hioojopjpk[o[]ouoo9

1. A R I K U S Y A N T I
Vektor
Kalkulus 2

2. Besaran dan Satuan
 Besaran Pokok
 Besaran Turunan
 Besaran Skalar
 Besaran Vektor

3. Besaran Pokok
 Panjang
 Waktu
 Suhu
 Masa
 Intensitas Cahaya
 Arus
 Jumlah Zat

4. Simbol
o Vektor digambarkan dengan suatu anak panah
o Panjang anak panah menunjukkan besar vektor
o Arah anak panah menunjukkan arah vektor

5. Notasi
o Vektor sebagai bilangan pasangan dapat dituliskan
sebagai :
u = (a,b)
a = komponen mendatar
b = komponen vertikal
o Vektor sebagai kombinasi vektor satuan i dan j
u = ai+bj







b
a
u

6. Komponen Vektor

7. Kesamaan Vektor
o Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya
memiliki panjang dan arah yang sama
Misal
u = (a,b) dan v = (c,d)
o Apabila vektor u sama dengan vektor v maka :
 |u | = |v |
 arah u = arah v
 a=c dan b=d

8. a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama
A B A = B
b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika:
1. Besar sama, arah berbeda
A
B
A B
2. Besar tidak sama, arah sama
A B
3. Besar dan arahnya berbeda
A
A B
A B
B

9. Penjumlahan
Segitiga Jajaran Genjang

10. Penjumlahan
 Jika diketahui : maka :
 Panjang u+v dapat dihitung :













d
c
vdan
b
a
u





















db
ca
d
c
b
a
vu
22
)()(|| dbcavu 

11. Selisih
 Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan
sebagai u + (-v)

12. Selisih
 Jika diketahui : maka :
 Panjang u-v dapat dihitung :













d
c
vdan
b
a
u 






















db
ca
d
c
b
a
vuvu )(
22
)()(|| dbcavu 

13. Selisih

14. Sifat Operasi
o Apabila terdapat dua buah vektor yaitu vektor a dan
vektor b maka berlaku sifat-sifat penjumlahan dan
pengurangan vektor seperti :
a + b = b + a (bersifat komutatif)
(a+b)+c = a + (b + c) (bersifat asosiatif)
1 a = a
0 + a = a (0 merupakan vektor nol)
a-a = 0
a – b = a + (-b)

15. Perkalian
1. Perkalian Skalar dengan Vektor
2. Perkalian vektor dengan Vektor
a. Perkalian Titik (Dot Product)
b. Perkalian Silang (Cross Product)

16. Perkalian Vektor dengan Skalar
Perkalian Skalar dengan Vektor menghasilkan sebuah Vektor
v = k u k : Skalar
u : Vektor
Vektor v merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan
vektor u
 Jika k positif (k>0) arah v searah dengan u
 Jika k negatif (k<0) arah v berlawanan dengan u
k = 3,
u v = 3u
Contoh :
k = -3,
v = -3uu

17. Perkalian Vektor dengan Skalar
 




















kb
ka
b
a
kkumaka
realbilangankdan
b
a
uJika
:
,
Contoh Soal :
Diketahui :
Hitunglah : 3u
Jawab :








3
2
u















9
6
3
2
33u

18. Latihan
Diketahui :
Hitunglah :
1. -4u
2. 5v
3. 2u + 4v
4. 5u– v














2
10
,
1
2
vu

19. Sifat Operasi
 Diketahui k dan p merupakan bilangan skalar .
- Jika k = 0 maka ku = 0
- k(p u) = (kp)u = u(kp)
- (k+p)u = ku+pu (bersifat distributif)
- k(u+v) = ku+kv (bersifat distributif)
- u + (-1) v = u - v

20. Dot Product
 Perkalian dot atau titik disebut juga perkalian skalar (scalar
product). Hal itu dikarenakan perkalian tersebut akan
menghasilkan skalar meskipun kedua pengalinya
merupakan vektor.
 Perkalian skalar dari dua vektor A dan B dinyatakan dengan
A•B, karena notasi ini maka perkalian tersebut dinamakan
juga sebagai perkalian titik (dot product).

21. Dot Product
 Perkalian dot product :
A•B = |A||B| cos θ
 Dalam bentuk komponen vektor, bila A = [a1,a2,a3] dan B =
[b1,b2,b3], maka :
A•B = a1b1 + a2b2+ a3b3
 Diketahui :
A = [1,2,3]
B = [4,5,6]
A•B = (1x4) + (2x5)+(3x6) = 4 + 10 + 18 = 32

22.  Perkalian dot product :
A•B = |A||B| cos θ
 Diketahui :
|A|= 5
|B| = 4
θ = 30˚
A•B = 5*4 cos 30 = 20 ( ) =3
2
1
310

23. Cross Product
o Perkalian silang (cross product) disebut juga sebagai
perkalian vektor (vektor product), karena perkalian ini
akan menghasilkan vektor lain.
o Perkalian vektor antara A dan B dinyatakan dengan
A x B.

24. Cross Product
 Diketahui :
A = [1,2,3]
B = [4,5,6]
AxB = 12i+12j+5k-8k-15i-6j = -3i+6j-3k
AxB = [-3 6 -3]
654
321
kji

25. Latihan
 Diketahui :
 A = [3,5,1]
 B = [2,-3,1]
 Ditanya :
 1. A•B
 2. B•A
 3. A x B
 4. B x A