Modus Ponen (MP) dan beberapa contoh soal penerapannya dibahas dalam dokumen tersebut."

1. BAB 4 METODE DEDUKSI KALIMAT LOGIKA
Modus Ponen (MP) :
Tautologi : [p ∧ (p → q)] → q
p
p → q
∴ q
p q p → q p ∧ (p → q) [p ∧ (p → q)] → q
F F T F T
T F F F T
F T T T T
T T T T T

2. Contoh Soal 4.1 :
Buktikan validitas argumen di bawah ini :
1. p → q Pr
2. q → r Pr
3. p Pr / ∴r
4. q 1,3 MP
5. r 2,4 MP
1. p → q Pr (Premis)
2. q → r Pr
3. p Pr / ∴r
Rangkaian argumen :
Pembuktiannya sbb :
Jika pintu kereta api ditutup, maka lalu lintas terhenti.
Jika lalu lintas terhenti, maka terjadi kemacetan lalu lintas.
Pintu kereta api ditutup.
Jadi terjadi kemacetan lalu lintas
p : Pintu kereta api ditutup.
q : Lalu lintas terhenti.
R : Terjadi kemacetan lalu lintas
Jawab :
Pergunakan notasi simbol :

3. Contoh Soal 4.2 :
Buktikan validitas berikut :
Jawab :
1. (p ∨ q) → (~s → r) Pr
2. ~ s Pr
3. q → t Pr
4. t → (p ∨ q) Pr
5. q Pr /∴r
6. t 3,5 MP
7. p ∨ q 4,6 MP
8. ~s → r 1,7 MP
9. r 2,8 MP
Jika korupsi merajalela atau persediaan minyak bumi habis, maka jika pendapatan negara
tidak dapat diatasi, maka Negara akan mengalami resesi.
Ternyata pendapatan negara tidak dapat diatasi
Jika persediaan minyak bumi habis, maka Negara kehilangan devisa
Jika Negara kehilangan devisa, maka korupsi merajalela atau persediaan minyak bumi
habis
Jadi Negara mengalami resesi
p : Korupsi merajalela
q : Persediaan bumi habis
r : Negara mengalami resesi
s : Pendapatan Negara dapat diatasi
t : Negara kehilangan devisa

4. Modus Tollen (MT) :
Tautologi : [~ q ∧ (p → q)] → ~ p
p → q
~ q
∴ ~ p
p q ~ q p → q ~ q ∧ (p → q) ~ p [~q ∧ (p → q)] → ~p
F F T T T T T
T F T F F F T
F T T T T T T
T T F T F F T

5. Contoh Soal 4.3 :
Buktikan rangkaian argumen berikut :
Jawab :
1. p → q Pr
2. q → r Pr
3. ~ p → s Pr
4. ~ r Pr /∴s
1. p → q Pr
2. q → r Pr
3. ~ p → s Pr
4. ~ r Pr /∴s
5. ~ q 2,4 MT
6. ~ p 1,5 MT
7. s 3,6 MP

6. Simplifikasi (Simp) :
p ∧ q
∴ p
1. ~ p → q Pr
2. r → p Pr
3. ~ r → s P.
4. s → t Pr /∴t
Contoh Soal 4.4 :
Buktikan rangkaian argumen berikut :
Jawab :
1. ~ p → q Pr
2. r → p Pr
3. ~ r → s Pr
4. s → t Pr /∴t
5. ~ p 1, Simp
6. ~ r 2,5 MT
7. s 3,6 MP
8. t 4,7 MP

7. Contoh Soal 4.5 :
Buktikan rangkaian argumen berikut :
1. (p ∧ q) → r Pr
2. p ∧ s Pr
3. q ∧ t Pr /∴r
Jawab :
1. (p ∧ q) → r Pr
2. p ∧ s Pr
3. q ∧ t Pr /∴r
4. p 2, Simp
5. q 3. Simp
6. p ∧ q 4,5 Conj
7. r 1,6 MP
Conjuntion (Conj) :
p
q
∴ p ∧ q

8. Hypothetical Syllogism (HS) :
Tautologi :[ (p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
p → q
q → r
∴ p → r
1. p → q Pr
2. ~ p → r Pr
3. r → s Pr / ∴ (~ q → s)
4. ~ q → ~ p 1, Kontrapositip
5. ~ q → r 2, 4 HS
6. (~ q → s 3, 5 HS
Jawab :
p : Kamu mengirim pesan email
q : Saya menyelesaikan menulis program
r : Saya cepat tidur
s : Saya bangun dengan perasaan segar
Jika kamu mengirim pesan email, maka saya akan menyelesaikan menulis program.
Bila kamu tidak mengirim pesan email kepada saya, maka saya akan cepat tidur.
Jika saya cepat tidur, maka saya akan bangun dengan perasaan segar
Bila saya tidak menyelesaikan menulis program, maka saya akan bangun dengan perasan segar
Contoh Soal 4.6
Buktikan validitas argumen berikut :

9. Disjunction Syllogism (DS)
Tautologi :[ (p ∨ q) ∧ ~ p] → q
p ∨ q
~ p
∴ q
Contoh Soal 4.7 :
Buktikan validitas argumen berikut :
Saya pergi ke Palembang atau berlibur ke Pemalang.
Saya tidak ke Palembang tapi mengikuti kursus di Pemalang.
Jadi saya berlibur ke Pemalang
1. p ∨ q Pr
2. ~ p ∧ r Pr / ∴q
3. ~ p 2, Simp
4. q 1, 3 DS
Jawab :
p : Saya pergi ke Palembang
q : Saya berlibur ke Pemalang
r : Saya mengikuti kursus di Pemalang

10. Constructive Dilemma (CD)
p → q
r → s
p ∨ q
∴ q ∨ s
Contoh Soal 4.8:
Buktikan validitas argumen berikut :
Jika purnama telah hilang, maka malam menjadi gelap gulita
Jika malam semakin larut, maka angin bertiup semakin dingin
Purnama telah hilang atau malam semakin larut
Jadi, malam menjadi gelap gulita atau angin bertiup semakin dingin
p : Purnama telah hilang
q : Malam menjadi gelap gulita
r : Malam semakin larut
S : Angin bertiup semakin dingin
1. p → q Pr
2. r → s Pr
3. p ∨ q Pr / ∴ q ∨ s
4. q ∨ s 1,2,3 CD

11. Distructive Dilemma (DD)
p → q
r → s
~ q ∨ ~s
∴ p ∨ s

12. Addition (Add)
p
∴ p ∨ q
Contoh Soal 4.10
Buktikan validitas argumen berikut :
Jika di Pangandaran nelayan tertawa berdendang ria atau wisatawan ramai berpesta
pora, maka di Pangandaran ada pesta laut
Jika bulan Pebruari telah tiba, maka nelayan di Pangandaran tertawa berdendang ria
Bulan Pebruari telah tiba
Jadi di Pangandaran ada pesta laut
p : Di Pangandaran nelayan tertawa
berdendang ria
q : Wisatawan ramai berpesta pora
r : Di Pangandaran ada pesta laut
1. (p ∨ q) → r Pr
2. s → p Pr
3. s Pr / ∴ r
4. p 2, 3 MP
5. p ∨ q 4, Add
6. r 1, 5 MP

13. Resolution (Res)
p ∨ q
~ p ∨ r
∴q ∨ r
Contoh Soal 4.11
Buktikan validitas argumen berikut :
Jasmin sedang bermain ski atau sekarang sedang tidak turun salju
Sekarang sedang turun salju atau Bart sedang bermain hoki
Jasmin sedang bermain ski atau Bart sedang bermain hoki
p : Sekarang sedang turun salju
q : Jasmine sedang bermain ski
r : Bart sedang bermain hoki
1. ~ p ∨ q Pr
2. p ∨ r Pr / ∴q ∨ r
3. q ∨ r Res
Jawab :

14. 1 p
∴p ∨ q
Addition (Add) 6 p → q
q → r
∴ p → r
Hypothetical Syllogism (HS)
2 p ∧ q
∴p
Simplification (Simp) 7 p ∨ q
~ p
∴ q
Disjunctive Syllogism (DS)
3 p
q
∴p ∧ q
Conjunction (Conj) 8 p → q
r → s
p ∨ q
∴ q ∨ s
Constructive Dilemma (CD)
4 p → q
p
∴q
Modus Ponen (MP) 9 p → q
r → s
~ q ∨ ~s
∴ p ∨ s
Destructive Dilemma (DD)
5 ~ q
p → q
∴ ~ p
Modus Tollen (MT) 10 p ∨ q
~ p ∨ r
∴q ∨ r
Resolution (Res]
ATURAN PENARIKAN KESIMPULAN (RULE OF INFERENCE)

15. 1 ~ (p ∨ q) ⇔ ~ p ∧ ~q
~ (p ∧ q) ⇔ ~ p ∨ ~q
De Morgan (de M)
2 p ∧ q ⇔ q ∧ p
p ∨ q ⇔ q ∨ p
Commutation (Comm))
3 p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r
p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r
Association (Ass)
4 p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Distribution (Distr)
5 ~ (~ p) = p Double Negation(DN)
6 p → q ⇔ ~ q → ~ p Transposition (Trans)
7 p → ⇔ ~p ∨ q Material Implication (Impl)
8 p ↔ q ⇔ (p → q ) ∧ (q → p)
p ↔ q ⇔ (p ∧ q ) ∨ (~ q ∧ ~p)
Material Equivalence (Equiv)
9 p ∧ q → r ⇔ p → (q → r) Exportation (Exp)
10 p ∧ p ⇔ p
p ∧ p ⇔ p
Tautologi (Taut)
ATURAN PENUKARAN(RULE OF REPLACEMENT)

16. Contoh Soal 4.12
Buktikan argumen di bawah ini :
1.(a ∨ b ) → (c ∧ d)
2.~ c / ∴ ~ b
Jawab :
1. (a ∨ b ) → (c ∧ d) Pr
2. ~ c / ∴ ~ b Pr
3. ~ c ∨ ~ d 2, Add
4. ~(c ∧ d) 3, de M
5. ~ (a ∨ b ) 4, MT
6. ~ a ∧ ~ b 5, de M
7. ~ b ∧ ~ a Comm
8. ~ b Simpl

17. Contoh Soal 4.13
Buktikan argumen di bawah ini :
1.j ∨ (~ k ∨ j )
2.k ∨ (~ j ∨ k) / ∴ (j ∧ k) ∨ (~ j ∧ ~ k)
Jawab :
1. j ∨ (~ k ∨ j ) Pr
2. k ∨ (~ j ∨ k) / ∴ (j ∧ k) ∨ (~ j ∧ ~ k) Pr
3. (~ k ∨ j ) ∨ j Comm
4. ~ k ∨ (j ∨ j) Ass
5. ~ k ∨ j Taut
6. k → j Impl
7. (~ j ∨ k ) ∨ k Comm
8. ~ j ∨ (k ∨ k) Ass
9. ~ j ∨ k Taut
10. (j → k ) Impl
11. (j → k ) ∧ (k → j) 6,10 Conj
12. j ↔ k Equiv
13. (j ∧ k) ∨ (~ j ∧ ~ k) Equiv

18. Soal Latihan No 4.1 [2005]
Tentukan validitas argumen berikut :
~ (p ∨ m) ∨ (s ∧ r)
~ s
∴ ~m

19. Soal Latihan No 4.2
Diberikan sebuah soal cerita di bawah ini, buktikan
validitasnya
Jika Nuraida pergi ke gunung Gede atau Aryanti tidak
ada di rumah, maka Hasanah tidak akan pergi ke luar
rumah dan Ineke akan setia menemaninya. Ternyata
Hasanah pergi ke luar rumah. Jadi Aryanti ada di rumah

20. Soal Latihan No. 4.3
Diberikan argumen berikut :
~ (p ∨ q) ∨ r
p ∧ q
∴p → r
Buktikan validitas argumen di atas

21. Soal Latihan No. 4.4
Diberikan argumen berikut :
Jika Wayan berdagang, maka ia tidak menjadi beban
keluarganya
Jika ia tidak berdagang, maka ia tidak mempunyai
modal.
Jika ia tidak mempunyai modal, maka ia bekerja di toko.
Jika ia bangkrut, maka ia menjadi beban keluarganya.
Jadi ia tidak bangkrut atau ia bekerja di toko
w : Wayan berdagang
k : Wayan menjadi beban keluarganya
m : Wayan mempunyai modal
t : Wayan bekerja di toko
b : Wayan bangkrut

22. ATURAN PEMBUKTIAN KONDISIONAL
Pernyataan kondisional : [(p ∨ q) ∧ ~ p ] → q berkorespondensi dengan
argumen :
1.p ∨ q
2.~ p
3.∴ q
Setiap argumen yang valid berkorespondensi dengan pernyataan kondisional yang
merupakan tautologi
Menurut hukum Exportation : a → (b → c) ⇔ (a ∧ b) → c, keduanya tautologi
1. a
2. ∴ b → c
Pernyataan kondisional berkorespondensi dengan suatu argumen
Premis-premis argumen (1 dan 2) adalah antesenden dari pernyataan kondisional
Konsekuen argumen (3) adalah konklusi dari pernyataan kondisional
1. a
2. b
3. ∴ c
Ada premis tambahan (b) rule of Conditional Proof (CP)

23. 1. a → b
2. c → d
3. ~ b ∨ ~ d
4. ~ a ∨ ~ b
5. ∴ (a → ~ c)
1. a → b
2. c → d
3. ~ b ∨ ~ d
4. ~ a ∨ ~ b
5. a (premis tambahan)
6. ∴ ~ c
1 a → b Pr
2 c → d Pr
3 ~ b ∨ ~
d
Pr
4 ~ a → ~
b
Pr /∴ a → c
5 a Pr tambahan / ∴c
6 b 1,5 MP
7 ~ (~b) 6 DN
8 ~ d 3,7 DS
9 ~ c 2,8 MT
10 a → ~c 5,9 CP
Contoh Soal 4.14
Buktikan validitas argumen berikut :
Jawab :
Ubah argumen di atas menjadi :
Pembuktian selengkapnya :

24. 1. a → (b → c) Pr
2. c → (d ∧ e) Pr /∴a → (b → d)
1. a → (b → c) Pr
2. c → (d ∧ e) Pr
3. a (Pr tambahan) /∴ (b → d)
4. b (Pr tambahan) / ∴ d
1 a → (b → c) Pr
2 c → (d ∧ e) Pr
3 a Pr tambahan
4 b Pr tambahan
5 b → c 1,3 MP
6 c 5,4 MP
7 d ∧ e 2,6 MP
8 d 7 Simp
Contoh Soal 4.15
Buktikan validitas argumen berikut :
Jawab :
Ubah argumen di atas menjadi :
Pembuktian selengkapnya :

25. Latihan Soal 4.6
Buktikan validitas argumen berikut menggunakan aturan pembuktian kondisional
1. p → r Pr
2. (~ p ∨ r) → (s → q) Pr /∴p → (s → q)
Latihan Soal 4.5
Buktikan validitas argumen berikut menggunakan aturan pembuktian kondisional
1. (s → q) → r Pr
2. (p ∧ s) → q Pr /∴p → r
Latihan Soal 4.7
Buktikan validitas argumen berikut menggunakan aturan pembuktian kondisional
1. t ∨ d → e Pr / ∴ t → e

26. ATURAN PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG
Rule of Indirect Proof (IP)
• Membentuk negasi dari konklusinya yang kemudian dijadikan premis tambahan
• Bila terjadi kontradiksi, maka argumen valid
Contoh Soal 4.16
Buktikan validitas argumen ini dengan pembuktian tak langsung
1.p → q Pr
2.q → r Pr
3.p Pr / ∴r
1. p → q Pr
2. q → r Pr
3. p Pr / ∴r
4. ~ r Pr tambahan
1 p → q Pr
2 q → r Pr
3 p Pr
4 ~ r Pr tambahan
5 ~ q 2,4 MT
6 ~ p 1,5 MT
7 p ∧ ~p 3,6 conj
Terjadi kontradiksi  argumen valid

27. Contoh Soal 4.17
Buktikan validitas argumen di bawah ini
dengan metode IP, dan lanjutkan sampai
diperoleh konklusi argumennya
1.b → j Pr
2.h→ d Pr
3.~ (~j ∨ ~ d) → uPr
4.~ u Pr / ∴ ~ b ∨ ~ h
Jawab :
1 b → j Pr
2 h → d Pr
3 ~ (~j ∨ ~ d) → u Pr
4 ~ u Pr / ~ b ∨ ~ h
5 ~(~ b ∨ ~ h) IP ,Pr tambahan
6 b ∧ h De Morgan
7 b 6, simp
8 j 1,7 MP
9 h ∧ b 6, comm
10 h 9, simp
11 d 2,10 MP
12 ~j ∨ ~ d 3,4 MT
13 ~ (~j ) 8, DN
14 ~ d 12,13 DS
15 d ∧ ~ d 11, 14 conj
16 ~ b ∨ ~ h 1,2, 12 DD
17
18
Terjadi kontradiksi 

28. Latihan Soal 4.9
Buktikan validitas argumen berikut menggunakan aturan pembuktian tak langsung
1. a ∨ b → c ∧ d Pr
2. d ∨ e) → f Pr
3. a Pr / ∴f
Latihan Soal 4.8
Buktikan validitas argumen berikut menggunakan aturan pembuktian tak langsung
1. ~ (p → m) ∨ (s ∧ r) Pr
2. ~ s Pr /∴~ m
Latihan Soal 4.10
Buktikan validitas argumen berikut menggunakan aturan pembuktian kondisional
1. p → [q ∨ (r ∧ s)] Pr
2. ~r ∨ ~s Pr
3. ~q Pr / ∴~ p