IRISAN KERUCUT
(KONIK)

1. PENGERTIAN IRISAN KERUCUT
Ambillah sebuah kerucut lingkaran tegak, dengan dua cabangnya. Kita
p...
Irisan kerucut adalah sebuah kurva yang diperoleh dengan memotong
suatu kerucut lingkaran tegak dengan suatu bidang datar....
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama
terhadap sebuah titik tertentu yang disebut pusat lingkar...
1. Persamaan Lingkaran
Bentuk umum persamaan lingkaran

r2 = OB2 + AB2
r2 = (x – a)2 + (y – b)2
Sehingga dapat disimpulkan...
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

Titik pusat lingkaran (

) dan panjang jari-jar...
Koordinat titik pusat = (

)=

Jari-jari lingkaran adalah
r=

3. Tentukan titik pusat dan panjang jari-jari lingkaran deng...
(x2 – 5x + 25) + (y2 + 2y + 4) = 7 + 25 + 4
(x – 5)2 + (y + 2)2 = 36
Jadi : titik pusat (5,-2) dan jari-jari r = 6
5. Tent...
Jari-jari r = 4
Dit. Persamaan lingkaran?
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 0)2 + (y – 0)2 = 42

x2 + y2 = 16
7. Tentukan pers...
Jari-jari r = 3
Dit. Persamaan lingkaran?
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 2)2 + (y – 1)2 = 32

x2 – 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 9...
(x – (-2))2 + (y – 2)2 = r2
(x + 2)2 + (y – 2)2 = 13

x2 + 4x + 4 + y2 – 4y + 4 = 13
x2 + y2 + 4x – 4y + 4 + 4 – 13 = 0
x2 + y2 + 4x – 4y – 5 = 0

Lat...
2. Pusat (1,-4), dan jari-jari 5
3. Pusat (3,4), dan jari-jari
4. Pusat (1,-4), dan melalui titik (3,2)
5. Pusat (1/2, 1,2...
1. Garis memotong lingkaran
2. Garis menyinggung lingkaran
3. Garis diluar lingkaran
Dengan ketentuan sebagai berikut:
Jik...
Gradien garis OA = mOA =
Karena garis g tegak lurus dengan garis OA, maka
mg . mOA = -1

mg =

(substitusi ke pers. Umum g...
x1x + y1y – a(x + x1) – b(y + y1) + c = 0
Jadi bentuk umum persamaan lingkaran adalah
Atau dapat ditulis:

Ket:
(a,b) adalah titik pusat lingkaran
c = a2 + b2 – r2
r = jari-jari lingkaran

x1, y1 adalah koord...
r2 = 8
titik singgung (x1, y1) = (2, 2) x1 = 2, dan y1 = 2
Dit. Pers. Lingk ?
(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2
(x ...
Jadi pers. Garis singgung lingkaran di titik (-5,12) adalah -5x + 12y =
169
3. Tentukan pers. Garis singgung lingkaran (x ...
Dik. Pers. Lingk. : (x + 3)2 + (y – 2)2 = 58
Titik pusat (a, b) = (-3, 2) a = -3, dan b = 2
r2 = 58
titik singgung (x1, y1...
5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 –
4x + 6y – 12 = 0 di titik (5, 1)?
Jawab:
Dik. Pers. Lingk. : x2 +...
Jadi pers. Garis singgung lingkaran di titik (5, 1) adalah 3x + 4y – 19 = 0
6. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran...
7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 =
25 yang sejajar garis 3x – 4y + 10 = 0 ?
Jawab:
Dik. Pers. Lingk....
Jadi PGSL adalah y =

x+

dan y =

x-

8. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 +
y2 + 6x + 8 = 0 yang bergr...
9. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 +
y2 – 4x + 6y – 12 = 0 yang bergradien -¾ ?
Jawab:
Dik. Pers. Ling...
3x + 4y + 48 – 6 ±

3x + 4y + 42 ±

=0

=0

Jadi PGSL adl 3x + 4y +

= 0 dan 3x + 4y +

=0

10. Tentukan pers. Garis singg...
Jadi PGSL adl y = -½x + 3 = 0 dan y = -½x – 7

Latihan
_____________________________________________________
1. Tentukan ...
7. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 4 dengan
gradien 2?
8. Tentukan persamaan garis singgung pad...
1. Persamaan Parabola
Oleh karena sebuah parabola itu simetrik terhadap sumbunya, sudah
lazim untuk menempatkan untuk sumb...
Sumbu simetri y = 0

Persamaan parabola yang berpuncak di (a, b) diperoleh dengan
menggeser grafik parabola yang berpusat ...
Titik fokus F (0, p)
Direktris y = -p
Sumbu simetri x = 0
Persamaan x2 = 4py, merupakan persamaan
parabola tegak dengan fo...
2. y2 = -12x
3. x2 = -8Y
4. x2 = 6Y
Jawab:
1. Dik. Pers. Parabola : y2 = 4x

4px = 4x  4p = 4  p =
Titik puncak : (0,0)
...
Panjang latus rectum :
3. Dik. Pers. Parabola : x2 = -8y

4py = -8y  4p = -8  p =
Titik puncak : (0,0)
Titik fokus : (0,...
2. Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya (4, 0) dan persamaan
direktrisnya x = -4. tentukan pula panjang latus r...
Panjang latus rectum 4p = 24
4. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di (2, 4) dan fokus (-3, 4).?
Jawab :
Dik. Punc...
Pers. Parabola (x – a)2 = 4p(y – b)

4p = ¼  p =
a = 3, dan b = -2  Titik puncak (a, b) = (3, -2)

titik fokus (a, b+p) ...
8. Dari persamaan parabola-parabola berikut ini:
1. (y – 2)2 = 16(x + 3)
2. (x + 3)2 = 4(y – 1)
3. x2 = -16(y – 7)
4. (x +...
2. Persamaan Garis Singgung Parabola
Garis g adalah garis singgung pada parabola y2 = 4px di titik A(x1,
y1). Karen garis ...
Jika diketahui y2 = 4px adalah persamaan parabola dan m adalah
gradien garis yang menyinggung parabola tersebut maka dapat...

Contoh soal:
1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di titik (2, 4) ?
Jawab :
Dik. Pers. Parabola : y2 = ...
(2 – (-1)) (x – (-1)) = 2 (-¾) (y + (-1) – 2 . 2)
3 (x + 1) = -3/2 (y – 1 – 4)
6(x + 1) = -3(y – 5)
6x + 6 = -3y + 15
-2x ...
Dik. Pers. Parabola : (y + 5)2 = -8(x - 2)  4p = -8  p = -2
Gradien m = 3
a = 2, dan b = -5
Dit. Pers. Garis Singgung ?
...
5. Kemiringan garis singgung parabola x2 = -14y di sebuah titik adalah

.

Tentukan koordinat-koordinat titik itu dan buat...
(x - 2
x=

y=

)2 = 0
Substitusi ke pers. Garis singgung atau ke pers. Parabola

(

)+2

y = -2
Jadi koordinat titik singg...
Latihan
_____________________________________________________
1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di ti...
4. ELIPS
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah
jaraknya terhadap dua titik tertentu (tit...
(

= a2 – cx)2

a2 (x2 – 2cx + c2 + y2) = a4 – 2a2cx + c2x2
a2x2 – 2 a2cx + a2c2 + a2y2) = a4 – 2a2cx + c2x2
a2x2 – 2 a2cx...
Perhatikan gambar disamping
a2 = b2 + c2

b2 = a2 – c2
sehingga didapatkan persamaan elips
a2 > b2

Ket :
Pers. Elips deng...
Jika persamaan elips

dirotasi 900 terhadap pusat (0, 0)

maka persamaannya akan menjadi :
a2 > b2

Ket :
Pers. Elips deng...
Jika persamaan elips

dengan pusat (0, 0) titik pusatnya di

pindahkan ke titik (p, q) maka persamaannya akan menjadi :

a...
Ket :
Pers. Elips dengan pusat di titik (p, q)
Titik fokus F1 (p, c+q) dan F2 (p, -c+q)
Titik Puncak A1 (p, a+q) dan A2 (p...
b2 = a2 – c2 = 169 – 144 = 25
Dit. Pers. Elips ?

2. Tentukan persamaan elips dengan fokus F1(0, 4) dan F2( 0, -4) dan tit...
Jawab :

a2 > b2 

Dik. Pers. Elips :
Titik pusat (0, 0)
a2 = 81  a = 9
b2 = 25  b = 5

c2 = a2 – b2 = 81 – 25 = 56  c...
a2 > b2 

Dik. Pers. Elips :
Titik pusat (0, 0)
a2 = 30  a =
b2 = 9  b = 3
c2 = a2 – b2 = 30 – 9 = 21  c =
Dit. Unsur ...
p = 7 – c (substitusi ke pers 2)  -c + p = 1
-c + (7 – c) = 1
-2c = -6, c = 3
p=7–c=7–3=7-3=4
Titik pusat (p, q) = (4, 3)...
Dik. Pers. Elips :

a2 > b2 

Titik pusat (p, q) = (1, 2)  p = 1 dan q = 2
a2 = 25  a = 5
b2 = 9  b = 3
c2 = a2 – b2 =...
Fokus F2(-c+p, q) = (0, -2)  -c+p = 0  -c = 0 – 4 = -4  c =
4
a2 = 52 = 25
c2 = 42 = 16
b2 = a2 – c2 = 25 – 16 = 9
Dit....
5. Tentukan persamaan elips jika titik fokusnya (2,0) dan
(-2,0) serta melalui titik (1,3) ?
6. Diketahui elips dengan tit...
2. Persamaan Garis Singgung Elips

Ditentukan elips
Titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) terletak pada elips. Kerena titik P dan ...
y – y1 =

(x – x1)

Jika garis PQ diputar dengan pusat P maka pada suatu titik saat titik Q
akan berimpit dengan titik P. ...
Jika garis singgung pada elips memiliki gradien m maka persamaan
garis singgungnya adalah :
Persamaan

Persamaan Garis Sin...
2. Tentukan persamaan garis singgung
elips

pada titik

(5, -3)?
Jawab:

Dik. Pers. Elips :
Titik singgung : (x1, y1) = (5...
Titik singgung : (x1, y1) =
Dit. Pers. Garis Singgung ?
 3x2 + 16y2 = 48











maka pers. Garis singgung adalah...
y=x±

maka pers. Garis singgung adalah y = x – 5 dan y = x + 5
5. Tentukan persamaan garis singgung
elips

, dengan

gradi...
Latihan
_____________________________________________________
1. Tentukan persamaan garis singgung elips dengan
persamaan...
10. Tentukan persamaan elips yang garis singgungnya di
titik (2, -1) adalah 2x – 3y – 7 = 0 ?
HIPERBOLA

55
Safari, SPd (SMK NW Kumbung) _________________________________
Irisan kerucut bakal soal uas ganjil
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Irisan kerucut bakal soal uas ganjil

32,733 views

Published on

  • Be the first to comment

Irisan kerucut bakal soal uas ganjil

  1. 1. IRISAN KERUCUT (KONIK) 1. PENGERTIAN IRISAN KERUCUT Ambillah sebuah kerucut lingkaran tegak, dengan dua cabangnya. Kita potong kerucut itu dengan berbagai bidang yang dengan sudut yang berbeda terhadap sumbu simetri. Bidang itu memotong kerucut menurut kurva-kurva masing-masing dinamakan elips, parabola, dan hiperbola. Dalam bentuknya yang istimewa anda juga akan memperoleh sebuah lingkaran, sebuah titik, garis-garis yang berpotongan dan satu garis.
  2. 2. Irisan kerucut adalah sebuah kurva yang diperoleh dengan memotong suatu kerucut lingkaran tegak dengan suatu bidang datar. Hasil irisan kerucut yang berupa lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola akan diuraikan dalam pembahasan berikut. 2. LINGKARAN
  3. 3. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang disebut pusat lingkaran, dan jarak yang sama ke pusat lingkaran dinamakan jari-jari.
  4. 4. 1. Persamaan Lingkaran Bentuk umum persamaan lingkaran r2 = OB2 + AB2 r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Sehingga dapat disimpulkan bentuk umum persamaan lingkaran adalah (a, b) = koordinat titik pusat lingkaran r = panjang jari-jari lingkaran Bentuk lain persamaan lingkaran adalah r2 = (x – a)2 + (y – b)2 = x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2
  5. 5. x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2 x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 Titik pusat lingkaran ( ) dan panjang jari-jari lingkaran r = Contoh soal: 1. Diketahui persamaan lingkaran (x – 5)2 + (y – 3)2 = 45, tentukan koordinat titik pusat dan jari-jarinya? Jawab: Dik. Pers. Lingkaran (x – 5)2 + (y – 3)2 = 45, maka a = 5, dan b = 3, r2 = 45 titik pusat lingkaran adalah (a, b) = (5, 3) dan jari-jari = r = 2. Tentukan koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0 Jawab Dik. Pers. Lingkaran x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0, maka A = -4, B = -6, dan C = -12
  6. 6. Koordinat titik pusat = ( )= Jari-jari lingkaran adalah r= 3. Tentukan titik pusat dan panjang jari-jari lingkaran dengan persamaan (x – 2)2 + (y – 6)2 = 16 ? Jawab : Dik. Pers. Lingk. : (x – 2)2 + (y – 6)2 = 16 Titik pusat (2,6) Jari-jari r2 = 16 maka panjang jari-jari r = 4. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 10x + 4y –7=0? Jawab: Dik. Pers. Lingk. x2 + y2 – 10x + 4y – 7 = 0 x2 + y2 – 10x + 4y – 7 = 0 x2 – 10x + y2 + 4y – 7 = 0 x2 – 10x + y2 + 4y = 7
  7. 7. (x2 – 5x + 25) + (y2 + 2y + 4) = 7 + 25 + 4 (x – 5)2 + (y + 2)2 = 36 Jadi : titik pusat (5,-2) dan jari-jari r = 6 5. Tentukan persamaan lingkaran jika koordinat titik pusatnya (-2, 5) dan jari-jari 3 Jawab : Dik. Titik pusat (a, b) = (-2, 5), maka a = -2, dan b = 5 Jari-jari r = 3 Persamaan lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – (-2))2 + (y – 5)2 = 32 (x + 4)2 + (y – 5)2 = 9 Atau (x + 4)2 + (y – 5)2 = 9 x2 + 8x + 16 + y2 – 10y + 25 = 9 x2 + y2 + 8x – 10y + 16 + 25 – 9 = 0 x2 + y2 + 8x – 10y + 32 = 0 6. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari 4 cm? Jawab: Dik. Titik pusat (a,b) = (0,0)
  8. 8. Jari-jari r = 4 Dit. Persamaan lingkaran? (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – 0)2 + (y – 0)2 = 42 x2 + y2 = 16 7. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan melalui titik A(4,3)? Jawab: Dik. Titik pusat (a,b) = (0,0) Melalui titik A (3,4) Dit. Persamaan lingkaran? (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – 0)2 + (y – 0)2 = r2 x2 + y2 = r2 x2 + y2 = 25 8. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(2,1) dan berjari-jari 3 cm? Jawab: Dik. Titik pusat (a,b) = (2,1)
  9. 9. Jari-jari r = 3 Dit. Persamaan lingkaran? (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – 2)2 + (y – 1)2 = 32 x2 – 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 9 x2 + y2 – 4x – 2y + 4 + 1 – 9 = 0 x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0 9. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(-2,2) dan melalui titik A(3,1)? Jawab: Dik. Titik pusat (a,b) = (-2,2) Melalui titik A (3,1) Dit. Persamaan lingkaran? (x – a)2 + (y – b)2 = r2
  10. 10. (x – (-2))2 + (y – 2)2 = r2
  11. 11. (x + 2)2 + (y – 2)2 = 13 x2 + 4x + 4 + y2 – 4y + 4 = 13 x2 + y2 + 4x – 4y + 4 + 4 – 13 = 0 x2 + y2 + 4x – 4y – 5 = 0 Latihan _____________________________________________________ 1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut: 1. x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0 2. x2 + y2 – 2x – 3y – 10 = 0 3. x2 + y2 + 2x + 3y + 25 = 0 4. x2 + y2 – 7x + 3y + 6 = 0 1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari berikut: 1. 3 2. 7 3. 13 1. Tentukan persamaan umum lingkaran jika diketahui pusat dan jari-jarinya sebagai berikut: 1. Pusat (-2,5), dan jari-jari 3
  12. 12. 2. Pusat (1,-4), dan jari-jari 5 3. Pusat (3,4), dan jari-jari 4. Pusat (1,-4), dan melalui titik (3,2) 5. Pusat (1/2, 1,2), dan melalui titik 4. Titik (2,a) terletak pada lingkaran x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0. Tentukan nilai a ? 5. Tentukan pusat, jari-jari, dan persamaan lingkaran yang melalui titik (2,2), (2,-4), dan (5,-1) ? 6. Tentukan pusat, jari-jari, dan persamaan lingkaran yang melalui titik (1,3), (6,-2), dan (-3,-5) ? 7. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik O(0,0) dan memotong sumbu x dan sumbu y positif sepanjang 3 dan 6? 8. Gambarlah pada koordinat cartesius suatu lingkaran dengan pusat (2,3) dan jari-jari 3 ? 9. Gambarlah pada koordinat cartesius suatu lingkaran dengan persamaan (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16 ? 10. Gambarlah pada koordinat cartesius suatu lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 ? 2. Garis Singgung Lingkaran Apabila terdapat sebuah garis dan sebuah lingkaran, maka terdapat tiga kemungkinan kedudukan garis terhadap lingkaran, yaitu:
  13. 13. 1. Garis memotong lingkaran 2. Garis menyinggung lingkaran 3. Garis diluar lingkaran Dengan ketentuan sebagai berikut: Jika A(x1, y1), maka: 1. (x1 – a)2 + (y1 – b) < r2 : titik A memotong lingkaran 2. (x1 – a)2 + (y1 – b) = r2 : titik A menyinggung lingkaran 3. (x1 – a)2 + (y1 – b) > r2 : titik A diluar lingkaran abc Ingat kembali bentuk umum persamaan garis lurus: Jika diketahui dua titik : Jika diketahui gradien atau kemiringannya : y – y1 = m (x - x1) Perhatikan gambar disamping, sebuah lingkaran dengan titik pusat O (a, b) dan titik A (x1, y1) terletak pada lingkaran serta garis g adalah garis singgung lingkaran di titik A (x1, y1).
  14. 14. Gradien garis OA = mOA = Karena garis g tegak lurus dengan garis OA, maka mg . mOA = -1 mg = (substitusi ke pers. Umum garis lurus) y – y1 = mg (x - x1) y – y1 = - (x - x1) (y1 – b) y – (y1 – b) y1 = - (x1 – a) x + (x1 – a) x1 (x1 – a) x + (y1 – b) y = (x1 – a) x1 + (y1 – b) y1 (x1 – a) x + (y1 – b) y = x12 – ax1 + y12 – by1 (x1 – a) x + (y1 – b) y = (x12 – 2ax1 + a2) + ax1 – a2 + (y12 – 2by1 + b2) + by1 – b2 (x1 – a) x + (y1 – b) y = (x1 – a)2 + (y1 – b)2 + ax1 + by1 – a2 – b2 (x1 – a) x + (y1 – b) y = r2 + ax1 + by1 – a2 – b2 x1x – ax + y1y – by = r2 + ax1 + by1 – a2 – b2 x1x – ax + y1y – by - ax1 - by1 = r2 – a2 – b2 x1x – ax + y1y – by - ax1 - by1 - r2 + a2 + b2= 0 x1x + y1y – ax - ax1 – by - by1 + c = 0
  15. 15. x1x + y1y – a(x + x1) – b(y + y1) + c = 0
  16. 16. Jadi bentuk umum persamaan lingkaran adalah
  17. 17. Atau dapat ditulis: Ket: (a,b) adalah titik pusat lingkaran c = a2 + b2 – r2 r = jari-jari lingkaran x1, y1 adalah koordinat titik singgung pada lingkaran Persamaan garis singgung bergradien (kemiringan) m pada sebuah lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r dapat ditentukan dengan rumus berikut: Contoh soal: 1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 8 yang melalui titik (2,2)? Jawab: Dik. Pers. Lingk. : x2 + y2 = 8 Titik pusat (a, b) = (0,0) a = 0, dan b = 0
  18. 18. r2 = 8 titik singgung (x1, y1) = (2, 2) x1 = 2, dan y1 = 2 Dit. Pers. Lingk ? (x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2 (x – 0) (2 – 0) + (y – 0) (2 – 0) = 8 2x + 2y = 8 Jadi pers. Garis singgung lingkaran di titik (2,2) adalah x + y = 4 2. Tentukan pers. Garis singgung yang melalui titik (-5, 12) pada lingkaran x2 + y2 = 169 Jawab: Dik. Pers. Lingk. : x2 + y2 = 169 Titik pusat (a, b) = (0,0) a = 0, dan b = 0 r2 = 169 titik singgung (x1, y1) = (-5, 12) x1 = -5, dan y1 = 12 Dit. Pers. Lingk ? (x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2 (x – 0) (-5 – 0) + (y – 0) (12 – 0) = 169 -5x + 12y = 169
  19. 19. Jadi pers. Garis singgung lingkaran di titik (-5,12) adalah -5x + 12y = 169 3. Tentukan pers. Garis singgung lingkaran (x – 1)2 + (y – 5)2 = 20 di titik (5, 7)? Jawab: Dik. Pers. Lingk. : (x – 1)2 + (y – 5)2 = 20 Titik pusat (a, b) = (1, 5) a = 1, dan b = 5 r2 = 20 titik singgung (x1, y1) = (5, 7) x1 = 5, dan y1 = 7 Dit. Pers. Lingk ? (x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2 (x – 1) (5 – 1) + (y – 5) (7 – 5) = 20 4x – 4 + 2y – 10 = 20 4x + 2y – 14 – 20 = 0 Jadi pers. Garis singgung lingkaran di titik (5, 7) adalah 4x + 2y – 34 = 0 4. Tentukan pers. Garis singgung lingkaran (x + 3)2 + (y – 2)2 = 58 di titik (0, 9)? Jawab:
  20. 20. Dik. Pers. Lingk. : (x + 3)2 + (y – 2)2 = 58 Titik pusat (a, b) = (-3, 2) a = -3, dan b = 2 r2 = 58 titik singgung (x1, y1) = (0, 9) x1 = 0, dan y1 = 9 Dit. Pers. Lingk ? (x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2 (x – (-3)) (0 – (-3)) + (y – 2) (9 – 2) = 58 (x + 3) (3) + (y – 2) (7) = 58 3x + 9 + 7y – 14 = 58 3x + 7y + 9 – 14 – 58 = 0 Jadi pers. Garis singgung lingkaran di titik (0, 9) adalah 3x + 7y – 63 = 0
  21. 21. 5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 di titik (5, 1)? Jawab: Dik. Pers. Lingk. : x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 x2 + y2 + Ax + By + C = 0 A = -4, B = -6, dan C = -12 Koordinat titik pusat = ( )= Titik pusat (a, b) = (2, -3) a = 2, dan b = -3 c = -12 titik singgung (x1, y1) = (5, 1) x1 = 5, dan y1 = 1 Dit. Pers. Lingk ? x1x + y1y – a(x + x1) – b(y + y1) + c = 0 5x + y – 2(x + 5) – (-3)(y + 1) + (-12) = 0 5x + y – 2x - 10 + 3(y + 1) – 12 = 0 5x + y – 2x - 10 + 3y + 3 – 12 = 0 5x – 2x + y + 3y - 10 + 3 – 12 = 0 3x + 4y – 19 = 0
  22. 22. Jadi pers. Garis singgung lingkaran di titik (5, 1) adalah 3x + 4y – 19 = 0 6. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 9 yang bergradien 3? Jawab: Dik. Pers. Lingk. : x2 + y2 = 9 Titik pusat (a, b) = (0, 0) a = 0, dan b = 0 r2 = 9 Jari-jari r = gradien m = 3 Dit. Pers. Garis singgung lingkaran ? y – b = m(x – a) ± y – 0 = 3(x – 0) ± y = 3x ± Jadi PGSL adalah y = 3x + dan y = 3x -
  23. 23. 7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang sejajar garis 3x – 4y + 10 = 0 ? Jawab: Dik. Pers. Lingk. : x2 + y2 = 25 Titik pusat (a, b) = (0, 0) a = 0, dan b = 0 r2 = 25 Jari-jari r = gradien sejajar dengan garis 3x – 4y +10 = 0 gradien garis 3x – 4y +10 = 0 sama dengan gradien garis singgung lingkaran. 3x – 4y +10 = 0 -4y = -3x – 10 Jadi gradien m = y= Dit. Pers. Garis singgung lingkaran ? y – b = m(x – a) ± y–0= y= x± (x – 0) ±
  24. 24. Jadi PGSL adalah y = x+ dan y = x- 8. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 6x + 8 = 0 yang bergradien 3? Jawab: Dik. Pers. Lingk. : x2 + y2 + 6x + 8 = 0 Titik pusat (a, b) = (-3, 0) a = -3, dan b = 0 c=8 c = a2 + b2 – r2 r2 = a2 + b2 - c r2 = (-3)2 + 02 - 8 r2 = 1 Jari-jari r = gradien m = 3 Dit. Pers. Garis singgung lingkaran ? y – b = m(x – a) ± y – 0 = 3(x – (-3)) ± y = 3(x + 3) ± Jadi PGSL adalah y = 3x + 9 + dan y = 3x + 9 -
  25. 25. 9. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 yang bergradien -¾ ? Jawab: Dik. Pers. Lingk. : x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 Titik pusat (a, b) = (2, -3) a = 2, dan b = -3 c = -12 c = a2 + b2 – r2 r2 = a2 + b2 - c r2 = 22 + (-3)2 – (-12) r2 = 4 + 9 + 12 = 25 Jari-jari r = gradien m = -¾ Dit. Pers. Garis singgung lingkaran ? y – b = m(x – a) ± y – (-12) = -¾ (x – 2) ± y + 12 = -¾ (x – 2) ± 4y + 48 = -3 (x – 2) ±
  26. 26. 3x + 4y + 48 – 6 ± 3x + 4y + 42 ± =0 =0 Jadi PGSL adl 3x + 4y + = 0 dan 3x + 4y + =0 10. Tentukan pers. Garis singgung pada lingkaran (x – 1)2 + (y – 5)2 = 20 yang bergradien -½ ? Dik. Pers. Lingk. : (x – 1)2 + (y – 5)2 = 20 Titik pusat (a, b) = (1, 5 ) a = 2, dan b = -3 r2 = 20 gradien m =-½ Dit. Pers. Garis singgung lingkaran ? y – b = m(x – a) ± y – (-3) = -½ (x – 2) ± y + 3 = -½x + 1 ± y = -½x + 1 – 3 ± y = -½x - 2 ±
  27. 27. Jadi PGSL adl y = -½x + 3 = 0 dan y = -½x – 7 Latihan _____________________________________________________ 1. Tentukan letak titik-titik dibawah ini terhadap lingkaran x2 + y2 = 50 ? 1. (6, 4) 2. (-7, 1) 3. (5, -5) 4. (8, -7) 2. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 di titik berikut? 1. (3, 4) 2. (3, -4) 3. (-3, -4) 4. (-3, 4) 3. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 5 yang melalui titik (-2, 1) ? 4. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x + 3)2 + (y – 2)2 = 58 yang melalui titik (4, 5) ? 5. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 4x + 2y – 8 = 0 yang melalui titik (-5, -3) ? 6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 - 2x - 10y + 17 = 0 yang melalui titik (4, 5) ?
  28. 28. 7. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 4 dengan gradien 2? 8. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 9 dengan gradien ? 9. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 16 yang sejajar dengan garis 3x + 4y + 2 = 0 ? 10. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 yang tegak lurus dengan garis 5x + 12y + 10 = 0 ? 11. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x + 3)2 + (y – 2)2 = 58 yang sejajar dengan sumbu y ? 12. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 6x – 8y + 20 = 0 yang ditarik dari titik pangkal O (0, 0) ? 3. PARABOLA Sebuah parabola adalah himpunan titik-titik P yang berjarak sama dari garis arah (direktris) ℓ dan fokus F yaitu yang memenuhi hubungan Garis yang melalui titik fokus dan tegak lurus direktris disebut dengan sumbu simetri, dan segmen garis yang dibatasi oleh parabola, tegak lurus dengan sumbu simetri, dan melalui titik fokus disebut latus rectum.
  29. 29. 1. Persamaan Parabola Oleh karena sebuah parabola itu simetrik terhadap sumbunya, sudah lazim untuk menempatkan untuk sumbu x misalnya pada sumbu simetri kurva tersebut. Kita ambil fokus F disebelah kanan titik asal, misalnya di (p, 0). Garis arah ℓ kita ambil di sebelah kirinya dengan persamaan x = -p. Dengan demikian, puncak parabola ada di titik asal (0,0) dari syarat: dan rumus jarak, kita peroleh Ruas kiri dan kanan dikuadratkan, maka akan diperoleh: (x – p)2 + (y – 0)2 = (x + p)2 + (y – y)2 x2 – 2px + p2 + y2 = x2 + 2px + p2 y2 = 4px Dengan demikian maka persamaan parabola dengan titik puncak di (0,0) dan titik fokus F (p, 0) adalah: Ket : Titik puncak (0,0) Titik fokus F (p, 0) Direktris x = -p
  30. 30. Sumbu simetri y = 0 Persamaan parabola yang berpuncak di (a, b) diperoleh dengan menggeser grafik parabola yang berpusat di (0,0). Misalkan parabola y2 = 4px, digeser sejauh a satuan sepanjang sumbu x dan b satuan sepanjang sumbu y, maka didapatkan parabola dengan puncak (a, b) Berdasarkan rumus transformasi, maka diperoleh persamaan parabola dengan titik puncak di (a, b) adalah Ket : Titik puncak (a,b) Titik fokus F (a+p, b) Direktris x = -p + a Sumbu simetri y = b Bagaiman jika x dan y dipertukarkan?, maka kita akan peroleh persamaan y2 = 4px akan berubah menjadi Ket : Titik puncak (0,0)
  31. 31. Titik fokus F (0, p) Direktris y = -p Sumbu simetri x = 0 Persamaan x2 = 4py, merupakan persamaan parabola tegak dengan fokus di (0,p) dan garis arah y = -p. Begitu juga, jika persamaan parabola x2 = 4py titik puncaknya digeser ke titik (a, b) maka akan membentuk persamaan Ket : Titik puncak (a, b) Titik fokus F (a, b+p) Direktris y = -p + b Sumbu simetri x = a Contoh soal: 1. Dari parabola-parabola berikut ini, tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktris, dan panjang latus rektum ? 1. y2 = 4x
  32. 32. 2. y2 = -12x 3. x2 = -8Y 4. x2 = 6Y Jawab: 1. Dik. Pers. Parabola : y2 = 4x 4px = 4x  4p = 4  p = Titik puncak : (0,0) Titik fokus : (p, 0) = (1, 0) Pers. Sumbu simetri : y = 0 Pers. Direktris : x = -p  x = -1 Panjang latus rectum : 2. Dik. Pers. Parabola : y2 = -12x 4px = -12x  4p = -12  p = Titik puncak : (0,0) Titik fokus : (p, 0) = (-3, 0) Pers. Sumbu simetri : y = 0 Pers. Direktris : x = -p  x = -(-3) = 3
  33. 33. Panjang latus rectum : 3. Dik. Pers. Parabola : x2 = -8y 4py = -8y  4p = -8  p = Titik puncak : (0,0) Titik fokus : (0, p) = (0, -2) Pers. Sumbu simetri : x = 0 Pers. Direktris : y = -p  y = -(-2) = 2 Panjang latus rectum : 4. Dik. Pers. Parabola : x2 = 6y 4py = 6y  4p = 6  p = Titik puncak : (0,0) Titik fokus : (0, p) = (0, ) Pers. Sumbu simetri : x = 0 Pers. Direktris : y = -p  y = Panjang latus rectum :
  34. 34. 2. Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya (4, 0) dan persamaan direktrisnya x = -4. tentukan pula panjang latus rectumnya? Jawab : Dik. Direktrisnya x = -4  x = -p  -p = -4 p = 4 F (p, 0)  F (4, 0) Puncak (0,0) Pers. Parabola : y2 = 4px y2 = 4(4)x y2 = 16x Panjang latus rectum 4p = 16 3. Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya (0, -8) dan persamaan direktrisnya y = 6. tentukan pula panjang latus rectumnya? Jawab : Dik. Direktrisnya y = 6  y = -p  -p = 6 p = -6 F (0, p)  F (0, -6) Puncak (0,0) Pers. Parabola : x2 = 4py x2 = 4(-6)y x2 = -24y
  35. 35. Panjang latus rectum 4p = 24 4. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di (2, 4) dan fokus (-3, 4).? Jawab : Dik. Puncak (a, b) = (2, 4)  a = 2, dan b = 4 Fokus (a+p, b) = (-3, 4)  a+p = -3  2 + p = -3  p = -5 Pers. Parabola (y – b)2 = 4p(x – a) (y – 4)2 = 4 . (-5)(x – 2) (y – 4)2 = -20(x – 2) Y2 – 8y + 16 = -20x + 40 Y2 – 8y + 20x – 24 = 0 5. Diberikan persamaan parabola y = 4(x - 3)2 – 2. Tentukan titik puncak, fokus, direktris, dan Pers. Sumbu simetrinya? Jawab : Dik. Pers. Parabola : y = 4(x - 3)2 – 2 y = 4(x - 3)2 – 2  y + 2 = 4(x – 3)2 = (x – 3)2 (x – 3)2 = ¼ (y + 2)
  36. 36. Pers. Parabola (x – a)2 = 4p(y – b) 4p = ¼  p = a = 3, dan b = -2  Titik puncak (a, b) = (3, -2) titik fokus (a, b+p)  (3, -2 + ) = (3, ) Pers. Sumbu simetri x = a  x = 3 Latihan _____________________________________________________ 1. Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktris, dan panjang latus rektum dari parabola y2 = 20x ? 2. Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktris, dan panjang latus rektum dari parabola x2 = -¾ y ? 3. Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya (0, -2) dan persamaan direktrisnya y = 2 ? 4. Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya (3, 0) dan titik puncaknya di (0,0) ? 5. Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktris, dan panjang latus rektum dari parabola 2x2 – 7y = 0 ? 6. Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya pada sumbu x dan melalui titik (-2, 6) ? 7. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di (1, 2) dan persamaan direktrisnya x = 5 ?
  37. 37. 8. Dari persamaan parabola-parabola berikut ini: 1. (y – 2)2 = 16(x + 3) 2. (x + 3)2 = 4(y – 1) 3. x2 = -16(y – 7) 4. (x + 1)2 = -4(y +2) Tentukan: i. titik puncak ii. titik fokus iii. persamaan direktris iv. panjang latus rectum 9. Suatu parabola mempunyai persamaan x2 + 6x – 8y – 31 = 0. Tentukan : i. titik puncak ii. titik fokus iii. persamaan direktris iv. panjang latus rectum 10. Buatlah sketsa grafik parabola y2 = 8x dan x2 + 6x – 8y – 31 = 0 ?
  38. 38. 2. Persamaan Garis Singgung Parabola Garis g adalah garis singgung pada parabola y2 = 4px di titik A(x1, y1). Karen garis g melalui titik A(x1, y1), maka persamaan garis singgung g adalah : y – y1 = m (x – x1) Nilai m (gradien) dicari dengan mendiferensialkan persamaan parabola y2 = 4px Sehingga gradien m pers. y2 = 4px di titik (x1, y1) adalah disubstitusikan persamaan garis g sehingga diperoleh bentuk-bentuk persamaan garis singgung pada parabola sebagai berikut : Bentuk Persamaan  Bentuk Pers. Garis Singgung    
  39. 39. Jika diketahui y2 = 4px adalah persamaan parabola dan m adalah gradien garis yang menyinggung parabola tersebut maka dapat kita peroleh persamaan garis singgungnya. Persamaan gabungan antara parabola y2 = 4px dengan garis g : y = mx + n adalah : (mx + n)2 = 4px m2 x2 + 2mnx – 4px + n2 = 0 m2 x2 + (2mn – 4p)x + n2 = 0 syarat garis singgung pada parabola adalah D=0 (2mn – 4p)2 – 4m2n2 = 0 4m2n2 – 16mnp + 16p2 – 4m2n2 = 0 16p2 = 16mnp p = mn  n = Jadi persamaan garis singgung parabola dengan gradien m adalah sebagai berikut : Bentuk Persamaan  Bentuk Pers. Garis Singgung   
  40. 40.  Contoh soal: 1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di titik (2, 4) ? Jawab : Dik. Pers. Parabola : y2 = 8x  4p = 8  p = 2 Titik singgung (x1, y1) = (2, 4)  x1 = 2, dan y1 = 4 Dit. Pers. Garis Singgung ? y1y = 2p (x + x1)  4y = 2 . 2(x + 2) y=x+2 2. Tentukan persamaan garis singgung parabola (x + 1)2 = -3(y – 2) pada titik (2, -1) ? Jawab : Dik. Pers. Parabola : (x + 1)2 = -3(y – 2)  4p = -3  p = -¾ -a = 1 a = -1 -b = -2 b = 2 Titik singgung (x1, y1) = (2, -1)  x1 = 2, dan y1 = -1 Dit. Pers. Garis Singgung ? (x1 – a) (x – a) = 2p (y + y1 – 2b)
  41. 41. (2 – (-1)) (x – (-1)) = 2 (-¾) (y + (-1) – 2 . 2) 3 (x + 1) = -3/2 (y – 1 – 4) 6(x + 1) = -3(y – 5) 6x + 6 = -3y + 15 -2x – 2 = y – 3  y = -2x – 2 + 3  y = -2x + 1 3. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y2 = 6x yang mempunyai gradien 2 ? Jawab : Dik. Pers. Parabola : y2 = 6x  4p = 6  p = Gradien m = 2 Dit. Pers. Garis Singgung ? y = mx + p/m = 2x + = 2x + 4. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola (y + 5)2 = -8(x - 2) yang bergradien 3 ? Jawab :
  42. 42. Dik. Pers. Parabola : (y + 5)2 = -8(x - 2)  4p = -8  p = -2 Gradien m = 3 a = 2, dan b = -5 Dit. Pers. Garis Singgung ? (y – b) = m(x – a) + p/m (y – (-5)) = 3 (x – 2) + (-2/3) y + 5 = 3x – 6 – y = 3x -
  43. 43. 5. Kemiringan garis singgung parabola x2 = -14y di sebuah titik adalah . Tentukan koordinat-koordinat titik itu dan buatlah sketsanya ? Jawab : Dik. Pers. Parabola x2 = -14y  4p = -14  p = Gradien m = Dit. Koordinat Titik Singgung? Pers. Gar. Singg : y = mx – m2p y= y= )2 (- x–( x+2 Titik singgung adalah, y = x2 = -14y x2 = -14( x + 2) x2 = x - 28 x2 - x + 28 = 0 ) x + 2 disubstitusikan ke pers. Parabola
  44. 44. (x - 2 x= y= )2 = 0 Substitusi ke pers. Garis singgung atau ke pers. Parabola ( )+2 y = -2 Jadi koordinat titik singgung adalah ( , -2)
  45. 45. Latihan _____________________________________________________ 1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di titik (18, 12) ? 2. Tentukan persamaan garis singgung parabola x2 = 4y di titik (2, -1) ? 3. Tentukan persamaan garis singgung parabola (y – 2)2 = 4(x – 1) di titik (5, 2) ? 4. Tentukan persamaan garis singgung parabola (x - 2)2 = 2(y + 3) di titik (6, 5) ? 5. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x yang bergradien 3 ? 6. Tentukan persamaan garis singgung parabola (x – 2)2 = 12(y – 1) yang bergradien 2 ? 7. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 4x yang sejajar dengan garis 3x + 2y = 8 8. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 4x yang tegak lurus dengan garis y = x+5? 9. Kemiringan garis singgung parabola y2 = 5x di sebuah titik adalah . Tentukan koordinat titik itu ? 10. Kabel penggantung bagian tengah sebuah jembatan gantung berbentuk sebuah parabola. Jarak antara menara penyangga adalah 800 meter. Kbel digantungkan pada menara di sebuah titik yang letaknya 400 meter diatas lantai jembatan. Berapakah tinggi kabel itu. Berapakah tinggi batang penggantung kabel yang letaknya 100 meter dari menara (misalkan bahwa kabel itu menyinggung lantai jembatan di tengan jembatan) ?
  46. 46. 4. ELIPS Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu (titik fokus) yang diketahui adalah tetap (konstan). Dalam kasus elips ini, elips memiliki dua puncak yang kita namakan A1 dan A2. sebutlah titik tengah antara A1 dan A2 yang terletak pada sumbu panjang sebagai pusat elips. Elips letaknya simetris terhadap pusatnya, oleh karenanya elips disebut konik terpusat. 1. Persamaan Elips Untuk menurunkan persamaan elips ini, kita letakkan sumbu x sepanjang sumbu panjangnya sedangkan titik asalnya kita pilih di pusat elips. Kita misalkan titik fokus F1(c, 0), F2(-c, 0) puncaknya ada di A1 (-a, 0), A2 (a, 0), B1 (0, b), titik T(x, y) pada elips, dan A1A2 = 2a, maka sesuai dengan definisi: Elips = { T l TF1 + TF2 = 2a } = { (x, y) l ( = 2a } = 2a - )2 (x + c)2 + y2 = 4a2 – 4a x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 - 4a 4a = 4a2 – 4cx + (x – c)2 + y2 + x2 – 2cx + c2 + y2
  47. 47. ( = a2 – cx)2 a2 (x2 – 2cx + c2 + y2) = a4 – 2a2cx + c2x2 a2x2 – 2 a2cx + a2c2 + a2y2) = a4 – 2a2cx + c2x2 a2x2 – 2 a2cx + 2a2cx - c2x2 + a2y2 = a4 – a2c2 a2x2 - c2x2 + a2y2 = a4 – a2c2 (a2 – c2) x2 + a2y2 = (a2 – c2) a2 (a2 – c2) x2 + a2y2 = (a2 – c2) a2 : sama-sama dibagi (a2 – c2) a2
  48. 48. Perhatikan gambar disamping a2 = b2 + c2 b2 = a2 – c2 sehingga didapatkan persamaan elips a2 > b2 Ket : Pers. Elips dengan pusat di titik (0, 0) Titik fokus F1 (c, 0) dan F2 (-c, 0) Titik Puncak A1 (a, 0) dan A2 (-a, 0), B1(0, b) dan B2(0, -b) Panjang sumbu mayor A1A2 = 2a Panjang sumbu minor B1B2 = 2b Panjang latus rectum =
  49. 49. Jika persamaan elips dirotasi 900 terhadap pusat (0, 0) maka persamaannya akan menjadi : a2 > b2 Ket : Pers. Elips dengan pusat di titik (0, 0) Titik fokus F1 (0, c) dan F2 (0, -c) Titik Puncak A1 (0, a) dan A2 (0, -a), B1(b, 0) dan B2(-b, 0) Panjang sumbu mayor A1A2 = 2a Panjang sumbu minor B1B2 = 2b Panjang latus rectum =
  50. 50. Jika persamaan elips dengan pusat (0, 0) titik pusatnya di pindahkan ke titik (p, q) maka persamaannya akan menjadi : a2 > b2 Ket : Pers. Elips dengan pusat di titik (p, q) Titik fokus F1 (c+p, q) dan F2 (-c+p, q) Titik Puncak A1 (a+p, q) dan A2 (-a+p, q), B1(p, b+q) dan B2(p, -b+q) Panjang sumbu mayor A1A2 = 2a Panjang sumbu minor B1B2 = 2b Panjang latus rectum = Begitu juga jika persamaan elips dengan pusat (0, 0) titik pusatnya di pindahkan ke titik (p, q) maka persamaannya akan menjadi : a2 > b2
  51. 51. Ket : Pers. Elips dengan pusat di titik (p, q) Titik fokus F1 (p, c+q) dan F2 (p, -c+q) Titik Puncak A1 (p, a+q) dan A2 (p, -a+q), B1(b+q, p) dan B2(-b+q, p) Panjang sumbu mayor A1A2 = 2a Panjang sumbu minor B1B2 = 2b Panjang latus rectum = Contoh soal : 1. Tentukan persamaan elips dengan titik puncaknya (13, 0) dan fokusnya F1(12, 0) dan F2(-12, 0) ? Jawab : Dik. Titik puncak (a, 0) = (13, 0)  a = 13 Fokus F1(c, 0) = (12, 0)  c = 12 Titik pusat (0, 0) a2 = 132 = 169 c2 = 122 = 144
  52. 52. b2 = a2 – c2 = 169 – 144 = 25 Dit. Pers. Elips ? 2. Tentukan persamaan elips dengan fokus F1(0, 4) dan F2( 0, -4) dan titik puncak (0, 5) dan (0, -5) ? Jawab : Dik. Titik puncak (0, a) = (0, 5)  a = 5 Fokus F1(0, c) = (0, 4)  c = 4 Titik pusat (0, 0) a2 = 52 = 25 c2 = 42 = 16 b2 = a2 – c2 = 25 – 16 = 9 Dit. Pers. Elips ? 3. Diketahui elips dengan persamaan . Tentukan fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor, sumbu minor, dan panjang latus rectumnya ?
  53. 53. Jawab : a2 > b2  Dik. Pers. Elips : Titik pusat (0, 0) a2 = 81  a = 9 b2 = 25  b = 5 c2 = a2 – b2 = 81 – 25 = 56  c = Dit. Unsur Elips ? Titik fokus F1(0, c) = (0, ) dan F2(0, -c) = (0, - ) Titik puncak A1(0, a) = (0, 9) dan A2(0, -a) = (0, -9) B1(b, 0) = (5, 0) dan B2(-b, 0) = (-5, 0) Panjang sumbu mayor : 2a = 2 . 9 = 18 Panjang sumbu minor : 2b = 2 . 5 = 10 Panjang latus rectum : 4. Diketahui elips dengan persamaan . Tentukan fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor, sumbu minor, dan panjang latus rectumnya ? Jawab :
  54. 54. a2 > b2  Dik. Pers. Elips : Titik pusat (0, 0) a2 = 30  a = b2 = 9  b = 3 c2 = a2 – b2 = 30 – 9 = 21  c = Dit. Unsur Elips ? Titik fokus F1(0, c) = (0, ) dan F2(0, -c) = (0, - Titik puncak A1(0, a) = (0, ) dan A2(0, -a) = (0, - ) ) B1(b, 0) = (3, 0) dan B2(-b, 0) = (-3, 0) Panjang sumbu mayor : 2a = 2 . =2 Panjang sumbu minor : 2b = 2 . 3 = 6 Panjang latus rectum : 5. Tentukan persamaan elips dengan fokus F1(1, 3) dan F2(7, 3) dan titik puncak (10, 3) ? Jawab : Dik. Fokus F1(c+p, q) = (7, 3) dan F2(-c+p, q) = (1, 3  q = 3 c+p = 7 ............... pers (1) -c+p = 1 .............. pers (2)
  55. 55. p = 7 – c (substitusi ke pers 2)  -c + p = 1 -c + (7 – c) = 1 -2c = -6, c = 3 p=7–c=7–3=7-3=4 Titik pusat (p, q) = (4, 3) Titik puncak (a+p, q) = (10, 3)  a + p = 10 a + 4 = 10  a = 6 a2 = 62 = 36 c2 = 32 = 9 b2 = a2 – c2 = 36 – 9 = 25 Dit. Pers. Elips ? 6. Diketahui elips dengan persamaan . Tentukan fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor, sumbu minor, dan panjang latus rectumnya ? Jawab :
  56. 56. Dik. Pers. Elips : a2 > b2  Titik pusat (p, q) = (1, 2)  p = 1 dan q = 2 a2 = 25  a = 5 b2 = 9  b = 3 c2 = a2 – b2 = 25 – 9 = 16  c = 4 Dit. Unsur Elips ? Titik fokus F1(c+p, q) = (5, 2) dan F2(-c+p, q) = (-3, 2) Titik puncak A1(a+p, q) = (6, 2) dan A2(-a+p, q) = (-4, 2) B1(p, b+q) = (1, 5) dan B2(p, -b+q) = (1, -1) Panjang sumbu mayor : 2a = 2 . 5 = 10 Panjang sumbu minor : 2b = 2 . 3 = 6 Panjang latus rectum : 7. Tentukan persamaan elips dengan pusat (4, -2), puncak (9, -2) dan salah satu fokusnya (0, -2) ? Jawab : Dik. Pusat (p, q) = (4, -2)  p = 4, dan q = -2 Puncak (a+p, q) = (9, -2)  a+p = 9  a = 9 – 4 = 5
  57. 57. Fokus F2(-c+p, q) = (0, -2)  -c+p = 0  -c = 0 – 4 = -4  c = 4 a2 = 52 = 25 c2 = 42 = 16 b2 = a2 – c2 = 25 – 16 = 9 Dit. Pers. Elips ? Latihan _____________________________________________________ 1. Diketahui panjang sumbu mayor 10, sumbu minor, 6. Jika pusat elips (0, 0) dan sumbu utama x. Tentukan persamaan elips tersebut ? 2. Diketahui elips dengan titik puncak (3, 0) dan titik ujung sumbu minor (0, -1). Tentukan persamaan elips tersebut ? 3. Diketahui persamaan elips Tentukan titik fokus, titik puncak, dan latus rectumnya ? 4. Jika persamaan elips 4x2 + 9y2 = 36. Tentukan titik fokus, titik puncak, dan latus rectumnya ?
  58. 58. 5. Tentukan persamaan elips jika titik fokusnya (2,0) dan (-2,0) serta melalui titik (1,3) ? 6. Diketahui elips dengan titik puncak (-4, 3) dan (12, 3). Jika salah satu fokusnya (8, 3), tentukan persamaan elips tersebut ? 7. Diketahui persamaan elips . Tentukan titik fokus, titik puncak, dan latus rectumnya ? 8. Diketahui persamaan elips . Tentukan titik fokus, titik puncak, dan latus rectumnya ? 9. Jika elips berpusat di (2, 3) dan memiliki panjang sumbu mayor dan minor 24 dan 8, tentukan persamaan elipsnya ? 10. Buktikan bahwa panjang latus rectum = ?
  59. 59. 2. Persamaan Garis Singgung Elips Ditentukan elips Titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) terletak pada elips. Kerena titik P dan Q pada elips maka terdapat hubungan sebagai berikut. atau b2x12 + a2y12 = a2b2    ....................................... (1) Gradien garis PQ = mPQ = Berdasarkan persamaan (1), persamaan garis PQ adalah y – y1 = mPQ(x – x1)
  60. 60. y – y1 = (x – x1) Jika garis PQ diputar dengan pusat P maka pada suatu titik saat titik Q akan berimpit dengan titik P. Dalam hal ini garis PQ akan berubah menjadi garis singgung di titik P pada elips maka koordinat Q = koordinat P atau x1 = x2 dan y1 = y2. Sehingga persamaan garis singgung elips di titik P(x1, y1) adalah: y – y1 =  y – y1 = (x – x1) (x – x1)  a2y1y – a2y12 = -b2x1x + b2x12  b2x1x + a2y1y = b2x12 + a2y12  b2x1x + a2y1y = a2b2 ........................ (sama-sama dibagi a2b2) Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada elips adalah: Persamaan Persamaan Garis Singgung
  61. 61. Jika garis singgung pada elips memiliki gradien m maka persamaan garis singgungnya adalah : Persamaan Persamaan Garis Singgung Contoh: 1. Tentukan persamaan garis singgung pada elips Jawab: Dik. Pers. Elips : Titik singgung : (x1, y1) = (4, 3) Dit. Pers. Garis Singgung ?    maka pers. Garis singgung adalah x + y = 7 di titik (4, 3)?
  62. 62. 2. Tentukan persamaan garis singgung elips pada titik (5, -3)? Jawab: Dik. Pers. Elips : Titik singgung : (x1, y1) = (5, -3) Dit. Pers. Garis Singgung ?     2(x – 1) – (y + 2) = 9 maka pers. Garis singgung adalah 2x - y = 13 3. Tentukan persamaan garis singgung elips 3x2 + 16y2 = 48, di titik ? Jawab: Dik. Pers. Elips : 3x2 + 16y2 = 48
  63. 63. Titik singgung : (x1, y1) = Dit. Pers. Garis Singgung ?  3x2 + 16y2 = 48      maka pers. Garis singgung adalah x + 4y = 8 4. Tentukan persamaan garis singgung elips ? Jawab: Dik. Pers. Elips : Gradien m : 1 Dit. Pers. Garis Singgung ? , dengan gradien 1
  64. 64. y=x± maka pers. Garis singgung adalah y = x – 5 dan y = x + 5 5. Tentukan persamaan garis singgung elips , dengan gradien -2 ? Jawab: , a2 = 15, b2 = 4, p = -3, q = 4 Dik. Pers. Elips : Gradien m : -2 Dit. Pers. Garis Singgung ? y = -2x – 6 + 4 ± 8 y = -2x – 2 ± 8 2x - 10 maka pers. Garis singgung adalah y = -2x + 6 dan y = -
  65. 65. Latihan _____________________________________________________ 1. Tentukan persamaan garis singgung elips dengan persamaan , pada titik (12,8) ? 2. Tentukan persamaan garis singgung elips dengan persamaan , pada titik (-3,5) ? 3. Tentukan persamaan garis singgung elips dengan persamaan 4x2 + 9y2 – 72 = 0, pada titik (3,2) ? 4. Tentukan persamaan garis singgung elips 4x2 + 3y2 – 8x – 6y – 45 = 0, pada titik (2, -3) ? 5. Diketahui persamaan elips , tentukan persamaan garis singgung dengan gradien 2 ? 6. Tentukan persamaan garis singgung pada elips 4x2 + 9y2 = 36 dengan gradien ? 7. Diketahui garis y = mx + 2 dan elips , Tentukan batas nilai m agar garis y = mx + 2 menyinggung elips ? 8. Diketahui persamaan elips 2x2 + 3y2 – 6 = 0. Tentukan persamaan garis singgung elips yang tegak lurus dengan garis y = -x + 3 ? 9. Tentukan persamaan garis singgung elips 25x2 + 16y2 = 400 yang sejajar dengan garis 3x + y + 1 = 0, ?
  66. 66. 10. Tentukan persamaan elips yang garis singgungnya di titik (2, -1) adalah 2x – 3y – 7 = 0 ?
  67. 67. HIPERBOLA 55 Safari, SPd (SMK NW Kumbung) _________________________________

×