Dokumen tersebut membahas tentang logika matematika, terutama logika preposisi dan predikat. Logika preposisi membahas pernyataan sebagai satuan yang bernilai benar atau salah, sedangkan logika predikat membahas unsur-unsur dalam pernyataan. Dibahas pula jenis-jenis perangkai logika, tabel kebenaran, dalil-dalil logika, dan pengenalan awal tentang pernyataan berkuantor.

1. Topik 2 Logika Matematika
2-1
Ada dua bahasan utama dalam Logika Matematika, yaitu logika preposisi dan logika predikat.
Pada keduanya, sebagai variable adalah pernyataan. Logika preposisi menekankan pada
pembahasan dengan pernyataan sebagai satu kesatuan obyek yang dapat bernilai salah satu dari dua
kemungkinan yang ada, yaitu benar atau salah. Sedangkan logika predikat yang berhadapan dengan
pernyataan berkuantor, menekankan pada pembahasan unsur-unsur dalam pernyataan itu sendiri.
Pada bagian ini pembahasanan mulai dari mengenal preposisi, macam-macam perangkai untuk
membuat suatu ekspresi, membuat tabel kebenaran hingga dalil-dalil atau teorema-teorema yang ada.
2.1 Kalimat, Preposisi, Aljabar Logika dan Ekspresi
Kalimat merupakan suatu susunan kata-kata dengan maksud tertentu. Beberapa contohnya adalah :
a. Siapakah namamu?
b. Tolong ambilkan buku?
c. Bogor ada di Jawa tengah.
d. 5n2+7n=10
dsb.
Sebagian kalimat adalah pernyataan atau statement. Seperti contoh (c) dan (d) di atas. Sedangkan (a) dan (b)
adalah bukan pernyataan atau statement. Pernyataan atau statement yang sudah dapat ditentukan nilai
kebenarannya disebut preposisi. Dalam contoh di atas (c) adalah preposisi, karena kita sudah dapat
menentukan bahwa dia adalah salah. Sedangkan pada contoh (d) bukan preposisi, sebab kita belum tahu apakah
benar atau salah. Suatu preposisi biasanya disimbolkan dengan huruf kecil.
Contoh :
p adalah 3 + 5 = 7
q adalah Bogor ada di Jawa Barat
dsb.
Suatu preposisi yang bernilai benar diberi nilai 1, sedangkan yang bernilai salah diberi nilai 0. Sehingga pada
contoh di atas :
p bernilai salah, sehingga nilai p adalah 0
q bernilai benar, sehingga nilai q adalah 1
Aljabar logika merupakan salah satu bagian matematika yang berhubungan dengan preposisi. Kalau dalam
aljabar yang telah kita kenal sewaktu di SMU, variable-variabel yang dipakai, misalnya x, mempunyai domain
atau rentang nilai tertentu. Misalnya x bernilai bulat, atau bernilai real, atau yang lainnya. Dalam aljabar logika,
variable-variabelnya adalah preposisi, sehingga nilai dari variable adalah 1 atau 0 saja, tidak dapat yang lainnya.
Ekspresi merupakan ungkapan yang tersusun dari beberapa preposisi. Ada kalanya kita ingin tahu nilai
kebenaran dari suatu ekspresi. Salah satu caranya adalah dengan apa yang disebut sebagai Tabel Kebenaran.
Tabel kebenaran merupakan tabel yang mendaftarkan nilai kebenaran suatu ekspresi untuk semua kemungkinan
kombinasi dari preposisi-preposisi penyusunnya.

2. Topik 2 Logika Matematika
2-2
2.2 Perangkai
Preposisi dalam aljabar logika dapat merupakan preposisi tunggal atau dapat juga preposisi majemuk. Preposisi
tunggal adalah preposisi yang hanya terdiri dari satu preposisi, misalkan adalah :
a. Bogor ada di Jawa Barat
b. 3 + 6 = 10
dsb.
Sedangkan preposisi majemuk adalah preposisi tunggal yang telah mengalami operasi perangkai. Beberapa
perangkai yang sering dipakai adalah :
a. Disjungsi
b. Konjungsi
c. Implikasi
d. Biimplikasi
e. Negasi
Disjungsi
Disjungsi antara dua preposisi p dengan q ditulis :
p  q dibaca sebagai “p atau q”, yang berarti : p saja, q saja atau p dan q.
Oleh karena itu, tabel kebenaran dari disjungsi adalah :
p q p  q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Konjungsi
Konjungsi antara dua preposisi p dengan q ditulis :
p  q dibaca sebagai “p dan q”, yang berarti : p dan q, harus keduanya.
Oleh karena itu, tabel kebenaran dari konjungsi adalah :
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Implikasi
Implikasi dari penyataan p dengan q ditulis :
p  q dibaca sebagai :
jika p maka q
p hanya jika q
p syarat mutlak bagi q
q syarat perlu bagi p

3. Topik 2 Logika Matematika
2-3
yang berarti bahwa : kalau p benar maka q harus benar, tidak sebaliknya. Sedangkan kalau p salah, maka q
boleh benar atau boleh juga salah.
Oleh karena itu, tabel kebenaran dari implikasi adalah :
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Biimplikasi
Biimplikasi dari dua preposisi p dengan q ditulis :
P  q dibaca sebagai :
Jika p maka q dan jika q maka p
p jika dan hanya jika q
q jika dan hanya jika p
p syarat perlu dan mutlak bagi q
q syarat mutlak dan perlu bagi p
Oleh karena itu, tabel kebenaran dari konjungsi adalah :
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Negasi
Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan baru dengan nilai kebenarannya lawan dari nilai
kebenaran pernyataan yang dinegasikan. Istilah negasi sering dikenal dengan nama ingkaran atau penidakan.
Negasi dari pernyataan p ditulis sebagai p atau p atau –p, yang dibaca sebagai
Tidak p
Negasi dari p
Yang berarti jika p benar maka p salah, sedangkan jika p salah maka p benar. Oleh karena itu, tabel
kebenaran dari konjungsi adalah :
p p
1 0
0 1

4. Topik 2 Logika Matematika
2-4
Invers, Konvers dan Kontrapositif
Istilah-istilah ini berkaitan dengan kalimat implikasi.
a. Invers dari p  q adalah -p  -q
b. Konvers dari p  q adalah q  p
c. Kontapositif dari p  q adalah -q  -p
Tabel kebenaran dari ketiga pernyataan tersebut adalah :
p q -p -q -p  -q q  p -q  -p p  q
1 1 0 0 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 0 0
0 1 1 0 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
Terlihat bahwa nilai kebenaran suatu pernyataan implikasi adalah sama persis dengan kontrapositifnya. Dua
kalimat yang mempunyai nilai kebenaran sama persis untuk setiap kombinasi nilai penyusunnya dikatakan
bahwa dua kalimat tersebut setara atau equivalen. Periksa juga apakah p  q setara dengan pq
Contoh
Buatlah tabel kebenaran dari :
a. (pq)p
b. p(pq)
c. [(pq)(qr)](pr)
Kalimat yang selalu salah untuk setiap kombinasi nilai kebenaran penyusunnya disebut kemustahilan.
Sedangkan yang selalu benar disebut tautology atau benar logis. Dari contoh-sontoh di atas, mana yang
kemustahilan dan mana yang tautology?
2.3 Dalil-Dalil dalam Logika
Di dalam logika dikenal beberapa dalil. Dalil-dalil tersebut adalah :
1. Negasi Ganda
p  p
2. Dalil De Morgan
(pq)  pq
(pq)  pq
3. Komutatif
pq  qp
pq  qp
4. Asosiatif
p(qr)  (pq)r
p(qr)  (pq)r

5. Topik 2 Logika Matematika
2-5
5. Distributif
p(qr)  (pq)(pr)
p(qr)  (pr)(pr)
6. Idempotent
pp  p
pp  p
7. Identitas
p0  p
p1  p
8. Invers
pp  1
pp  0
9. Dominasi
p1  1
p0  0
10. Penyerapan
p(pq)  p
p(pq)  p
Contoh :
1. Dengan menggunakan dalil-dalil di atas buktikan bahwa
a) (pq)(pq) p
bukti :  (pq)(pq)
 (pq)(pq)
 p(qq)
 p0
 p
b) [[(pq)r]q]  qr
c) p[p(pq)]  p
2. Buktikan bahwa yang berikut adalah suatu tautology (dengan tabel kebenaran dan juga dengan dalil)
a. [(pq) q] p
b. {(pq)  (qr)]  (pr)

6. Topik 2 Logika Matematika
2-6
Latihan 2.1.
1. Buatlah table kebenaran untuk :
a) (pq)(-pr)
b) (pq)  (q-p)
c) [p(pq)] q
2. Tulis dalam notasi logika :
a. Hari hujan adalah syarat perlu agar 2+3=5
b. Basah dan mudah menguap adalah syarat cukup bagi bogor kota hujan
c. Menyelesaikan tugas membuat program sebelum makan siang adalah syarat perlu bagi saya
untuk mendengarkan musik
d. Kelembaban yang rendah dan banyak sinar adalah syarat cukup untuk bermain tennis siang
hari ini.
3. Jika (pq) salah, tentukan nilai kebenaran dari :
a. -pq
b. -qp
c. (p-q)(-q-p)
4. Buktikan apakah kalimat berikut tautology : [p(qr)] [(pq)(pr)].
5. Tentukan invers, konvers dan kontrapositif dari pernyataan berikut.
a. pelajaran matematika sukar atau dapat nilai A
b. Olah renang menyehatkan badan, atau 2+3=5 adalah syarat cukup bagi hidup sehat.
6. Jika didefinisikan dua kalimat berikut :
i. p(x,y) : x2y , x dan real
ii. q(x,y) : x+2<y
tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut :
a. p(1,-/2)
b. p(1/2,1/3)  q(-2,-3)
c. {[p(-3,8)  q(1,2)]  p(,1)}  [p(9,9) q(-2,-3)]
7. Jika tiga pernyataan berikut bernilai salah :
a. (pq)r
b. qr
c. p(qr)
tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut : p  (q   r)
8. Andaikan didefinisikan symbol baru, yaitu “” yang berarti “bukan …. dan ….”, sebagai contoh : pq
artinya adalah (pq), maka :
a. Buat tabel kebenaran untuk :
i. pq
ii. (p-q)  p

7. Topik 2 Logika Matematika
2-7
b. Buat kalimat berikut dengan memakai perangkai “”
i. p
ii. pq
iii. pq
iv. pq
v. pq
2.4 Pernyataan Berkuantor
Pernyataan berkuantor berkaitan dengan banyaknya unsure dalam suatu himpunan yang memenuhi suatu
konsep tertentu. Kalau pada bagian sebelumnya, yang kita sebut sebagai logika preposisi, maka sebagai unit
terkecil adalah satu preposisi tunggal (sebuah kalimat). Sedangkan dalam pernyataan berkuantor ini, sering
dikenal juga dengan logika predikat, maka yang kita menelaah unsur-unsur dalam satu kalimat. Satu kalimat
akan terdiri dari tiga komponen, yaitu :
1. Suku pengkuantifikasi, disimbolkan dengan  atau dapat juga 
2. Predikat atau sifat, disimbolkan dengan huruf besar
3. Himpunan Obyek. Himpunan disimbokan dengan huruf besar, sedangkan obyeknya dengan
huruf kecil
Sebagai contoh adalah kalimat berikut :
“Semua manusia suka kebahagiaan”
Maka dalam hal ini “
Semua : suku pengkuantifikasi (termasuk kuantifikasi umum, symbol )
Suka kebahagiaan : sifat yang dimiliki, misal disimbolkan B
Manusia : himpunan obyek, misal disimbolkan M, sedangkan obyeknya disimbolkan o
Oleh karena itu kalimat di atad dapat ditulis sebagai :
o (Mo Bo)
yang dapat dibaca :
 semua manusia suka kebahagiaan
 semua obyek, jika obyek tersebut adalah manusia maka obyek tersebut suka kebahagiaan
Secara umum ada dua jenis pernyataan berkuantor, yaitu :
1. Kuantifikasi Universal
2. Kuantifikasi eksistensial
Kuantifikasi Universal
Istilah kuantifikasi universal sering dikenal juga dengan kuantifikasi umum. Seperti telah dijelaskan di
atas, bahwa suatu kalimat berkuantor terdiri dari tiga komponen. Oleh karena itu ketiga komponen tersebut
harus muncul dalam penyimbolan.
Simbol untuk kuantifikasi universal ini adalah “”, yang dibaca “semua”. Misalkan x, maka dibaca
“semua x”. Sedangkan “” dibaca sebagai “tidak semua”.
Kalau himpunan yang beranggotakan obyek-obyek yang dibahas adalah M, dan x adalah anggota dari M,
maka disimbolkan dengan Mx atau M(x). Sedangkan jika x bukan anggota M, maka ditulis sebagai Mx atau
M(x).

8. Topik 2 Logika Matematika
2-8
Kalau kata sifat atau kata kerja dalam pernyataan berkuantor adalah P, dan x adalah obyek yang
memenuhi sifat P, maka disimbolkan dengan Px atau P(x). Sedangkan jika x tidak bersifat P, maka ditulis
sebagai Px atau P(x).
Contoh :
a. Tidak semua burung dapat terbang
Symbol : x(Bx Tx)
b. Tidak semua laki-laki tidak setia
Symbol : x(Lx  Sx)
c. Semua dosen tidak suka marah
Symbol : x(Dx  Mx)
Kuantifikasi Eksistensial
Istilah kuantifikasi eksistensial sering dikenal juga dengan kuantifikasi khusus. Simbol untuk kuantifikasi
universal ini adalah “”, yang dibaca “ada” atau “beberapa”. Misalkan x, maka dibaca “ada x” atau
“beberapa x”. Sedangkan “” dibaca sebagai “tidak ada”.
Contoh :
a. Tidak ada burung dapat terbang
Symbol : x(Bx Tx)
b. Beberapa laki-laki tidak setia
Symbol : x(Lx  Sx)
c. Ada dosen yang tidak suka marah
Symbol : x(Dx  Mx)
Catatan :
Suatu kalimat dalam kuantifikasi umum dapat diubah menjadi kuantifikasi khusus dan begitu
juga sebaliknya.
Contoh :
a. Tidak semua laki-laki tidak setia,
Artinya sama dengan : Ada laki-laki yang setia
b. Beberapa burung dapat terbang
Artinya sama dengan : Tidak semua burung tidak dapat terbang
Berikut adalah kesetaraan antar kalimat :
1. x(Bx Tx)  x (Bx  Tx)
 x  (BxTx)
 x (Bx Tx)
2. x (Bx Tx)  x (Bx Tx)
 x (BxTx)
 x (Bx Tx)

9. Topik 2 Logika Matematika
2-9
Latihan 2.2.
1. Tulis kalimat berikut dalam catatan symbol :
a. Paling sedikit ada satu bilangan bulat yang ganjil
b. Ada bilangan bulat yang ganjil
c. Setiap bilangan bulat yang merupakan kuadrat bilangan genap adalah genap
d. Beberapa bilangan bulat adalah genap
2. Ucapkan dalam kalimat
a. x (Bx Tx)
b. x(Bx Tx)
c. x (Bx Tx)
3. Perhatikan kalimat berikut : p(x,y) : y-x=y+x2
Dalam hal ini x maupun y adalah bilangan bulat. Tentukan nilai kebenaran dari kalimat berikut :
a. y p(0,y)
b. y p(1,y)
c. x,y p(x,y)
d. x y p(x,y)
e. y x p(x,y)
f. y x p(x,y)