalah poset. (𝑃, ≤) dinamakan letis jika (∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑃)
terdapat ba* dan ba  . Letis dilambangkan dengan (𝐿, ≤,∗, ⨁) atau secara singkat
dilambangkan dengan L.
Contoh
Dik : Misalkan P adalah himpunan semua faktor dari 24.
P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} didefinisikan a ≤ b sebagai b habis dibagi a,
a*b adalah pembagi persekutuan terbesar dari {𝑎, 𝑏} dan a ⨁ b adalah
kelipatan persekutuan terbesar dari {𝑎, 𝑏}.
Dit : Tunjukkan (𝑃, ≤,∗, ⨁) adalah letis.
Penyelesaian:
Untuk menunjukkan apakah (𝑃, ≤,∗, ⨁) adalah letis maka harus ditunjukkan apakah
(𝑃, ≤) adalah poset.
𝑃 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
𝑃 × 𝑃 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (1, 12), (1, 24), … , (24, 24)}
𝑅 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), … , (2, 2), … , (3, 3), … , (24, 24)}
1) Refleksif = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), … , (24, 24)}
karena ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 berlaku a𝑅a, (a, a) ∈ 𝑅 maka R bersifat refleksif.
2) Antisimetris = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), … , (24, 24)}
karena ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 dan 𝑏, 𝑎 ∈ 𝑅 maka a = b berlaku a𝑅b (a, b) ∈ 𝑅 maka R
bersifat antisimetris.
3) Transitif = {(1, 2) ∈ 𝑅, (2, 3) ∈ 𝑅 → (1, 3) ∈ 𝑅 }
karena ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 berlaku a𝑅b dan b𝑅c → a𝑅c, maka R bersifat transitif.
Jadi (𝑃, ≤) adalah poset.

2. Akan ditunjukkan apakah (𝑃, ≤,∗, ⨁) adalah letis.
Gambar diagram hasse letis:
Gambar 1
Berdasarkan diagram hasse diatas dapat diteliti bahwa :
12*1  13*2  11*3  28*4  412*8 
421  632  613  2484  24128 
13*1  14*2  16*3  212*4  424*8 
631  842  1263  24124  24248 
11*2  16*2  26*4  312*6  624*12 
412  1262  1264  24126  242412 

3. 2.2 Beberapa Sifat Dasar Letis
Beberapa teorema yang menyangkut letis :
Teorema 1 :
Misalkan (𝐿, ≤,∗, ⨁) adalah letis ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐿 berlaku :
(i) a*a = a dan a ⨁ a = a ( idempoten)
(ii) a*b = b*a dan a ⨁ b = b ⨁ a (komutatif)
(iii) (a*b)*c = a*(b*c) dan (a ⨁ b) ⨁ c = a ⨁ (b ⨁ c) (assosiatif)
(iv) a*(a ⨁ b) = a dan a ⨁ (a*b) = a (absorbs/penyerapan)
sebagai gambaran cara pembuktian teorema 1, akan kita buktikan sifat idempotent yang
pertama.
Bukti (i)
Dari sifat refleksif ≤ diperoleh a ≤ a. a ≤ a, berarti bahwa a merupakan batas bawah
dari {a,a}. karena a merupakan batas bawah dari {a,a}, maka a ≤ a * a. selanjutnya
dari definisi infimum diperoleh a * a ≤ a. karena a ≤ a * a dan a * a ≤ a, maka
disimpulkan bahwa a * a = a (sifat anti simetris ).
Teorema 2 :
Misalkan L adalah letis. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐿 berlaku a ≤ b ⇔ a*b = a ⟺ a ⨁ b = b
untuk mencapai hal ini kita asumsikan bahwa a ≤ b. karena L merupakan letis, maka
berlaku a ≤ a (reflektif). Dengan demikian
a ≤ a *b ………………………………………………………………(1)
menurut definisi infimum dari {a,b} diperoleh
a * b ≤ a ………………………………………………………………(2)
dari (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa a * b = a. Dengan demikian
a ≤ a → a * b = a ………………………………………………………………(3)
selanjutnya kita asumsikan bahwa a * b = a. Hal ini hanya mungkin terjadi bila a ≤
b. Dengan demikian
a * b = a → a ≤ b ………………………………………………………………(4)
dari (3) dan (4) dapat disimpulkan bahwa
a ≤ b ↔ a * b = a

4. Teorema 3 :
Misalkan L adalah letis. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐿 berlaku :
b ≤ c ⇒ (a*b ≤ a*c)  (a ⨁ b ≤ a ⨁ c)
Misalkan ),( L sebuah letis dan Lcba ,, . Dari definisi operasi dan , kita
peroleh beberapa implikasi berikut :
(1) cbacaba 
(2) cbacaba 
(3) cbacaba 
(4) cbacaba 
Teorema 4 :
Misalkan L adalah letis. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐿 berlaku :
(i) a ⨁ (b*c) ≤ (a ⨁ b)*(a ⨁ c)
(ii) (a*b) ⨁ (a*c) ≤ a*(b ⨁ c)
Teorema 5 :
Misalkan L adalah letis. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐿 berlaku :
a ≤ c  a ⨁ (b*c) ≤ (a ⨁ b)*c
2.3 Sub Letis dan Hasil Kali Letis
Definisi :
Misalkan (L, ≤, *, ⨁) adalah letis dan LS  .
S disebut Subletis dari L jika (S, ≤, *, ⨁) adalah letis.
Catatan :
Syarat perlu dan cukup agar S subletis adalah a * b dan a ⨁ b ∈ S, ∀𝒂, 𝒃 ∈ 𝑺.

5. Contoh
Dik: Misalkan (L, ≤) adalah letis dengan L = {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎8}
𝑆1, 𝑆2, & 𝑆3 merupakan subset – subset dari L yaitu :
𝑆1 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎4, 𝑎6} 𝑆2 = {𝑎3, 𝑎5, 𝑎7, 𝑎8} dan
𝑆3 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎4, 𝑎8}
Dit: (a) Buatlah diagram hasse dari (L,≤)
(b) Periksa apakah 𝑆1, 𝑆2, & 𝑆3 adalah subletis dari L
Penyelesaian:
(a)
(b) 𝑆1 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎4, 𝑎6}
121 * aaa  162 * aaa  142 * aaa 
621 aaa  662 aaa  642 aaa 
141 * aaa  164 * aaa 
641 aaa  664 aaa 
Karena 1),( Sba  terdapat ba* dan ba  maka 1S adalah letis.
𝑆2 = {𝑎3, 𝑎5, 𝑎7, 𝑎8}
353 * aaa  385 * aaa  375 * aaa 
853 aaa  885 aaa  875 aaa 
373 * aaa  387 * aaa 
873 aaa  887 aaa 
Karena 2),( Sba  terdapat ba* dan ba  maka 2S adalah letis.

6. 𝑆3 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎4, 𝑎8}
121 * aaa  141 * aaa 
3621 Saaa  3641 Saaa 
Karena 3),( Sba  terdapat 3Sba  maka
3S bukan letis
Hasil kali letis
Definisi :
Misalkan ),,,( 1111 L dan ),,,( 2222 L adalah letis. Hasil kali letis
dari 1L dan 2L yang dilambangkan ),,,( 21  LL adalah hasil kali Cartes
21 LL  dengan relasi dan operasi-operasi yang didefinisikan sebagai berikut:
21212211 ),(),( bbaababa 
),(),(),( 2212112211 bbaababa 
),(),(),( 2212112211 bbaababa 
Dapat diperhatikan bahwa ),,,( 21  LL adalah letis.
Khusus jika LLL  21 , letis 21 LL  dilambangkan 2
L .
Contoh
Dik : Misalkan  4,2,11 L dan  9,3,12 L
 ba 1 b habis dibagi a
 ba 2 b habis dibagi a
Dit :
(a) Buatlah diagram hasse dari 21 LL 
(b) Periksa apakah 21 LL  adalah letis.

7. Penyelesaian:
(a)  )9,4(),3,4(),1,4(),9,2(),3,2(),1,2(),9,1(),3,1(),1,1(21  LL
Gambar diagram hasse dari 21 LL 
(b) )1,1()1,2(*)1,1(  )3,1()3,2(*)3,1(  )3,1()9,1(*)3,2( 
)1,4()1,2()1,1(  )3,4()3,2()3,1(  )9,2()9,1()3,2( 
)1,1()3,1(*)1,1(  )9,1()9,2(*)9,1(  )3,2()9,2(*)3,4( 
)9,1()3,1()1,1(  )9,4()9,2()9,1(  )9,4()9,2()3,4( 
)1,2()3,2(*)1,2(  )1,4()3,4(*)1,4( 
)9,2()3,2()1,2(  )9,4()3,4()1,4( 
)1,1()3,1(*)1,2(  )1,2()3,2(*)1,4( 
)1,2()3,1()1,2(  )3,4()3,2()1,4( 
Karena 21),( LLba  terdapat ba* dan ba  maka 21 LL  adalah letis.