Mtk

1. Persamaan Differensial Biasa I

2. Persamaan Linier Tingkat n dengan Koefisien Tetap
   
1 2
0 1 2
1 2
0 1 2
Bentuk Umum
1
, , , , adalah fungsi dari
n n n
n
n n n
n
d y d y d y
a a a a y Q x
dx dx dx
a a a a x
 
 
    

     
1 2
0 1 2
1 2
atau
n n n
n
n n n
d d d
a a a a y y dengan y Q x
dx dx dx
 
 
 
 
    
 
 
   
   
Catatan 0 PD linier tak homogen
0 PD linier homogen
Q x y
Q x y


  

  


3. PD Linier Homogen dengan Koefisien Tetap
1 2
0 1 2 1
1 2
0
n n n
n n
n n n
d y d y d y dy
a a a a a y
dx dx dx dx
 

 
    
Atau ɸ(y) = 0 dengan a0, a1, a2,. . . , an= bilangan- bilangan tetap
Diselesaikan dengan mensubsitusi y = etx
2 3
2 3
2 3
, , , ,
n
tx tx tx tx n tx
n
dy d y d y d y
y e te t e t e t e
dx dx dx dx
    
Bila disubsitusikan ke persamaan awal maka
 
1 2
0 1 2 1 0
tx n n n
n n
e a t a t a t a t a
 

    
Disebut persamaan karakteristik

4. 1. Bilaakar-akar t1≠ t2 ≠. . . ≠ tn, makasolusiumumnya𝑦 =
𝐶1𝑒𝑡1𝑥
+ 𝐶2𝑒𝑡2𝑥
+⋅⋅⋅ +𝐶𝑛𝑒𝑡𝑛𝑥
2. Bilaakar-akarnyakompleks, misalt1 = a + bidant2 = a –
bi,makasolusiumumnya
3. Bilaakar-akarnyasamaataurangkap t1 = t2 = . . .
=tnmakasolusiumumnya y= (C1 + C2 x +C3x2 + . . . . +Cn xn-
1)etx
   
 
 
   
 
     
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
; ,
a bi x a bi x
ax bix bix
ax
ax
ax
y C e C e
y e C e C e
y e C Cosbx C iSinbx C Cosbx C iSinbx
y e C C Cosbx C C iSinbx
y e ACosbx BSinbx A C C B C C i
 

 
 
   
   
     

5. Contoh
Tentukansolusiumumdari
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 − 4𝑦 = 0
Jawab
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
− 4𝑦 = 0
Misalkan
y=etx
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= tetx
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
= t2etx
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
− 4𝑦 = 0
t2etx -4etx = 0
etx(t2 -4) = 0
t2 -4=0 (Pers. Karakteristik)
t2 = 4
t1 = 2 t2 = - 2
Solusiumumnya
Y = C1 e2x + C2 e-2x

6. Jawab
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
− 3
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− y = 0
Pers. karakteristiknya
t3 - 3t2 + 3t - 1 = 0
(t – 1)3 = 0
t1 = t2 = t3 = 1
Solusinya
y = ex (C1 + C2 x + C3 x2)
Contoh
Tentukansolusiumumdari
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 − 3
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 + 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− y = 0

7. Solusi umumnya
y = C1 e(2 + i)x + C2 e(2 – i )x
y = e2x (C1 e ix + C2 e– ix)
y = e2x (C1 Cos x + C1 i Sin x +
C2 Cos x – C2 i Sin x)
y = e2x ((C1+ C2) Cos x + (C1 -
C2 )i Sin x)
y = e2x ( A Cos x + B Sin x)
Contoh
Tentukansolusiumumdari
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 − 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 5y = 0
Jawab
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
− 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 5𝑦 = 0
Per. Karakteristiknya
t2 – 4t + 5 = 0
𝑥1,2
=
4 ± −4 2 − 4(1)(5)
2(1)
x1 = 2+i x2 = 2 - i

8. Jawab
𝑑3
𝑦
𝑑𝑥3
+ 3
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 9
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 13y
= 0
Pers. Karakteristiknya
t3 + 3t2 + 9t – 13 = 0
1 1 3 9 -13
1 4 13
1 4 13 0
Jadiakar-akarpersamaannya
(t – 1) (t2 + 4 t +13) = 0
t1 = 1 t2 = -2 + 3i t3 = -2 – 3i
Contoh
Tentukansolusiumumdari
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 + 3
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 + 9
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 13y = 0
+
Solusi Umumnya
y = C1 ex + C2 e(-2+3i)x + C3 e(-2-3i)x
y = C1 ex + e-2x (C2 e3ix + C3 e-3ix )
y = C1 ex + e-2x (A Cos 3x + B Sin 3x)

9. Contoh
Tentukansolusiumumdari
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4 = 0
Jawab
𝑑4
𝑦
𝑑𝑥4
= 0
t4 = 0
t1 = t2 =t3 =t4 = 0
y = C1 e0x +C2 x e0x +C3 x2 e0x +C4 x3 e0x
Y = C1+ C2 x + C3x2+ C4x3

10. Jawab
𝑑5𝑦
𝑑𝑥5 + 8
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 + 16
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
Pers. Karakteristiknya
t5 + 8 t3 + 16 t = 0
t (t4 + 8t2 + 16) = 0
t (t2 + 4)2 = 0
t1 = 0 t2 = 2i t3= -2i
t4 = 2i t5 = -2i
Contoh
Tentukansolusiumumdari
𝑑5𝑦
𝑑𝑥5 + 8
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 + 16
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
Solusi umumnya
y = C1e0x + C2e2ix + C3e-2ix + C4xe2ix
+ C5xe-2ix
Y = C1e0x + (C2 +C4x)e2ix +
(C3+C5x)e-2ix
Y = C1e0x + (C2 +C4x)(Cos 2x + i
Sin 2x) + (C3+C5x) (Cos 2x - i
Sin 2x)
Y = C1e0x + (A1 +B1x) Cos 2x +
(A2+B2x) Sin 2x