1. 1
TUGAS MATA KULIAH TEORI GRAF
PEMBUKTIAN DELETION-CONTRACTION THEOREM SERTA
PENERAPANNYA DALAM PEMBUATAN JADWAL UJIAN AKHIR
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
Disusun oleh:
1. Wigati P. Putri 07305141038
2. Ratnasari Dwi Ambarwati 10305141004
3. Meita Putri Rahayu 10305141005
4. Dwi Prihastuti 10305141020
5. Amalia Sita Nursanti 10305141038
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2012

2. 2
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Matematika memiliki beberapa pokok bahasan, salah satunya adalah graf.
Graf adalah himpunan tak kosong berhingga, yang terdiri dari himpunan rusuk dan
himpunan simpul yang himpunan simpulnya tidak boleh kosong. Graf biasa
digunakan sebagai visualisasi obyek-obyek agar lebih mudah dimengerti.
Graf merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang dapat diterapkan baik
dalam ilmu matematika maupun dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu topik pada
graf adalah pewarnaan graf. Pewarnaan graf dibagi menjadi dua macam, yaitu
pewarnaan simpul dan pewarnaan rusuk. Akan tetapi, jika tidak diberikan
kualifikasinya, pewarnaan graf diartikan sebagai pewarnaan simpul dan pada makalah
ini dikhususkan pada pewarnaan simpul. Mewarnai sebuah graf berarti memberi
warna pada setiap simpul graf sedemikian hingga simpul dan rusuk yang berikatan
dapat diwarnai dengan warna yang berbeda.
Misalkan G adalah graf sederhana, banyaknya warna yang digunakan untuk
mewarnai simpul graf G sedemikian sehingga simpul yang berikatan berlainan warna
dinyatakan dengan k-pewarnaan. Jika G memiliki k-pewarnaan, maka G dikatakan
dapat diberi warna dengan k warna. Pada pewarnaan simpul, jumlah warna yang
boleh dipergunakan haruslah seminimal mungkin. Jumlah warna paling minimum
yang dapat diterapkan pada graf ini sering disebut dengan bilangan kromatik
(χ(G)). Salah satu metode yang digunakan untuk mewarnai graf adalah dengan
menggunakan polinomial kromatik.
Pewarnaan graf dapat diaplikasikan pada berbagai permasalahan sehari-hari,
beberapa contoh diantaranya yaitu saluran televisi ditentukan ke pemancar-pemancar,
sedemikian sehingga tidak ada dua pemancar dapat beroperasi pada saluran yang
sama dalam jarak tertentu, struktur organisasi, bagan alir pengambilan mata kuliah,
peta, rangkaian listrik, dan lain-lain.
Makalah ini, membahas tentang penerapan pewarnaan simpul dalam penjadwalan
ujian dengan metode Deletion-Contraction Theorem. Dalam masalah penjadwalan

3. 3
yang dinyatakan dalam bentuk graf, simpul menyatakan mata kuliah dalam jadwal.
Rusuk antar dua buah simpul menyatakan bahwa kedua buah mata kuliah tidak dapat
dikerjakan secara bersamaan. Warna menunjukkan waktu yang tersedia. Setiap mata
kuliah membutuhkan satu waktu. Jadi dapat dituliskan: simpul v menerima mata
kuliah i jika dan hanya jika v dieksekusi dalam waktu i. Sehingga graf k-warna berarti
semua mata kuliah dapat dikerjakan dalam k waktu secara tidak bersamaan.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan diatas, maka rumusan masalah
yang dapat diajukan adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana pembuktian Deletion-Contraction Theorem?
2. Bagaimana cara menentukan banyaknya bilangan kromatik pada suatu graf
dengan metode Deletion-Contraction Theorem?
3. Bagaimana penerapan pewarnaan simpul pada kasus penjadwalan ujian
kuliah dengan metode Deletion-Contraction Theorem?
C. Tujuan
Tujuan dari makalah ini adalah sebagai berikut:
1. Membuktikan Deletion-Contraction Theorem.
2. Menentukan banyaknya bilangan kromatik pada suatu graf dengan metode
Deletion-Contraction Theorem.
3. Menyelesaikan kasus penjadwalan ujian kuliah dengan metode Deletion-
Contraction Theorem.
D. Manfaat
Hasil penelitian ini bermanfaat sebagai tambahan literatur bagi mahasiswayang
sedang mempelajari mengenai pewarnaan simpul, khususnya bilangan kromatik
dengan metode Deletion-Contraction Theorem serta contoh penerapannya.

4. 4
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Pengertian Graf
Graf adalah himpunan tak kosong berhingga, yang terdiri dari himpunan rusuk
dan himpunan simpul yang himpunan simpulnya tidak boleh kosong. Notasi graf:
G(V,E) artinya graf G memiliki V simpul dan E rusuk.
Simpul-simpul pada graf dapat merupakan obyek sembarang seperti kota,
nama orang, jenis buah, komponen alat elektronik dan sebagainya. Rusuk dapat
menunjukkan hubungan sembarang seperti rute penerbangan, jalan raya,
sambungan telepon, ikatan kimia, dan lain-lain.
B. Pewarnaan Graf
Pewarnaan graf terbagi menjadi dua macam yaitu pewarnaan simpul dan
pewarnaan rusuk.
1. Pewarnaan simpul didefinisikan sebagai berikut :
Misalkan G adalah graf sederhana, k-pewarnaan untuk G menyatakan
penggunaan sebanyak k-warna untuk simpul G sedemikian hingga simpul-simpul
yang berikatan mendapat warna yang berbeda. Jika G memiliki k-pewarnaan, maka
G dikatakan dapat diwarnai dengan k-warna (Wilson dan Watkins, 1989: 235).
Berikut adalah contoh pewarnaan simpul pada graf G .
Gambar 1. Pewarnaan Simpul pada Graf G

5. 5
Gambar 1(a), (b), dan (c) secara berturut-turut adalah 3-pewarnaan, 4-pewarnaan,
dan 5-pewarnaan dari graf G . Gambar 1 (d) bukan merupakan pewarnaan simpul
dari graf G , karena terdapat dua simpul berikatan yang memiliki warna sama.
2. Pewarnaan rusuk didefinisikan sebagai berikut :
Misal G adalah graf sederhana, k-pewarnaan rusuk untuk G adalah pemberian
sebanyak k warna pada rusuk-rusuk G sedemikian hingga setiap dua rusuk yang
bertemu dengan simpul yang sama mendapat warna berbeda. Jika G memiliki k-
pewarnaan rusuk, maka rusuk graf G dikatakan dapat diwarnai dengan k warna
(Wilson dan Watkins, 1989: 240).
Berikut adalah contoh pewarnaan rusuk pada graf G
Gambar 2. Pewarnaan Rusuk pada Graf G
Gambar 2 (a), (b), dan (c) secara berturut-turut adalah 4-pewarnaan rusuk, 5-
pewarnaan rusuk, dan 6-pewarnaan rusuk dari graf G. Gambar 2 (d) bukan
merupakan pewarnaan rusuk dari graf G, karena terdapat dua rusuk berwarna sama
yang bertemu pada simpul yang sama.

6. 6
BAB III
PEMBAHASAN
A. Pewarnaan Simpul
Pewarnaan simpul pada graf adalah suatu pemetaan dari himpunan simpul ke
himpunan warna sedemikian sehingga setiap dua simpul yang berikatan mempunyai
warna yang berbeda. Misalkan G adalah graf sederhana, k-pewarnaan untuk G
menyatakan penggunaan sebanyak k-warna untuk simpul G. (Wilson dan Watkins,
1989: 235).
Pewarnaan graf dapat dilakukan dengan menggunakan Algoritma Welsh dan
Powell. Algoritma ini memberikan cara mewarnai sebuah graf dengan memberi label
simpul-simpulnya sesuai dengan derajatnya. Langkah-langkahnya sebagai berikut:
Langkah 1 Setiap simpul pada graf diberi label sesuai dengan derajatnya. Simpul
diurutkan mulai dari yang berderajat terbesar sampai dengan derajat terkecil. Simpul
diberi nama , sedemikian hingga
atau membentuk barisan tidak naik.
Langkah 2 Memberikan warna pertama pada simpul yang pertama (yang
berderajat terbesar) pada daftar simpul tersebut. Kemudian dicari simpul yang tidak
berdekatan dengan simpul yang pertama tadi kemudian warnai simpul tersebut
dengan warna yang sama dengan warna simpul yang pertama. Lakukan terus menerus
sesuai urutan sampai tidak ada lagi yang tidak berdekatan.
Langkah 3 Jika ada simpul yang belum berwarna, maka ulangi lagi langkah ke 2
dengan warna yang berbeda sampai semua simpul telah diberi warna.
Langkah 4 (selesai). Pewarnaan graf sudah selesai.
B. Polinomial Kromatik
Misal G merupakan graf sederhana, dan adalah banyak cara mewarnai
simpul G dengan k warna sedemikian hingga dua simpul yang berikatan mendapat
warna yang berbeda. Fungsi disebut polinomial kromatik G atau suku banyak
kromatik G .

7. 7
Contoh berikut dapat menjelaskan alasan banyak pewarnaan-k dari G harus
menjadi polinomial dalam k, dengan k adalah bilangan bulat positif. Jadi:
Contoh 1
Gambar 3. Polinomial Kromatik pada Graf
adalah graf lengkap-3. Simpul puncak dapat diberi warna sembarang dari
k warna tersebut. Simpul di sebelah kirinya dapat diberi warna sembarang dari (k-1)
warna yang belum diberikan pada simpul puncak. Simpul di sebelah kanan simpul
puncak dapat diberi warna sembarang dari (k-2) warna yang belum terpakai.
Sehingga, banyak cara mewarnai adalah atau
(Wilson dan Watkins, 1989: 237, 238).
Contoh 2
Gambar 4. Polinomial Kromatik pada Graf
Jika G adalah lintasan graf P3 simpul paling kiri dapat diwarnai dengan sebanyak
k-warna, simpul tengah dapat diwarnai dengan k-1 warna selain warna yang
diberikan pada simpul kiri, dan simpul kanan dapat diwarnai dengan k-1 warna yang
sama dengan simpul tengah. Pemberian warna pada tidak tunggal, sehingga jika
simpul tengah diberikan sebanyak k warna, maka simpul kiri diberi k-1 warna selain
warna yang diberikan pada simpul tengah, begitu juga pada simpul kanan diberi
warna sebanyak k-1 warna selain yang warna yang diberikan pada simpul tengah.
Sehingga, banyak cara mewarnai adalah atau .
Berdasarkan contoh diatas, dapat disimpulkan bahwa:
Jika G adalah pohon dengan n-simpul, maka .
k k-1 k-1

8. 8
Dari kesimpulan tersebut, didapat bahwa graf non-isomorfis mempunyai
polinomial kromatik yang sama.
Jika polinomial kromatik diketahui, maka bilangan kromatik suatu graf dapat
dihitung dengan mudah, karena bilangan kromatik graf G adalah bilangan bulat
positif terkecil k yang memenuhi
Jika cara untuk menentukan polinomial kromatiknya sudah ditemukan, maka
dapat diturunkan sebuah algoritma untuk menentukan bilangan kromatik.
Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa
Sehingga,
dimana G, G e, dan G e seperti graf berikut:
Gambar 5. G, G e, dan G e
Dengan G e didapat dari G dengan menghapus rusuk e. G e didapat dari G
dengan memampatkan rusuk e. Gagasan tersebut menghasilkan sebuh teorema, yang
disebut Deletion-Contraction Theorem.
C. Pembuktian teorema Deletion-Contraction Theorem
Teorema
Misal G adalah graf sederhana, dan G e serta G e adalah graf yang diperoleh
dari G dengan menghapus dan memampatkan suatu rusuk e. Maka,
G G e
e
G e
e

9. 9
Pembuktian:
Misal e = vw adalah rusuk dari G. G e adalah graf yang secara umum diperoleh
dengan menghapus rusuk e dan G e adalah graf yang diperoleh dengan
memampatkan rusuk e.
Jika simpul v dan w pada graf G e diberikan warna berbeda, maka banyak cara
mewarnai G e sama dengan banyak cara mewarnai G. Jika simpul v dan w pada graf
G e diberikan warna sama, maka banyak cara mewarnai G e sama dengan banyak
cara mewarnai G e. Sehingga, jumlah total pewarnaan-k untuk G e adalah
Contoh:
Gambar 6. Pembentukan Polinomial Kromatik Graf G

10. 10
Diperoleh bahwa:
Karena dengan adalah K
minimal sehingga > 0, maka . (Wilson dan Watkins, 1989:240)
D. Penerapan Pewarnaan Simpul pada Kasus Penjadwalan Ujian Kuliah
dengan Metode Deletion-Contraction
Salah satu aplikasi pewarnaan simpul dalam kehidupan sehari-hari adalah kasus
penjadwalan ujian kuliah. Misalkan, terdapat 10 mahasiswa yang akan mengikuti
ujian kuliah. Pada prodi Matematika terdapat lima mata kuliah yang akan diujikan,
yaitu FPK, Aljabar Abstrak, Teori Graf, Sistem Geometri, dan Statistika Matematika,
mata kuliah tersebut disimbolkan secara berurutan sebagai berikut A, B, C, D, dan E.
Setiap mahasiswa memilih dua mata kuliah yang berbeda, matriks mahasiswa dan
mata kuliahnya adalah sebagai berikut:
Tabel 2. Matriks Mahasiswa dan Mata Kuliah
A B C D E
1 0 1 0 1 0
2 1 1 0 0 0
3 0 0 1 0 1
4 0 0 0 1 1
5 1 0 0 1 0
6 0 1 0 1 0
7 1 0 1 0 0
8 1 0 0 0 1
9 1 0 0 1 0
10 0 0 0 1 1
Tentukan banyaknya jadwal ujian yang dapat dibuat sedemikian rupa sehingga
semua siswa dapat mengikuti ujian mata kuliah tersebut tanpa ada kesulitan waktu.

11. 11
Solusi: Masalah penjadwalan ujian ini dapat diselesaikan dengan menggunakan
metode pewarnaan simpul, dengan simpul mewakili mata kuliah dan rusuk antara dua
simpul mewakili bahwa ada mahasiswa yang mengambil kedua mata kuliah yang
diwakili simpul-simpul tersebut, sehingga ujian kedua mata kuliah yang diambil
mahasiswa tersebut tidak dapat dilakukan bersamaan.
Masalah tersebut dapat dibuat dalam bentuk graf, yaitu sebagai berikut
Gambar 7. Graf Representasi Masalah Penjadwalan Ujian
Dengan menggunakan metode Deletion-Contraction, maka:
Gambar 8. Pembentukan Polinomial Kromatik dengan Metode Deletion-
Contraction

12. 12
dengan polinomial Kromatiknya yaitu:
Karena =0, =0, =0, dan =6, adalah K minimal,
sehingga > 0.
Jadi, bilangan kromatik dari graf tersebut adalah 3.
Dari kesimpulan tersebut, terdapat 3 jadwal yang dapat dibuat agar setiap mahasiswa
tidak mendapatkan jadwal ujian dua mata kuliah yang diambil dalam waktu yang
bersamaan.
Untuk menentukan pewarnaan graf pada graf tersebut, akan di tentukan dengan
menggunakan Algoritma Welsh-Powell:
1. Memberikan label simpul sedemikian sehingga

13. 13
2. Memberi warna merah pada simpul v1, karena v1 berikatan dengan v2, v3, v4,
dan v5 maka tidak ada simpul lain yang mempunyai warna yang sama dengan
v1.
3. Memberi warna biru pada simpul v2, berikan warna yang sama pada simpul-
simpul yang tidak berikatan dengan v2 yaitu v5.
4. Memberi warna hijau pada simpul v3, berikan warna yang sama pada simpul-
simpul yang tidak berikatan dengan v3 yaitu v4.
5. Karena semua simpul sudah diberi warna maka algoritma selesai.
Berdasarkan pewarnaan simpul dengan menggunakan algoritma Welsh-Powell,
maka peroleh:
simpul diberi warna merah,
simpul diberi warna hijau,
simpul diberi warna biru,
sehingga terdapat 3 macam warna pada graf tersebut.

14. 14
BAB IV
PENUTUP
A. KESIMPULAN
1. Berdasarkan pembahasan di atas maka Deletion-Contraction Theorem terbukti.
2. Penentuan banyaknya bilangan kromatik dengan metode Deletion-Contraction
Theorem yaitu:
3. Salah satu aplikasi penghitungan banyaknya cara memberikan warna simpul
yang menggunakan Deletion-Conttraction Theorem adalah pembuatan jadwal
ujian Prodi Matematika FMIPA UNY.
B. SARAN
Deletion-Contraction Theorem sebaiknya digunakan untuk menghitung
banyaknya pewarnaan simpul pada graf yang rumit.

15. 15
DAFTAR PUSTAKA
----. ----. MateriPewarnaanGraf. Diakses dari http://www.itt elkom.ac.id pada Sabtu,
10 November 2012 pukul 7:08 PM
Devadas, Srini dan Eric Lehman. 2005. Graph Teory II. Diakses
darihttp://files.myopera.com/m4th03/files/vertex_coloring_graph.pdf pada Sabtu,
10 November 2012 pukul 6:42 PM
Maaruf, Faridah. ----. Pengenalan Teori Graf. Diakses dari
http://books.google.co.id/books?id=teQ1aMau9i8C&pg=PA113&lpg=PA113&d
q=cara+menentukan+polinomial+kromatik&source=bl&ots=p9KCYF0gog&sig=
yhqKLURDCZAsqHttx8zDlfdQ5zY&hl=id&sa=X&ei=fTqgUKvklcqVmQW4y
YHQCA&ved=0CBoQ6AEwAA#v=onepage&q&f=falsepada Rabu, 14
November 2012 pukul 16.00 PM
Priatna, Nanang. ----. Pewarnaan Graf. Diakses dari
http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/196303311
988031-NANANG_PRIATNA/Pewarnaan_Graph.pdf pada Rabu, 14 November
2012 pukul 16.00 PM
Wilson, Robin J.& John J. Watkins. 1990. Graphs: An Introducing Approach.
Singapore