1. MAKALAH
MEKANIKA STATISTIK
Tentang
MENGUNGKAP ENERGI RADIASI PADA BENDA HITAM MENGGUNAKAN
STATISTIK BOSE-EINSTEIN
Oleh :
Sri refni yenti/52037
N. Wistuti /52029
Rusyda.J/ 52034
Dosen Pembimbing: Dr. Ahmad Fauzi,M.Si
Konsentrasi Pendidikan Fisika
Program Pasca Sarjana
UNP
2010

2. MENGUNGKAP ENERGI RADIASI PADA BENDA HITAM MENGGUNAKAN
STATISTIK BOSE-EINSTEIN
A. Pendahuluan
Fungsi distribusi bagi sistem partikel tidak terbedahkan dalam ranah fisika
kuantum berbeda dari yang dalam ranah fisika klasik. Mengigat sistem kuatum berprilaku
tidak lazim,fungsi distribusi bagi sistem partikel yang mematuhi azas larangan pauli
(elektron misalnya) haruslah kita bedakan dari sistem partikel yang tidak mematuhi azas
ini.
Partikel-partikel iyabg tidak mematuhi asas larangan pauli adalah yang memiliki spin
bulat (0,1,2, … dalam satuan ħ) yang secara kolektif disebut boson. Fungsi distribusi bagi
sistem boson disebut distribusi Bose-Einstein. Bentuknya adalah sebagai berikut :
Partikel-partikel berspin pecahan setengah (1/2,3/2, … ) yang mematuhi asas
larangan pauli,seperti elektron,atau nukleon disebut fermion, dan fungsi distribusi yang
berlaku bagi sistem fermion ini adalah distribusi Fermi-Dirac .
Untuk distribusi Bose-Einstein, bagi sebagian besar kasus yang menarik
perhatian, A tidak bergantung pada T atau ketergantungannya pada T adalah sedemukian
lemahnya sehingga suku eksponensialnya eE/kT yang dominan. Sebaliknya untuk
distribusi Fermi-Dirac, A sangat tergantung pada T, dan ketergantungan biasanya
menghampiri bentuk eksponensial sehingga dapat ditulis sebagai berikut :
A = e-E/kT
Dengan demikian,fungsi distribusi Fermi-Dirac menjadi :

3. EF disebut energi Fermi
Marilah kita lihat secara kualitatif perbedaan antara fBD dan fFD pada suhu
rendah. Untuk distribusi Bose-Einstein, pada limit T rendah, dengan menganggap
sementara A =1, faktor eksponensial menjadi besar untuk energi yang besar,karena itu,
fBD 0 untuk keadaan energi besar. Satu-satunya tingkat energi yang memiliki pe;uang
besar untuk ditempati adalah keadaan yang memiliki E = 0; karena faktor eksponensial
menghampiri 1, sehingga penyebut f menjadi sangat kecil dengan demikian fBD ~. Efek
ini dikenal sebagai “pengembunan”.
B. Isi
STATISTIK BOSE – EINSTEIN
Statistik Bose-Einstein merupakan statistik kuantum juga. Statistik ini tidak
tunduk pada asas Pauli: artinya tiidak ada pembatasan jumlah partikel yang dapat
menduduki status, status itu dapat berisi partikel berapa saja.
Partikel yang memenuhi statistik Bose-Einstein dinamai boson
Semua partikel yang bulat spinnya ( ialah fungsi gelombangnya fungsi simetrik ; foton,
fonon, 4 He,...) memenuhi statistik Bose-Einstein.
Penghitungan jumlah keadaan mikro dalam suatu keadaan makro
Cara mengisikan Ni buah boson ke dalam gi buah status , pada suatu tingkat energi :
Pada suatu tingkat energi tertentu terdapat tiga buah status dan empat buah boson, cara
yang mungkin mengisikan boson kedalam status tersebut adalah :
Jumlah cara yang mungkin adalah 15 cara

4. Jika tingkat energinya banyak maka
( )
( ) !!1
!1
1
ii
ii
n
i Ng
gN
W
−
−+
Π=
=
nWxxWxWWW ...321=
Contoh:
Suatu sistim terdiri dari 2 tingkat energi ( E1dan E2)
E1 dengan 3 buah status dan berisi 2 buah boson
E2 dengan 2 buah status dan berisi 4 buah boson
Maka keadaan mikro yang mungkin adalah = 6 X 5 = 30 cara
Fungsi BE dapat diperoleh pada saat peluang termodinamika berharga max dengan syarat
jumlah boson tetap , karena sistim terisolasi , artinya ;
NN
n
i
i =∑=1
dan 0
1
== ∑=
n
i
idNdN
Sehingga fungsi dalam sistim (U) juga tetap sehingga :
∑ == 0iiNU ε dan ∑ == 0ii dNdU ε
Peluang termodinamik akan berharga maksimum jika harga ln W maksimum yaitu:

5. ( )
( ) !!1
!1
lnln
1
ii
ii
n
i Ng
gN
W
−
−+
Π=
=
atau ( ) ( )[ ]∑=
−−−−+=
n
i
iiii NggNW
1
!ln!1ln!1lnln
Dengan pendekatan Stirling diperoleh:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑=
−−++=
n
i
iiiiiiii NNgggNgNW
1
lnlnlnln
Harga Ln W maksimum diperoleh jika turunan I dari Ln W terhadap Ni sama dengan
nol:
( )[ ] 0lnlnln
1
=−+= ∑=
i
n
i
iiii dNNgNWd atau
( )
0lnln
1
=
+
= ∑=
i
n
i i
ii
i dN
N
gN
Wd
Kesimpulan :
1. 0
1
== ∑=
n
i
idNdN
2. ∑ == 0ii dNdU ε
3.
( )
0lnln
1
=
+
= ∑=
i
n
i i
ii
i dN
N
gN
Wd
Dengan metoda lagrange,dapat ditulis:
0ln =++ dUdNWd βα
( )
0ln
1
=++
+
∑∑∑=
iiii
n
i i
ii
dNdNdN
N
gN
εβα
( )
0ln =++
+
i
i
ii
N
gN
βεα
( )
( )i
i
ii
N
gN
βεα +−=
+
ln
( ) ( )i
e
N
gN
i
ii βεα +−
=
+
( )
1−= +− i
e
N
g
i
i βεα
atau ( )
1−
= +− i
e
g
N i
i βεα

6. Sesuai dengan statistik MB ,
kT
1
−=β dan α sukar diungkapkan secara umum , jika Ae =−α
maka distribusi Bose Einstein dapa ditulis
1exp −





=
kT
A
g
N
i
i
i
ε
Harga A dapat ditentukan dengan syarat NN i
=∑
Jumlah keadaan dalam ruang fasa adalah ,maka jumlah keadaan dalam sistim tersebut dapat
ditulis Γ= dBg
∫∫∫∫∫∫∫ =Γ=Γ zyxzyx dpdpdxdydzdpddandpdpdxdydzdpd
Jumlah keadaan yang mempunyai energi antara ε dan idεεε + adalah
( ) zyx dpdpdxdydzdpBdg =εε
Harga B dapat ditentukan dengan menggunakan prinsip normalisasi dan ketidak pastian
Heisenberg
( ) 1=∫ εε dg
hpxx ≤∆∆
Diperoleh
( ) zyx pppzyxBdg ∆∆∆∆∆∆=∫ εε dan 3
3 1
1
h
BatauhB ==
Jadi jumlah keadaan antaraε dan idεεε +
( ) zyx dpdpdxdydzdp
h
dg 3
1
=εε atau ( ) zyx dpdpdxdydzdp
h
dg 3
1
=εε
Dengan menggunakan kooordinat bola dan memakai
m
P2
=ε akhirnya didapatkan
( ) ( ) εεπεε dm
h
V
dg 2
1
2
3
3
22=
Jumlah status dalam selang energi antara ε dan idεε +

7. 1exp −





=
kT
A
g
N
i
i
i
ε
( ) ( )
1exp
22 2
1
2
3
3
−





=
kT
A
dm
h
V
dN
iε
εεπ
ε
pada umumnya
1〉〉kT
Ae
ε
maka digunakan pendekatan
( ) ( ) ε
π
ε
ε
de
A
m
h
V
dN
kT−
=
2
3
3
22 ( )∫
∞
=
=
0ε
ε NdN didapatkan
( ) 2
3
3
2
1
mkTV
Nh
A π
=
Atom He4
mempunyai spin bulat jika
T=300K maka
56
103103
1
xAataux
A
=≈ −
T=4K maka 715,0
1
=≈ Aatau
A
RADIASI BENDA HITAM
Teori tentang radiasi benda hitam menandai awal lahirnya mekanika kuantum dan
fisika modern. Benda hitam merupakan penyarap sekaligus pemancar kalor terbaik.
Benda hitam dapat dianalogikan dengan kotak yang berisi gas foton. Jumlah foton dalam
kotak tidak selalu konstan. Ada kalanya foton diserap oleh atom- atom yang berada
didinding kotak dan sebaliknya atom-atom didinding kotak dapat memancarkan foton

8. kedalam ruag kotak. Karena jumlah foton yang tidak konstan ini maka factor Bose-
Einstein untuk gas foton adalah
yang diperoleh dengan menggunakan α=0.
Bayangkan sebuah kotak tertutup rapat , tetapi salah dindingnya berlubang kecil
Dalam kotak itu foton tak tetap jumlahnya sebab ada saatnya foton diserap oleh dinding ,dan
pada saat lain ada foton yang dipancarkan oleh dinding . sehingga syarat ∑ = NNi tidak berlaku
lagi dan harga 0=α sehingga 1=−α
e atau A = 1
1exp −





=
kT
A
g
N
i
i
i
ε maka
1exp −





=
kT
g
N
i
i
i
ε
Fungsi itu tidak mengandung variabel x,y,z dan ∫∫∫ =Vdxdydz
Mengingat adanya dua arah polarisasi foton : ( ) 3
2
,,
h
dpdpdp
dpdpdppppg
zyx
zyxzyx =
( ) dpp
h
V
dppg 2
3
8π= dengan menggunakan p
h
=λ diperoleh λ
λ
d
h
dp 2
=
Jumlah keadaan yang mempunyai panjang gelombang antara λλλ ddan + adalah
( ) λ
λ
π
λλ d
V
dg 4
8
=
Jumlah foton yang mempunyai keadaan panjang gelombang λλλ ddan + adalah
Lewat lubang ini sebuah sinar cahaya masuk ke dalam kotak
itu, dipantulkan berulangkali oleh dinding : kecillah
kemungkinan sinar itu keluar lagi. Lubang itulah benda
hitam , karena cahaya yang tiba padanya tidak dipantulkan
kembali.

9. ( ) λ
λ
λ
π
λ d
kT
hc
V
dN
1exp
18
4
−





=
Energi foton yang mempunyai panjang gelombang λλλ ddan + adalah;
( ) λ
λ
λ
π
λ
λλε d
kT
hc
hc
d
1exp
18
4
−





=
atau
( ) λ
λ
λ
π
λλε d
kT
hc
hc
d
1exp
18
5
−





=
Foton adalah kuantum gelombang elektromagnetik. Eksistensi foton
dipresentasikan oleh keberadaan gelombang berdiri dalam kotak. Kerapatan keadaan
gelombang berdiri dalam kotak yaitu pada persamaan 4πdλ/λ4
. Karena gelombang
elektromagnetik memiliki dua kemungkinan arah osilasi (polarisasi) yang saling bebas,
maka kerapatan keadaan foton dalam kotak merupakan dua kali kerapatan gelombang
stasioner yaitu:
(1)
Dengan demikian, jumlah foton dengan panjang gelombang antara λ sampai λ+dλ
adalah
(2)
Karena energy satu foton adalah E= hc/λ maka energy foton yang memiliki panjang
gelombang antara λ sampai λ + dλ adalah
(3)

10. Hukum Pergeseran Wien
Gambar 10.1 adalah plot E(λ) sebagai fungsi λ pada berbagai suhu. Tampak
bahwa E(λ) mula-mula naik, kemudian turun setelah mencapai nilai maksimum pada
panjang gelombang λm. λm dapat ditentukan dengan mendiferensialkan E(λ) terhadap λ
dan menyamankan λ dengan λm, atau
(4)

11. Berdasarkan persamaan 3 maka
(5)
Untuk memudahkan diferensiasi persamaan 5 kita misalkan x = λkT/hc. Dengan
permisalan tersebut maka kita dapat menulis
(6)
(7)
Agar terpenuhi dE/dλ = 0 maka pada persamaan 7 harus terpenuhi
(8)
Jika dilakukan diferensial secara seksama akan dapatkan hubungan berikut ini

12. (9)
Nilai x pada persamaan 9 dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Jika kita
menggunakan instruksi Mathematica (Wolfram Research), maka solusi untuk x yang
memenuhi persamaan 9 adalah 0,194197. Dengan demikian, λm memenuhi hubungan
Atau
λm T= 0,194197 (10)
Dengan menggunakan nilai konstanta k= 1,38 x 10-23
J/K, h = 6,625 x 10-34
Js, dan c = 3
x108
m/s maka
λm T= 2,8 x 10-3
mK
Persamaan 11 tidak lain daripada ungkapan hokum pergeseran Wien. Hukum ini
menjelaskan hubungan antara suhu benda dengan gelombang dengan intensitas
maksimum yang dipancarkan benda tersebut. Makin tinggi suhu benda maka makin
pendek gelombang yang dipancarkan benda tersebut, atau warna benda bergeser kea rah
biru. Ketika pandai besi memanaskan logam maka warna logam berubah secara terus
menerus dari semula merah, kuning, hijau dan selanjutnya ke biru-biruan. Ini akibat suhu
benda yang semakin tinggi.

13. Hukum pergeseran Wein telah dipakai untuk memperkirakan suhu benda berdasarkan
spectrum elektromagnetik yang dipancarkannya. Energy yang dipancarkan benda diukur
pada berbagai panjang gelombang. Kemudian instensitas tersebut diplot terhadap panjang
gelombang sehingga diperoleh panjang gelombang yang memiliki intensitas terbesar.
Panjang gelombang ini selanjutnya diterapkan pada hukum pergeseran Wein guna
memprediksi suhu benda. Para astronom memperkirakan suhu bintang-bintang
berdasarkan spectrum energy yang dipancarkan oleh bintang-bintang tersebut.
Persamaan Stefan-Boltzmann
Sebuah benda hitam memancarkan gelombang elektromagnetik pada semua
jangkauan frekuensi dari nol sampai tak berhingga. Hanya intensitas gelombang yang
dipancarkan berbeda-beda. Ketika panjang gelombang menuju nol, intensitas yang
dipancarkan menuju nol. Juga ketika panjang gelombang menuju tak berhingga,
intensitas yang dipancarkan juga menuju tak berhingga. Intensitas pancaran mencapai
maksimum pada saat λ = λm. Energy total yang dipancarkan oleh benda hitam dapat
dihitung dengan mengintegralkan persamaan 3 dari panjang gelombang nol sampai tak
berhingga, yaitu
(12)
misalkan y = hc/ λkT sehingga

14. Dengan syarat batas berlaku y, saat λ = 0 maka y = ~ dan saat λ = ~ maka y = 0. Sehingga
(13)
Persamaan 13 merupakan kerapatan energy foton di dalam kotak. Hubungan antara
kerapatan energy yang diradiasi dengan energy foton dalam kotak adalah

15. ( 14)
Persamaan 14 sangat mirip dengan persamaan Stefan-Boltzman tantang energy yang
diradiasikan benda hitam, yaitu
Dengan konstanta Stefan-Boltzman. Jadi persamaan 14 dapat disamakan nahwa
(15)
Dengan menggunakan intruksi Matematika sederhana kita dapat kan
Bila kita masukkan nilai
• k = 1,38 x 10-23
J/K
• h = 6,625 x 10-34
Js
• c = 3 x 108
m/s
di dapat nilai konstanta Stefan-Boltzman

16. Sehingga di peroleh:
Jadi besarnya energy radiasi pada benda hitam adalah
Dengan
C. Penutup
1. Kesimpulan
Fisika kuantum tidak dapat menjelaskan secara gamblang tentang beberapa
fenomena fisika salah satunya radiasi benda hitam. Untuk dapat menjelaskan
besarnya energy radiasi yang telah di rumuskan oleh Stefan-Boltzmann kita dapat
menggunakan mekanika statistic untuk mengungkap besarnya konstanta Stefan-
Boltzmann, yaitu dengan menggunakan statistic Bose-Einstein.
Radiasi benda hitam dianalogikan sebagai kotak yang berisi gas foton.
Sehingga dari persamaan energy radiasi Stefan-Boltzmann
Kita memperoleh nilai

17. 2. Saran
Untuk Mempelajari mekanika Statistik harus dipelajari
DAFTAR PUSTAKA
Arthur Beiser, Konsep Fisika Modren, Penerbit Erlangga
Huang.Statistic of Mecanical
Mikrajuddin, Abdullah.2008. Pengantar Fisika Statistik.ITB : Bandung
Sutopo, Pengantar Fisika Kuantum, Universitas Negeri Malang