teori graph

1. M t tik Di k it 2Matematika Diskrit 2
Teori GraphTeori Graph
Teori Graph 1

2. K l hir T ri Gr phKelahiran Teori Graph
Masalah Jembatan Konigsberg :g g
Mulai dan berakhir pada tempat yang sama, bagaimana
caranya untuk melalui setiap jembatan tepat satu kali ?
1736 L h d E l1736: Leonhard Euler
Basel, 1707-St. Petersburg, 1786
Mampu mengungkap misteri Jembatan Konigsberg
Teori Graph 2
Mampu mengungkap misteri Jembatan Konigsberg

3. Pr bl d M d l Gr phProblem dan Model Graph
Data
MASALAH
Anal
MODEL IMPLEMENTASI
lisis
PROGRAM
Anali
ALGORITMA SOLUSI YANG
DIHARAPKAN
sis
Teori Graph 3

4. Pr bl 1Problem 1
Setiap minggu sekali, seorang petugasSetiap minggu sekali, seorang petugas
kantor telepon berkeliling untuk
mengumpulkan koin pada telepon umum yang
dipasang diberbagai tempat. Berangkat dari
kantornya, ia mendatangi satu demi satu
t l t b t d khi k b litelepon umum tersebut, dan akhirnya kembali
ke kantor lagi. Problem yang muncul adalah
petugas tersebut menginginkan suatu rutepetugas tersebut menginginkan suatu rute
perjalanan dengan waktu minimal ?
Teori Graph 4

5. Pr bl 2Problem 2
Pada suatu persimpangan jalan yang ramaip p g j y g
akan dipasang lampu lalu lintas (TL). Telah
diatur bahwa jalan A, C, D, E, dan F satu arah
serta jalan B adalah 2 arah Perjalanan yangserta jalan B adalah 2 arah. Perjalanan yang
diperbolehkan adalah :
A B A C A E B C B E
D C D E F B F C F E
Problemnya adalah bagaimana menentukan
l TL d j l h f i i l d dpola TL dengan jumlah fase minimal,dan pada
setiap fase tidak ada perjalanan yang saling
melintas ?
Teori Graph 5
melintas ?

6. Pr bl 3Problem 3
Rute perjalanan dari kota A ke P dapatRute perjalanan dari kota A ke P dapat
dilakukan dengan berbagai macam
alternatif Dari sekian banyak alternatifalternatif. Dari sekian banyak alternatif
yang ada maka tentukanlah rute yang
paling minimal untuk ditempuhpaling minimal untuk ditempuh
(misalkan minimal dalam hal jarak
tempuh/waktu tempuh) ?tempuh/waktu tempuh) ?
Teori Graph 6

7. M d l Gr phModel Graph
Jika kita lakukan analisis terhadap ketigap g
problem tadi, maka kita akan buatkan model
persoalannya ke dalam model Graph.
P bl 1 d d l G h dik l dProblem 1 pada model Graph dikenal dengan
problem Travelling Salesman.
Problem 2 pada model Graph dikenal denganProblem 2 pada model Graph dikenal dengan
problem Coloring Graph (pewarnaan
Graph).
Problem 3 pada model Graph dikenal dengan
problem Shortest Path.
Teori Graph 7

8. P d h lPendahuluan
Definisi 1 :Definisi 1 :
Suatu Graph G = (V,E) adalah koleksi atau
pasangan dari dua himpunan V (tidak kosong)p g p ( g)
dan E dengan
V = V(G) = himpunan verteks atau simpul atau node.
E = E(G) = himpunan edge atau ruas atau sisi.
Banyaknya verteks disebut order
Banyaknya edge disebut size (ukuran)
Teori Graph 8

9. P d h l (L j t )Pendahuluan (Lanjutan)
Contoh 1 :Contoh 1 :
V = {s, u, v, w, x, y, z}
E = {(x s) (x v)E = {(x,s), (x,v)1,
(x,v)2, (x,u), (v,w),
(s,v), (s,u), (s,w), (s,y),(s,v), (s,u), (s,w), (s,y),
(w,y), (u,y), (u,z),(y,z)}
Teori Graph 9

10. EdEdge
Edge merupakan pasangan tak terurut dariEdge merupakan pasangan tak terurut dari
simpul. Misalkan edge e = (v,w) = (w,v).
Edge e dikatakan incident pada v dan w.g p
Verteks terpencil (terisolasi) adalah suatu
verteks tanpa edge incident.p g
p
Teori Graph 10

11. Ed KhEdge Khusus
Edge ParalelEdge Paralel
Dua edge atau lebih
yang mempunyai kedua
erteks j ng angverteks ujung yang
sama.
Graph disamping : edge
(a b) merupakan edge(a,b) merupakan edge
paralel atau edge sejajar.
Loop (self-loops)
Suatu edge yang kedua
verteks ujungnya sama.
Graph disamping, edge
Teori Graph 11
p p g, g
(d,d) self-loops.

12. Gr ph KhGraph Khusus
Simple graph (Graph
sederhana)
Suatu graph yang tidakSuatu graph yang tidak
memiliki self-loops dan
ruas sejajar.
W i ht d hWeighted graph
(Graph berlabel /
berbobot)berbobot)
Suatu graph yang setiap
ruasnya dikaitkan dengan
besaran tertentu (“bobot”)
Teori Graph 12
besaran tertentu ( bobot ).

13. G h B h (Di h)Graph Berarah (Digraph)
G disebut graph
berarah atau directed
graph/ digraph jikagraph/ digraph jika
setiap ruas merupakan
pasangan terurut daripasangan terurut dari
simpul. (dpl. Setiap
ruasnya memiliki
arah).
Teori Graph 13

14. G h B h (Di h)Graph Berarah (Digraph)
Definisi:
Jika (u,v) adalah edge dari graph berarah G, u
dik t k dj t k d dik t kdikatakan adjacent ke v dan v dikatakan
adjacent dari u.
Vertex u dikatakan sebagai verteks inisial dariVertex u dikatakan sebagai verteks inisial dari
(u,v) dan v dikatakan sebagai verteks terminal
atau verteks akhir (u v)atau verteks akhir (u,v).
verteks inisial dan verteks terminal dari sebuah
loop adalah sama
Teori Graph 14
loop adalah sama

15. D r j t V rt kDerajat Verteks
Derajat dari simpul v,Derajat dari simpul v,
dinotasikan dgn δ(v),
adalah banyaknya
ruas yang melalui v
Contoh :
δ(a) = 4, δ(b) = 3,
δ(c) = 4, δ(d) = 6,
( ) 4 (f) 4δ(e) = 4, δ(f) = 4,
δ(g) = 3.
Teori Graph 15

16. D r j t p d Gr phDerajat pada Graph
Teorema (The Handshaking Theorem):Teorema (The Handshaking Theorem):
jika G suatu graph tidak berarah dengan m edge
dan n verteks maka jumlah derajat semuaj j
verteks adalah 2m.
nn
Σ δ(vi) = 2m
i = 1i 1
jumlah dari derajat semua verteks pada
graph tidak berarah adalah genap
Teori Graph 16
graph tidak berarah adalah genap.

17. D r j t p d Gr phDerajat pada Graph
Teorema :
Sebuah graph tidak berarah G memilikiSebuah graph tidak berarah G memiliki
sejumlah genap vertek berderajat ganjil
Teori Graph 17

18. D r j t p d Gr phDerajat pada Graph
Definisi:Definisi:
Sebuah graph berarah G memiliki derajat masuk
dari sebuah verteks (in-degree of a vertex) v,( g ) ,
dinotasikan sebagai δ-(v), menyatakan
banyaknya edge dengan v sebagai verteks
terminal. Derajat keluar dari sebuah verteks
(out-degree of a vertex) v, dinotasikan sebagai
δ+(v) menyatakan banyaknya edge dengan vδ+(v), menyatakan banyaknya edge dengan v
sebagai verteks inisial.
Teori Graph 18

19. G h B h (Di h)Graph Berarah (Digraph)
δ-(a) = 1, δ+(a) = 2,
δ-(b) = 2, δ+(b) = 1,
δ-(c) = 2, δ+(c) = 2,
δ-(d) = 3, δ+(d) = 2,
δ-(e) = 1, δ+(e) = 2,
δ-(f) = 1, δ+(f) = 1
Teori Graph 19

20. D r j t p d Gr phDerajat pada Graph
Teorema :
Misalkan G = (V E) adalah graph berarah maka:Misalkan G = (V,E) adalah graph berarah maka:
Evv ∑∑ +−
== )()( δδ Evv
VvVv
∑∑ ∈∈
)()( δδ
Teori Graph 20

21. Gr ph L k p KGraph Lengkap K n
Misalkan n > 3
Graph Lengkap (complete
h) K d l h hgraph) Kn adalah graph
dengan n simpul dan setiap
pasang simpulnya terhubungp g p y g
oleh satu ruas. Derajat setiap
vertex sama
Contoh di sampingContoh di samping
merupakan Graph lengkap K5
Teori Graph 21

22. Gr ph Bip rti iGraph Bipartisi
Graph bipartisi G adalah suatup p
graph sedemikian sehingga
berlaku
V(G) V(G ) V(G )V(G) = V(G1) ∪ V(G2)
|V(G1)| = m, |V(G2)| = n
V(G ) ∩V(G ) = ∅V(G1) ∩V(G2) = ∅
Tidak terdapat edge antara
sembarang verteks pada
subset V(Gk) yang sama; k
= 1,2.
Teori Graph 22

23. C pl t bip rtit r ph KComplete bipartite graph Km,n
Suatu graph bipartisi adalah
graph bipartisi lengkap
(Complete bipartite graph)
Km,n jika setiap simpul pada
V(G ) terhubung denganV(G1) terhubung dengan
simpul pada V(G2) dan
sebaliknyasebaliknya,
|V(G1)| = m
|V(G )| = n
Teori Graph 23
|V(G2)| = n

24. Gr ph T rh bGraph Terhubung
Suatu Graph dikatakan
terhubung (Connected) jika
setiap pasang dari vertekssetiap pasang dari verteks
dapat dilalui dengan suatu
jalur.
Setiap subgraph terhubung
dari suatu graph takdari suatu graph tak
terhubung G disebut
component dari G
Teori Graph 24

25. J l r(P th) d C lJalur(Path) dan Cycle
S t J l (P th) d jSuatu Jalur (Path) dengan panjang n
adalah barisan dari n + 1 verteks dan n
d b tedge secara berurutan.
(v0, e1 , v1, e2 , v2, e3 , …, vn-1, en , vn)
Suatu Cycle adalah jalur dengan verteksSuatu Cycle adalah jalur dengan verteks
awal dan verteks akhirnya sama.
Teori Graph 25

26. Jalur (Path) dan Cycle (Lanjutan)Jalur (Path) dan Cycle (Lanjutan)
Contoh :
Diketahui suatu Graph G :
1 2 3e1 e2
456
e3
e4e5
e6
e7
e8
e9
Jalur dari verteks 1 ke 5 : 1, 5 atau 1, 2, 5 atau
1, 2, 3, 4, 5 atau 1, 2, 3, 5, atau
1 6 5
56
1, 6, 5
Cycle dgn panjang 3 : 1, 2, 5, 1 atau 2, 3, 5, 2
Cycle dgn panjang 6 : 1 2 3 4 5 6 1
Teori Graph 26
Cycle dgn panjang 6 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1

27. S b r phSubgraph
Definisi :Definisi :
Misal G=(V,E) suatu Graph, G’ =(V’,E’)
disebut subgraph dari G jika :d sebut subg ap da G j a
V’ ⊆ V dan E’ ⊆ E
Contoh:
Diketahui graph G sebagai berikut :
a
be
subgraph
Teori Graph 27
c

28. P rj l E l rPerjalanan Euler
Sebuah perjalanan Euler (Euler cycle)Sebuah perjalanan Euler (Euler cycle)
pada graph G adalah sebuah cycle
sederhana yang melalui setiap edge di
G hanya sekaliG hanya sekali.
Problem jembatan Königsberg:
Apakah memungkinkan untuk memulai dan
mengakhiri suatu perjalanan dari titik yangmengakhiri suatu perjalanan dari titik yang
sama melalui ke 7 jembatan hanya sekali?
Problem dapat dinyatakan dengan
sebuah graphsebuah graph
Edge menyatakan jembatan dan
setiap verteks menyatakan daerah
(region)
Teori Graph 28
(region).

29. Gr ph E l rGraph Euler
Sebuah graph G adalah graph Euler jikag p g p j
memiliki Euler cycle.
Teorema:
G adalah Graph Euler jika dan hanya jika
G terhubung dan semua vertex memiliki
derajat genap.derajat genap.
Graph terhubung merepresentasikan
problem jembatan Königsberg.
Graph tersebut bukan Graph Euler.
Berarti problem jembatan Königsberg
Teori Graph 29
tidak memiliki solusi.