Dokumen tersebut merangkum konsep-konsep dasar tentang teori graf, termasuk definisi pewarnaan simpul dan sisi, bilangan kromatik, graf kritis, serta beberapa teorema penting seperti teorema empat warna, teorema Vizing, dan teorema Shannon.

1. Disusun Oleh:
Kelompok 3
1. Endah Nisa Fauziah (15.23.1.0004)
2. Nurhayati (15.23.1.0002)
3. Sari Agustina (15.23.1.0008)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MAJALENGKA

2.  Sejarah
Pada tahun 1852, Profesor Matematika di
University College, London yang bernama
Augustus de Morgan, mempunyai seorang murid,
Francis Guthri tentang pewarnaan wilayah Inggris.
Pada tahun 1878, dalam sebuah pertemuan di
London Mathematical Society, Arthur Cayley
melontarkan permasalahan mengenai 4
pewarnaan, sejak saat itu muncul masalah 4 warna
yang kemudian menjadi sebuah persoalan yang
terkenal dalam dunia matematika.

3. Pewarnaan simpul pada graf G adalah
penentuan warna bagi setiap simpul pada graf
g sedemikian rupa sehingga tiap dua simpul
yang saling ajasen mendapat warna yang
berbeda.

4. Graf E adalah graf nol yang tergolong trivial. Karena
hanya terdiri atas satu simpul, dengan sendirinya dapat
diwarnai simpul graf E dengan 1 warna.
Graf F terdiri atas 3 simpul, dapat diwarnai dengan
dua warna. Misalnya warna 1 dan warna 2. Tentu saja
F dapat diwarnai dengan 3 warna, yaitu warna 1,
warna 2, dan warna 3.
Graf G termasuk graf bipartit
dan terkenal dengan sebutan
graf Herschel. Graf ini dapat
diwarnai dengan 2 warna (setiap
graf bipartit dapat diwarnai
dengan dua warna).

5.  Definisi 1.17
Pewarnaan k-simpul graf G adalah
pemasangan k warna 1, 2, ..., k pada simpul
simpul dari G. Pewarnaan ini termasuk
pewarnan sejati jika tak ada dua simpul yang
saling ajasen mempunyai dua warna yang
sama.
 Definisi 1.18
Graf g disebut graf yang terwarnai dalam k
simpul, jika G mempunyai pewarnaan sejati
dalam k simpul.

6.  Contoh 1.29
Graf E, graf F dan graf G pada gambar 1.71
berturut-turut termasuk graf yang terwarnai
dalam 1 warna, 2 warna dan 2 warna.
 Definisi 1.19
Bilangan kromatik dari sebuah graf G
adalah nilai minimum k demikian sehingga G
merupakan graf yang terwarnai dalam k
warna. Jika , maka dikatakan bahwa G adalah
k-kromatik.

7. Gambar G1 merupakan graf nol, yang termasuk graf trivial. Pada graf ini terdapat
sebuah simpul, sehingga tidak ada simpul lain yang ajasen dan dapat
disimpulkan bahwa jika dan hanya jika G1 adalah graf nol.
G2 termasuk graf bipartit yang memiliki seasang simpul yang saling ajasen. Tiap-
tiap graf bipartit simpul-simpulnya dapat dipastisikan dalam 2 himpunan demikian
sehingga tiap simpul pada partisi prtama tidak saling ajasen seperti halnya simpul
simpul pad apartisi kedua. Yang ajasen adalah beberapa simpul pada partisi
pertama yang dihubungkan dengan partisi kedua, sehingga pewarnaan simpulnya
cukup digunakan 2 saja, yaitu warna 1 untuk simpul-simpul pada partisi pertama
dan warna 2 untuk simpul-simpul pada partisi kedua. Oleh karena itu, bilangan
kromatik G2 adalah 2. Secara umum dapat ditunjukkan bahwa sebuah graf
mempunyai bilangan kromatik 2 jika dan hanya jika graf tersebut termasuk graf
bipartit.

8. G3 adalah graf yang termasuk siklus
dengan jumlah simpul genap. Tiap-tiap
siklus dengan simpul genap memiliki
bilangan kromatik 2, sedangkan yang
jumlahnya ganjil, memiliki bilangan
kromatik 3.
G4 memuat graf bagian berbentuk
segitiga (siklus dengan 3 simpul). Tiap
graf yang memuat graf bagian seperti
itu paling sedikit mempunyai bilangan
kromatik 3, karena selalu muncul 3
simpul yang saling ajasen satu sama
lain.

9. Graf lengkap dalam n simpul, yang diberi notasi Kn setiap
simpulnya ajasen dengan semua simpul lainnya, yang
berarti bilangan kromatik dari graf lengkap sama dengan
jumlah simpulnya. Terdapat hubungan antara bilangan
kromatik sebuah graf dengan bilangan kromatik graf
bagian sejatinya. Hubungan ini muncul dalam pengertian
graf kritis. Graf kritis pertama kali diteliti oleh Dirac pada
tahun 1952.

10.  Definisi 1.20
Sebuah graf G disebut graf kritis, jika untuk setiap graf
bagian sejati H dari gaf G berlaku χ(H)<χ(G).
 Contoh 1.32
Graf K2 mempunyai bagian graf berupa sebuah graf yang
hanya terdiri dari simpul tunggal, sebuah graf yang hanya
terdiri ata dua simpul tanpa sisi, dan sebuah graf bagian
lain yang hanya memuat sebuah simpul. Kedua graf bagian
yang hanya terdiri atas sebuah simpul mempunya bilangan
kromatik 1, sedangkan graf bagian yang memuat dua
simpul tunggal tanpa sisi mempunyai bilangan kromatik 1
pula, karena antara satu simpul tidak ajasen dengan simpul
lainnya. Ini memperlihatkan bahwa K2 mempunyai bilangan
kromatik 1. Dari contoh 1.31 dapat diketahui bahwa K2
mempunyai bilangan kromatik 2, dengan demikian K2
termasuk graf kritis

11.  Contoh 1.33
Graf di bawah dikenal dengan sebuah Graf
Grotzsch. Graf ini termasuk 4 kritis.

12.  Teorema 1.27
 Jika G termasuk graf k-kritis, maka .

13.  Akibat 1.33
Setiap graf kromatik mempunyai paling sedikit
k simpul, dengan derajat paling sedikit k-1.
 Bukti
Misalkan G adalah sebuah graf k-kromatik, dan
H sebagai graf bagian k-kritis dari G. Sesuai
dengan Teorema 1.32, tiap simpul dari H
mempunyai derajat paling sedikit k-1 dalam H,
dan dengan demikian juga termasuk dalam G.
Karena H, yang termasuk dalam graf k-kromatik,
mempunyai paling sedikit k simpul, maka Akibat
1.33 terbukti.

14.  Akibat 1.34
Untuk setiap graf G berlaku .
 Teorema 1.35 (Teorema Brook)
Jika G adalah graf terhubung sederhana,
tidak memuat siklus dan tidak merupakan graf
lengkap, maka berlaku .

15. Konsep dasar pewarnaan sisi, mempunyai
kesamaan prinsip dengan pewarnaan simpul.
Pada pewarnaan sisi dua sisi yang saling ajasen
mendapat warna yang berlainan.
 Contoh 1.33
Graf F mempunyai 3 sisi dan F terwarnai
dalam warna, misalnya warna 1, 2, dan 3. Pada
gambar yang sama graf G yang memiliki 4 sisi
termasuk graf yang terwarnai dalam 2 warna.

16. Graf G dapat diwarnai dalam 3 atau 4 warna
yang berbeda. Namun umumnya yang menjadi
masalah adalah berapa jumlah minimum warna yang
diperlukan untuk mewarnai sisi tersebut agar tiap dua
sisi yang saling ajasen mempunyai warna yang
berlainan. Dalam teori graf, sebuah graf disebut graf
yang terwarnai dalam k-warna, jika graf tersebut dapat
diwarnai dengan k warna demikian sehingga sisi-sisi
yang saling ajasen memiliki warna yang berlainan.
Graf F mempunyai 3 sisi dan F terwarnai dalam
warna, misalnya warna 1, 2, dan 3.

17.  Definisi 1.21
Sebuah pewarnaan k-sisi dari sebuah graf G
yang tanpa loop, adalah sebuah pemasangan k
warna 1, 2, ..., k pada sisi-sisi graf G.
Pewarnaan tersebut dinamakan pewarnaan
sejati, jika warna tiap sisi yang saling ajasen
memiliki warna yang berlainan.
 Definisi 1.22
Graf G disebut terwarnai dlam k warna jika
G mempunyai pewarnaan sejati dalam k warna

18.  Contoh 1.34
Pada gambar di bawah graf F termasuk graf
yang terwarnai dalam 1 warna, sedangkan graf
G termasuk graf yang terwarnai dalam 2
warna.

19.  Definisi 1.23
 Definisi 1.24
Graf G disebut k kromatik dalam k sisi, jika
.

20. Graf pada tiap-tiap teorema ini diasumsikan
mempunyai simpul paling sedikit sama dengan
jumlah warna yang dimaksud. Misalnya, dalam
teorema 4 warna, grafnya mempunyai paling
sedikit 4 simpul
 Teorema 1.36 (Teorema 4 warna)
Setiap graf planar dapat diwarnai denga 4 warna.
 Teorema 1.37
Setiap graf planar dapat diwarnai dengan 6 warna.
 Teorema 1.38
Setiap graf planar dapat diwarnai dengan 5 warna.

21.  Lemma 1.39
Misalkan G adalahgraf terhubung yang tidak
merupakan siklus genap. Maka G mempunyai
pewarnaan 2 sisi yang kedua warnanya
direpresentasikan dngan derajat paling sedikit
dua pada masing-masing simpulnya.
 Lemma 1.40
Misalkan G adalah graf terhubung yang
tidak merupakan siklus ganjil. Maka sisi-sisi G
terwarnai dalam 2-warna. Kedua warna
tersebut dinyatakan pada simpul berderajat
paling sedikit 2.

22.  Lemma 1.41
Misalkan merupakan
pewarnaan k-sisi yang optimal dari graf G. jika
terdapat sebuah simpul u pada G dan warna i
serta j demikian sehingga i tidak
direpresentasikan pada u dan j
direpresentasikan paling sedikit di u, maka
komponen dari yang memuat u
merupakan siklus ganjil.
 Kedua lemma ini digunakan untuk
membuktikan teorema berikut.

23.  Teorema 1.42 ( Teorema Koing)

24.  Teorema 1.43 ( Teorema Vizing)

25.  Teorema 1.44 (Teorema Vizing – Versi
Perluasan)
Jika G merupakan graf sederhana, dan h
merupakan jumlah sisi yang menghubungkan
dua simpul yang berlainan, maka berlaku

26.  Teorema 1.45 (Teorema Shanon)
 Jika G adalah graf sederhana, maka berlaku

27.  Teorema 1.46
 Untuk setiap graf lengkap Kn, berlaku

28. Terima Kasih
Wassalamualaikum warrohmatullohi wabarokatuh