1. Bab ini membahas fungsi-fungsi logaritma, eksponen, dan hiperbolik beserta sifat-sifat dan turunannya. Definisi logaritma asli dan eksponen asli diperkenalkan beserta hubungannya. 2. Fungsi logaritma dan eksponen umum serta fungsi hiperbolik juga dibahas beserta sifat dan turunannya. Fungsi invers trigonometri diperkenalkan. 3. Contoh penggunaan logaritma dan e

1. 1
88.. FFUUNNGGSSII TTRRAANNSSEENNDDEENN

2. 2
8.1 Fungsi Invers
• Teorema : Jika f fungsi satu-satu, maka f punya invers.
f f f -1 : R ®D
y x = f -1( y)
• Teorema : Jika f monoton murni pada daerah asalnya maka f
mempunyai invers.
f -1
• Secara geometris, grafik fungsi f dan grafik simetri
terhadap garis y = x

3. 3
8.2 Fungsi Logaritma Asli
• Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :
x
1
= ò >
ln x ,
t
dt x
• Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :
ö
æ
ln 1 1
= ò
• Secara umum, jika u = u(x) maka
0
1
[ ]
x
dt
t
D x D
x
x x
1
= ÷ ÷ø
ç çè
ö
æ
ln 1 1
[ ]
du
u
dx
dt
t
D u D
u x
x x
( )
1
= ÷ ÷ø
ç çè
= ò
.

4. 4
Contoh : Diberikan
maka
Jika
Jadi,
'( ) 1 +
f x x
>
x x
ln , 0
x x
=
ln( ) , 0
d
Dari sini diperoleh :
• Sifat-sifat Ln :
f (x) = ln(sin(4x + 2))
= D x
1
1. ln 1 = 0
2. ln(ab) = ln a + ln b
3. ln(a/b)=ln(a) – ln(b)
(sin(4 2))
+
x
sin(4 2)
= 4cot(4x +2)
y = ln | x |, x ¹ 0
î í ì
- <
y = ln x ®y '=1
x
= - ® = -
y ln( x) y ' 1 = 1
x x
-
, 0. (ln | |) = 1 x ¹
x
x
dx
ò dx = ln | x | +C
x
4. ln ar = r ln a

5. 5
• Contoh : Hitung
• Jawab : Misal
sehingga,
Jadi
x ò +
ò x dx = ò 1
du
= + = ln | + 2 |
+
+ 1
ò + dx x
x
Grafik fungsi logaritma asli :
dx
x
4
0
3
2
2
u = x3 + 2 ®du = 3x2dx
ln | | 1
3
u c x c
u
x
3
1
3
2
3
3
2
4
] ln 33.
(ln 66 ln 2) 1
3
3
1
0
ln | 2 |
3
2
3
4
0
3
2
= + = - =
x
Y=ln x
1

6. 6
8.3 Fungsi Eksponen Asli
[ln ] = 1 > 0 untuk x > 0,
• Karena maka fungsi logaritma
x
D x x
asli monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi
logaritma asli disebut fungsi eksponen asli, notasi exp. Jadi berlaku
hubungan
y = exp(x)Ûx= ln y
• Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x =ln(exp(x))
• Definisi 8.2 Bilangan e adalah bilangan Real positif yang bersifat
ln e = 1.
•
"xÎR berlaku
exp(x) =ex
• Dari y = ex Ûx= ln y
diperoleh :
dx = = = =
y ex
dy
1 maka 1
dx dx dy
dy y
/
x x
x Jadi, D (e ) = e

7. 7
• Secara umum, jika u = u(x) maka
• Dan
• Grafik Fungsi Eksponen Asli
• Contoh :
• Contoh :
D (eu( x) ) eu .u'
x =
òexdx = ex +C
1
y=ln x
y=exp (x)
D (e3 ln ) = e3 ln .D (3x ln x) = e3xln x (3ln x +3).
x
x x x x
x
x
ò = ò- = - + = - +
3 /
dx e du e c e c
x
.
e 1 u u 1
3 /
x
3
1
3
3
2

8. 8
8.4 Penggunaan Ln dan Ekp
• 8.4.1 Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi
• Misalkan f (x) = (g(x))h( , x)
maka
h x g x h x
'( ) ln( ( )) ( )
f x
'( )
= +
æ
= +
f x h x g x h x
'( ) '( ) ln( ( )) ( )
• 8.4.2 Menghitung limit fungsi berpangkat fungsi
• Perhatikan bentuk :
untuk kasus :
ö
'( ) ( )
( )
'( )
( )
( )
g x f x
g x
g x
g x
f x
÷ ÷ø
ç çè
lim f ( x
)g ( x)
x a
®
00 , ¥0 , dan 1¥

9. 9
• Contoh : 
f x x x (sin )4
'( ) 4ln sin 4 ÷ø
lim 1+
®
• Contoh : ; bentuk
ö çè
x x
lim( (1 ) ) limexp. 1 .ln(1 ) explimln(1 )
yang terakhir berbentuk , maka dengan L’Hopital,
lim((1 ) ) explimln(1 ) explim 1
Jadi
f (x) = (sin x)4x
x x
x
sin
= æ +
( ) x
x
x
1
0
1¥
x
x
x
x x
x
x
0 0
1/
0
+ = + = +
® ® ®
0
0
e
x x
x x
x x
x
x
= =
+
+ = + =
® ® ®
exp1
1
0 0
1/
0
( x) x e
lim 1
x
+ =
®
1
0

10. 10
lim x3 +1 1/ ln
®¥
• Contoh : ; bentuk
lim 3 +1 1/ ln =exp lim 1 3 +
®¥ ®¥
( ) ln( 1)
3 3
= + =
• Contoh : ; bentuk
.
( ) x
x
¥0
lim
x
xx
®0+
00
ln
x
x
x
x
x
x
= =
exp lim3 .
1
exp lim 3
1/
1
3
exp lim 3
3
2
e
x
x
x
x
x
+
x x x
®¥ ®¥ ®¥
x x x x
lim( ) = exp lim ln =
exp lim ln
® ® ® -
0 + x 0 + x
0 +
1
exp(0) 1
exp lim 1/
x
0 2
1/
= =
-
=
+
®
x
x
x
x
x

11. 11
8.5 Fungsi Eksponen Umum
f (x) = a x
• Fungsi , a > 0 disebut fungsi eksponen umum
Untuk a > 0 dan x Î R, didefinisikan
•
• Jika u = u(x), maka
• Dari sini diperoleh :
1
ax dx x
• Contoh : 
• Contoh : 
ax = ex ln a
D a D ex a ex a a ax a
x
x
x ( ) = ( ln ) = ln ln = ln
D a D eu a eu a a u au u a
x
u
x ( ) = ( ln ) = ln ln . '= ' ln
ò = a +C
a
ln
f (x) = 32x+1 +2sin 2x
f '(x) = 2.32x+1 ln 3+2.2sin 2x ln 2
ò4x .xdx 2
du u 4
x
C C 4
2
ò u = + = + ln 4
2ln 4
1
2
4
2

12. 12
8.6 Fungsi Logaritma Umum
• Invers dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum
( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi , sehingga berlaku
:
• Dari hubungan ini, didapat
x a y y a y x a
ln = ln = ln Þ = ln Þ =
• Sehingga
D x D x x
( log ) = ( ln =
• Jika u=u(x), maka
a log x
Û x = ay
y= a log x
x x
a
a
log ln
ln
ln
) 1
a x a
a
x ln
ln
u
( log ) = ( ln =
) '
u a
D u D u x
a
a
x ln
ln

13. 13
8.7 Fungsi Invers Trigonometri
• Misal f(x) = sin x , dengan
maka
é- £ £ ;-1£ ( ) £1
2 2
y dy
dx
= cos Þ = 1
Dari sini, didapat , maka
Jadi,
(sin - ) =
1
Jika u=u(x), maka
(sin ) '
Dari rumus turunan diperoleh :
ù
úû
êë
p x p f x
y = sin-1 xÛ x = sin y
dx y
dy
cos
1
dx x
1 2
dy
-
=
2
1
1
x
D x x -
2
1
1
u
D - u =
u x -
dx 1
ò = +
-
- x C
x
2
sin
1

14. 14
 Dengan cara yang sama diperoleh :
= - Þ = -
cos ' 1
tan ' 1
sec ' 1
 Contoh :
 Contoh :
2
1
1
x
y x y
-
2
1
1
x
y x y
+
= - Þ =
2
| | 1
1
-
= - Þ =
x x
y x y
- dx - x C
x
ò = +
-
1
2
cos
1
1
dx 1
ò = +
+
- x C
x
2 tan
1
ò 1 = 1
+
2
-
dx - x C
x x
sec | |
1
1
= æ
ö çè
1
1
ò dx
x ò ò 2
÷ø
+ +
=
+
=
+
dx - x C
x
dx
x
tan
2
)
2
1 (
4
)
4
4(1
1
4
1 1
2
2 2
= æ +
1 1
1
tan 1
2
ö çè
1
ò =
2 + ÷ø
+ +
ò + 2
+
dx - x C
x
dx
x 2 x 5
( 1) 4
2

15. 15
8.8 Fungsi Hiperbolik
 Definisi :
 Fungsi Hiperbolik yang lain dapat diturunkan dari sini.
 Beberapa identitas yang berlaku pada fungsi hiperbolik:
 Turunan fungsi Hiperbolik :
2
dan cosh
2
sinh
x x = e - e - x ex + e - x x
=
1. cosh2 x -sinh2 x =1
2. 1-tanh2 x =sec h2x
3. coth2 x -1= csc h2x
1. y =sinhxÞy'= coshx Ûòcoshxdx =sinhx +C
2. y = coshxÞy'= sinhx Ûòsinhxdx = coshx +C
3. y = tanh xÞy'= sec h2x Ûòsec h2xdx = tanhx +C

16. 16
• Contoh : Jika
• Contoh :
x sinh x y 8 , maka y ' 2 x sinh x x cosh
x
• Grafik fungsi hiperbolik
y
2
2
2 + 2 = = - +
òex sinh(ex )dx = cosh(ex ) +C
ex e x y f x x
+ - = = =
2
( ) cosh
e e f x x f f x
î í ì
< < ®
'( ) 0 , untuk 0 monoton turun
> > ®
-
= - =
'( ) 0 ,untuk 0 monoton naik
2
'( )
f x x f
x x
x x
f ''(x) = e + e > " x Î D ®
f f
0 cekung ke atas
2
-
f(0)=1

17. 17
• Grafik y= cosh x :
y=cosh x
• Dengan cara yang sama, didapat grafik y= sinh x :
y=sinh x