Rancangan Pembelajaran Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. 1
PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
Sering kali kita melihat orang berbelanja di supermarket membeli kebutuhan rumah tangga.
Misalkan, Si A akan membeli satu kg gula dan satu kg tepung seharga Rp. 20.000. Lalu Si B membeli
satu kg gula dan dua kg tepung dengan harga Rp. 32.000, maka banyak masing-masing gula dan tepung
yang dapat dibeli dapat ditentukan dengan menggunakan sistem persamaan linear dua variabel.
A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Pada buku kelas VII semester 1, kita telah belajar menyelesaikan persamaan linear satu variabel. Hal
ini sebagai prasyarat dalam menjalankan sistem persamaan linear dua variabel. Namun, sebelum
melangkah ada baiknya kita mengulang kembali apa itu persamaan linear satu variabel.
Perlu diketahui bahwa variabel atau peubah tidak selalu menggunakan x. Kita dapat menggunakan
variabel lainnya. Seperti contoh :
3a – 2 = 7
atau variabel p, q, r, dan seterusnya.
Jawaban atau penyelesaian persamaan diatas dapat diperoleh
3a – 2 + 2 = 7 + 2 (masing-masing ruas ditambah 2)
3a = 9 (kedua ruas dibagi 3)
a = 3
pada pembahasan berikutnya dapat diperlihatkan bahwa persamaan linear dua variabel dapat kita
modelkan kedalam bentuk yang lebih nyata.

2. 2
Adapun bentuk umum dari sistem persamaan linear dua variabel x dan y adalah
ax + by = p
cx + dy = q
dimana a, b, c, d, p, dan q adalah bilangan real dengan a dan b keduanya tidak nol, begitu juga c dan d
tidak nol. Berarti, jika a = 0, maka haruslah b ≠ 0. Solusi ini dapat kita tuliskan sebagai pasangan
bilangan real (x0, y0).
B. Model untuk Masalah Dua Variabel
1.
Berapa berat kotak besar dan berat kotak kecil ?
Masalah ini dapat dituliskan dalam sistem persamaan dua variabel. Jika x berat kotak besar dan y berat
kotak kecil maka
x = y + 100 (*)
x = 2y + 50 (**)
jika diselesaikan melalui metode eliminasi maka akan diperoleh x = 150 dan y = 50. Artinya, jika beban
(dalam kg) ditambahkan maka berat kotak besar akan semakin bertambah pula. Jadi, akan berbanding
lurus.
2. Dengan bantuan gambar kita dapat menyelsaikan masalah yang terdiri dari dua variabel. Seperti
contoh :
 Harga 3 cangkir teh dan 2 gelas jus melon adalah Rp. 15.000
 Harga 3 cangkir teh dan 5 gelas jus melon adalah Rp. 33.000
Gunakan gambar untuk menyelesaikan masalah tersebut.
15.000
rupiah
33.000
rupiah

3. 3
a. Berapa harga 4 gelas jus melon ?
b. Berapa harga 2 gelas jus melon ?
c. Berapa harga 2 cangkir teh ?
d. Berapa harga 3 cangkir teh ?
Pada bagian selanjutnya, kita tidak akan menggunakan cangkir atau benda lainnya, tetapi cukup
menggunakan simbol x dan y.
C. Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Sistem persamaan linear secara umum dinyatakan sebagai berikut.
ax + by = p
cx + dy = q
Berikut, beberapa metode penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel.
1. Metode Grafik
Jika masing-masing persamaan dinyatakan dalam satu garis maka terdapat tiga kemungkinan,
yaitu :
 Mempunyai satu solusi. Terjadi jika dua garis berpotongan
 Jika kedua garis berimpit, maka tuliskan sistem tersebut sebagai sistem dengan penyelesaian
yang tak terhingga banyaknya.
 Jika kedua garis sejajar, maka tidak ada titik perpotongannya. Tidak mempunyai solusi.
2. Metode Eliminasi
Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. Kata
eliminasi sendiri mempunyai arti menghilangkan.
Misalkan kita mempunyai sistem persamaan
x + y = 5
4x + y = 14
Kita dapat menuliskan masalah ini kedalam bentuk sederhana

4. 4
x + y 5 4x + y 14
karena kedua persamaan terdapat koefisien yang sama pada y maka kita kurangkan secara langsung
sehingga nantinya diperoleh x = 3 dan y = 2. Begitu seterusnya sampai menemukan solusi atas
persamaan x dan y.
Pembuktian Metode Eliminasi
Misalkan, diberikan sistem persamaan
px + qy = u (*)
rx + sy = v (**)
untuk kasus ps – qr ≠ 0. Memiliki solusi tunggal dan disebut konsisten bebas linear.
Langkah-langkah untuk mendapatkan nilai x dan y adalah
px + qy = u x s psx + sqy = us
rx + sy = v x q rqx + sqy = vq
kurangkan kedua persamaan diatas, sehingga didapatkan nilai 𝑥 =
𝑢𝑠−𝑣𝑞
𝑝𝑠−𝑟𝑞
Lalu, substitusikan nilai x ke pers. (*)
𝑝 (
𝑢𝑠−𝑣𝑞
𝑝𝑠−𝑟𝑞
) + 𝑞𝑦 = 𝑢 maka 𝑦 =
𝑝𝑣−𝑟𝑢
𝑝𝑠−𝑟𝑞
Solusi dari persamaan diatas adalah (
𝑢𝑠−𝑣𝑞
𝑝𝑠−𝑟𝑞
,
𝑝𝑣−𝑟𝑢
𝑝𝑠−𝑟𝑞
)
Sesuai persamaan, maka dapat dituliskan
𝑝 (
𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
) + 𝑞 (
𝑝𝑣 − 𝑟𝑢
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
) = 𝑢
𝑟 (
𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
) + 𝑠 (
𝑝𝑣 − 𝑟𝑢
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
) = 𝑣
Dengan demikian, kita telah mendapatkan sebuah metode penyelesaian sistem persamaan yang disebut
metode eliminasi.
3. Metode Substitusi
Metode ini sering diistilahkan sebagai penggantian. Dengan menyatakan satu variabel dalam
variabel lain. Selanjutnya, kita gantikan ke salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai x dan y.
Misalkan kita mempunyai sistem persamaan
y = 4x – 1
y = x + 5

5. 5
y 4x – 1 y x + 5
x + 54x – 1
kita dapat menuliskan masalah ini kedalam bentuk bagan sederhana
dengan mengganti salah satu persamaan
4x – 1 = x + 5
(4x – x) – 1 + 1 = (x – x) + 5 + 1
3x = 6, diperoleh x = 2 dan y = 7
Dengan menggunakan beberapa metode memudahkan kita dalam menentukan nilai x dan y.
Pembuktian Metode Substitusi
Misalkan, diberikan sistem persamaan
px + qy = u (*)
rx + sy = v (**)
untuk kasus ps – qr ≠ 0. Memiliki solusi tunggal dan disebut konsisten bebas linear.
Langkah-langkah untuk mendapatkan nilai x dan y adalah
px + qy = u
px = u – qy maka 𝑥 =
𝑢−𝑞𝑦
𝑝
Lalu, substitusikan nilai x ke pers. (**)
r(
𝑢−𝑞𝑦
𝑝
) + 𝑠𝑦 = 𝑣 maka 𝑦 =
𝑝𝑣−𝑟𝑢
𝑝𝑠−𝑟𝑞
masukkan kembali nilai y sehingga diperoleh 𝑥 =
𝑢𝑠−𝑞𝑣
𝑝𝑠−𝑟𝑞
Solusi dari persamaan diatas adalah (
𝑢𝑠−𝑣𝑞
𝑝𝑠−𝑟𝑞
,
𝑝𝑣−𝑟𝑢
𝑝𝑠−𝑟𝑞
)
Sesuai persamaan, maka dapat dituliskan
𝑝 (
𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
) + 𝑞 (
𝑝𝑣 − 𝑟𝑢
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
) = 𝑢

6. 6
𝑟 (
𝑢𝑠 − 𝑣𝑞
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
) + 𝑠 (
𝑝𝑣 − 𝑟𝑢
𝑝𝑠 − 𝑟𝑞
) = 𝑣
Dengan demikian, kita telah mendapatkan sebuah metode penyelesaian sistem persamaan yang disebut
metode substitusi.
Bila kasus ps – qr = 0 maka ada dua kemungkinan
 Jika
𝑢
𝑣
=
𝑝
𝑟
= 𝐿, maka persamaan yang satu merupakan kelipatan yang lainnya. karena itu,
sistem dapat diganti dengan satu persamaan. Sistem disebut konsisten bergantung linear.
Semua titik pada garis px + qy = u adalah solusi.
 Jika
𝑢
𝑣
≠
𝑝
𝑟
, maka sistem persamaan tidak memiliki solusi dan terjadi pada dua garis yang
sejajar. Sistem disebut tak konsisten.
D. Implementasi Sistem Persamaan Linear dalam Kehidupan Sehari – hari
1. Saya membeli dua jenis es dan harus membayar Rp. 2.300. Jumlah seluruh es adalah 10. Harga es
jenis pertama adalah Rp. 300 dan harga es jenis kedua adalah Rp. 200. Tentukan jumlah masing-
masing es !
Solusi
Misalkan es jenis pertama x rupiah dan es jenis kedua y rupiah. Persamaan dapat dituliskan
300x + 200y = 2.300
x + y = 10
dengan menggunakan salah satu metode sebelumnya, akan diperoleh nilai x = 3 dan y = 7. Jadi, jumlah
masing-masing es pertama dan es kedua adalah 3 dan 7.
2. Rona membeli 3 penghapus dan 7 spidol. Sementara, Rani membeli 2 penghapus dan 5 spidol. Rona
harus membayar sebesar Rp. 54.000 sedangkan Rani harus membayar Rp. 38.000. Tentukan harga
masing-masing penghapus dan spidol.
Solusi
Misalkan harga penghapus x rupiah dan harga spidol y rupiah. Dengan demikian, masing-masing harus
membayar
3x + 7y = 54.000
2x + 5y = 38.000
dengan menggunakan metode eliminasi diperoleh x = 4.000 dan y = 6.000. Dengan demikian, harga
satu penghapus adalah Rp. 4.000 dan harga satu spidol adalah Rp. 6.000.

7. 7
Pemberian Tugas
Buatlah kelompok yang beranggotakan 5 siswa.
1. Masalah yang lebih rumit seperti yang ditunjukkan gambar berikut ini.
Tuliskanlah model matematika untuk masalah ini !
2. Pak desa memiliki 4 anak perempuan yakni, Dona, Dini, Dina, dan Dana. Suatu hari pak desa
menyuruh ketiga putrinya membeli buah di pasar.
 Dona ditugaskan membeli sekilo jeruk dan sekilo apel seharga Rp. 24.000
 Dini ditugaskan membeli sekilo apel dan sekilo anggur seharga Rp. 32.000, dan
 Dina ditugaskan membeli sekilo anggur dan jeruk seharga Rp. 28.000
Jika Dana ditugaskan membeli sekilo jeruk, apel, dan anggur maka berapakah yang harus
dibayar Dana ?
a. 24
b. 42
c. 64
d. 46
3. Mintalah dua anggota kelompokmu menuliskan bilangan I dan bilangan II yang hasil
penjumlahannya 15.
Mintalah dua anggota kelompokmu, kemudian tuliskan bilangan I dan bilangan II, dimana 2
kali bilangan I ditambah bilangan II hasilnya 23.
REFERENSI
Madhavi, V. dan Ved Dudeja. Jelajah Matematika SMP Kelas VIII. Bogor: Yudhistira, 2011.
Neswan, Oki dan Wono Setya Budhi. Matematika untuk Kurikulum Berbasis Kompetensi SMA.
Bandung: ITB, 2003.
Setya Budhi, Wono. Matematika untuk SMP Kelas VIII Semester 1. Jakarta: Erlangga, 2007.
FAHRUL USMAN
email : fahrul.math25@gmail.com