1. 1
Jenis dan Operasi Matriks
Pertemuan 01
Matakuliah : K0034 - Aljabar Linear Terapan
Tahun : 2007

2. 2
Jenis dan Operasi Matriks
Pengertian
Matriks merupakan
Suatu alat atau sarana yang sangat ampuh untuk
menyelesaikan model-model linier.
Definisi Matriks adalah
Susunan empat persegi panjang atau bujur
sangkar dari bilangan-bilangan yang diatur dalam
baris dan kolom ditulis diantara dua tanda kurung,
yaitu ( ) atau [ ]

3. 3
Bentuk Umum:
Elemen matriks : aij
Susunan bilangan atau nilai aij {bilangan real atau kompleks}
Ukuran matriks :
• Jumlah baris : m
• Jumlah kolom : n
• Ordo atau ukuran matriks : m x n
• Elemen-elemen diagonal : a11, a22,….,ann
mn32m1
2n232221
1n131211
a
..........
..a
a..aa
aaa
a..aaa
mm

4. 4
Contoh:
Notasi matriks, menggunakan huruf besar (kapital)
Kesamaan matriks
Matriks A = (aij)
B = (bij)
A = B jika aij = bij untuk semua
i = 1, 2 .. m dan j = 1, 2,...n
6213
7410
6532
43xAMatriks

5. 5
Contoh:
A = B
A C (ukurannya tidak sama)
Matriks A dan Matriks B disebut sama, bila
• Ordo-ordonya sama
• Elemen-elemen yang seletak sama
143
021
43
21
43
21
CBA

6. 6
Bentuk Matriks Khusus
1. Matriks bujur sangkar
Suatu matriks dimana jumlah baris = jumlah kolom
A : matriks bujur sangkar berukuran n x n
Diagonal utama A : a11, a22, ….., ann
Contoh :
nn2n1
2n2221
1n1211
..
........
..
..
aaa
aaa
aaa
A
n
527
641
235
12
34
3322 xx AA

7. 7
2. Matriks Diagonal :
Matriks bujur sangkar dimana elemen-elemen
pada diagonal utamanya tidak semua
elemennya nol, sedangkan unsur-unsur yang
lain adalah nol
Contoh :
000
000
002
,
300
020
005

8. 8
3.Matriks Satuan (Matriks Identitas) :
Matriks bujur sangkar di mana elemen-
elemen pada diagonal utamanya masing-
masing adalah satu, sedangkan elemen-
elemen yang lain adalah nol.
Contoh:
100
010
001
,
10
01
32 II

9. 9
4. Matriks Singular
Matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai
invers (berarti : nilai determinannya = 0)
5. Matriks Non Singular
Matriks bujur sangkar yang mempunyai invers
(berarti: nilai determinannya 0)
6. Matriks Transpose
Bila matriks A berordo mxn, maka At
(Transpose Derit) berordo nxm dengan
elemen baris ke I dan kolom ke j dari A1 adalah
elemen baris ke j dan kolom ke I dari A

10. 10
7. Matriks Simetris
Matriks bujur sangkar dimana diagonal utamanya
berfungsi sebagai cermin atau refleksi (At = A).
Contoh :
346
471
615
:
75
83
42
,
784
532
33
1
xA
AmakaA

11. 11
8.Matriks Idempotent
Matriks bujur sangkar dimana berlaku A2 = A
atau An = A untuk suatu n, bila n = 2, 3, 4,….
Contoh:
AAAA
A
321
431
422
321
431
422
321
431
422
.
321
431
422
2

12. 12
Program MAPLEnya:
# A = Matriks Idempotent, sehingga A2 = A
> Restart:
> A:=matriks([[2,-2,-4], [-1,3,4], [1,-2,-3]])
> C: = evalm (A&*A);
321
431
422
:A
321
431
422
:C

13. 13
9. Matriks Nilpotent
Matriks bujur sangkar dimana berlaku A3 = 0 atau
An = 0 untuk suatu n, bila n = 2, 3, 4,…..
Contoh:
Matriks nilpotent dari ordo 3 x 3
0
000
000
000
312
625
311
312
625
311
312
625
311
312
625
311
3
AAAA
A

14. 14
Program MAPLEnya:
# Matriks Nilpotent, sehingga
> Restart
> A:=matriks([[1,1,3],[5,2,6],[-2,-1,-3]]);
> evalm(A&*A*A);
312
625
311
:A
000
000
000
:A

15. 15
10.Matriks Nol: adalah matriks di mana semua
unsur nilainya nol
11.Matriks Identitas:
100
010
001
10
01
33
22
x
x
I
I

16. 16
Sifat Matriks Identitas dan Matriks Nol
Jika A = matriks berukuran n x n
I . A = A . I = A
A + 0 = 0 + A = A
A . 0 = 0 . A = 0
12. Matriks Segitiga (Triangular Matrix)
Matriks segitiga atas:
Matriks bujur sangkar, apabila setiap unsur yang terletak di
bawah diagonal utamanya sama dengan nol
Contoh:
33
2322
131211
33
a00
aa0
aaa
xA

17. 17
Matriks Segitiga Bawah
Matriks bujur sangkar dimana setiap unsurnya yang
terletak diatas diagonal utamanya sama dengan nol
Contoh:
B x3 3
32
0
=
b 0
b b 0
b b b
11
21 22
31 33

18. 18
Operasi Aljabar Matriks
Penjumlahan dua matriks
A + B = (aij + bij)
A – B = (aij – bij)
Syarat penjumlahan dua matriks atau pengurangan dua
matriks adalah mempunyai ordo yang sama
Contoh:
6129
111311
291
476
438
765
C
BACMaka
291
476
Bdan
438
765
ADiketahui
2x3
2x32x32x3
2x32x3

19. 19
Program MAPLEnya:
# Penjumlahan Dua Matriks
> restart;
> A:=matrix([[5,6,7],[8,3,4]]);
> A:= matrikx(2,3,[5,6,7,8,3,4]);
438
765
:A
438
765

20. 20
> B:=matrix(2,3,[6,7,4,1,9,2]);
> C:=evalm(A+B);
291
476
:B
6129
111311
:C

21. 21
Soal Latihan
Tentukan penjumlahan Dua Matriks dibawah ini!

22. 22

23. 23

24. 24

25. 25
Syarat:
Setiap baris pada matriks harus dikalikan pada setiap kolom pada
matriks kedua. Banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama
dengan banyaknya baris pada matriks kedua

26. 26
2358
2022
22xC
504
231
:A
Program MAPLEnya:
# Perkalian Dua Matriks
> restart;
> A:=matrix(2,3,[1,3,2,4,0,5]);
> B:=matrix(3,2,[7,2,1,4,6,3]);
36
41
27
:B

27. 27

28. 28

29. 29

30. 30