Dokumen tersebut membahas tentang teori graf, termasuk definisi graf berarah dan tidak berarah, representasi graf dalam matriks, algoritma Floyd-Warshall dan Johnson, bahasa pemrograman Java, serta UML dan flowchart.
3. 1.1 Graf
Teori Graf merupakan suatu diagram yang memuat informasi
tertentu jika diinterpretasikan secara tepat.
Definisi graf secara umum : Graf G adalah pasangan (V(G),X(G)),
dimana V(G) adalah himpunan berhingga, yang elemen-elemennya
disebut titik (vertex),dan X(G) adalah himpunan pasangan-pasangan
dari elemen-elemen V(G) disebut sisi (edge).
Contoh 1:
a. Misalkan diketahui V(G) ={1,2,3,4,5} dan X(G) =
{12,22,13,34,45,21}. Apakah G merupakan graf ?
jawab : gambar G merupakan graf karena anggota V(G) diskrit
dan anggota X(G) adalah pasangan-pasangan dari anggota-
anggota V(G).
STKIP Muhammadiyah Pagaralam
4. b. Misalkan diketahui V(H) = {1,2,3,4,5} dan X(H)
={12,22,13,34,45,61}. Apakah H merupakan graf ?
Jawab : gambar H bukan graf karena ada anggota X(H) yakni
61 yang merupakan pasangan yang salah satunya yakni 6
bukan anggota dari V(H).
Sisi 22 disebut loop dan 12 serta 21 adalah sisi paralel. Ini
adalah gambar graf H.
1
2
3
4
5
STKIP Muhammadiyah Pagaralam
5. 1.2 Teori Dasar Graf
Garis yang hanya berhubungan dengan satu titik ujung
disebut loop. Dua garis berbeda yang menghubungkan titik yang
sama disebut garis pararel. Dua titik dikatakan berhubungan
(adjacent) jika garis menghubungkan keduanya. Titik yang dimiliki
garis yang berhubungan dengannya disebut titik terasing
(isolating point). Graf yang tidak memiliki titik (sehingga tidak
mewakili garis) disebut garis kosong.
Jika semua garisnya berarah, maka grafnya disebut graf
berarah (directed graph), atau sering disingkat digraph. Jika
semua garisnya tidak berarah, maka grafnya disebut graf tak
berarah (underected graph). Sehingga dapat ditinjau dari arahya,
graf dapat dibagi menjadi dua yaitu graf berarah dan graf tidak
berarah.
STKIP Muhammadiyah Pagaralam
6. 1.2.1 Graf Berarah (Directed Graph=Digraph)
Pada graf berarah, arah sisi/urutan ikut diperhatikan. Dalam
suatu graf, litasan (path) adalah urutan simpul, atau sisi yang
dibentuk untuk bergerak dari satu simpul kesimpul yang lain. Dalam
graf yang berarah, titik akhir dari sebuah busur akan menjadi titik
awal dari busur berikutnya. Sirkuit adalah lintasan yang memiliki
simpul awal dan akhir yang sama. Panjang lintasan adalah
banyaknya sisi yang dilalui lintasan tersebut.
Contoh :
Gambar 1.2.1 Graf Berarah
STKIP Muhammadiyah Pagaralam
7. STKIP Muhammadiyah Pagaralam
Tentukan :
a. Himpunan titik-titik himpunan garis-garis, dan fungsi perkawanan.
b. Derajat masuk dan derajat keluar tiap titik.
c. Titik terasing dan titik pendant.
d. Garis pararel
Penyelesaian :
Fungsi mengawankan garis-garis dengan pasangan titik-titik
berikut
9. STKIP Muhammadiyah Pagaralam
c. Titik terasing adalah .
Titik pendent .
d. Garis paralel adalah dan , dapat dilihat bahwa dan
bukanlah garis paralel karena arahnya berbeda.
1.2.1.1 Path Berarah dan Sirkuit berarah
Pengertian walk, path, dan sirkuit dalam graf berarah sama
dengan walk, path dan sirkuit dalam graf tak berarah. Hanya
saja dalam graf berarah, perjalanan yang dilakukan harus
mengikuti arah garis. Untuk membedakan dengan graf tak
berarah, maka walk, path berarah dan sirkuit dalam graf
berarah tersebut walk berarah, path berarah, dan sirkuit
berarah. Suatu graf berarah yang tidak memuat sirkuit
berarah disebut Asiklik (Siang, J.J.2009).
10. STKIP Muhammadiyah Pagaralam
1.2.1.2 Graf Berarah Terhubung
Suatu graf tak berarah disebut terhubung jika ada walk
yang menghubungkan setiap dua titiknya. Pengertian itu
berlaku juga bagi graf berarah. Berdasarkan arah
garisnya, dalam graf berarah dikenal dua jenis yaitu
terhubung kuat dan terhubung lemah.
1.2.1.3 Isomorfisma dalam Graf Berarah
Pengertian isomorfisma dalam graf berarah sama dengan
isomorfisma pada graf tak berarah. Hanya saja pada
isomorfisma graf berarah, korespondensi dibuat dengan
memperhatikan arah garis.
11. 1.2.2 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
STKIP Muhammadiyah Pagaralam
Suatu graf G terdiri dari dua himpunan yang berhingga, yaitu
himpunan simpul-simpul tak kosong (V(G)) dan himpunan jalur-jalur
(E(G)). Jika semua jalurnya tidak berarah maka grafnya disebut graf
tek berarah (siang, J.J 2009).
1.2.2.1 Graf Bipartite (Bipartite Graph)
Suatu graf G disebut Graf Bipartite apabila (V(G)) merupakan
gabungan dari dua himpunan tak kosong dan dan setiap
garis dalam G menghubungkan suatu titik dalam dengan
titik dalam . Apabila dalam Graf Bipartite setiap titik dalam
maka grafnya disebut Graf Bipartite lengkap. Jika terdiri dari
m titik dan terdiri dari n titik, maka Graf Bipartite lengkapnya
sering diberi simbol .
12. STKIP Muhammadiyah Pagaralam
1.2.2.2 SubGraf
Konsep subgraf sama dengan konsep himpunan bagian.
Dalam teori himpunan, himpunan A dikatakan merupakan
himpunan bagian B bila hanya setiap anggota A Merupakan
B. Oleh karena graf merupakan himpunan yang terdiri titik
dan garis, maka H dikatakan subgraf G, jika semua titik dan
garis dalam G.
1.2.2.3 Derajat (Degree)
Misalkan v adalah titik dalam suatu graf G. Derajat titik v
(simbol d(v)) adalah jumlah garis yang berhubungan dengan
titik v dan garis suatu loop dihitung dua kali. Derajat total G
adalah jumlah derajat semua titik dalam G.
13. STKIP Muhammadiyah Pagaralam
1.2.2.4 Path dan Sirkuit
Misalkan G adalah graf. Misalkan pula v dan w adalah dua
titik dalam G. Suatu walk dari v dan w adalah barisan titik-titik
berhubungan dan garis secara berselang-selang, diawalai
dari titik v dan diakhiri pada titik w.
1.2.2.5 Sirkut Euler
Sirkuit Euler adalah Sirkuit yang melalui tiap sisi dalam graf
tepat satu kali (Siang, J.J (2009) Untuk mengenang ahli
matematika Leonhard Euler yang berhasil memperkenalkan
graf untuk memecahkan masalah tujuh jembatan
Koningsberg pada tahun 1736.
Kota koningsberg dibangun pada pertemuan dua cabang
sungai Pregel. Kota tersebut terdiri dari sebuah pulau di
tengah-tengah dan tujuh jembatan yang mengelilinginya.
14.
15. STKIP Muhammadiyah Pagaralam
1.2.2.6 Graf Terhubung dan Tidak Terhubung
Misalkan G adalah suatu graf. Dua titik v dan w dalam G
dikatakan terhubung hanya ada walk dari v ke w. Graf G
dikatakan terhubung bila hanya setiap dua titik dalam G yang
tidak terhubung.
1.2.2.7 Sirkuit Hamilton
Suatu graf terhubung G disebut Sirkuit Hamilton bila ada
sirkuit yang mengunjungi setiap titiknya tepat satu kali kecuali
titik awal yang sama dengan titik akhirnya.
Perhatikan perbedaan Sirkuit Euler dan Sirkuit Hamilton.
Dalam Sirkuit Euler, semua garis harus dilalui tepat satu kali,
sedangkan semua titiknya boleh dikunjungi lebih dari satu
kali. Sebaliknya, dalam Sirkuit Hamilton semua titik harus
dikunjungi tepat satu kali dan tidak harus melalui semua
garis. Dalam Sirkuit Euler, yang dipentingkan adalah
garisnya. Sebaliknya dalam Sirkuit Hamilton, ynag
dipentingkan adalah kunjungan pada titiknya (Munir, R.2009).
16. 1.2.2 Representasi Graf dalam Matriks
STKIP Muhammadiyah Pagaralam
Matriks dapat digunakan untuk menyatakan suatu graf. Hal itu
sangat membantu untuk membuat program komputer yang
berhubungan dengan graf. Dengan menyatakan graf sebagai suatu
matriks, maka perhitungan-perhitungan yang diperlukan dapat
dilakukan dengan mudah,
Kesulitan utama dalam mempresentasikan graf dalam suatu
matriks adalah keterbatasan matriks untuk mencakup semua
informasi yang ada dalam graf. Akibatnya, ada bermacam-macam
matriks untuk menyatakan suatu graf tertentu. Tiap-tiap matriks
tersebut memiliki keuntungan yang berbeda-beda saat menyaring
informasi yang dibutuhkan pada graf.
18. STKIP Muhammadiyah Pagaralam
2.4. Algoritma Floyd-Warshall
Algoritma Floyd-Warshall adalahsebuah algoritma analisis graf
untuk mencari bobot minimum dari graf berarah.
keluarannya adalah path terpendek dari semua titik ke titik
yang lain
untuk mencari path terpendek, Algoritma Warshall memulai iteras
dari titik awalnya kemudian memperpanjang path dengan
mengevaluasi titik demi titik hingga mencapai titik tujuan dengan
jumlah bobot yang seminimum mungkin.
19. STKIP Muhammadiyah Pagaralam
2.5. Algoritma Johnson
Algoritma Johnson adalah dapat digunakan untuk graf
yang berbobot negatif dan untuk menyelesaikan masalah
lintasan terpendek di setiap titik ke semua titik lain.
Dalam Algoritma Johnson terdapat dua Algoritma
untuk penyelesainnya, yaitu
2.5.1. Algoritma Bellman-Ford
2.5.2. Algoritma Dijkstra
20. STKIP Muhammadiyah Pagaralam
2.6. JAVA
Java merupakan bahasa pemrograman yang
berbasis objek, maksudnya adalah semua aspek
yang terdapat pada Java adalah objek, sehingga
memudahkan untuk mendesain, membuat dan
mengembangkan program Java dengan cepat.
21. STKIP Muhammadiyah Pagaralam
2.7. UML (Unified Modeling Language)
UML mempunyai diagram,diantaranya
2.7.1. Use Case Diagram (Diagram Pengguna Keadaan)
2.7.2. Activity Diagram (Diagram Aktivitas)
2.7.3. Class Diagram (DiagramKelas)
2.7.4. Sequence Diagram (Diagram Rangkaian)
22. STKIP Muhammadiyah Pagaralam
2.8. Flowchart
Flowchart adalah suatu diagram alur (flow) yang
menunjukan (flow) di dalam program atau prosedur
sistem secara logika
