OPTIMIZED GRAPH COLORING

Pewarnaan Titik(simpul)
TEORI GRAF
PEWARNAAN GRAF
Rukmono Budi Utomo
30115301
March 7, 2016
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Graf
1 Pewarnaan Titik(simpul)

Deﬁnisi 1
Pewarnaan Titik
Misalkan G graf tanpa lup dan sisi ganda dan memiliki k titik.
Pewarnaan titik pada graf G adalah memberikan warna berbeda
kepada titik-titik di graf G tersebut dengan tujuan setiap dua titik
yang bertetangga memiliki warna yang berbeda.

Deﬁnisi 1
Pewarnaan Titik
Secara mudah, graf G dengan k titik dapat diwarnai saja
dengan k warna yang berbeda

Deﬁnisi 1
Pewarnaan Titik
Secara mudah, graf G dengan k titik dapat diwarnai saja
dengan k warna yang berbeda
Figure: Graf G dengan 4 titik di atas diwarnai dengan 4 warna berbeda

lanjutan
Persoalannya adalah berapa banyak warna minimal yang
diperlukan untuk mewarnai sebuah graf sederhana?

lanjutan
Persoalannya adalah berapa banyak warna minimal yang
diperlukan untuk mewarnai sebuah graf sederhana?
Figure: Graf G 4 titik seperti contoh di awal dapat diwarnai dengan
hanya 2 warna berbeda saja

Bilangan Kromatik
Jumlah warna minimum yang digunakan untuk mewarnai titik-titik
pada suatu graf G disebut bilangan kromatik dari graf G dan
dinotasikan dengan χ(G)

Bilangan Kromatik
Jumlah warna minimum yang digunakan untuk mewarnai titik-titik
pada suatu graf G disebut bilangan kromatik dari graf G dan
dinotasikan dengan χ(G)
Contoh 1
Figure: Bilangan kromatik graf G di atas χ(G) = 2

Contoh 2
Figure: Bilangan kromatik graf G di atas χ(G) = 3

Teorema1
Jika ada sebuah pewarnaan k pada graf G, maka χ(G) ≤ k

Teorema1
Bukti
Jika terdapat pewarnaan k pada graf G, maka semua titik
pada graf G tersebut dapat diwarnai dengan k warna

Teorema1
Bukti
Jika terdapat pewarnaan k pada graf G, maka semua titik
pada graf G tersebut dapat diwarnai dengan k warna
Karena bilangan kromatik merupakan minimum banyaknya
warna yang digunakan untuk mewarnai semua titik pada graf
G, sedemikian sehingga syarat pewarnaan titik terpenuhi,
maka terbukti χ(G) ≤ k

Contoh 3
Figure: Bilangan kromatik graf G, χ(G) = 3 < 7 = k

Contoh 3
Figure: Bilangan kromatik graf G, χ(G) = 3 < 7 = k
Contoh 4
Figure: Bilangan kromatik graf G, χ(G) = k = 3

Teorema 2
Jika H merupakan graf bagian dari graf G, maka χ(H) ≤ χ(G)

Teorema 2
Bukti
Misalkan H merupakn graf bagian dari graf G, maka
V (H) ⊆ V (G) dan E(H) ⊆ E(G)

Teorema 2
Bukti
V (H) ⊆ V (G) dan E(H) ⊆ E(G)
Karena setiap pewarnaan titik di graf H dapat diperluas ke
sebuah pewarnaan titik di graf G, maka χ(H) ≤ χ(G)

Teorema 2
Bukti
V (H) ⊆ V (G) dan E(H) ⊆ E(G)
Karena setiap pewarnaan titik di graf H dapat diperluas ke
sebuah pewarnaan titik di graf G, maka χ(H) ≤ χ(G)
Contoh 5
Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G dengan
χ(H) = 2 ≤ χ(G) = 3

Contoh 6
Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G dengan χ(H) = χ(G) = 2

Teorema 3
Jika G1, G2, ..., Gk adalah komponen-komponen graf G, maka
χ (G) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }

Teorema 3
χ (G) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }
Bukti
Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k ditulis dengan
G1, G2, ..., Gk adalah komponen-komponen graf G yang
memiliki bilangan kromatik maksimum, katakan t

Teorema 3
χ (G) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }
Bukti
Berdasarkan hal tersebut t warna yang digunakan untuk
mewarnai semua titik di Gi , dapat digunakan untuk mewarnai
semua titik di G pada komponen selain Gi , dengan demikian
diperoleh sebuah pewarnaan t pada G

Teorema 3
χ (G) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }
Bukti
karena χ(G) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari G
serta χ(Gi ) = t, maka χ(G) ≥ χ(Gi ) = t

Teorema 3
χ (G) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }
Bukti
karena χ(G) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari G
serta χ(Gi ) = t, maka χ(G) ≥ χ(Gi ) = t
Dengan mengingat bahwa χ(G) ≤ t, maka χ(G) = t

Contoh 7
Figure: Graf G dengan komponen-komponennya G1, G2 dan G3

Teorema 4
Jika G adalah graf komplit dengan n titik, maka χ(G) = n

Teorema 4
Bukti
Karena pada graf komplit setiap dua titik berhubungan langsung,
sesuai dengan deﬁnisi pewarnaan titik maka semua titik harus
diwarnai dengan warna yang berbeda.

Teorema 4
Bukti
Karena pada graf komplit setiap dua titik berhubungan langsung,
sesuai dengan deﬁnisi pewarnaan titik maka semua titik harus
diwarnai dengan warna yang berbeda.
contoh 8
Figure: Graf komplit G dengan 4 titik memiliki bilangan kromatik
χ(G) = 4

Teorema 5
Jika G adalah graf kosong, maka χ(G) = 1

Teorema 5
Bukti
Karena graf kosong hanya terdiri dari titik-titik dan tidak ada sisi
yang menghubungkan dua titik, dengan demikian setiap titik dapat
memiliki warna yang sama.

Teorema 5
Bukti
Karena graf kosong hanya terdiri dari titik-titik dan tidak ada sisi
yang menghubungkan dua titik, dengan demikian setiap titik dapat
memiliki warna yang sama.
Contoh9
Figure: Graf kosong G memiliki bilangan kromatik χ(G) = 1

Teorema 6
Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jika
χ(G) = 2

Teorema 6
χ(G) = 2
Bukti
→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G) = 2

Teorema 6
χ(G) = 2
Bukti
karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi dua
himpunan, katakan X dan Y

Teorema 6
χ(G) = 2
Bukti
Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X. Hal ini
diperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.

Teorema 6
χ(G) = 2
Bukti
Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik di
Y dengan warna 2

Teorema 6
χ(G) = 2
Bukti
Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik di
Y dengan warna 2
Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnai
graf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G) = 2

Contoh 10
Figure: Graf bipartisi G memiliki bilangan kromatik χ(G) = 2

Bukti
← Jika graf G memiliki bilangan kromatik χ(G) = 2 maka graf
tersebut adalah bipartisi
Misalkan semua titik yang diwarnai dengan warna 1 diletakkan
dalam himpunan X dan semua titik yang diwarnai dengan
warna 2 diletakkan dalam himpunan Y .

Bukti
Hal ini menandakan titik-titik yang terletak dalam himpunan
X tidak mungkin saling berhubungan (karena memiliki warna
sama), begitu juga untuk titik- titik yang terletak dalam
himpunan Y

Bukti
Hal ini menandakan titik-titik yang terletak dalam himpunan
X tidak mungkin saling berhubungan (karena memiliki warna
sama), begitu juga untuk titik- titik yang terletak dalam
himpunan Y
Titik-titik yang terletak dalam himpunan X dan titik-titik
yang teletak dalam himpunan Y pastilah berhubungan agar
terbentuk suatu graf, dengan demikian graf yang terbentuk
adalah bipartisi.

Contoh 11
Figure: Suatu graf dengan bilangan kromatik χ(G) = 2 dan graf tersebut
bipartisi

Teorema 7
Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka
χ (Cn) =
2, n = genap
3, n = ganjil

Teorema 7
χ (Cn) =
2, n = genap
3, n = ganjil
Bukti
Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik, maka panjang sikel
Cn adalah n.

Teorema 7
χ (Cn) =
2, n = genap
3, n = ganjil
Bukti
Cn adalah n.
Jika n genap, maka Cn adalah graf bipartisi. Berdasarkan
teorema 6 bilangan kromatik Cn adalah 2.

Teorema 7
χ (Cn) =
2, n = genap
3, n = ganjil
Bukti
Cn adalah n.
Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikian
Cn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3

Teorema 7
χ (Cn) =
2, n = genap
3, n = ganjil
Bukti
Cn adalah n.
Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikian
Cn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3
misalkan titik-titik dari graf Cn dituliskan sebagai v1, v2, ..., vn

lanjutan
Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n − 2, warnai titik vi dengan
warna 1.

lanjutan
warna 1.
Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n − 1, warnai titik vi dengan
warna 2, dan terakhir warnai titik vn dengan warna 3.

lanjutan
warna 1.
Dengan demikian diperoleh sebuah pewarnaan 3 pada graf Cn,
sehingga berdasarkan deﬁnisi bilangan kromatik, χ(Cn) ≤ 3

lanjutan
warna 1.
Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3

lanjutan
warna 1.
Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3
Dengan demikian untuk Cn adalah sikel dengan n titik maka
untuk n genap χ(Cn) = 2 dan untuk n ganjil , χ(Cn) = 3
Terbukti

Contoh 12
Figure: graf C6 memiliki χ(C6) = 2 dan graf C5 memiliki χ(C5) = 3

Teorema 8
Jika G graf sederhana dengan derajat maksimum ∆(G), maka
χ(G) ≤ ∆(G) + 1

Teorema 8
χ(G) ≤ ∆(G) + 1
Bukti Bukti akan dilakukan dengan Induksi
Misalkan G graph sederhana dengan n titik, maka |V (G)| = n

Teorema 8
χ(G) ≤ ∆(G) + 1
Untuk |V (G)| = 1 maka G = K1 atau graf kosong, sehingga
χ(G) = 1 dan ∆(G) = 0. Akibatnya
χ(G) = 1 ≤ 0 + 1 = ∆(G) + 1. Dengan demikian pernyataan
benar untuk n = 1

Teorema 8
χ(G) ≤ ∆(G) + 1
benar untuk n = 1
Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan
|V (G)| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalam
pembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G)| = n

Teorema 8
χ(G) ≤ ∆(G) + 1
benar untuk n = 1
Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan
|V (G)| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalam
pembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G)| = n
Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v tersebut
sehingga terbentuk graph baru yakni Gv dengan n − 1 titik.

lanjutan
Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1
yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapat
diwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.

lanjutan
Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G)

lanjutan
Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G)) terdapat 2 kasus,yaitu :

lanjutan
1 ∆(G − v) = ∆(G)

lanjutan
1 ∆(G − v) = ∆(G)
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G) + 1 , menandakan semua titik di
G − v dapat diwarnai dengan ∆(G) + 1 warna sedemikian
hingga syarat pewarnaan terpenuhi

lanjutan
1 ∆(G − v) = ∆(G)
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G) + 1 , menandakan semua titik di
G − v dapat diwarnai dengan ∆(G) + 1 warna sedemikian
hingga syarat pewarnaan terpenuhi
Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnai
NG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G), padahal
pewarnaan ∆(G) + 1 di graf G − v, maka terdapat paling
sedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v di
G, sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnai
titik v di G. diperoleh pewarnaan∆(G) + 1 pada graf G.

lanjutan
Akibatnya, berdasarkan deﬁnisi bilangan kromatik diperoleh
χ(G) ≤ ∆(G) + 1
1 ∆(G − v) < ∆(G)
Berdasarkan asumsi diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1

lanjutan
χ(G) ≤ ∆(G) + 1
1 ∆(G − v) < ∆(G)
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G) + 1 dan χ(G − v) < ∆(G), maka
χ(G − v) < ∆(G) + 1 atau χ(G − v) ≤ ∆(G) + 1 (karena
bilangan kromatik dari graph G − v adalah bilangan bulat).
Artinya ada pewarnaan ∆(G) pada graph G − v

lanjutan
χ(G) ≤ ∆(G) + 1
1 ∆(G − v) < ∆(G)
Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warna
yang muncul di graf G − v sehingga diperoleh pewarnaan
∆(G) + 1 pada graf G.

lanjutan
χ(G) ≤ ∆(G) + 1
1 ∆(G − v) < ∆(G)
Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warna
yang muncul di graf G − v sehingga diperoleh pewarnaan
∆(G) + 1 pada graf G.
Dari kasus 1 dan kasus 2 , maka diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G) + 1

OPTIMIZED GRAPH COLORING

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (17)

Similar to OPTIMIZED GRAPH COLORING

Similar to OPTIMIZED GRAPH COLORING (7)

More from rukmono budi utomo

More from rukmono budi utomo (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)

OPTIMIZED GRAPH COLORING