####

1. HIPERBOLA
1. Persamaan Hiperbola Berpusat di (0, 0)
Gambar berikut merupakan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0). Titik F1 (c, 0) dan F2 (-c,
0) merupakan fokus, sedangkan selisih jarak sembarang titik T(x, y) ke kedua fokus
tersebut sama dengan 2a.
Gambar 1
Persamaan hiperbola di atas dapat diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut:
TF2 – TF1 = 2a
………………………………………………… = 2a
………………………………………………….= 2a + …………………………………...
………………………………………………….=…………………………………………
………………………………………………….= ………………………………………...
………………………………………………….=…………………………………………
………………………………………………….=…………………………………………
………………………………………………….=…………………………………………
Perlu diketahui bahwa nilai a2
– c2
negatif, sebab c > a, misalkan nilai tetap tersebut diganti
dengan –b2
, akan diperoleh –b2
x2
+ a2
y2
= –a 2
b2
maka persamaan hiperbola yang berpusat
di titik (0, 0), focus F1 (c, 0) F2 ( –c, 0) adalah
atau
F2
(-c,0)
T(xo
, yo
)
F1
(c,0)
x
.....
...
...
...
...
=−………………= ……
y

2. untuk c2
= a2
+ b2
, a, b, dan c bilangan positif.
 Hiperbola memotong sumbu X di (a, 0) dan (–a, 0), jarak antara dua titik tersebut
yaitu 2a dinamakan sumbu mayor. Sumbu X disebut sumbu utama, sedangkan
sumbu Y disebut sumbu sekawan. Jarak antara (0, b) dan (0, –b), yaitu 2b, disebut
sumbu minor atau panjang sumbu sekawan.
 Tali busur (L) yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu mayor disebut latus
rectum yang panjangnya dinyatakan dengan rumus.
 Persamaan asimtot
Pada hiperbola pada gambar 1 terdapat dua buah garis yang membatasi kurva
sedemikian sehingga kurva tidak memotong garis tersebut. Persamaan garis tersebut
dinamakan Persamaan asimtot, dan dapat diperoleh dari proses berikut ini.
b2
x2
– a2
y2
= a2
b2
...............................= a2
b2
( )
...
......
...
............ −
= ……
…………………...=…….
……=…………………………….
……=…………………………….
Untuk ∞→x , maka 2
2
x
a
mendekati 0, sehingga
x
a
b
y
a
b
x
y
±=⇔±=
Jadi, persamaan asimtot hiperbola adalah
……………………………
a
b
L
2
2
=

3. Direktrik dan Eksentrisitas
Pada hiperbola ditemukan 1
mayor)(sumbu
y
minor)(sumbu
x
2
2
2
2
−=− , sehingga
perbedaan antara hiperbola horizontal (fokus pada sb-x) dengan hiperbola vertikal
(fokus pada sb-y) tidak ada.
• Jika 12
2
2
2
+=−
b
y
a
x
, maka hiperbola adalah horizontal, sumbu mayor sepanjang
a dan sumbu minor sepanjang b.
• Jika 12
2
2
2
−=−
b
y
a
x
, maka hiperbola adalah vertikal, a sebagai sumbu minor
dan b sebagai sumbu mayor.
• Dalam kedua kasus, kita mempunyai c2
= a2
+ b2
dan
e = mayorsumbu
c
> 1.
Sama halnya pada ellips, e =
a
c
>1 disebut eksenrisitas suatu hiperbola.
Lihat gambar berikut!
Gambar 3.2.1
Misalkan T(xo,yo ) pada hiperbola.
TF1
2
= ..... = .....................
TF2
2
= ..... = ..................... -
...................... = ..........
y
x
F1(-c,0)
F2(c,0)
T(xo , yo )
p q
f g

4. ....................... = ....................... = 4 cxo
Jadi p + q =
a
cxo2
dan p – q = 2a
)(
2
c
a
x
a
c
a
a
cx
p o
o
+=+=
)(
2
c
a
x
a
c
a
a
cx
q o
o
−=−=
Dari kedua pesamaan di atas, didapat
a
c
c
a
xq
c
a
xp oo =−=+ )(:)(:
22
atau p : (jarak dari T ke garis f ≡ c
a
x
2
−= ) =
q : (jarak dari T ke garis g ≡ c
a
x
2
= ) =
a
c
Karena F1F2 = 2c dan F1T – F2T = 2a, maka F1F2 > F1T – F2T, dan oleh karena itu
perbandingannya lebih besar daripada satu.
Garis f dan g dinamakam direktrik, dan persamaannya berturut-turut:
c
a
x
2
−= dan
c
a
x
2
=
Asimtot Hiperbola
Bebarapa grafik, termasuk hiperbola mempunyai asimtot. Asimtot adalah garis l,
seperti gambar di bawah ini sedemikian sehingga titik P pada grafik yang jauhnya tak
berhingga dari pusat, jarak dari P ke garis l menghampiri nol.
Gambar 3.3.1
Setiap hiperbola mempunyai dua asimtot. Dengan teorema berikut tidaklah sukar
menyatakan persamaan asimtot.
Teorema 3.3.1:
Jika hiperbola mempunyai persamaan 12
2
2
2
=−
b
y
a
x
maka persamaan asimtotnya
adalah x
a
b
y = dan x
a
b
y −= . (Lihat gambar 3.3.2 berikut).
P

5. Gambar 3.3.2
Teorema 3.3.2:
Jika hiperbola mempunyai persamaan 12
2
2
2
=−
b
x
a
y
maka persamaan asimtotnya
adalah x
b
a
y = dan x
b
a
y −= . (Lihat gambar 3.3.3 berikut).
y
x
y = - x y = x
y
Gambar 3.3.3
y = b
a
x
y = - b
a
x
x

6. LKM 2
2. Persamaan Hiperbola Berpusat di ( βα, )
Persamaan hiperbola berpusat di titik ( βα, ), dan sumbu mayornya sejajar sumbu
X seperti ditunjukkan pada Gambar 2 dapat diperoleh dengan kaidah serta metode yang
sama seperti di atas. Persamaan hiperbola tersebut adalah,
Keterangan:
1. Pusat di ( βα, ).
2. Puncak di (α + a, β) dan (α – a, β).
3. Fokus di (α + c, β) dan (α – c, β).
Sedangkan untuk hiperbola berpusat di titik ( βα, ), dan sumbu mayornya sejajar sumbu
Y seperti ditunjukkan pada Gambar 3 persamaannya adalah
Keterangan :
1. Pusat di ( βα, )
2. Puncak di (α , β+a) dan (α , β – a)
3. Fokus di (α , β+ a) dan (α , β – c)
LKM 3
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
−
−
b
y
a
x βα
( ) ( ) 12
2
2
2
−=
−
−
−
b
y
a
x βα

7. 4. Persamaan Garis Singgung Hiperbola
a. Garis Singgung Melalui Titik (x1, y1) pada Hiperbola
Perhatikan hiperbola 12
2
2
2
=−
b
y
a
x
pada Gambar 4. Titik P(x1, y1) dan Q (x1 +α , y1+ β)
terletak pada hiperbola. Ini berarti memenuhi persamaan
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
……………………………………………(1)
…………………………… ....…………………………………………(2)
Kurangkan (2) terhadap (1), diperoleh,
…………………………………………………= 0
Bentuk tersebut dapat dinyatakan sebagai gradien garis PQ atau sebagai perbandingan α :
β berikut ini:
……………………=…………………………
Jika Q makin mendekati P, maka nilai α dan β mendekati 0. Sehingga
……………………=…………………………
Dengan menggunakan rumus y – y1= m (x – x1), maka
…………………….=………………………………..
…………………….=………………………………..
………….…………=………………………………..
Oleh karena a2
y1
2
– b2
x1
2
= – a2
b2
, maka a2
y1y – b2
x1x = – a2
b2
.
Jadi persamaan garis singgung tersebut adalah:
atau
b. Garis Singgung Bergradien m
Perhatikan hiperbola disamping
............................................ =
...
....
......
....
......
=−

8. 12
2
2
2
=−
b
y
a
x
atau b2
x2
– a2
y2
= a2
b2
Dan sebuah garis y = mx + c yang
menyinggung hiperbola tersebut, maka
….…………………………........=……..
…….……………………………= 0
……….…………………………= 0
Jika garis tersebut menyinggung hiperbola, maka akar-akar persamaan kuadrat di atas
mempunyai dua akar yang sama. Dengan demikian, diskrimanannya sama dengan nol.
Dengan demikian diperoleh : ……………………………………………….= 0
Setelah diselesaikan, akan diperoleh … =……………….. atau …=..……..………………
Jadi persamaan garis singgung hiperbola yang bergradien m di atas adalah
.................................. ±=

9. LATIHAN
1. Perhatikan hiperbola yang persamaannya
sebagai berikut: 1
916
22
=−
yx
. Tentukan :
a. koordinat titik puncak
b. fokus
c. panjang sumbu mayor
d. persamaan asimtot
e. panjang latus rectum
f. buatlah sketsa hiperbola tersebut
4. Tentukan persamaan garis singgung
hiperbola 1
49
22
=−
yx
yang bergradien – 4.
2. Perhatikan hiperbola dengan persamaan
9x2
– 16y2
– 18x – 64y – 199 = 0. Tentukan:
a. koordinat titik puncak
b. fokus
c. panjang sumbu mayor
d. persamaan asimtot
e. panjang latus rectum
f. buatlah sketsanya
5. Tentukan persamaan garis singgung
hiperbola
( ) ( ) 1
8
1
16
2
22
=
+
−
− yx
yang
bergradien 2.
3. Tentukan persamaan garis singgung
hiperbola 1
23
22
=−
yx
melalui titik ( 33 ,
-4)

10. TUGAS
1. Perhatikan hiperbola 9x2
– 16y2
– 36x – 32y – 124 = 0. Tentukan :
a. koordinat titik puncak
b. fokus
c. panjang sumbu mayor
d. persamaan asimtot
e. panjang latus rectum
f. buatlah sketsa hiperbola tersebut
2. Tentukan persamaan hiperbola yang memenuhi kondisi-kondisi yang diberikan, kemudian
sketsalah grafiknya
a. Pusat di (–2, –1), salah satu fokusnya dititik (–2, 14) dan direktrisnya pada garis 5y
= –53
b. Salah satu fokusnya (26,0) dan asimtotnya adalah garis xy 512 ±= .
3. Tentukan persamaan garis singgung hiperbola :
a. 2x2
– 4y2
– 4x + 8y – 16 = 0 pada titik (4, 1).
b.
( ) ( ) 1
16
2
20
3
22
=
+
−
+ yx
yang bergradien –1.