2. Makalah pertama tentang teori graf ditulis pada tahun 1736 oleh seorang
matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler. Ia menggunakan teori
graf untuk menyelesaikan masalah jembatan Königsberg (sekarang, bernama
Kaliningrad). Berikut adalah ilustrasi masalah tersebut :
Gambar 1. Masalah Jembatan Königsberg (Rossen, 2003)
3. Masalah yang dikemukakan Euler : Dapatkah melewati setiap jembatan
tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula? Berikut adalah sketsa yang
merepresentasikan ilustrasi jembatan Königsberg yang pada gambar diatas.
Himpunan titik yaitu {A, B, C, D} merepresentasikan sebagai daratan, dan
garis yang menghubungkan titik-titik tersebut adalah sebagai jembatan.
Gambar 2. Representasi graf masalah jembatan Königsberg
4. Jawaban pertanyaan Euler adalah tidak
mungkin. Agar bisa melalui setiap jembatan
tepat sekali dan kembali lagi ke tempat
semula maka jumlah jembatan yang
menghubungkan setiap daratan harus genap.
5. Graf adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu
jika diinterprestasikan secara tepat. Tujuannya adalah sebagai
visualisasi objek – objek agar lebih mudah dimengerti.
Tiap – tiap diagram memuat sekumpulan objek (kotak, titik,
dan lain – lain) beserta garis – garis yang menghubungkan objek
– objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah
menyatakan objek dinyatakan sebagai noktah, bulatan, atau titik,
sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis.
6. Dasar – Dasar Graf
Definisi 1
Suatu graf terdiri dari 2 himpunan yang berhingga, yaitu himpunan titik – titik tidak
kosong (simbol V(G)) dan himpunan garis – garis (simbol E(G)).
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), di tulis dengan notasi G =
(V, E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak-kosong dari simpul – simpul (vertice
and node) dan E adalah himpunan sisi (edges and arcs) yang menghubungkan sepasang
simpul.
7. v
Definisi di atas menyatakan bahwa V tidak boleh kosong,
sedangkan E boleh kosong. Jadi, sebuah graf dimungkinkan
tidak mempunyai sisi satu buah pun, tetapi simpulnya harus ada,
minimal satu. Graf yang hanya mempunyai satu buah simpul
tanpa sebuah sisi dinamakan Graf Trivial.
Graf dinyatakan dengan gambar. Gambar suatu Graf G terdiri
dari himpunan titik – titik atau simpul V(G), himpunan garis –
garis atau sisi yang dinyatakan dengan E(G) yang
menghubungkan titik tersebut (beserta arah garis pada graf
berarah), dan label pada garisnya (jika ada).
8. v
Simpul pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti
a, b, c, …., v, w, … dengan bilangan asli 1, 2, 3, … , atau
gabungan dari keduanya. Sedangkan sisi yang
menghubungkan simpul u dengan simpul v dinyatakan
dengan pasangan (u,v) atau dinyatakan dengan lambang
e1, e2, … Dengan kata lain, jika e adalah sisi yang
menghubungkan simpul u dan v, maka e dapat di tulis
sebagai
e = (u,v)
9. Secara geometri graf di gambarkan sebagai sekumpulan noktah (simpul)
yang di hubungkan dengan sejumlah garis. Dan berikut adalah beberapa
contoh Graf.
10. Setiap garis berhubungan dengan satu atau dua titik. Titik –
titik tersebut dinamakan Titik Ujung.
Garis yang hanya berhubungan dengan satu titik ujung disebut
Loop.
Dua garis berbeda yang menghubungkan titik yang sama
disebut Garis Paralel.
Dua titik dikatakan Berhubungan (adjacent) jika ada garis
yang menghubungkan keduanya.
11. Titik yang tidak memiliki garis yang berhubungan dengannya
disebut Titik Terasing (Isolating Point)
Graf yang tidak memiliki titik (sehingga tidak memiliki garis)
disebut Graf Kosong.
13. G1 adalah graf dengan himpunan simpul V dan Himpunan sisi E
adalah :
V (G) = {1, 2, 3, 4}
E (G) = {(1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4)}
G2 adalah graf dengan himpunan simpul V dan Himpunan sisi E
adalah :
V (G) = {1, 2, 3, 4}
E (G) = {(1,2), (2,3), (1,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4)} Himp.
Ganda.
= {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}
14. G3 adalah graf dengan himpunan simpul V dan Himpunan sisi E adalah :
V (G) = {1, 2, 3, 4}
E (G) = {(1,2), (2,3), (1,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4), (3, 3)} Himp. Ganda
= {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8}
Pada G2, sisi e3 = (1,3) dan sisi e4 = (1,3) dinamakan Sisi Ganda (Multiple edges atau
paralel adges) karena kedua simpul menghubungkan dua buah simpul yang sama, yaitu
simpul 1 dengan simpul 3.
Pada G3, sisi e8 = (3,3) dinamakan Gelang atau Kalang atau disebut juga sebagai Loop,
karena dia berawal dan berakhir di simpul yang sama.
15. Contoh Soal
Ada 7 kota (A,..,G) yang beberapa diantaranya dapat dihubungkan secara
langsung dengan jalan darat. Hubungan – hubungan langsung yang dapat
dilakukan adalah sebagai berikut :
A dengan B
A dengan D
B dengan D
C dengan B
E dengan F
Buatlah graf yang menunjukan keadaan transportasi di 7 kota tesebut:
16. Contoh Soal
Penyelesaian :
Misalkan kota – kota dianggap sebagai titik – titik. Dua titik / atau lebih
dihubungkan dengan garis bila dan hanya bila ada jalan yang menghubungkan langsung
kedua kota tersebut. Untuk itu keadaan transportasi dalam kota tersebut adalah sebagai
berikut :
Dalam graf tersebut, e1 berhubungan dengan titik A
dan B (keduanya disebut titik ujung e1). Titik A dan
Bdikatakan berhubungan, sedangkan titik A dan C
tidak berhubungan karena tidak ada garis yang
menghubungkannya secara langsung.
Titik G adalah titik terasing karena tidak ada garis
yang berhubungan dengan G.
17. Soal latihan
Gambarlah Graf G dengan titik V(G) = {V1, V2, V3, V4} dan
garis E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5} dengan titik-titik ujung berikut :
Garis Titik Ujung
e1 {V1, V3}
e2 {V2,V4}
e3 {V1}
e4 {V2,V4}
e5 {V3}
18. Soal latihan
Gambarlah Graf G dengan titik V(G) = {V1, V2, V3, V4, V5,
V6} dan garis E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6} dengan titik-titik
ujung berikut :
Garis Titik Ujung
e1 {V1, V6}
e2 {V1,V2}
e3 {V2, V3}
e4 {V3,V4}
e5 {V4,V5}
e6 {V5,V6}
19. Soal latihan
Dalam graf G pada gambar berikut, tentukan :
a. Himpunan titik – titik, himpunan garis – garis, titik – titik ujung masing –
masing garis, dan garis paralel.
b. Loop dan titik Terasing.
20. Jenis – jenis graf
Graf Sederhana (Simple graf) adalah graf yang tidak mengandung Loop
maupun Garis Paralel. Graf d bawah ini adalah contoh graf sederhana.
Pada graf sederhana, sisi adalah pasangan tak-terurut (Unordered Pairs). Jadi
menuliskan sisi (u,v) sama saja dengan (v,u). Kita juga dapat mendeskripsikan
graf sederhana G=(V,E) terdiri dari himpunan tidak kosong simpul-simpul dan E
adalah himpunan pasangan tak-terurut yang berbeda yang disebut sisi.
21. Jenis – jenis Graf
Graf tak sederhana (Unsimple-graph), adalah graf yang mengandung garis
paralel atau Loop. Ada dua macam Graf tak sederhana, yaitu :
1. Graf Ganda (MultiGraph), adalah graf yang mengandung sisi ganda
(garis paralel). Sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa
lebih dari dua buah.
22. Jenis – jenis graf
2. Graf Semu (Pseudograph), adalah graf yang mengandung
Loop. Contoh geaf di bawah ini disebut graf semu walaupun
memiliki sisi ganda sekalipun.
23. Jenis – jenis graf
Sisi pada graf dapat mempunyai orientasi arah, berdasarkan
orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis :
Graf Tak Berarah , adalah graf yang sisinya tidak mempunyai
orientasi arah disebut graf tak berarah. Pada graf tak – berarah, urutan
pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak di perhatikan. Jadi
(u,v) = (v,u) adalah sisi yang sama.
24. Jenis – jenis graf
Graf Berarah , adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi
arah. Sisi berarah disebut sebagai arch (busur). Pada graf berarah, (u,v)
dan (v,u) menyatakan dua buah busur yang berbeda. Untuk simpul
(u,v), simpul u dinamakan simpul asal dan simpul v disebut sebagai
Simpul Terminal.
