Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk definisi vektor, notasi vektor, penyajian vektor, operasi-operasi vektor seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan skalar, serta aplikasi vektor pada momentum gaya.
Dokumen tersebut merupakan materi pengantar tentang vektor yang mencakup pengertian vektor dan skalar, notasi vektor, penyajian vektor, operasi-operasi dasar vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, serta aplikasi vektor pada konsep dot product dan triple product.
1. Dokumen membahas tentang vektor dan operasi-operasi pada vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, dan produk dot.
2. Terdapat penjelasan tentang besar dan arah vektor hasil penjumlahan, pengurangan, serta cara menentukan sudut antara dua vektor.
3. Aplikasi produk vektor dan produk skalar triple juga dijelaskan secara singkat beserta contoh perhitungannya.
Dokumen tersebut membahas tentang besaran skalar dan vektor, notasi vektor, operasi penjumlahan dan pengurangan vektor, serta sifat-sifat dasar operasi tersebut seperti komutatif, asosiatif, dan distributif.
Dokumen tersebut membahas tentang besaran dan arah vektor, notasi vektor, komponen-komponen vektor, operasi-operasi dasar vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, serta perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product) antar vektor.
1. Dokumen tersebut membahas tentang sifat-sifat besaran fisis skalar dan vektor, serta operasi-operasi dasar vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan vektor, proyeksi ortogonal, dan vektor satuan.
Dokumen tersebut merupakan materi pengantar tentang vektor yang mencakup pengertian vektor dan skalar, notasi vektor, penyajian vektor, operasi-operasi dasar vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, serta aplikasi vektor pada konsep dot product dan triple product.
1. Dokumen membahas tentang vektor dan operasi-operasi pada vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, dan produk dot.
2. Terdapat penjelasan tentang besar dan arah vektor hasil penjumlahan, pengurangan, serta cara menentukan sudut antara dua vektor.
3. Aplikasi produk vektor dan produk skalar triple juga dijelaskan secara singkat beserta contoh perhitungannya.
Dokumen tersebut membahas tentang besaran skalar dan vektor, notasi vektor, operasi penjumlahan dan pengurangan vektor, serta sifat-sifat dasar operasi tersebut seperti komutatif, asosiatif, dan distributif.
Dokumen tersebut membahas tentang besaran dan arah vektor, notasi vektor, komponen-komponen vektor, operasi-operasi dasar vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, serta perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product) antar vektor.
1. Dokumen tersebut membahas tentang sifat-sifat besaran fisis skalar dan vektor, serta operasi-operasi dasar vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan vektor, proyeksi ortogonal, dan vektor satuan.
Bab ini membahas pengertian vektor dan operasi-operasi aljabar vektor seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan skalar. Juga dibahas operasi hasil kali titik dan hasil kali silang antar vektor beserta sifat-sifat dan teorema-teoremanya.
Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika seperti perpindahan, kecepatan, dan percepatan dinyatakan dengan vektor, sedangkan skalar hanya memiliki besaran saja seperti temperatur, tekanan, energi, massa dan waktu. Vektor direpresentasikan dengan simbol anak panah dan dapat ditulis menggunakan vektor satuan.
Bab 1 membahas tentang sifat vektor dan skalar serta penggambaran dan notasi vektor. Vektor memiliki besar dan arah sedangkan skalar hanya memiliki besar. Terdapat empat metode operasi matematika vektor yaitu jumlah, selisih, perkalian skalar dengan vektor, dan perkalian vektor dengan vektor.
1. Dokumen membahas tentang skalar dan vektor sebagai besaran matematis dan fisika. Skalar hanya memerlukan besarnya saja untuk menggambarkan suatu besaran, sedangkan vektor memerlukan besar dan arah.
2. Terdapat penjelasan tentang operasi matematika vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan vektor, serta perkalian titik dan silang antar vektor.
3. Diuraikan pula notasi vektor
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang vektor dan operasi-operasi pada vektor, seperti perkalian titik, panjang vektor, sudut antara dua vektor, proyeksi vektor, perkalian silang, dan perkalian tripel skalar beserta penjelasan geometris dan contoh perhitungannya.
Dokumen tersebut membahas tentang proyeksi ortogonal vektor dan ruang vektor. Proyeksi ortogonal vektor a terhadap vektor b adalah vektor w1 yang merupakan hasil proyeksi secara ortogonal vektor a terhadap b. Vektor w2 adalah komponen dari vektor a yang tegak lurus terhadap vektor b.
Makalah ini membahas tentang vektor bangun ruang dan cara penyelesaian masalah vektor dalam bangun ruang. Pembahasan dimulai dari pengertian vektor, vektor posisi, operasi vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian vektor dengan skalar dan vektor, serta pembagian ruas garis dalam bentuk vektor dan koordinat. Tujuan makalah ini adalah sebagai pelengkap tugas persentasi dan referensi bagi p
1. Vektor adalah kuantitas fisik yang membutuhkan informasi tentang besarnya dan arahnya. Vektor dapat direpresentasikan secara geometris dengan panah yang panjangnya mewakili besar dan arah panah mewakili arah vektor.
2. Terdapat beberapa operasi pada vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan produk skalar dan silang. Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan metode jajaran
Bab ini membahas pengertian vektor dan operasi-operasi aljabar vektor seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan skalar. Juga dibahas operasi hasil kali titik dan hasil kali silang antar vektor beserta sifat-sifat dan teorema-teoremanya.
Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika seperti perpindahan, kecepatan, dan percepatan dinyatakan dengan vektor, sedangkan skalar hanya memiliki besaran saja seperti temperatur, tekanan, energi, massa dan waktu. Vektor direpresentasikan dengan simbol anak panah dan dapat ditulis menggunakan vektor satuan.
Bab 1 membahas tentang sifat vektor dan skalar serta penggambaran dan notasi vektor. Vektor memiliki besar dan arah sedangkan skalar hanya memiliki besar. Terdapat empat metode operasi matematika vektor yaitu jumlah, selisih, perkalian skalar dengan vektor, dan perkalian vektor dengan vektor.
1. Dokumen membahas tentang skalar dan vektor sebagai besaran matematis dan fisika. Skalar hanya memerlukan besarnya saja untuk menggambarkan suatu besaran, sedangkan vektor memerlukan besar dan arah.
2. Terdapat penjelasan tentang operasi matematika vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan vektor, serta perkalian titik dan silang antar vektor.
3. Diuraikan pula notasi vektor
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang vektor dan operasi-operasi pada vektor, seperti perkalian titik, panjang vektor, sudut antara dua vektor, proyeksi vektor, perkalian silang, dan perkalian tripel skalar beserta penjelasan geometris dan contoh perhitungannya.
Dokumen tersebut membahas tentang proyeksi ortogonal vektor dan ruang vektor. Proyeksi ortogonal vektor a terhadap vektor b adalah vektor w1 yang merupakan hasil proyeksi secara ortogonal vektor a terhadap b. Vektor w2 adalah komponen dari vektor a yang tegak lurus terhadap vektor b.
Makalah ini membahas tentang vektor bangun ruang dan cara penyelesaian masalah vektor dalam bangun ruang. Pembahasan dimulai dari pengertian vektor, vektor posisi, operasi vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian vektor dengan skalar dan vektor, serta pembagian ruas garis dalam bentuk vektor dan koordinat. Tujuan makalah ini adalah sebagai pelengkap tugas persentasi dan referensi bagi p
1. Vektor adalah kuantitas fisik yang membutuhkan informasi tentang besarnya dan arahnya. Vektor dapat direpresentasikan secara geometris dengan panah yang panjangnya mewakili besar dan arah panah mewakili arah vektor.
2. Terdapat beberapa operasi pada vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan produk skalar dan silang. Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan metode jajaran
3. Warsun Najib, 2005 3
1. Vektor di Ruang 2
Besaran Skalar dan Besaran Vektor
Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar
(panjang/nilai)
Ex: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa
Besaran Vektor-> memiliki besar dan arah
Ex: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet,
medan listrik
Notasi Vektor
Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu.
Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic).
Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka
ditulis dengan lambang u = AB
Notasi u dibaca “vektor u”
4. Warsun Najib, 2005 4
Penyajian Vektor
Vektor sbg pasangan bilangan
u = (a,b)
a : komponen mendatar, b : komponen vertikal
Vektor sbg kombinasi vektor satuan i dan j
u = ai + bj
Panjang vektor u ditentukan oleh rumus
b
a
u
2
2
|
u
| b
a
5. Warsun Najib, 2005 5
Kesamaan Vektor
Dua buah vektor dikatakan sama besar bila
besar dan arahnya sama.
Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)
Jika u = v, maka
|u| = |v|
arah u = arah v
a=c dan b=d
6. Warsun Najib, 2005 6
a b
Dua vektor sama,
a = b
a b
Dua Vektor
mempunyai besar
sama, arah
berbeda
a b
Dua vektor arah
sama, besaran
beda
a
b
Dua Vektor besar
dan arah berbeda
7. Warsun Najib, 2005 7
Penjumlahan Vektor
Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan
aturan jajaran genjang
Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:
v
u w = u + v
w = u + v
u
v
u
d
b
c
a
d
c
b
a
v
u
d
c
v
dan
b
a
u
8. Warsun Najib, 2005 8
Conoth Penggunaan Penjumlahan Vektor
Gambar 154 hal 404 Buku Advance
Engineering Mathematic
9. Warsun Najib, 2005 9
Elemen Identitas
Vektor nol ditulis 0
Vektor nol disebut elemen identitas
u + 0 = 0 + u = u
Jika u adalah sebarang vektor bukan nol,
maka –u adalah invers aditif u yang
didefinisikan sebagai vektor yang memiliki
besar sama tetapi arah berlawanan.
u – u = u + (-u) = 0
10. Warsun Najib, 2005 10
Pengurangan Vektor
Selisih dua vektor u
dan v ditulis u – v
didefinisikan u + (-v)
Dalam bentuk
pasangan bilangan
v
u
w = u - v -v
u
d
b
c
a
d
c
b
a
v
u
d
c
v
dan
b
a
u
11. Warsun Najib, 2005 11
Perkalian Vektor dengan Skalar
mu adalah suatu vektor
dg panjang m kali
panjang vektor u dan
searah dengan u jika
m > 0, dan berlawanan
arah jika m < 0.
u
2u
mb
ma
b
a
m
mu
maka
real
bilangan
m
dan
b
a
u
Jika
:
,
12. Warsun Najib, 2005 12
Sifat-Sifat Operasi Vektor
Komutatif a + b = b + a
Asosiatif (a+b)+c = a+(b+c)
Elemen identitas terhadap penjumlahan
Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga
berupa vektor
Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|
1u = u
0u = 0, m0 = 0.
Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0
13. Warsun Najib, 2005 13
Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)
(mn)u = m(nu)
|mu| = |m||u|
(-mu) = - (mu) = m (-u)
Distributif : (m+n)u = mu + nu
Distributif : m(u+v) = mu + mv
u+(-1)u = u + (-u) = 0
14. Warsun Najib, 2005 14
Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan
Pengurangan
2
2
)
(
)
(
|
| d
b
c
a
v
u
d
b
c
a
d
c
b
a
v
u
d
c
v
dan
b
a
u
Jika
n
Penguranga
2
2
)
(
)
(
|
| d
b
c
a
v
u
d
b
c
a
d
c
b
a
v
u
d
c
v
dan
b
a
u
Jika
n
Penjumlaha
15. Warsun Najib, 2005 15
Menghitung Besar Vektor Hasil
Penjumlahan dan Pengurangan
cos
|
||
|
2
|
|
|
|
|
| 2
2
v
u
v
u
v
u
u + v
u
v
θ
cos
|
||
|
2
|
|
|
|
|
| 2
2
v
u
v
u
v
u
u
v
u-v
θ
16. Warsun Najib, 2005 16
Menentukan Arah Vektor Hasil
Penjumlahan dan Pengurangan
n
penjumlaha
hasil
r
arah vekto
:
sin
|
|
)
sin(
|
|
sin
|
|
v
u
v
u
u + v
u
v
α
u
v
u-v
α
β
n
penguranga
hasil
r
arah vekto
:
sin
|
|
)
sin(
|
|
sin
|
|
v
u
v
u
β
17. Warsun Najib, 2005 17
Vektor Posisi
OA = a dan OB = b
adalah vektor posisi.
AB = AO + OB
= OB – OA
= b – a
X
Y
0
A
B
b
a
18. Warsun Najib, 2005 18
Dot Product (Inner Product)
Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua
vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan
cosinus sudut antara keduanya.
cos
|
||
| b
a
b
a
Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2],
maka :
3
3
2
2
1
1 c
c
b
a
b
a
b
a
a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}
a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}
a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}
19. Warsun Najib, 2005 19
Vektor Ortogonal
Teorema
Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol
adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling
tegak lurus
Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0,
dan vektor b juga ortogonal thd vektor a.
Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.
Untuk vektor bukan-nol
a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0 γ = 90o = π/2
20. Warsun Najib, 2005 20
Besar dan Arah dalam Perkalian Dot
Product
Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
|
||
|
cos
21. Warsun Najib, 2005 21
Contoh Perkalian Dot Product
a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1]
Hitung sudut antara dua vektor tsb
22. Warsun Najib, 2005 22
Applications of Vector Product
Moment of a force
Find moment of force P
about the center of the
wheel.
|P|=1000 lb
30o
1,5 ft
]
1299
,
0
,
0
[
500
866
5
.
1
0
0
0
0
500
866
0
5
.
1
0
)
5
,
1
titik
pada
roda
pusat
(
]
0
,
5
.
1
,
0
[
]
0
,
500
,
866
[
]
0
,
30
sin
1000
,
30
cos
1000
[
k
j
i
k
j
i
p
r
m
y
r
P
Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda (sumbu z negatif ).
23. Warsun Najib, 2005 23
Scalar Triple Product
shg
pertama,
brs
mnrt
3
orde
determinan
ekspansi
mrpk
Ini
,
,
v
a
c)
(b
a
]
v
,
v
,
[v
v
c
b
andaikan
c)
(b
a
c)
b
(a
sebagai
an
didefinisk
)
(
ditulis
]
,
,
[
],
,
,
[
,
]
,
,
[
vektor
tiga
dari
product
triple
Scalar
2
1
2
1
3
1
3
1
3
2
3
2
3
2
1
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
c
c
b
b
a
c
c
b
b
a
c
c
b
b
a
v
a
v
a
v
a
c
b
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
a
a
3
2
1
3
2
1
3
2
1
c)
(b
a
c)
b
(a
c
c
c
b
b
b
b
b
b
24. Warsun Najib, 2005 24
Scalar Triple Product
Geometric representation
a,b,c vektor
β sudut antara (bxc)
dan a
h tinggi parallelogram
b
|
|
luas
mempunyai
c
dan
b
sisi
dg
alas
genjang
jajaran
cos
|
|
cos
|
||
|
|
)
(
|
)
(
c
b
area
h
height
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
Besar
c
b x c
a
β h