1. Distribusi Binomial
Banyaknya X (peubah acak) yang sukses dalam n usaha Bernoulli disebut
Peubah Acak Binomial. Distribusi peluang peubah acak diskrit ini disebut Distribusi
Binomial yang dinotasikan dengan b(x;n,p) atau b(n,p), karena nilainya tergantung pada
banyaknya percobaan (n) dan peluang sukses dalam suatu usaha (p).
Ruang sampel untuk percobaan E yang terdiri dari himpunan tak hingga tetapi
masih terhitung dari titik-titik sampel :
Jika S = Sukses dan G = Gagal
E1 : S (Sukses pada percobaan pertama)
E2 : GS (Gagal pada percobaan pertama dan sukses pada percobaan kedua)
E3 : GGS (Gagal di percobaan 1 dan 2, sukses pada percobaan ketiga)
E4 : GSG (Gagal di percobaan 1 dan 3, sukses pada percobaan kedua)
E5 : SGG (Gagal di percobaan 2 dan 3, sukses pada percobaan pertama)
∂
En : SSS L S GGG L G (Sukses
1 24 1 24
4 3 4 3 sebanyak x kali, gagal sebanyak n-x kali)
x n− x
Jika peluang sukses dinotasikan dengan p maka peluang gagal adalah 1-p=q.
Peubah acak X menyatakan banyaknya sukses dari n usaha yang saling bebas. Maka
peluang X pada masing - masing percobaan E adalah :
P(X) = p untuk E1
P(X) = qp untuk E2
P(X) = q2p = pq2 untuk E3
P(X) = qpq = pq2 untuk E4
P(X) = pqq = pq2 untuk E5
∂
P(X) = pxqn-x untuk dan x = 0, 1, 2, ∫ ,n
⎛ 3⎞
Dapat dilihat bahwa E3, E4 dan E5 memberikan hasil yang sama. Jumlahnya ⎜ ⎟ ,
⎜1⎟
⎝ ⎠
yaitu jumlah semua titik sampel yang mungkin yang menghasilkan x = 1 yang sukses dan

2. n-x=3-1=2 yang gagal dari 3 kali percobaan. Secara umum jumlah titik sampel yang
⎛n⎞
⎜ ⎟
mungkin yang menghasilkan x yang sukses dan n-x yang gagal adalah ⎜ ⎟ . Dan
⎝ x⎠
distribusi peluang atau Probability Density Function (PDF) X dinyatakan pada definisi
berikut :
Definisi 6.1
Peubah acak X disebut berdistribusi Binomial jika dan hanya jika
⎛n⎞
P(X = x) = f(x) = ⎜ ⎟ p x (1 − p ) n − x
⎜ x⎟
⎝ ⎠
untuk x = 0, 1, 2, ∫ ,n dan 0 ≤ p ≤ 1. É
Pembuktian distribusi Binomial merupakan suatu PDF.
Bukti :
Untuk membuktikan suatu peubah acak adalah PDF(Probability Density Function) atau
Fungsi Kepadatan Peluang (FKP), maka harus ditunjukkan :
1. f(x) ≥ 0
2. Jika pa X bertype Diskrit maka : ∑ x
x f(x) = 1
∞
Jika pa X bertype Kontinu maka :
−∞
∫ f(x) dx = 1
Akan ditunjukkan distribusi Binomial memenuhi kedua syarat diatas :
1. f(x) ≥ 0
Karena 0 ≤ p ≤ 1dan nilai suatu kombinasi pasti positif maka f(x) pasti positif
2. ∑ x
f(x)=1
Aplikasikan persamaan Binomium Newton pada ∑ x
f(x), akan diperoleh :
n
⎛n⎞
∑ f(x) = ∑ ⎜ x ⎟p
⎜ ⎟ x
(1 − p) n − x = (p+(1-p))n =1n =1
x x =0 ⎝ ⎠
Dari 1 dan 2 dapat dikatakan bahwa distribusi binomial merupakan PDF.É

3. Teorema 6.1. Distribusi binomial b(x;n,p) mempunyai MGF (Momen Generating
Function) M(t) = [(1-p)+pet]n, rataan (mean) μ = np , dan variansi σ2 = np(1-p) = npq. É
Bukti :
• Akan dibuktikan M(t) = [(1-p)+pet]n
n
⎛n⎞ n
⎛n⎞
M(t) = E(etx) = ∑ e tx ⎜ x ⎟ p x (1 − p) n− x =
⎜ ⎟ ∑ ⎜ x ⎟( pe )
⎜ ⎟
t x
(1 − p ) n − x
x =0 ⎝ ⎠ x =0 ⎝ ⎠
dengan memakai persamaan binomium Newton maka diperoleh a = pet dan b = 1-p,
sehingga terbukti bahwa
M(t) = [(1-p) + pet]n …………………..…………….1)
• Selanjutnya akan dibuktikan bahwa μ = np , terlebih dahulu akan ditentukan turunan
pertama dari persamaan 1) yaitu :
M′(t) = n[(1-p) + pet}]n-1. pet = npet[(1-p) + pet]n-1 .
Jika t = 0 maka M′(0) = npe0[(1-p) + pe0]n-1= np . Dari teori ekpektasi kita ketahui
bahwa Rataan (μ ) = E(X) dan diketahui E(X) = M′(0) maka μ = np.
• Untuk membuktikan σ2 = npq akan ditentukan turunan kedua dari persamaan 1) dan
mensubstitusikan harga t = 0, kita peroleh :
M′′(t)= npet[(1-p)+pet}]n-1+npet(n-1).pet[(1-p)+pet]n-2
M′′(0)= np + np2(n-1)
Karena Variansi (σ2) = E(X2) - (E(X))2 = M′′(0) – (M′(0))2 maka σ2 = np+np2(n-1)-
(np)2 = np (1+p(n-1)-np) = np(1-p) = npq.
Dari 3 pembuktian di atas maka dapat disimpulkan bahwa Distribusi binomial b(x;n,p)
mempunyai MGF (Momen Generating Function) M(t) = [(1-p)+pet]n, rataan (mean) μ =
np , dan variansi σ2 = np(1-p) = npq. É
Catatan :
Perhatikan persamaan Binomium Newton berikut ini
n
⎛ n⎞
∑ ⎜ x ⎟a b
⎜ ⎟
x n− x
= (a+b)n
x =0 ⎝ ⎠
Jika n ≥ 50 atau np < 5 akan didekati oleh Distribusi Poisson.
BAB VI