Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk pengertian vektor, penggambaran vektor, operasi matematika vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan vektor, serta contoh soal terkait vektor.

1. VEKTOR

2. Sifat besaran fisis :  Skalar
 Vektor
z
x
y

3. Gambar :
Titik P
Titik Q
Tanda panah
Panjang PQ = |PQ|
: Titik pangkal vektor
: Ujung vektor
: Arah vektor
: Besarnya (panjang) vektor
Catatan :
Untuk selanjutnya notasi vektor yang digunakan huruf tebal
A
→
A
A
Huruf tebal
Pakai tanda panah di atas
Huruf miring
Besar vektor A = A = |A|
(pakai tanda mutlak)
PENGGAMBARAN DAN PENULISAN (NOTASI) VEKTOR

4. A B A = B
1. Besar sama, arah berbeda
A
B
A B
2. Besar tidak sama, arah sama
A B
3. Besar dan arahnya berbeda
A B A B
A B

5. a b
Dua vektor sama, a = b
a b
Dua Vektor mempunyai besar
sama, arah berbeda
a b
Dua vektor arah sama,
besaran beda
a
b
Dua Vektor besar dan arah
berbeda

6. OPERASI MATEMATIK VEKTOR
1. Operasi jumlah dan selisih vektor
2. Operasi kali
1 . JUMLAH DAN SELISIH VEKTOR
Metode :
1. Jajaran Genjang
2. Segitiga
3. Poligon
4. Uraian
1. Jajaran Genjang
R = A + B
+ =
A
A
2 A B c o s
A2
B 2
Besarnya vektor R = | R | =
Besarnya vektor A+B = R = |R| =
Besarnya vektor A-B = S = |S| = - 2 AB cos θ
A 2+ B 2 + 2 AB cos θ
A 2 + B 2

7. 2. Segitiga
3. Poligon (Segi Banyak)
 Jika vektor A dan B searah
 Jika vektor A dan B berlawanan arah
 Jika vektor A dan B Saling tegak lurus
 θ = 0o : R = A + B
 θ = 180o : R = A - B
 θ = 90o : R = 0
Catatan : Untuk Selisih (-) arah Vektor di balik
+ =
A
A
B
+ + + =
A
D
A+B+C+D
A
B
C
D

8. Ay
By
A
B
Ax Bx X
Vektor diuraikan atas komponen-komponennya (sumbu x dan sumbu y)
Y
A = Ax.i+ Ay.j ;
Ax = A cos θ ;
Ay = A sin θ ;
B = Bx.i + By.j
Bx = B cos θ
By = B sin θ
Besar vektor A + B = |A+B| = |R|
Rx
2
Ry
2
|R| = |A + B| =
Arah Vektor R (terhadap sb.x positif) = tg θ =
x
R
Ry
Uraian
Rx
Ry
θ = arc tg
Ry = Ay + By
Rx = Ax + Bx

9. 1. Perkalian Skalar dengan Vektor
2. Perkalian vektor dengan Vektor
a. Perkalian Titik (Dot Product)
b. Perkalian Silang (Cross Product)
1. Perkalian Skalar dengan Vektor Hasilnya vektor
C = k A k : Skalar
A : Vektor
Vektor C merupakan hasil perkalian antara
skalar k dengan vektor A
Catatan :
 Jika k positif arah C searah dengan A
 Jika k negatif arah C berlawanan dengan A
k = 3,
A C = 3A
2. PERKALIAN VEKTOR

10. 2. Perkalian Vektor dengan Vektor
Hasilnya skalar
A B= C C = skalar
θ
B
A cos θ
Besarnya : C = |A||B| Cos θ
A = |A| = besar vektor A
B = |B| = besar vektor B
Θ = sudut antara vektor A dan B

11. 1. Komutatif : A B = B A
2. Distributif : A (B+C) = (A B) + (A C)
Catatan :
Jika A dan B searah  A
Jika A dan B berlawanan arah  A
1. Jika A dan B saling tegak lurus  A B = 0
2. B = A
3. B = - A
B
B

12. b. Perkalian Silang (Cross Product)
C = A x B
B
θ
A
Hasilnya vektor
B
θ
A
C = B x A
Catatan :
Arah vektor C sesuai aturan tangan kanan
Besarnya vektor C = A x B = A B sin θ
Sifat-sifat :
1.Tidak komunikatif  A x B = B x A
2. Jika A dan B saling tegak lurus  A x B = B x A
3. Jika A dan B searah atau berlawan arah  A x B = 0

13. VEKTOR SATUAN
Vektor yang besarnya satu satuan
A
A
Â
Dalam koordinat Cartesian (koordinat tegak)
Z
Y
X
j
k
i
A Arah sumbu x :
Arah sumbu y :
Arah sumbu z :
Notasi 1
A
A
  Besar Vektor
A Axiˆ Ay ĵ Azk̂
î
ĵ
k̂

14. i
j
k
 Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product) Vektor Satuan
=
= =
= 1
0
i i
i j
j j =
j k
k k
k i =
 Sifat-sifat Perkalian silang (Cross Product) Vektor Satuan
i x i j x j
= 0
i x j
k x i
=
=
= k x k =
k
j
j x k = i

15. Contoh Soal
1. Lima buah vektor digambarkan sebagai berikut :
Besar dan arah vektor pada gambar di samping :
X
Y
C
D
B
A
Vektor Besar (m) Arah (o)
A 19 0
B 15 45
C 16 135
D 11 207
E 22 270
E
Hitung : Besar dan arah vektor resultan.
Jawab : Vektor Besar (m) Arah(0) Komponen X(m) Komponen Y (m)
A 19 0 19 0
B 15 45 10.6 10.6
C 16 135 -11.3 11.3
D 11 207 -9.8 -5
E 22 270 0 -22
RX = 8.5 RY = -5.1
Besar vektor R :
Arah vektor R terhadap sumbu x positif :
=
= R 2 + R 2 =
X y
8.52+ ( - 5 .1)2 94..01 = 9.67 m
tg = = - 0,6 = 329.030 (terhadapx berlawanan arah jarum jam )
- 5.1
8.5

16. Vektor
2. Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa
besar vektornya ?
Jawab :
22+ (-
3)
2 + 42
A
A = 2i – 3j + 4k
A = = = 29 satuan
3. Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vektor berikut ini :
A = 2i – 2j + 4k
B = i – 3j + 2k
Jawab :
Perkalian titik :
A . B = 2.1 + (-2)(-3) + 4.2
= 16
Perkalian silang :
i j k
A x B = 2 - 2 4
1 - 3 2
= { (-2).2 – 4.(-3)} i – {2.2 – 4.1} j + {2.(-3) – (-2).1} k
= (-4+12) i – (4-4) j + (-6+4) k
= 8i – 0j – 2j
= 8i – 2k

17. 4. Jika a = 2i + 3j + k
b = 5i -j + 4k
dan
maka hasil kali skalar a.b = ....
Jawab:
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
= 2.5 + 3.(-1) + 1.4
= 10 – 3 + 4
= 11
= |a|² + |a|. |b| cos 60
= 16 + 12.½
= 16 + 6 = 22
, |a| = 4, dan |b| = 3,
5. Jika vektor a dan b membentuk sudut 60
maka a.(a + b) = ….
Jawab:
a.(a + b) = a.a + a.b

18. Latihan Soal
WAKTU 10 MENIT !
1. Tentukan nilai R dan S pada vektor berbentuk jajaran genjang berikut ini jika :
panjang A = 3 cm, B = 4 cm, dan sudut yang terbentuk adalah 30° !
+ =
A
A
2. Tentukan hasil perkalian silang antara titik A (4, -2, 2) dengan titik B (-1, 2, -3) !