Dokumen tersebut membahas soal latihan graf planar dan homomorfisme graf K3,3. Pertama, dijelaskan cara menggambar graf planar tanpa persilangan dan menentukan planaritas graf. Kedua, dibahas tentang graf planar terhubung reguler dan rumus untuk menentukan jumlah simpulnya. Ketiga, dijelaskan cara menentukan graf mana yang homomorfik dengan K3,3.

1. MATEMATIKA DISKRIT 2
PEMBAHASAN
SOAL LATIHAN 2.1
No. 2,3,5,9
KELOMPOK 7 :
1. AIDIL FAJAR AKBAR
2. MERY APRIYANI HUTABARAT
3. RIO GUNANTA SEMBIRING
4. RAHMAD IDRIS HASIBUAN
5. MUHAMMAD KHAIRI
6. NURHAYATI RITONGA
7. SITI RAHMI RITONGA
PENDIDIKAN MATEMATIKA
MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2013

2. LATIHAN 2.1
2. Gambarlah graf planar berikut ini dengan jalur-jalur tidak ada
yang berpotongan.
3. Apakah setiap graf berikut ini planar ? Jika ya, tunjukkan graf
planarnya tanpa jalur-jalur bersilangan.
5. Misalkan graf planar terhubung G adalah reguler (graf yang
derajat setiap simpulnya sama) mempunyai 30 jalur. Kalau
planar dari G membagi bidang menjadi 20 muka, berapa banyak
simpul yang dimiliki graf G ?
6. Yang mana diantara graf berikut ini homorpik K3,3 ?
a a b c b c
a
e f d
b d c d e f f e

3. Penyelesaian :
2. (a) Graf disamping disebut graf planar
karena dapat dibentuk sedemikian
sehingga tidak ada jalur yang
bersilangan.
Graf disamping menunjukkan tidak ada
lagi jalur yang bersilangan
(b) Graf disamping disebut graf planar
karena dapat dibentuk sedemikian
sehingga tidak ada jalur yang
bersilangan.
Graf disamping menunjukkan tidak ada
lagi jalur yang bersilangan

4. (c) Graf disamping bukan merupakan graf
planar karena tidak dapat dibentuk
sedemikian sehingga masih ada jalur
yang berilangan.
3. (a)
Graf di samping bukan
merupakan graf planar, karena
jika digambar di bidang
sedemikian sehingga masih
terdapat jalur yang bersilangan.
Bukti :
Menggunakan teorema Euler
(i) Akan ditunjukkan graf di atas tidak planar.
(ii) Graf di atas mempunyai 6 simpul 9 jalur
(iii) Andaikan graf diatas planar, maka teorema euler berlaku
n-m+f = 2 6-9+f=2 f = 2+3 f = 5, hal ini
menunjukkan graf tersebut mempunyai 5 daerah.
(iv) Graf di atas menunjukkan tidak ada simpul yang
terhubung satu sama lain, ini menunjukkan bahwa
derajat setiap daerah adalah 4 atau lebih sehingga
jumlah derajat pada graf ini adalah 4×5=20 atau lebih
dari 20. Menurut teorema Jabat tangan bahwa
maka atau lebih dari 10. Hal ini bertentangan

5. dengan graf di atas yang mempunyai 9 jalur. Maka
terbukti bahwa graf di atas tidak planar.
(b)
Graf di samping bukan
merupakan graf planar, karena
jika digambar di bidang
sedemikian sehingga masih
terdapat jalur yang bersilangan.
Bukti :
Menggunakan teorema Euler
(i) Akan ditunjukkan graf di atas tidak planar.
(ii) Graf di atas mempunyai 6 simpul 9 jalur
(iii) Andaikan graf diatas planar, maka teorema euler berlaku
n-m+f = 2 6-9+f=2 f = 2+3 f = 5, hal ini
menunjukkan graf tersebut mempunyai 5 daerah.
(iv) Graf di atas menunjukkan tidak ada simpul yang
terhubung satu sama lain, ini menunjukkan bahwa
derajat setiap daerah adalah 4 atau lebih sehingga
jumlah derajat pada graf ini adalah 4×5=20 atau lebih
dari 20. Menurut teorema Jabat tangan bahwa
maka atau lebih dari 10. Hal ini bertentangan
dengan graf di atas yang mempunyai 9 jalur. Maka
terbukti bahwa graf di atas tidak planar.
(c)
Graf di samping merupakan graf
planar, karena jika digambar di
bidang sedemikian sehingga tidak
terdapat jalur yang bersilangan.

6. 5. Diketahui : G adalah graf planar terhubung regular (graf yang
derajat setiap simpulnya sama)
Ditanya : banyak simpul
Penyelesaian :
Menggunakan teorema Jabat tangan :
Menurut teorema Euler :
Substitusi (*) ke pers. (**) :
Substitusi ke pers (*) :

7. 9. (a)
Graf K3,3
a
Graf di samping tidak homomorfik
dengan K3,3 karena tidak ada simpul
e f yang berderajat 2 melainkan
isomorfik dengan graf K3,3 karena
i. Banyak simpulnya sama yaitu 6
b d c ii. Banyak jalurnya sama yaitu 9
iii. Derajat simpul yang bersesuaian
sama
(b)
Graf K3,3
Graf di samping tidak homomorfik dengan
K3,3 karena jika terjadi penambahan
maupun pengurangan simpul berderajat 2
a b c
mka simpulnya lebih dari 6 atau kurang
dari 6 maka bertentangan dengan graf K3,3
yang mempunyai 6 simpul. Melainkan graf
disamping merupakan subgraf dari graf K3,3
karena terjadi penghapusan jalur yaitu jalur
ae, bf, dan ce.
d e f

8. (c) b c Graf di samping tidak homomorfik
dengan graf K3,3 karena tidak ada
a simpul yang berderajat dua.
d
f e