Dokumen tersebut merupakan materi pengantar tentang vektor yang mencakup pengertian vektor dan skalar, notasi vektor, penyajian vektor, operasi-operasi dasar vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, serta aplikasi vektor pada konsep dot product dan triple product.
Dokumen ini membahas tentang penjumlahan vektor untuk siswa SMA kelas XII semester 1. Dokumen ini menjelaskan pengertian vektor dan skalar, jenis-jenis vektor, penjumlahan vektor secara aljabar dan geometri, serta sifat-sifat penjumlahan vektor.
1. Dokumen membahas tentang vektor dan operasi-operasi pada vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, dan produk dot.
2. Terdapat penjelasan tentang besar dan arah vektor hasil penjumlahan, pengurangan, serta cara menentukan sudut antara dua vektor.
3. Aplikasi produk vektor dan produk skalar triple juga dijelaskan secara singkat beserta contoh perhitungannya.
Dokumen tersebut membahas tentang vektor, meliputi pengertian besaran skalar dan vektor, penggambaran vektor, operasi matematika vektor seperti jumlah, selisih, perkalian titik dan silang, serta vektor satuan.
Perkalian vektor dapat berupa perkalian skalar yang menghasilkan skalar, atau perkalian vektor yang menghasilkan vektor lain. Perkalian skalar adalah perkalian titik antara dua vektor, sedangkan perkalian vektor adalah perkalian silang antara dua vektor.
Dokumen tersebut membahas tentang besaran dan arah vektor, notasi vektor, komponen-komponen vektor, operasi-operasi dasar vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, serta perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product) antar vektor.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang pengertian vektor dan operasi dasar vektor seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar dengan vektor. Contoh soal juga diberikan untuk mendemonstrasikan penjumlahan dua vektor.
Dokumen ini membahas tentang penjumlahan vektor untuk siswa SMA kelas XII semester 1. Dokumen ini menjelaskan pengertian vektor dan skalar, jenis-jenis vektor, penjumlahan vektor secara aljabar dan geometri, serta sifat-sifat penjumlahan vektor.
1. Dokumen membahas tentang vektor dan operasi-operasi pada vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, dan produk dot.
2. Terdapat penjelasan tentang besar dan arah vektor hasil penjumlahan, pengurangan, serta cara menentukan sudut antara dua vektor.
3. Aplikasi produk vektor dan produk skalar triple juga dijelaskan secara singkat beserta contoh perhitungannya.
Dokumen tersebut membahas tentang vektor, meliputi pengertian besaran skalar dan vektor, penggambaran vektor, operasi matematika vektor seperti jumlah, selisih, perkalian titik dan silang, serta vektor satuan.
Perkalian vektor dapat berupa perkalian skalar yang menghasilkan skalar, atau perkalian vektor yang menghasilkan vektor lain. Perkalian skalar adalah perkalian titik antara dua vektor, sedangkan perkalian vektor adalah perkalian silang antara dua vektor.
Dokumen tersebut membahas tentang besaran dan arah vektor, notasi vektor, komponen-komponen vektor, operasi-operasi dasar vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, serta perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product) antar vektor.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang pengertian vektor dan operasi dasar vektor seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar dengan vektor. Contoh soal juga diberikan untuk mendemonstrasikan penjumlahan dua vektor.
Dokumen tersebut membahas konsep-konsep matematika seperti vektor, matriks, dan transformasi yang digunakan dalam pemecahan masalah. Terdapat penjelasan mengenai sifat-sifat operasi aljabar vektor dan perkalian skalar dua vektor.
Perkalian skalar dua vektor dan proyeksi vektorGita Setiawan
Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar vektor, termasuk perkalian skalar dengan vektor, proyeksi vektor, dan perbandingan vektor. Indikator yang dijelaskan adalah mampu menggambar vektor lain jika diketahui dua vektor. Contoh soal yang diberikan mencakup menentukan besar sudut antara dua vektor, panjang proyeksi satu vektor pada vektor lain, dan vektor proyeksi.
Pengertian Vektor dan Notasi Vektor - Analisis VektorDewi Fitriyani
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Contohnya kecepatan, percepatan, dan gaya. Vektor digambarkan dengan panah yang menunjukkan besar dan arahnya. Dua vektor sama jika memiliki besar dan arah yang sama.
Presentasi pelajaran mat minat kelas 10 tentang vektor
Pengertian Vektor
Notasi Vektor
Panjang Vektor di R2
Proyeksi vector orthogonal
Vektor Satuan
Vektor Basis
Penjumlahan vector secara aljabar
Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk aturan segitiga dan jajargenjang untuk penjumlahan vektor secara geometris, serta penjumlahan dan pengurangan vektor secara aljabar. Dokumen tersebut juga membahas perkalian vektor dan skalar serta persamaan garis dan bidang di ruang vektor.
Vektor merupakan kuantitas fisik yang memiliki besar dan arah. Dokumen menjelaskan tentang penjumlahan vektor, komponen vektor, perkalian vektor dengan skalar dan vektor, serta contoh soal latihan tentang vektor.
Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Vektor dapat ditulis dengan huruf kecil tebal atau garis panjang dengan anak panah diatasnya. Modulus vektor adalah panjang vektor. Vektor dapat dioperasikan dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan dihitung sudut antar vektor menggunakan kosinus.
Vektor merupakan besaran yang memiliki besar dan arah. Dokumen menjelaskan pengertian vektor dan operasi-operasi vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dengan vektor, serta contoh-contoh penerapannya.
Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk definisi vektor, notasi vektor, penyajian vektor, operasi-operasi vektor seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan skalar, serta aplikasi vektor pada momentum gaya.
Dokumen tersebut membahas tentang besaran skalar dan vektor, notasi vektor, operasi penjumlahan dan pengurangan vektor, serta sifat-sifat dasar operasi tersebut seperti komutatif, asosiatif, dan distributif.
Dokumen tersebut membahas konsep-konsep matematika seperti vektor, matriks, dan transformasi yang digunakan dalam pemecahan masalah. Terdapat penjelasan mengenai sifat-sifat operasi aljabar vektor dan perkalian skalar dua vektor.
Perkalian skalar dua vektor dan proyeksi vektorGita Setiawan
Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar vektor, termasuk perkalian skalar dengan vektor, proyeksi vektor, dan perbandingan vektor. Indikator yang dijelaskan adalah mampu menggambar vektor lain jika diketahui dua vektor. Contoh soal yang diberikan mencakup menentukan besar sudut antara dua vektor, panjang proyeksi satu vektor pada vektor lain, dan vektor proyeksi.
Pengertian Vektor dan Notasi Vektor - Analisis VektorDewi Fitriyani
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Contohnya kecepatan, percepatan, dan gaya. Vektor digambarkan dengan panah yang menunjukkan besar dan arahnya. Dua vektor sama jika memiliki besar dan arah yang sama.
Presentasi pelajaran mat minat kelas 10 tentang vektor
Pengertian Vektor
Notasi Vektor
Panjang Vektor di R2
Proyeksi vector orthogonal
Vektor Satuan
Vektor Basis
Penjumlahan vector secara aljabar
Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk aturan segitiga dan jajargenjang untuk penjumlahan vektor secara geometris, serta penjumlahan dan pengurangan vektor secara aljabar. Dokumen tersebut juga membahas perkalian vektor dan skalar serta persamaan garis dan bidang di ruang vektor.
Vektor merupakan kuantitas fisik yang memiliki besar dan arah. Dokumen menjelaskan tentang penjumlahan vektor, komponen vektor, perkalian vektor dengan skalar dan vektor, serta contoh soal latihan tentang vektor.
Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Vektor dapat ditulis dengan huruf kecil tebal atau garis panjang dengan anak panah diatasnya. Modulus vektor adalah panjang vektor. Vektor dapat dioperasikan dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan dihitung sudut antar vektor menggunakan kosinus.
Vektor merupakan besaran yang memiliki besar dan arah. Dokumen menjelaskan pengertian vektor dan operasi-operasi vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dengan vektor, serta contoh-contoh penerapannya.
Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk definisi vektor, notasi vektor, penyajian vektor, operasi-operasi vektor seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan skalar, serta aplikasi vektor pada momentum gaya.
Dokumen tersebut membahas tentang besaran skalar dan vektor, notasi vektor, operasi penjumlahan dan pengurangan vektor, serta sifat-sifat dasar operasi tersebut seperti komutatif, asosiatif, dan distributif.
1. Dokumen tersebut membahas tentang sifat-sifat besaran fisis skalar dan vektor, serta operasi-operasi dasar vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan vektor, proyeksi ortogonal, dan vektor satuan.
Bab ini membahas pengertian vektor dan operasi-operasi aljabar vektor seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan skalar. Juga dibahas operasi hasil kali titik dan hasil kali silang antar vektor beserta sifat-sifat dan teorema-teoremanya.
Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika seperti perpindahan, kecepatan, dan percepatan dinyatakan dengan vektor, sedangkan skalar hanya memiliki besaran saja seperti temperatur, tekanan, energi, massa dan waktu. Vektor direpresentasikan dengan simbol anak panah dan dapat ditulis menggunakan vektor satuan.
Bab 1 membahas tentang sifat vektor dan skalar serta penggambaran dan notasi vektor. Vektor memiliki besar dan arah sedangkan skalar hanya memiliki besar. Terdapat empat metode operasi matematika vektor yaitu jumlah, selisih, perkalian skalar dengan vektor, dan perkalian vektor dengan vektor.
1. Dokumen membahas tentang skalar dan vektor sebagai besaran matematis dan fisika. Skalar hanya memerlukan besarnya saja untuk menggambarkan suatu besaran, sedangkan vektor memerlukan besar dan arah.
2. Terdapat penjelasan tentang operasi matematika vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan vektor, serta perkalian titik dan silang antar vektor.
3. Diuraikan pula notasi vektor
Dokumen tersebut membahas tentang proyeksi ortogonal vektor dan ruang vektor. Proyeksi ortogonal vektor a terhadap vektor b adalah vektor w1 yang merupakan hasil proyeksi secara ortogonal vektor a terhadap b. Vektor w2 adalah komponen dari vektor a yang tegak lurus terhadap vektor b.
Lembar tes tersebut berisi 20 pertanyaan pilihan ganda mengenai konsep-konsep gerak lurus dalam fisika, seperti gerak, kecepatan, percepatan, kelajuan, lintasan, dan lainnya. Pertanyaan-pertanyaan tersebut dimaksudkan untuk mengetes pemahaman siswa terhadap konsep-konsep gerakan yang linear.
1. Dokumen tersebut membahas mengenai persilangan genetika pada tanaman dan hewan.
2. Terdapat beberapa soal mengenai kemungkinan hasil persilangan dan genotipe keturunan.
3. Soal-soal tersebut mencakup topik-topik dasar seperti dominansi, resesivitas, penyakit mendelian, dan persentase hasil persilangan.
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
1) Dokumen tersebut berisi kisi-kisi ulangan akhir semester ganjil tahun pelajaran 2016/2017 mata pelajaran IPA kelas VII yang terdiri dari 40 soal pilihan ganda;
2) Materi yang diujikan meliputi besaran pokok dan turunan, alat ukur, suhu dan pengukurannya, asam basa dan garam, unsur dan senyawa kimia, wujud zat dan perubahannya, serta re
1. Dokumen ini membahas cara melakukan analisis soal pilihan ganda dengan menggunakan Microsoft Excel untuk menentukan daya pembeda dan tingkat kesukaran soal.
2. Langkah-langkahnya meliputi membuat tabel jawaban siswa, menghitung jumlah benar dan nilai untuk setiap siswa, membuat kolom bantuan untuk menentukan peringkat, membuat tabel kelompok atas dan bawah, serta menghitung daya pembeda dan ting
Ulangan akhir semester genap SMP tahun pelajaran 2016/2017 untuk mata pelajaran IPA berisi soal pilihan ganda tentang konsep-konsep IPA seperti metode ilmiah, mikroskop, klasifikasi makhluk hidup, gerak dan percepatan, serta taksonomi tumbuhan. Soal terdiri dari 40 pertanyaan dan harus dikerjakan dalam waktu 120 menit.
Ujian sekolah mata pelajaran IPA untuk siswa kelas IX SMPN 196 Jakarta tahun 2017 berisi soal pilihan ganda yang mencakup materi IPA seperti fisika, kimia, dan biologi. Ujian ini terdiri dari 28 soal yang harus diselesaikan peserta dalam waktu 120 menit.
Teks tersebut membahas tentang medan magnet dan kemagnetan, meliputi definisi magnet dan kutub magnet, hukum Coulomb tentang gaya tarik-menarik dan tolak-menolak antara kutub magnet, medan magnet di sekitar arus listrik berdasarkan hukum Biot-Savart dan Oersted, serta induksi magnetik di sekitar arus lurus dan lingkaran.
Teks tersebut berisi soal-soal ujian harian tentang sistem koordinasi manusia dan alat indra. Soal-soal tersebut meliputi materi tentang sistem saraf, otak, indra pendengaran, penglihatan, peraba, dan penciuman.
3. Warsun Najib, 2005 3
1. Vektor di Ruang 2
Besaran Skalar dan Besaran Vektor
Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar
(panjang/nilai)
Ex: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa
Besaran Vektor-> memiliki besar dan arah
Ex: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan
magnet, medan listrik
Notasi Vektor
Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu.
Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic).
Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka
ditulis dengan lambang u = AB
Notasi u dibaca “vektor u”
4. Warsun Najib, 2005 4
Penyajian Vektor
Vektor sbg pasangan bilangan
u = (a,b)
a : komponen mendatar, b : komponen vertikal
Vektor sbg kombinasi vektor satuan i dan j
u = ai + bj
Panjang vektor u ditentukan oleh rumus
=
b
a
u
22
|u| ba +=
5. Warsun Najib, 2005 5
Kesamaan Vektor
Dua buah vektor dikatakan sama besar bila
besar dan arahnya sama.
Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)
Jika u = v, maka
|u| = |v|
arah u = arah v
a=c dan b=d
6. Warsun Najib, 2005 6
a b
Dua vektor sama,
a = b
a b
Dua Vektor
mempunyai besar
sama, arah
berbeda
a b
Dua vektor arah
sama, besaran
beda
a
b
Dua Vektor besar
dan arah berbeda
7. Warsun Najib, 2005 7
Penjumlahan Vektor
Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan
aturan jajaran genjang
Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:
v
u w = u + v
w = u + v
u
v
=u
+
+
=
+
=+
=
=
db
ca
d
c
b
a
vu
d
c
vdan
b
a
u
8. Warsun Najib, 2005 8
Conoth Penggunaan Penjumlahan Vektor
Gambar 154 hal 404 Buku Advance
Engineering Mathematic
9. Warsun Najib, 2005 9
Elemen Identitas
Vektor nol ditulis 0
Vektor nol disebut elemen identitas
u + 0 = 0 + u = u
Jika u adalah sebarang vektor bukan nol,
maka –u adalah invers aditif u yang
didefinisikan sebagai vektor yang memiliki
besar sama tetapi arah berlawanan.
u – u = u + (-u) = 0
10. Warsun Najib, 2005 10
Pengurangan Vektor
Selisih dua vektor u
dan v ditulis u – v
didefinisikan u + (-v)
Dalam bentuk
pasangan bilangan
v
u
w = u - v -v
u
−
−
=
−
=−
=
=
db
ca
d
c
b
a
vu
d
c
vdan
b
a
u
11. Warsun Najib, 2005 11
Perkalian Vektor dengan Skalar
mu adalah suatu vektor
dg panjang m kali
panjang vektor u dan
searah dengan u jika
m > 0, dan berlawanan
arah jika m < 0.
u
2u
{ }
=
=
∈
=
mb
ma
b
a
mmumaka
realbilanganmdan
b
a
uJika
:
,
12. Warsun Najib, 2005 12
Sifat-Sifat Operasi Vektor
Komutatif a + b = b + a
Asosiatif (a+b)+c = a+(b+c)
Elemen identitas terhadap penjumlahan
Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga
berupa vektor
Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|
1u = u
0u = 0, m0 = 0.
Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0
13. Warsun Najib, 2005 13
Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)
(mn)u = m(nu)
|mu| = |m||u|
(-mu) = - (mu) = m (-u)
Distributif : (m+n)u = mu + nu
Distributif : m(u+v) = mu + mv
u+(-1)u = u + (-u) = 0
14. Warsun Najib, 2005 14
Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan
Pengurangan
22
)()(|| dbcavu
db
ca
d
c
b
a
vu
d
c
vdan
b
a
uJika
nPenguranga
−+−=−
−
−
=
−
=−
=
=
22
)()(|| dbcavu
db
ca
d
c
b
a
vu
d
c
vdan
b
a
uJika
nPenjumlaha
+++=+
+
+
=
+
=+
=
=
15. Warsun Najib, 2005 15
Menghitung Besar Vektor Hasil
Penjumlahan dan Pengurangan
θcos||||2|||||| 22
vuvuvu ++=+u + v
u
v
θ
θcos||||2|||||| 22
vuvuvu −+=−
u
v
u-v
θ
16. Warsun Najib, 2005 16
Menentukan Arah Vektor Hasil
Penjumlahan dan Pengurangan
npenjumlahahasilrarah vekto:
sin
||
)sin(
||
sin
||
β
ββαα
vuvu
=
−
=
+
u + v
u
v
α
u
v
u-v
α
β
npengurangahasilrarah vekto:
sin
||
)sin(
||
sin
||
β
βαβα
vuvu
=
−
=
−
β
17. Warsun Najib, 2005 17
Vektor Posisi
OA = a dan OB = b
adalah vektor posisi.
AB = AO + OB
= OB – OA
= b – a
X
Y
0
A
B
b
a
18. Warsun Najib, 2005 18
Dot Product (Inner Product)
Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua
vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan
cosinus sudut antara keduanya.
γcos|||| baba =•
Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2],
maka :
332211 ccbababa ++=•
a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o
}
a•b = 0 jika {γ| γ = 90o
}
a•b < 0 jika {γ| 90o
< γ< 180o
}
19. Warsun Najib, 2005 19
Vektor Ortogonal
Teorema
Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol
adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling
tegak lurus
Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0,
dan vektor b juga ortogonal thd vektor a.
Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.
Untuk vektor bukan-nol
a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0 γ = 90o
= π/2
20. Warsun Najib, 2005 20
Besar dan Arah dalam Perkalian Dot
Product
Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:
bbaa
ba
ba
ba
••
•
=
•
=
||||
cosγ
21. Warsun Najib, 2005 21
Contoh Perkalian Dot Product
a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1]
Hitung sudut antara dua vektor tsb
22. Warsun Najib, 2005 22
Applications of Vector Product
Moment of a force
Find moment of force P
about the center of the
wheel.
|P|=1000 lb
30o
1,5 ft
]1299,0,0[
500866
5.10
00
0500866
05.10
)5,1titikpadarodapusat(]0,5.1,0[
]0,500,866[
]0,30sin1000,30cos1000[
−=++==×=
=−=
=
°°=
kji
kji
prm
yr
P
Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda (sumbu z negatif ).
23. Warsun Najib, 2005 23
Scalar Triple Product
shgpertama,brsmnrt3ordedeterminanekspansimrpkIni
,,vac)(ba
]v,v,[vvcbandaikanc)(bac)b(a
sebagaiandidefinisk)(ditulis
],,[],,,[,],,[
vektortigadariproducttripleScalar
21
21
3
13
13
2
32
32
1
332211
321
321321321
cc
bb
a
cc
bb
a
cc
bb
a
vavava
cba
ccccbbbbaaaa
+
−−=
=•=ו
==×ו=
===
321
321
321
c)(bac)b(a
ccc
bbb
bbb
=ו=
24. Warsun Najib, 2005 24
Scalar Triple Product
Geometric representation
a,b,c vektor
β sudut antara (bxc)
dan a
h tinggi parallelogram
b
||luasmempunyaicdanbsisidgalasgenjangjajaran
cos||
cos|||||)(|
)(
cbarea
hheighta
cbacba
cbaBesar
×
=
×=ו
ו
β
β
c
b x c
a
β h