Dokumen tersebut membahas tentang integral sebagai balikan dari turunan. Integral dapat dibedakan menjadi integral tak tentu dan integral tertentu. Integral tak tentu adalah integral yang tidak ditentukan batasnya sedangkan integral tertentu ditentukan batasnya. Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa nilai integral tertentu sama dengan luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan batas integral.

1. TIM
MENU REDAKSI

2. 




MENU

3. MENU INTEGRAL TAK TENTU
SEBAGAI ANTI TURUNAN
INTEGRAL TERTENTU
PENDAHULUAN
TEOREMA DASAR
KALKULUS
TEKHNIK INTEGRAL
TEHNIK PARSIAL
PENGINTEGRALAN
RUMUS REDUKSI
FUNGSI
TRANSENDEN
DAFTAR PUSTAKA

4. PENDAHULUAN
Matematika mempunyai beberapa
operasi balikan: penambahan dan
pengurangan, perkalian dan pembagian,
pemangkatan dan penarikan akar, serta
penarikan logaritma dan perhitungan
logaritma. Lalu bagaimana dengan
turunan/ diferensial? Pasangan turunan/
diferensial adalah integral/ anti diferensial.
MENU v

5. Integral dapat dibedakan menjadi
dua, yaitu:
1. Integral tak tentu, integral yang
tidak ditentukan batasnya.
2. Integral tertentu, integral yang
ditentukan batasnya.
MENU

6. INTEGRAL TAK TENTU SEBAGAI
ANTI TURUNAN
F merupakan suatu anti turunan dari f pada selang I,
jika DF = f pada I- yakni jika F’(x) = f(x) untuk semua x
dalam I.
contoh:
Carilah anti turunan dari f(x) = 4x!
Penyelesaian:
F(x) =x2 turunan nya adalah 2x. Untuk F(x) = 2 x2
turunannya adalah 2.2x = 4x. Maka anti turunan dari
f(x) = 4x adalah 2x2.
MENU

7. Notasi Anti Turunan
Differensial biasa ditulis dengan notasi Dx. Sementara
anti turunan dapat dinotasikan Ax atau ʃ (dibaca
integral).
ʃ f(x)= F(x) + C
Teorema 1 (aturan pangkat)
jika n adalah sembarang bilangan rasional kecuali -1 maka
MENU

8. Contoh
MENU

9. Teorema 2 (trigonometri)
Teorema 3 (kelinearan integral)
(i) ʃ k f(x) dx = k ʃ f(x) dx
(ii) ʃ [ f(x) + g(x) ] dx = ʃ f(x) dx + ʃ g(x) dx
(iii) ʃ [ f(x) - g(x) ] dx = ʃ f(x) dx - ʃ g(x) dx
Untuk Melihat Contoh
Klik Di Sini
MENU

10. Contoh:
Carilah integral dari: (a) ʃ 2 (x3) dx
(b) ʃ (4x5 + 2x) dx
(c) ʃ (3x2 - 10x) dx
Penyelesaian:
(a) ʃ 2 (x3) dx = 2 ʃ (x3) dx = 2 . ¼ x4 = ½ x4 + C
(b) ʃ (4x5 + 2x) dx = ʃ 4x5 dx + ʃ 2x dx = 4/6 x6 + 2/2 x2
= 2/3 x6 + x2 + C
(c) ʃ (3x2 - 10x) dx = ʃ 3x2 dx - ʃ 10x dx = 3/3 x3 - 10/2
x2 = x3 - 5x2 + C
MENU

11. Teorema 4
Contoh
Cari ʃ (x2 + 6x)6 (2x + 6) dx!
Penyelesaian
Misalnya g(x) = x2 + 6x; maka g’(x) = 2x + 6. jadi
menurut teori 4
ʃ (x2 + 6x)6 (2x + 6) dx =
MENU

12. PERSAMAAN DIFERENSIAL
SEDERHANA
Contoh turunan sederhana:
MENU

13. Jika s(t), v(t), dan a(t) menyatakan posisi,
kecepatan, dan percepatan , pada saat t dari suatu
benda yang bergerak sepanjang suatu garis
koordinat, maka
MENU

14. Contoh
Percepatan sebuah benda adalah
a(t) = t + 6 dalam m/s2. Jika kecepatan pada t=0 s
adalah 5 m/s, cari kecepatan 3 detik kemudian!
Penyelesaian = t+ 6
V = ʃ t+6 dx = t2 + 6t + C
karena v=5 pada saat t=0
5= 0+C → C = 5
v= t2 + 6t + 5
Pada saat t=3
V= .32 + 6.3 +5 = 27,5 m/s
MENU

15. JUMLAH DAN SIGMA
Perhatikan bilangan dibawah ini
a1 +a2+a3+a4+...........+an
Untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang
kompak, kita dapat menuliskan dalam bentuk
Jadi, Sigma (Σ) merupakan suatu simbol untuk menjumlahkan
semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan selama
indeks i menjelajahi bilangan bulat positif, dimulai dengan
bilangan yang diperlihatkan dibawah tanda Σ dan berakhir
dengan bilangan yang berada di atas tanda tersebut.
MENU

16. Contoh
Jika dan . Hitung !
Penyelesaian
= 3 (32) + 3(40) – 10(50) = -284
MENU

17. Integral Tertentu
 Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan
interval antara [a, b] pada garis real, integral
tertentu:
 secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah
pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ,
sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.
MENU

18.  Pendefinisian formal integral tertentu paling
umumnya digunakan adalah definisi integral
Riemann.
 Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari
penjumlahan Riemann. Yaitu:
semakin kecil subinterval partisi yang
kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan
semakin mendekati nilai luas daerah yang kita
inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma
partisi mendekati nol, maka kita akan mendapatkan
luas daerah tersebut.
MENU

19.  Secara matematis dapat kita tuliskan:
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n
subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n,
sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis
sebagai:
MENU

20. Teorema Dasar Kalkulus
 Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval
[a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana
turunannya adalah f pada interval (a,b), maka
MENU

21.  Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),
 Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus,
nilai dari integral tertentu
adalah :
MENU

22. Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah
kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan
dapatkan:
MENU

23. Teorema Nilai Rata-Rata (Mean Value
Theorem)
Diberikan fungsi f(x) yang kontinyu pada interval
tertutup [a,b] dan terturun (differentiable) pada
interval terbuka (a,b) maka terdapat paling tidak
satu c pada (a,b) sedemikian hingga
MENU

24. Maksud dari antiseden TNR adalah jika
fungsi f(x) digambarkan grafiknya dari a sampai b
maka grafik tersebut akan mulus tidak putus-putus.
Sedangkan maksud konsekuennya adalah
nilai f’(x) sama dengan gradien (kemiringan) garis
yang melalui titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) .
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:
MENU

25. MENU

26.  Dalam kacamata fisika, turunan adalah kecepatan. TNR
bisa kita ilustrasikan sebagai berikut: Ada sebuah mobil
yang berjalan sejauh 100km selama 1 jam. Itu berarti
mobil tersebut mempunyai kecepatan rata-rata
100km/jam. Tentu saja selama perjalanan mobil itu bisa
melaju kurang atau lebih dari 100km/jam. Berdasarkan
TNR kita tahu satu hal ada titik (tidak harus tunggal)
didalam perjalanan dimana mobil itu melaju tepat
100km/jam.
MENU

27.  Jika f(a) = f(b) maka TNR menjadi Teorema Rolle. Itu
berarti TNR merupakan generalisasi dari teorema
Rolle. Nah sekarang kita buktikan TNR.
 Diberikan fungsi f(x) yang kontinyu pada [a,b] dan
terturun pada (a,b). Didefinisikan fungsi h(x) sebagai
berikut:
MENU

28.  Jelas, h(x) kontinyu pada [a,b] dan terturun pada
(a,b) dan dengan mudah dihitung h(a) = h(b) . Itu
berarti h(x) memenuhi kondisi dari teorema Rolle.
Berdasarkan teorema Rolle terdapat c Є
(a,b) sedemikian hingga h’(c) = 0.
 Jika diturunkan, diperoleh
 Karena h’(c) = 0, maka:
MENU

29. MENU

30. TEKHNIK INTEGRAL PARSIAL
Apabila teknik pengintegralan
dengan teknik substitusi tidak
berhasil, dengan menerapkan
metode penggunaan ganda, atau
yang lebih dikenal dengan teknik
integral parsial dapat
memberikan hasil.
MENU

31. Teknik integral parsial didasarkan pada
pengintegralan rumus turunan hasil kali dua fungsi.
MENU

32. Untuk menyelesaikan integral parsial, yang perlu
diperhatikan adalah pemilihan U dan dV. Fungsi yang
dimisalkan U adalah fungsi yang jika diturunkan terus
menerus menghasilakn 0 (nol). Sedangkan fungsi
yang dimisalkan dengan dV adalah fungsi yang dapat
diintegralkan.
MENU

33. Contoh soal:
Atau dengan cara tabel
(metode tanzalin):
MENU

34. Contoh soal:
MENU

35. RUMUS REDUKSI
Bentuk dasar integral reduksi adalah:
di mana k < n. Sehingga pangkat dari integran ( f )
semakin menurun atau reduksi.
MENU

36. Contoh:
MENU

37. FUNGSI TRANSENDEN
MENU

38. Fungsi Transenden
Fungsi logaritma turunan dan integral
 Fungsi eksponen turunan dan integral
 Penggunaan fungsi logaritma
MENU

39. Definisi Fungsi Logaritma Asli
Logaritma Asli merupakan fungsi akumulasi
karenamengakumulasikan luas dibawah kurva y = 1/t.
Fungsi Logaritme Asli, dinyatakan oleh In, didefinisikan
sebagai
y
2 y= In x = dt, x>0
1
1 x2 t
Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif.
MENU

40. Turunan Fungsi Logaritma Asli
y
2 y=
1 Dx= dt = Dx In x = , x>0
x 1
1 2 T
contoh: carilah dx
Penyelesaian : misal u = 2x + 7, du = 2 dx
= 2 dx = du
= In |u| + C
MENU = In |2x + 7| + C

41. Sifat-sifat Logaritma Asli
Jika a dan b bilangan-bilangan positif dan sebarang
bilangan rasional, maka
(i) In 1 = 0;
(ii) In ab = In a – In b ;
(iii) In = In a – In b ;
(iv) In = r In a
MENU

42. Fungsi Eksponen Asli
Balikan In disebut fungsi eksponen asli dan
dinyatakan oleh exp, Jadi.
x = exp y y = In x
Dari definisi dapat diambil bahwa
(i) = exp ( In x) = x, x > 0
(ii) = In (exp y) = y, untuk semua y
MENU

43. Definisi
Huruf e menyatakan bilangan real positif unik sedemikian rupa
sehingga In e = 1
 Sifat-sifat Fungsi Eksponen
Perhatikan bahwa (i) dan (ii) pada subbab ini berbentuk:
(i) = , >0
(ii) In ( ) = y, untuk semua y
MENU

44. eksponen Turunan
Andaikan , y = maka dapat dituliskan χ= In y
sehingga
y=y=
Jadi, adalah turunannya sendiri
=
Contoh
Tentukan:
Penyelesaian: u=
= =
= .
MENU =

45. Eksponen Integral
Rumus turunan = akan menghasilkan integral
d = +C
Contoh
tentukan : d
Penyelesaian: u = , maka du = d
d = ( d )
= du = +C
= +C
) MENU

46. Sifat – sifat Eksponen
Jika a > 0, b > 0, x dan y adalah bilangan – bilangan real, maka
 =
( =
 ( =(
 =
 =
MENU

47. Fungsi log
Definisi
Fungsi log asli melibatkan integral tertentu.
Fungsi Pada bagian ini kita akan membangun fungsi
logaritma berbasis bilangan positif a≠1, logax. Fungsi ini
didefinisikan sebagai inverse dari fungsi eksponensial .
Definisi
Andaikan a adalah bilangan positif bukan 1, maka
y= x x=
MENU

48. FUNGSI HIPERBOLIK
Definisi :
ex e x
ex e x
sinh x dan cosh x
2 2
Fungsi Hiperbolik yang lain dapat diturunkan dari sini.
Beberapa identitas yang berlaku pada fungsi hiperbolik:
1. cosh2 x sinh x 1
2
2. 1 tanh2 x sech2 x
3. coth2 x 1 csch2 x
Turunan fungsi Hiperbolik :
1. y sinhx y' coshx coshxdx sinh C
x
2. y coshx y' sinhx sinh dx cosh C
x x
3. y tanhx y' sech2 x sech2 xdx tanhx C
MENU 48

49. 2 x sinhx x 2 cosh x
Contoh : Jika x 2 sinhx y 2 8 , maka y'
2y
Contoh : e x sinh( x )dx cosh( x ) C
e e
Grafik fungsi hiperbolik
ex e x
y f ( x) cosh x
2
ex e x
f ' ( x) 0 , untuk x 0 f monoton turun
f ' ( x)
2 f ' ( x) 0 , untuk x 0 f monoton naik
ex e x
f ' ' ( x) 0 x Df f cekung ke atas
2
MENU f(0)=1
49

50.  Grafik y= cosh x :
y=cosh x
 Dengan cara yang sama, didapat grafik y= sinh x :
y=sinh x
MENU 50

51. DAFTAR PUSTAKA
http://apiqquantum.com/2012/07/31/berhitung-cepat-
integral-substitusi-atau-integral-parsial-lanjut/
http://anwardz12.blogspot.com/2012/09/pembahasan-
soal-integral-parsial.html
http://khairul-anas.blogspot.com/2012/04/integral-
parsial-teknik-tanzalin.html
http://matemakita.com/437/teknik-pengintegralan-
integral-parsial/
http://corojowo.blogspot.com/2012/04/integral-parsial-
teknik-tanzalin.html
Dale Varberg, Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001;
Kalkulus jilid 1; Batam; Penerbit Interaksara.