Ringkasan dokumen tersebut adalah: 1. Dokumen tersebut membahas tentang metode Lyapunov untuk menganalisis kestabilan sistem linier dan nonlinier. 2. Ada dua metode Lyapunov yaitu metode pertama menyelesaikan persamaan diferensial sistem dan kedua tanpa menyelesaikannya. 3. Fungsi Lyapunov digunakan untuk menentukan kestabilan tanpa menyelesaikan persamaan gerak dengan nilai yang selalu positif.

1. Presentation Title
Bayu Seto Respati (1410501016)
Dosen Pembimbing : R. Suryoto Edy Raharjo, S.T., M.Eng.
Teknik Elektro, Fakultas Teknik ,Universitas Tidar

2. OUTLINE
• Kestabilan dalam arti Lyapunov
• Pengertian metode Lyapunov
• Kriteria kestabilan Lyapunov
• Metode – metode Lyapunov

3. Kestabilan dalam arti Lyapunov

4. Pengertian Metode Lyapunov
Metode Lyapunov adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk :
Menyelidiki kinerja (terutama kestabilan) sistem linier maupun
nonlinier , yang :
• tak berubah dengan waktu maupun berubah dengan
waktu
• dengan order rendah maupun order tinggi.
Dan hanya berlaku bagi sistem nonlinier , dengan sifat nonlinieritas
tidak diskontinyu atau mendadak perubahannya.

5. Pengertian Metode Lyapunov
Pemikiran Lyapunov didalam menyelidiki kelakuan sistem dinamis bertitik tolak
pada hukum kekekalan energi, dimana :
• jumlah energi kinetis dan energi potensial suatu sistem yang bergerak (sistem
dimamis) adalah konstan
• diambil anggapan bahwa selama suatu benda bergerak maka berlaku hukum
kekekalan energi
jadi kalau energi potensial semakin tinggi, maka energi kinetik semakin rendah,
yang juga berarti kecepatan gerakan benda semakin pelan, demikian juga
sebaliknya.

6. Kriteria Kestabilan Lyapunov
Pada kriteria kestabian lyapunov ini ada persamaan keadaan untuk sistem nonlinier
secara umum dapat ditulis sebagai berikut :
[ ]ttutxfx ),(),(=
Dimana untuk sistem mekanik :

7. Jika diusahakan penyelesaian terhadap kestabilan lyapunov secara numerik , maka :
• akan timbul pertanyaan mengenai sifat kestabilannya , yaitu :
apakah sepenuhnya dapat dijawab keadaan bilamana dikehendaki penyele-
saian yang mempertimbangkan tak terhingga himpunan kondisi awal dan
dengan menggunakan dengan keadaan tak terhingga himpunan kondisi
awal tersebut terhadap :
permasalahan engineering dan memusatkan perhatian kepada pengetahuan
tentang sistemnya .
Kriteria Kestabilan Lyapunov

8. Metode Lyapunov
Metode lyapunov ada 2 macam, yaitu :
1. Metode Liapunov-1 : adalah metode yang digunakan untuk menentukan
kestabilan sistem , dengan cara melalukan penyelesaian persamaan diferensial
nonlinier sistem.
2. Metode Liapunov-2 : adalah metode yang digunakan untuk menentukan
kestabilan sistem tanpa menyelesaikan persamaan diferensial nonli-nier sistem.

9. Metode Lyapunov-1
Metode lyapunov-1 adalah :
• metode dimana persamaan diferensial sistem dinamis dapat diselesaikan
• kestabilan ataupun ketidak stabilan sistem ditentukan dari hasil penyelesaian
persamaan diferensial
Pada metode pertama ini Liapunov tidak menunjukkan bahwa penyelesaian dapat
diperoleh dalam bentuk deret.
Liapunov juga membuktikan bahwa penyelesaian-penyelesaian secara pendekatan
terhadap persamaan diferensial nonlinier sering menghasilkan informasi kestabilan
yang penting.

10. Metode Lyapunov-2
Untuk memberi gambaran tentang metode Liapunov pertama ini, dianggap bahwa :
• nonlinieritas adalah bernilai tunggal (tidak ada hysteresis)
• mempunyai turunan-turunan setiap order disekitar titik A
Fungsi nonlinier, y = f(x) dapat diuraikan menurut deret Taylor disekitar titik A yang
uraiannya sebagai berikut :
Suku pertama dan kedua deret diatas menggambarkan pendekatan linier disekitar
titik kerja sistem nonlinieritas.
Metode Liapunov pertama hanya dapat menentukan kestabilan disekitar titik
keseimbangan saja.
( ) ( ) ( ) ( )  +





−++





−+





−+==
A
n
n
n
AA dt
yd
Ax
ndt
yd
Ax
dx
dy
AxAyxfy
!
1
!2
1
)( 2
2
2

11. Metode Lyapunov-1
Metode lyapunov-2 adalah metode dalam menentukan kestabilan tanpa
menyelesaikan persamaan diferensial dari persamaan gerak sistem.
Pada metode ini lebih dahulu dibentuk persamaan keadaan untuk sistem dinamis
Selanjutnya ditentukan jumlah dari energi potensial dan energi kinetik, yang mana
sesuai dengan hukum ilmu fisika , yaitu jumlah tersebut adalah konstan
Jumlah kedua jenis energi tersebut disebut dengan fungsi Liapunov, yang nilai
selalu positip (defenit positip) dan merupakan fungsi yang skalar

12. Metode Lyapunov-1
Gambaran tentang metode Liapunov kedua ini, perhatikanlah persamaan dife-
rensial linier yang menggambarkan sistem massa-pegas-redaman lebih dahulu,
sebagai gambar dibawah ini :
Sebagai dasar ntuk membahas teori kestabilan, perlu diperhatikan kestabilan yang
terjadi pada sistem massa-pegas-redaman.
Persamaan diferensial gejala peralihan (transient) untuk sistem massa-pegas-
redaman adalah :

13. Daftar Pustaka
• xa.yimg.com/kq/groups/25893398/1024362674/name/metode+liapunov.doc
• share.its.ac.id/mod/resource/view.php?id=19911
• http://www.mnurq.ga/2014/11/persamaan-dan-fungsi-lyapunov.html
• Estimasi kestabilan dengan fungsi lyapunov – Universitas Indonesia
• http://www.slideshare.net/Koconagari95/konsep-kestabilan-sistem-non-linier-amp-
metode-lyapunov-56241673