Pelabelan graf memberikan pemetaan satu-satu antara elemen graf (titik atau sisi) dengan bilangan bulat positif. Terdapat empat jenis pelabelan graf yaitu pelabelan titik, pelabelan sisi, pelabelan total, dan pelabelan total titik ajaib. Pelabelan total titik ajaib memetakan titik dan sisi graf dengan bilangan sedemikian rupa sehingga jumlah label setiap titik ditambah label sisi yang menghubungkannya adalah bilangan kon
3. Definisi Pelabelan
Pelabelan Graf merupakan suatu pemetaan satu-satu yang memetakan himpunan dari
elemen-elemen graf ke himpunan bilangan bulat positif. Atau
Sebarang pemetaan atau fungsi yang memasangkan unsur-unsur graf (titik atau sisi)
dengan bilangan (biasanya bilangan bulat positif)
Jenis- jenis pelabelan graf:
1. Pelabelan Titik
2. Pelabelan Sisi
3. Pelabelan Total
4. Pelabelan Total Titik Ajaib
5. Pelabelan Titik
Pelabelan titik merupakan suatu pemetaan jika domainnya berupa himpunan titik.
Jika diberikan suatu graf G yang memiliki himpunan titik π: π πΊ β 1,2,3,4,5 dengan
π£ β π, π β π+.
Pada gambar di atas terdapat dua buah graf yaiu graf πΊ1 dan πΊ2 . Graf πΊ1 belum
berlaku pelabelan titik, sedangkan pada graf πΊ2 sudah berlaku pelabelan titik pada
graf dengan menggunakan bilangan bulat positif.
7. Pelabelan Sisi
Pada Gambar dibawah terdapat dua buah graf yaitu graf 1 dan 2. Dimana graf 1 belum
berlaku pelabelan sisi, sedangkan pada graf 2 sudah berlaku pelabelan sisi pada graf
dengan menggunakan bilangan bulat positif.
Contoh :
9. Pelabelan Total
Pelabelan total merupakan suatu pemetaan jika domainnya berupa himpunan titik dan
sisi. Jika diberikan suatu graf πΊ yang memiliki himpunan titik π: π πΊ β {1,2,3,4,5} dan
himpunan sisi π: πΈ πΊ β {π, π, π, π, π, π, β} sehingga pelabelan total dinotasikan dengan:
π: π πΊ βͺ πΈ πΊ β 1, π, 2, π, 3, π, 4, π, 5, π, π, π, β
Pada gambar diatas terdapat dua buah graf yaitu graf πΊ1 dan πΊ2. Dimana graf πΊ1 belum
berlaku paleblan total, sedangkan pada graf πΊ2 sudah berlaku pelabelan total pada graf
dengan gabungan pelabelan sisi dan pelabelan titik.
11. Pelabelan Total Titik Ajaib
Terdapat suatu graf G yang memiliki himpunan π = π(πΊ) dan himpunan sisi πΈ = πΈ(πΊ)
dimana π£ = π(πΊ) dan π = πΈ(πΊ) diberikan suatu fungsi satu-satu dan fungsi pada
dengan pemetaan yang menggunakan bilangan bulat positif {1,2, β¦ , π£ + π} sehingga
untuk setiap titik v berlaku π π£ + Ξ£π π£π = π dimana setiap titik π£ dan π saling
terhubung serta π adalah bilangan konstanta ajaib dari fungsi tersebut.
Dari gambar disamping merupakan contoh
pelabelan total titik ajaib karena dari
gambar tersebut dapat diperoleh :
π π£1 + π π1 + π π3 = 1 + 6 + 5 = 12
π π£2 + π π1 + π π2 = 2 + 6 + 4 = 12
π π£3 + π π3 + π π2 = 1 + 6 + 5 = 12
Dari perhitungan tersebut maka didapatkan
nilai π = 12
12. Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Petersen P(n,m)
Untuk melakukan pelabelan total titik ajaib pada setiap graf Petersen P (n,m) maka harus
memenuhi dua teorema yaitu :
Teorema 2.9.1 (a)
Untuk π β₯ 3,1 β€ π β€
πβ1
2
, setiap graf Petersen yang diperumum P(n,m) dapat dikatakan
pelabelan total titik ajaib apabila memiliki bilangan konstanta ajaib yaitu π = 9π + 2
Bukti:
Adapun cara pelabelan adalah sebagai berikut :
π1 π’π = 4π + 1 πΌ π, 0 + 5π + 1 β π πΌ 1, π
π1 π£π = 2π + π β 1 πΌ π, π β 1 + 3π + π β π πΌ π, π
π1 π’ππ’π+1 = 1 + π
π1 π’ππ£π = 4π β π
π1 π£ππ£π+π = π + 1 + π
Untuk π β πΌ = 0,1, β¦ , π β 1 dimana:
πΌ(π₯, π¦) α
1 ππππ π₯ β€ π¦
0 ππππ π₯ > π¦
13. Gambar 2.15 merupakan pelabelan total titik ajaib pada graf Petersen (5,2) dengan π =
9π + 2 = 9.5 + 2 = 47
14. Gambar 2.16 merupakan pelabelan total titik ajaib pada graf Petersen (6,2) dengan
π = 9π + 2 = 9.6 + 2 = 56
15. Teorema 2.91 (b)
Untuk π β₯ 3,1 β€ π β€
πβ1
2
, setiap graf Petersen yang diperumum P(n,m) dapat
dikatakan pelabelan total titik ajaib apabila memiliki bilangan konstanta ajaib yaitu
π = 10π + 2
Bukti:
Adapun cara pelabelan adalah sebagai berikut :
π2 π’π = 4π + 1 πΌ π, 0 + 5π + 1 β π πΌ 1, π
π2 π£π = π β 1 πΌ π, π β 1 + π + π β π πΌ π, π
π2 π’ππ’π+1 = π + 1 + π
π2 π’ππ£π = 3π β π
π2 π£ππ£π+π = 3π + 1 + π
Untuk π β πΌ = 0,1, β¦ , π β 1 dimana:
πΌ(π₯, π¦) α
1 ππππ π₯ β€ π¦
0 ππππ π₯ > π¦
16. Gambar 2.17 merupakan pelabelan total titik ajaib pada graf Petersen (5,2) dengan
π = 10π + 2 = 10.5 + 2 = 52
17. Gambar 2.18 merupakan pelabelan total titik ajaib pada graf Petersen (6,2) dengan
π = 10π + 2 = 10.6 + 2 = 62