1. ANUITAS
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
1

2. OVERVIEW…
• Anuitas adl suatu pembayaran dalam jumlah tertentu, yang
dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu, secara
berkelanjutan.
• Suatu anuitas yg pasti dilakukan selama jangka pembayaran
disebut Anuitas Tentu.
• Suatu anuitas yg pembayarannya tergantung hidup matinya
seseorang disebut Anuitas Hidup.
• Pembayaran premi yg dilakukan oleh pemegang polis dalam
bentuk anuitas.
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
2

3. • Anuitas Awal adl anuitas yg dibayarkan di awal jangka
waktu pembayaran anuitas.
• Anuitas Akhir adl anuitas yg dibayarkan di akhir jangka
waktu pembayaran anuitas.
• Nilai Tunai (Present Value) yaitu nilai seluruh
pembayaran jika anuitas dibayar sekaligus dlm satu
kali.
• Nilai Akhir (Cumulative Value) yaitu jumlah seluruh
pembayaran pada suatu waktu di kemudian hari.
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
3

4. • Konsep asuransi tak lepas dari tingkat bunga
(interest rate) yang digunakan (istilah dalam
ISLAM, “RIBA”) dalam penentuan besar
anuitas ataupun yg lainnya. Demikian pula jika
ingin mengetahui nilai tunai dan nilai akhir.
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
4

5. TINGKAT BUNGA
• Bila seseorang pinjam uang Rp. 1juta dg bunga 10% per
tahun, mk orang tsb harus membayar bunga uang tsb
tiap akhir tahun sebanyak Rp. 100rb, dan hutangnya
tetap Rp. 1juta.
• Bagaimana jika ia menunggak membayar bunganya
selama 5 tahun, berapakah ia harus membayar agar
seluruh hutang dan bunganya lunas?
–
–
9/19/2012
Jika bunganya ikut dibungakan maka perhitungan bunga
seperti ini disebut Bunga Majemuk
Jika bunganya tidak ikut dibungakan maka disebut Bunga
Tunggal.
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
5

6. BUNGA TUNGGAL
•
Misal: P adl pokok, yakni besarnya pinjaman atau modal
pertama, i adl tingkat bunga setahun, n jangka waktu
pinjaman, dan S adl nilai akhir (nilai ke-n)
•
KONSEP BUNGA TUNGGAL:
Pd tahun pertama menjadi P + Pi
Pd tahun kedua menjadi P + 2Pi
…
Pd tahun ke-n menjadi P + Pni
S  P  I  P  Pni  P 1  ni 
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
6

7. • Bunga tunggal sebenarnya dan biasa:
– Bunga tunggal sebenarnya : dihitung dengan asumsi
satu tahun adl 365 hari.
– Bunga tunggal biasa : dihitung dengan asumsi satu
tahun adl 360 hari.
• Waktu sebenarnya dan waktu pendekatan:
– Waktu sebenarnya: dihitung menurut hari yang
sebenarnya dari seluruh jumlah hari pada kalender.
– Waktu pendekatan: dianggap bahwa setiap bulan
terdiri atas 30 hari.
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
7

8. • Contoh: Hitung bunga tunggal sebenarnya dan
biasa dari Rp. 2juta untuk 50 hari dengan
bunga 5% per tahun!
Bunga tunggal sebenarnya:
50 10
6  10 
n
 , I  Pni   2 10     0, 05   Rp.13.700, 
365 73
 73 
Bunga tunggal biasa :
50
5
6  5 
n
 , I  Pni   2 10     0, 05   Rp.13.890, 
360 36
 36 
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
8

9. • Contoh: Tentukan waktu sebenarnya dan waktu
pendekatan dari tanggal 3 Juni 2012 sampai
dengan 18 September 2012!
Waktu sebenarnya:
Jumlah hari tersisa dari bulan Juli + Jumlah hari sampai tgl yang
dinyatakan dalam bulan September = 27+31+31+18 = 107 hari.
Waktu pendekatan:
18 September 2012  2012 : 9 : 18
3 Juni 2012
 2012 : 6 : 3 _
0 : 3 : 15
 (3 bulan 15 hari)
atau 105 hari (diasumsikan 1 bulan = 30 hari).
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
9

10. • Contoh: Tentukan bunga tunggal sebenarnya dan biasa
dari Rp. 2juta,- untuk bunga 6% per tahun dari tanggal
20 April 2012 sampai 1 Juli 2012 dengan
menggunakan: (a). Waktu sebenarnya, (b). Waktu
pendekatan.!
Bunga tunggal sebenarnya:
a.Waktu sebenarnya:
72
6  72 
n
, I  Pni   2  10  
  0, 06  Rp.23.670, 
365
 365 
b.Waktu pendekatan:
71
6  71 
n
, I  Pni   2  10  
  0, 06  Rp.23.340, 
365
 365 
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
10

11. Bunga tunggal biasa:
a.Waktu sebenarnya:
72
6  72 
n
, I  Pni   2 10  
  0, 06   Rp.24.000, 
360
 360 
b.Waktu pendekatan:
71
6  71 
n
, I  Pni   2 10  
  0, 06   Rp.23.670, 
360
 360 
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
11

12. BUNGA MAJEMUK
• KONSEP BUNGA MAJEMUK:
Pd tahun pertama menjadi P1 = P + iP
Pd tahun kedua menjadi P2 = P1 + iP1 = P + iP + i
(P + iP) = P + 2iP + i2P = P (1 + i)2
…
Pd tahun ke-n menjadi S = P (1 + i)n.
S  P 1  i   P 
n
S
1  i 
n
1
jika, v 
, maka P  v n S .
1 i
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
12

13. • Contoh:
Rp. 1000 dibungakan selama 3 tahun dg tingkat
bunga 7% setahun. Berapakah besarnya seluruh
uang pada akhir tahun ketiga?
>> Bunga tunggal
S = 1000 (1+3i) = 1000 (1+0,21) = Rp. 1.210
>> Bunga majemuk
S = 1000 (1+i)3 = 1000 (1+0,07)3 = 1000 (1,22504)
= Rp. 1.225,04
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
13

14. • Contoh:
Seorang ayah mpy anak berumur 8 thn. Si
ayah ingin mendepositokan uangnya di bank
dan akan memberikannya pd si anak sbg biaya
di universitas waktu si anak tepat berumur 18
thn. Bila bank memberi bunga majemuk 12%
setahun dan si ayah ingin menyerahkan Rp.
1juta pd si anak 10thn kemudian, berapakah
dia harus mendepositokan uangnya sekarang?
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
14

15. • Jawab:
S10 = Rp. 1juta, i = 0,12
P = S10 (1+i)-n
= S10 (1+0,12)-10
= (1.000.000,00) (1,12)-10
= 321.973,24
Jadi, jika si Ayah ingin memberikan si anak Rp.
1juta pada 10 thn yg akan datang maka si Ayah
harus mendepositokan sebesar Rp. 321.973,24.
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
15

16. TINGKAT BUNGA NOMINAL &
TINGKAT BUNGA RIIL
• Beberapa bank, asuransi, atau yg lain
terkadang dlm perhitungan bunganya
menggunakan dasar setengah tahunan.
• Contoh i per tahun 6%, maka 1 tahun kemudia
menjadi sebesar:
 0, 06 
S  P 1 

2 

9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
2
16

17. • Secara umum, jika setahun terjadi pembayaran k kali, dg
bunga tahunan sebesar i , maka 1 tahun kemudian Pokok
beserta Bunganya menjadi sebesar
j

1  
 k
k
• Atau setahun kemudian besarnya bunga adl
k
j

i  1    1
 k
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
17

18. • Dimana:
k  jumlah konversi bunga dalam 1 tahun
1
 jangka waktu tiap konversi
k
j  tingkat bunga nominal yang digunakan setiap
1
tahun
k
j
 bunga nominal
k
• Tingkat bunga nominal dinyatakan dg i(k), dan
tingkat bunga riil dinyatakan dg i.
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
18

19. • Contoh: Jika modal awal Rp. 1juta,- diinvestasikan
dengan bunga majemuk kwartalan. Hitung jumlah
uang pada saat 8,5 tahun mendatang jika
diketahui tingkat bunga 7% pertahun!
P  Rp.1.000.000, 
0, 07
i
 0, 0175  (1 tahun = 4 kwartal)
4
n  34  (4  8,5tahun  34kwartal )
S34  P(1  i )34  106 (1  0, 0175)34  Rp.1.803.724,52.
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
19

20. ANUITAS TENTU
• Anuitas tentu adl serangkaian pembayaran berkala
yg dilakukan selama jangka waktu tertentu.
• Nominal pembayaran tiap periode dianggap sama.
• Anuitas tentu yang dibayarkan di awal jangka waktu
pembayaran anuitas disebut anuitas tentu awal,
sedang bila di akhir jangka waktu disebut anuitas
tentu akhir.
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
20

21. ANUITAS TENTU AKHIR
• Pembayaran dilakukan di akhir periode. Misal,
angsuran sebesar Rp. 1,- dan banyaknya angsuran
adalah n kali, maka nilai tunai dari anuitas tentu
akhir an dpt dicari sbb:
1
Nilai tunai pembayaran pertama:
v
(1  i )
1
Nilai tunai pembayaran kedua:
 v2
(1  i ) 2
1
Nilai tunai pembayaran ke-n:
 vn
(1  i ) n
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
21

22. Sehingga nilai tunai keseluruhan:
an  v  v 2 
 vn
merupakan deret geometri turun :
n
 1 
1 
 1  (1  i )  n
n
n
v(1  v ) 1  v
1 i 
an 

 

.
1
1 v
1 i 1
i
1
v
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
22

23. S n : nilai akhir/nilai akumulasi dari anuitas tentu akhir dg tiap
pembayaran sebesar Rp.1, 
S n dapat dicari sebagai berikut:
Nilai akumulasi dari pembayaran pertama: (1  i ) n 1
Nilai akumulasi dari pembayaran kedua : (1  i) n  2
Nilai akumulasi dari pembayaran ketiga : (1  i) n 3
Nilai akumulasi dari pembayaran ke-n
: (1  i) n  n  1
Sehingga,
S n  1  (1  i )  (1  i ) 2 
 (1  i ) n 1
(1  i ) n  1 (1  i ) n  1


.
i MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
9/19/2012 (1  i )  1
23

24. Hubungan antara an dan Sn :
Sn  an (1  i )
n
an  Sn (1  i )
n
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
24

25. • Contoh: Suatu pinjaman Rp. 100juta dengan
bunga 3% setahun akan dilunasi dalam waktu
25thn. Hitung anuitas yang harus dibayar tiap
akhir tahun!
Jawab :
Xa25  10
8
8
8
10
10
X

 Rp.5.742.787,18.
25
a25 1  (1  0, 03)
0,MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
03
9/19/2012
25

26. ANUITAS TENTU AWAL
• Setiap awal tahun, selama n tahun dibayar anuitas
sebesar Rp. 1,-, maka nilai tunai dari anuitas tentu awal an
dapat dicari sbb:
Bayar ke-1 sekarang dan nilai tunainya: Rp.1,1
Bayar ke-2 di awal periode ke-2 & nilai tunainya:
v
(1  i )
1
Bayar ke-3 di awal periode ke-3 & nilai tunainya:
 v2
(1  i ) 2
1
Bayar ke-n di awal periode ke-n & nilai tunainya:
 v n 1
(1  i ) n 1
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
26

27. Sehingga nilai tunai keseluruhan:
an  1  v  v 
v
2
n 1
an  1  an 1
van  v  v 2 
 v n  an
n
1  (1  i )
an 
.
i.v
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
27

28. S n : nilai akhir/nilai akumulasi dari anuitas tentu awal dg tiap
pembayaran sebesar Rp.1, 
S n dapat dicari sebagai berikut:
Nilai akumulasi dari pembayaran pertama: (1  i ) n
Nilai akumulasi dari pembayaran kedua : (1  i) n 1
Nilai akumulasi dari pembayaran ketiga : (1  i) n  2
Nilai akumulasi dari pembayaran ke-n
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
: (1  i ) n ( n 1)  (1  i)
28

29. Sehingga,
S n  (1  i )  (1  i ) 2 
 (1  i ) n
 (1  i ) n  1 
 (1  i ) n  1 
 (1  i ) 
  (1  i ) 

i
 (1  i )  1 


 (1  i ) S n .
S n  S n 1  1.
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
29

30. • Contoh: Setiap selang 6 bulan, Ali menyimpan
Rp. 100.000,-. Penyimpanan dimulai sejak
anaknya berusia 6 bulan dan diakhiri sesudah
anaknya berusia 20 tahun (setiap awal
periode). Selanjutnya uang tersebut tetap
tidak diambil dan sesudah anaknya berusia 25
thn uang tsb diberikan kepada anaknya
sebagai modal usaha. Hitung berapa banyak
uang yang akan diterima anaknya! (bunga =
1,5% per periode).
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
30

31. Jawab :
Setelah menyimpan Rp.100.000,- selama 20×2 = 40 periode,
uangnya menjadi :
 (1  0, 015) 40  1 
P  105 S40  105 
  Rp.5.426.789,34
0, 015


Setelah anak berusia 25thn (ada10periode), maka uangnya menjadi:
S10  P(1  i )10  (5.426.789,34)(1  0, 015)10
 Rp.6.298.010,58.
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
31

32. • Beberapa hubungan:
sn  1  i  sn
sn  sn 1  1
;
an  1  i  an
an  an 1  1
;
an  an 1  1
v n sn  an
9/19/2012
;
;
v n s n  an
sn  sn 1  1
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
32

33. • Anuitas yang pembayarannya dijanjikan akan
dilakukan selang beberapa waktu kemudian
disebut anuitas tunda, sedang anuitas yang
pembayaran pertama dilakukan pada waktu
anuitas tersebut dimulai disebut anuitas
segera.
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
33

34. • Nilai sekarang dari anuitas yang pembayaran
pertamanya dilakukan f tahun kemudian dan
dilakukan selama n tahun, dinotasikan dg f | an
(anuitas awal) atau f | an (anuitas akhir). Berikut
rumus-rumusnya:
an  v f  v f 1 
f|
an  v f 1  v f  2 
f|
f|
9/19/2012
 v f  n  v f an
an  a f  n  a f
f|
 v f  n 1  v f an
an  a f  n  a f
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
34

35. ANUITAS TENTU
PEMBAYARAN k KALI SETAHUN
• Persamaan yg lalu dikaitkan dg pembayaran k
kali setahun adl
k 
sn
1
1
n
n
 1  i   1  i  k 
k
1  i  1  i 
1
k

k 
sn
i
  1  i 
1
1
2
1
n
n
 1  i  k  1  i  k 
k
1  i 

9/19/2012
k
n
i
n

 1  i  

1
k
d
n
1
k

 1

1
k
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
35

36. • Untuk anuitas:
k 
an
1
1
 1  v k 
k

k 
an
1  i 
1
k
i
1
k
1  v   1  v
n
k
d
1 k
 v  v k 
k
1
v
n
2



n
k

v 

n
1  vn
 k 
i
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
36

37. • Contoh:
Hitunglah nilai tunai dan akhir dari suatu rangkaian pembayaran sebesar
Rp. 150 tiap akhir tahun selama 20 thn bila tingkat bunga 5% pertahun!
• Jawab:
n = 20; i = 0,05
Maka,
I. Nilai tunainya:
II. Nilai akhirnya:
[1  (1,05) 20 ]
150.a20  150.
0,05
 150(1  0,376889) / 0, 05
150.s20  150.a20 .v 20
 150(12, 4622)
 1869,33
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
 1869,33(1/1, 05) 20
 1869,33(2, 653298)
 4959,89
37

38. •
Contoh:
Suatu polis asuransi jiwa memberikan pilihan sbg berikut: Jika si Ali mati, mk Ny. Ali dpt
menerima uang tunai sebesar Rp. 1jt atau menerima santunan selama 10thn. Pembayaran
dilakukan tiap awal tahun dg tingkat bunga diperhitungkan 6% pertahun. Hitunglah
pembayaran tahunan tsb!
•
Jawab:
Nilai tunai = Rp. 1jt; n = 10; i = 0,06
Misal: x = pembayaran tahunan.
Jika nilai tunai Rp. 1jt artinya ke-10 pembayaran tahunan tsb haruslah sama dengan Rp. 1jt.
Jadi,
x.a10  1.000.000
1.000.000
x
a10
1.000.000

 128.177,3191
7,80169
9/19/2012
a10  1  a9
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
[1  (1,06) 9 ]
 1
0,06
 1  (1  0,591898) / 0,06
 1  6,80169
 7,80169
38

39. LATIHAN
1.
Buktikanlah secara aljabar dan verbal:
a). an  an 1  v n
2.
b). sn  sn 1  v  ( n 1)
Seseorang akan menerima 10 kali pembayaran tahunan Rp. 5jt,
pembayaran pertama dilakukan sekarang. Berapakah nilai tunai dan nilai
akhir seluruh pembayaran jika:
a.
b.
3.
Tingkat bunga 5% pertahun
Tingkat bunga 8% pertahun
Hitunglah nilai tunai dan nilai akhir suatu anuitas selama 10 tahun
sebesar Rp. 100 pertahun, pembayaran ditunda selama 5thn. Tingkat
bunga 8% pertahun.
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
39

40. 4. Seorang ayah menruh uang di bank untuk membiayai
sekolah anaknya selama 12thn. Jika si anak menerima Rp.
1.000 tiap akhir tahun, pembayaran pertama dilakukan
pada akhir tahun ke enam dari sekarang dan seluruh uang
dan bunganya habis dibayarkan pada waktu pembayaran
yang ke 12 dilakukan, berapa banyakkah si ayah menaruh
uangnya di bank bila bank memberi bunga 12% pertahun?
5. Sebuah rumah dibeli dengan uang mukaa Rp. 2jt dan
cicilan tiap akhir tahun sebesar Rp. 500.000,- selama
10thn. Bila bunga uang sebesar 5% pertahun, berapakah
harga rumah tersebut bila dibeli tunai?
9/19/2012
MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.
40