PPT PENDIDIKAN KELAS RANGKAP MODUL 3 KELOMPOK 3.pptx
05 Materi Subgrup.pdf
1. Matakuliah Aljabar Grup 32
2.1 Grup Bagian (Subgrup)
Perkenalan kita dengan teori dasar grup sudah mulai memasuki bagian kedua. Setelah kita
memahami konsep-konsep dasar grup yang terkait dengan definisi grup dan sifat-sifatnya,
kita akan mencoba menelaah lebih dalam mengenai himpunan-himpunan yang termuat
dalam grup yang mungkin membentuk grup. Setelah mempelajari bagian ini, mahasiswa
diharapkan
1. mampu memahami definisi subgrup,
2. mampu menyebutkan dan membuktikan teorema subgrup, dan
3. mampu menggunakan teorema subgrup.
Secara non formal, subgrup kita artikan sebagai grup yang termuat dalam grup yang lebih
besar dengan operasi yang sama. Secara formal subgrup kita definisikan sebagai berikut.
Definisi 2.1.1 (Definisi Subgrup)
Misalkan hG, ∗i grup. Himpunan bagian tak kosong H dari G disebut subgrup jika H
merupakan grup terhadap operasi ∗.
Berdasarkan Definisi ?? tentang subgrup dan materi kita sebelumnya, berikut merupakan
contoh subgrup.
Contoh 2.1.2
(a) Q dan Z masing-masing merupakan subgrup dari R.
(b) Z merupakan subgrup dari Q.
(c) Q0, Q+, dan R+ masing-masing merupakan subgrup dari R0
(d) M2(Z) merupakan subgrup dari M2(R)
(e) SL2(R) merupakan subgrup dari GL2(R).
(f) Himpunan { 1, −1 } merupakan subgrup dari Q0 dan R0
(g) Dua subgrup yang sangat jelas dari grup G adalah G itu sendiri dan { e }, dengan e
adalah elemen identitas G.
Definisi 2.1.3
Subgrup H dari grup G disebut subgrup sejati jika { e } 6= H dan H 6= G.
c
Mahmudi
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah
2. Matakuliah Aljabar Grup 33
Berdasarkan Definisi Subgrup, kita tahu bahwa semua subgrup merupakan himpunan
bagian. Apakah berlaku sebaliknya? Jika tidak, syarat apa yang harus dipenuhi oleh
suatu himpunan bagian untuk dapat membentuk subgrup?
Jawaban atas pertanyaan tersebut adalah berdasarkan definisi dan contoh-contoh yang su-
dah ada, suatu himpunan bagian tak kosong H dari G dapat menjadi subgrup jika H juga
merupakan grup. Tentunya kita sudah sangat ahli dalam menentukan suatu himpunan
grup atau bukan pada pembelajaran sebelumnya.
Contoh 2.1.4
Diberikan himpunan bilangan bulat kelipatan 5, yaitu 5Z = { · · · , −10, −5, 0, 5, 10, · · · }.
Secara matematis, himpunan tersebut, dapat kita tulis:
5Z = { x ∈ Z | x = 5k untuk suatu k ∈ Z } atau 5Z = { 5k | k ∈ Z } .
Sebenarnya 5Z merupakan subgrup dari Z terhadap operasi penjumlahan, untuk mem-
perlihatkan bahwa 5Z subgrup dari Z berdasarkan Definisi Subgrup harus dibuktikan:
(a) hZ, +i merupakan grup.
(b) 5Z himpunan bagian tak kosong dari Z.
(c) h5Z, +i merupakan grup.
Kita telah membuktikan hZ, +i merupakan grup pada Subbab 1.1, artinya bagian (a)
telah terpenuhi. Bagian (b) elemen 0 = 5 · 0 ∈ 5Z, artinya 5Z 6= ∅. Ambil sebarang
x ∈ 5Z maka x = 5k untuk suatu k ∈ Z, artinya x = 5k ∈ Z. Dengan demikian 5Z
merupakan himpunan bagian dari Z. Bagian (c) akan kita buktikan bahwa 5Z memenuhi
semua aksioma grup terhadap operasi penjumlahan:
• (Tertutup): ambil sebarang x, y ∈ 5Z maka x = 5k dan y = 5l untuk suatu k, l ∈ Z.
Diperoleh
x + y = 5k + 5l = 5(k + l),
karena k, l ∈ Z dan Z tertutup terhadap operasi penjumlahan maka k+l ∈ Z, artinya
x + y ∈ 5Z. Dengan demikian 5Z tertutup terhadap operasi penjumlahan.
• (Assosiatif ): ambil sebarang x, y, z ∈ 5Z maka x, y, z ∈ Z berakibat
(x + y) + z = x + (y + z)
bedasarkan sifat assosiatif pada Z terhadap penjumlahan. Dengan demikian operasi
penjumlahan bersifat assosiatif pada 5Z.
c
Mahmudi
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah
3. Matakuliah Aljabar Grup 34
• (Elemen Identitas): 0 ∈ 5Z karena 0 = 5 · 0 dan untuk sebarang x ∈ 5Z berlaku
0 + x = x dan x + 0 = x
Dengan demikian, 5Z memuat elemen identitas, yaitu elemen 0.
• (Elemen Balikan): ambil sebarang x ∈ 5Z maka x = 5k untuk suatu k ∈ Z, jelas
bahwa −x memenuhi x + (−x) = 0 dan (−x) + x = 0. Hal yang masih perlu kita
perlihatkan adalah −x merupakan elemen 5Z.
−x = −(5k) = 5(−k), berdasarkan sifat assosiatif dan komutatif pada Z.
Dikarenakan −k ∈ Z maka −x ∈ 5Z. Dengan demikian, untuk setiap x ∈ 5Z
terdapat x−1 ∈ 5Z, yaitu x−1 = −x.
Berdasarkan keempat hal tersebut 5Z merupakan grup terhadap operasi penjumlahan.
Jadi 5Z merupakan subgrup dari Z.
Kita sudah mengenali beberapa contoh subgrup, berikut contoh yang bukan subgrup.
Contoh 2.1.5
(a) Zn bukan subgrup dari Z karena operasi di Zn berbeda dengan di Z.
(b) Un bukan subgrup dari Zn karena operasi di Un berbeda dengan di Zn.
(c) R+ bukan subgrup dari R karena operasi di R+ berbeda dengan di R.
(d) N bukan subgrup dari Z karena N bukan grup.
(e) R bukan subgrup dari Q karena R bukan himpunan bagian dari Q.
Contoh 2.1.4 memberikan illustrasi bahwa sifat assosiatif dapat diwariskan dari suatu
himpunan ke himpunan bagiannya, dengan demikian untuk membuktikan subgrup dapat
kita sederhanakan sebagai berikut.
Teorema 2.1.6. Misalkan hG, ∗i dengan elemen identitas e dan H ⊆ G. Himpunan H
merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika H memenuhi kondisi berikut.
(a) e ∈ H,
(b) jika h1, h2 ∈ H maka h1 ∗ h2 ∈ H,
(c) jika h ∈ H maka h−1 ∈ H.
c
Mahmudi
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah
4. Matakuliah Aljabar Grup 35
Bukti.
Teorema 2.1.6 berbentuk biimplikasi atau jika hanya jika. Diketahui hG, ∗i grup dengan
elemen identitas e dan H ⊆ G. Misalkan
p:= H merupakan subgrup dari G.
q:= H memenuhi kondisi (a), (b), dan (c).
(p =⇒ q) Asumsikan p benar, artinya H merupakan subgrup dari G. Dibuktikan bahwa q
juga benar, artinya H memenuhi kondisi (a), (b), dan (c).
Karena H subgrup maka H merupakan grup. Bagian (b), berdasarkan sifat tertutup H
berlaku untuk setiap h1, h2 ∈ H maka h1 ∗ h2 ∈ H. Bagian (c) karena H grup maka
untuk setiap h ∈ H berlaku h−1 ∈ H. Terakhir bagian (a), karena h, h−1 ∈ H maka
e = h ∗ h−1 ∈ H. Artinya H memenuhi kondisi (a), (b), dan (c).
(q =⇒ p) Soal Latihan.
Berikut, kita akan mencoba membuktikan suatu himpunan bagian merupakan subgrup
dengan Teorema 2.1.6 tersebut.
Contoh 2.1.7
Diberikan G = { (a, b) | a, b ∈ R, b 6= 0 } dan didefinisikan (a, b) ∗ (c, d) = (a + bc, bd)
untuk setiap (a, b); (c, d) ∈ G. Telah dibuktikan bahwa hG, ∗i merupakan grup. Buktik-
an/bantahlah bahwa K = { (a, b) ∈ G | b > 0 } merupakan subgrup dari G.
Solusi. Ambil sebarang (a, b) ∈ K maka (a, b) ∈ G, artinya K ⊆ G. Bagian (a), telah
dibuktikan bahwa elemen identitas G adalah e = (0, 1). Karena (0, 1) ∈ G dan 1 > 0
maka (0, 1) ∈ K, artinya e ∈ K. Bagian (b), ambil sebarang (a1, b1) dan (a2, b2) elemen
K maka (a1, b1); (a2, b2) ∈ G dan b1, b2 > 0. Kita peroleh
(a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + b1a2, b1b2)
karena (a1, b1); (a2, b2) ∈ G maka (a1, b1) + (a2, b2) ∈ G dan karena b1, b2 > 0 maka
b1b2 > 0, dengan demikian (a1, b1) + (a2, b2) ∈ K. Bagian (c), ambil sebarang (a, b) ∈ K
maka (a, b) ∈ G dan b > 0. Karena G grup maka (a, b)−1 ∈ G dan (a, b)−1 =
−
a
b
,
1
b
.
Diketahui juga b 0 berakibat
1
b
0. Karena (a, b)−1 =
−
a
b
,
1
b
∈ G dan
1
b
0 maka
(a, b)−1 ∈ H.
Berdasarkan (a), (b), dan (c) terbukti bahwa K adalah subgrup dari G.
c
Mahmudi
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah
5. Matakuliah Aljabar Grup 36
Salah satu cara lain yang lebih sederhana untuk membuktikan suatu himpunan bagian
merupakan subgrup atau bukan adalah menggunakan teorema berikut.
Teorema 2.1.8. Misalkan hG, ∗i grup dan H ⊆ G. Himpunan H merupakan subgrup
dari G jika dan hanya jika H 6= ∅ dan untuk setiap g, h ∈ H berlaku g ∗ h−1 ∈ H.
Bukti.
Teorema 2.1.8 berbentuk biimplikasi atau jika hanya jika. Diketahui hG, ∗i grup dengan
elemen identitas e dan H ⊆ G. Misalkan
p:= H merupakan subgrup dari G.
q:= H 6= ∅ dan untuk setiap g, h ∈ H berlaku g ∗ h−1 ∈ H.
(p =⇒ q) Asumsikan p benar, artinya H merupakan subgrup dari G. Dibuktikan bahwa q
juga benar, artinya H 6= ∅ dan untuk setiap g, h ∈ H berlaku g ∗ h−1 ∈ H.
Karena H subgrup dari G maka hH, ∗i merupakan grup, artinya H 6= ∅ dan H bersifat
tertutup terhadap operasi ∗ dan setiap elemen H memiliki balikan di H. Ambil sebarang
g, h ∈ H maka h−1 ∈ H, diperoleh g ∗ h−1 ∈ H.
(q =⇒ p) Soal Latihan.
Berikut, akan diberikan contoh penggunaan Teorema 2.1.8.
Contoh 2.1.9
Buktikan SL2(R) merupakan subgrup dari GL2(R) menggunakan Teorema 2.1.8.
Solusi. Kita tuliskan terlebih dahulu definisi kedua himpunan tersebut.
GL2(R) =
a =
a1 a2
a3 a4
17. b1, b2, b3, b4 ∈ R, dan |b| = 1
.
Pertama, akan kita buktikan bahwa SL2(R) 6= ∅ dan SL2(R) ⊆ GL2(R). Ambil sebarang
x ∈ SL2(R) maka x =
x1 x2
x3 x4
dengan x1, x2, x3, x4 ∈ R dan |x| = 1. Matriks x
berukuran 2 × 2, artinya memenuhi syarat bentuk elemen di GL2(R). Entri-entri matriks
x1, x2, x3, x4 ∈ R dan determinan matriks |x| = 1 6= 0, artinya memenuhi syarat elemen
c
Mahmudi
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah
18. Matakuliah Aljabar Grup 37
di GL2(R). Dengan demikian, untuk setiap x ∈ SL2(R) berlaku x ∈ GL2(R). Artinya
SL2(R) ⊆ GL2(R). Himpunan SL2(R) memuat
1 0
0 1
∈ SL2(R), artinya SL2(R) 6= ∅.
Kedua, akan kita buktikan untuk setiap g, h ∈ SL2(R) berlaku gh−1 ∈ SL2(R). Ambil
sebarang g, h ∈ SL2(R) maka g =
g1 g2
g3 g4
, h =
h1 h2
h3 h4
dengan g1, g2, g3, g4 ∈ R,
h1, h2, h3, h4 ∈ R, |g| = 1, dan |h| = 1. Untuk dapat membuktikan gh−1 ∈ SL2(R), kita
perlu h−1. Dapat dihitung h−1 =
h4 −h2
−h3 h1
. Perhatikan bahwa
gh−1
=
g1 g2
g3 g4
h4 −h2
−h3 h1
=
g1h4 − g2h3 g2h1 − g1h2
g3h4 − g4h3 g4h1 − g3h4
.
Matriks gh−1 berukuran 2 × 2, artinya memenuhi syarat bentuk elemen di SL2(R). Entri-
entri matriks gh−1 merupakan bilangan real dan berdasarkan sifat determinan,
30. =
|g|
|h|
= 1. Dengan demikian, gh−1 memenuhi syarat elemen di SL2(R), artinya
gh−1 ∈ SL2(R). Jadi, terbukti SL2(R) merupakan subgrup dari GL2(R).
Contoh 2.1.10
Buktikan bahwa S =
1 s1
0 s2
31.
32.
33.
34.
35.
36. s1, s2 ∈ R, s2 6= 0
merupakan subgrup dari GL2(R).
Solusi. Pertama, akan kita buktikan bahwa S 6= ∅ dan S ⊆ GL2(R), yaitu untuk setiap
a ∈ S maka a ∈ GL2(R). Ambil sebarang a ∈ S maka a =
1 a1
0 a2
dengan a1, a2 ∈ R
dan a2 6= 0. Matriks a berukuran 2×2, artinya memenuhi syarat bentuk elemen di GL2(R).
Entri-entri matriks, yaitu 1, a1, 0, a2 ∈ R dan determinan matriks |a| = 1 · a2 6= 0, artinya
memenuhi syarat elemen di GL2(R). Dengan demikian, untuk setiap a ∈ S berlaku
a ∈ GL2(R). Artinya S ⊆ GL2(R). Jelas S memuat
1 0
0 1
, artinya S 6= ∅.
Kedua, akan kita buktikan untuk setiap a, b ∈ S berlaku ab−1 ∈ S. Ambil sebarang
a, b ∈ S maka a =
1 a1
0 a2
, b =
1 b1
0 b2
dengan a1, a2 ∈ R, b1, b2 ∈ R, a2 6= 0, dan
b2 6= 0.
Untuk dapat membuktikan ab−1 ∈ S, kita perlu b−1. Dapat dihitung
b−1
=
1
b2
b2 −b1
0 1
=
1 −b1
b2
0 1
b2
.
c
Mahmudi
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah
37. Matakuliah Aljabar Grup 38
Perhatikan bahwa
ab−1 =
1 a1
0 a2
1 −
b1
b2
0
1
b2
=
1
a1 − b1
b2
0
a2
b2
,
Matriks ab−1 berukuran 2×2 dengan bentuk entri yang memenuhi syarat bentuk elemen
di S. Entri-entri matriks ab−1 merupakan bilangan real dengan
a2
b2
6= 0 (karena a2 6= 0,
b2 6= 0). Dengan demikian, ab−1 memenuhi syarat elemen di S. Artinya ab−1 ∈ S. Jadi,
terbukti S merupakan subgrup dari GL2(R).
Selanjutnya, kita akan membuktikan beberapa sifat subgrup dan contoh yang terkait de-
ngan subgrup. Kita mulai dengan definisi berikut.
Definisi 2.1.11
Misalkan H dan K masing-masing himpunan bagian dari grup hG, ∗i, maka
1. H−1 =
h−1
38.
39. untuk suatu h ∈ H
2. HK = { h ∗ k | untuk suatu h ∈ H dan k ∈ K }
Teorema 2.1.12. Misalkan G grup dan H subgrup dari G, maka
(a) HH = H, didefinisikan HH = { h1 ∗ h2 | h1, h2 ∈ H }.
(b) H−1 = H
Bukti.
Dua himpunan dikatakan sama, misal A = B, jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A.
Dengan demikian, untuk membuktikan kesamaan dua himpunan dapat dilakukan dengan
membuktikan masing-masing merupakan himpunan bagian satu sama lain.
(a) Akan dibuktikan HH ⊆ H dan H ⊆ HH. Pertama, kita mulai dengan membuk-
tikan H ⊆ HH. Ambil sebarang h ∈ H, karena H subgrup maka h = h ∗ e ∈ HH.
Artinya H ⊆ HH. Kedua, akan kita buktikan bahwa HH ⊆ H. Ambil sebarang
x ∈ HH maka x = h1 ∗h2 untuk suatu h1, h2 ∈ H. Karena H grup maka h1∗h2 ∈ H,
dengan demikian x = h1 ∗ h2 ∈ H. Artinya HH ⊆ H.
(b) Soal Latihan
c
Mahmudi
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah
40. Matakuliah Aljabar Grup 39
Teorema 2.1.13. Misalkan H dan K masing-masing merupakan subgrup dari hG, ∗i.
Himpunan HK merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH.
Bukti.
Diketahui H dan K masing-masing merupakan subgrup dari hG, ∗i. Kita misalkan per-
nyataan p dan q sebagai berikut.
p:= HK merupakan subgrup dari G.
q:= HK = KH.
(q =⇒ p) Asumsikan HK = KH akan dibuktikan HK merupakan subgrup dari G.
Kita akan menggunakan Teorema 2.1.8, dengan demikian harus dibuktikan (pertama),
HK 6= ∅ dan HK ⊆ G dan (kedua), untuk setiap x, y ∈ HK berlaku xy−1 ∈ HK.
Bagian pertama, ambil sebarang x ∈ HK maka x = h1 ∗ k1 untuk suatu h1 ∈ H dan
k1 ∈ K. Diketahui H dan K subgrup dari G, artinya h1, k1 ∈ G. Diperoleh h1 ∗ k1 ∈ G
yang berakibat x = h1 ∗k1 ∈ G. Artinya HK ⊆ G. Jelas HK memuat e = eh ∗ek. Artinya
HK 6= ∅.
Bagian kedua, ambil sebarang x, y ∈ HK, maka x = h1 ∗ k1, y = h2 ∗ k2 untuk suatu
h1, h2 ∈ H dan k1, k2 ∈ K. Perhatikan bahwa
x ∗ y−1
= (h1 ∗ k1) ∗ (h2 ∗ k2)−1
kesamaan elemen
= (h1 ∗ k1) ∗ k−1
2 ∗ h−1
2
sifat sederhana
= (h1 ∗ k1) ∗ (h3 ∗ k3) KH = HK
= (h1 ∗ (k1 ∗ h3) ∗ k3) Assosiatif
= (h1 ∗ (h4 ∗ k4) ∗ k3) KH = HK
= (h1 ∗ h4) ∗ (k4 ∗ k3) Assosiatif
∈ HK.
Berdasarkan bagian pertama dan bagian kedua maka HK merupakan subgrup dari G.
(p =⇒ q) Soal Latihan.
Contoh 2.1.14
Misalkan H dan K masing-masing merupakan subgrup dari hG, ∗i. Berikan contoh se-
hingga H ∪ K bukan merupakan subgrup dari G.
c
Mahmudi
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah
41. Matakuliah Aljabar Grup 40
Solusi. Misalkan hZ, +i grup. Dapat dibuktikan bahwa 2Z dan 3Z merupakan subgrup
dari Z. Dengan demikian, pilih G = Z, H = 2Z, dan K = 3Z. Kita peroleh
2Z ∪ 3Z = { · · · , −6, −4, −3, −2, 0, 2, 3, 4, 6, · · · }
Walaupun 2Z ∪ 3Z memuat elemen identitas, yaitu 0, dan setiap elemen memiliki balikan.
Namun 2Z∪3Z tidak bersifat tertutup terhadap penjumlahan. Dapat dipilih 3 dan 2 yang
merupakan elemen di 2Z ∪ 3Z tetapi 2 + 3 = 5 6∈ 2Z ∪ 3Z. Jadi, 2Z ∪ 3Z bukan subgrup.
Teorema 2.1.15. Misalkan H dan K masing-masing merupakan subgrup dari hG, ∗i.
Buktikan bahwa H ∩ K merupakan subgrup dari G.
Bukti.
Soal Latihan
Teorema 2.1.16. Misalkan H subgrup dari hG, ∗i. Jika g ∈ G, buktikan bahwa N =
g ∗ H ∗ g−1
42.
43. untuk suatu h ∈ H
merupakan subgrup G.
Bukti.
Pertama, akan dibuktikan N 6= ∅ dan N ⊆ G. Ambil sebarang x ∈ N, maka x =
g ∗ h1 ∗ g−1 untuk suatu h1 ∈ H. Karena H subgrup maka h1 ∈ G dan g ∈ G maka
g−1 ∈ G, berakibat g ∗ h1 ∗ g−1 ∈ G. Diperoleh, untuk setiap x ∈ N berlaku x ∈ G,
artinya N ⊆ G. Himpunan N memuat e = g ∗ eh ∗ g−1, artinya N 6= ∅. Kedua, akan
dibuktikan untuk setiap x, y ∈ N berlaku x ∗ y−1 ∈ N. Ambil sebarang x, y ∈ N maka
x = g ∗ h2 ∗ g−1 dan y = g ∗ h3 ∗ g−1 untuk suatu h2, h3 ∈ H. Diperoleh
x ∗ y−1
= g ∗ h2 ∗ g−1
∗ g ∗ h3 ∗ g−1
−1
= g ∗ h2 ∗ g−1
∗ g ∗ h−1
3 ∗ g−1
= (g ∗ h2) ∗ g−1
∗ g
∗ h−1
3 ∗ g−1
= g ∗ h2 ∗ h−1
3
∗ g−1
= g ∗ h4 ∗ g−1
∈ N untuk suatu h4 = h2 ∗ h−1
3 ∈ H.
Berdasarkan bagian pertama dan bagian kedua, terbukti N subgrup dari G.
c
Mahmudi
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah
44. Matakuliah Aljabar Grup 41
Lebih mendalam, kita akan membahas beberapa tipe subgrup khusus dan memiliki per-
anan penting dalam aljabar grup. Kita mulai dengan definisi berikut.
Definisi 2.1.17 (Pusat Grup)
Misalkan hG, ∗i grup, himpunan bagian dari G yang beranggotakan elemen-elemen yang
saling komutatif dengan setiap elemen G dinamakan Pusat dari grup G, dinotasikan
Z(G). Secara matematis ditulis
Z(G) = { x ∈ G | x ∗ y = y ∗ x untuk setiap y ∈ G }
Catatan: Jika G grup komutatif maka Z(G) = G, dan jika G grup tak komutatif maka
Z(G) 6= G. Namun, Z(G) selalu merupakan subgrup komutatif seperti dinyatakan dalam
Teorema 2.1.18 berikut.
Teorema 2.1.18. Pusat dari grup G, yaitu Z(G), merupakan subgrup komutatif dari grup
G.
Bukti.
Pertama, akan dibuktikan Z(G) merupakan subgrup dari grup G, dan kedua, akan
dibuktikan Z(G) komutatif. Untuk membuktikan Z(G) subgrup dari grup G maka perlu
dibuktikan
Langkah 1. Apakah Z(G) 6= ∅?
Jelas e ∈ G dan e ∗ s = s ∗ e untuk setiap s ∈ G. Diperoleh e ∈ Z(G), artinya
Z(G) 6= ∅.
Langkah 2. Apakah Z(G) himpunan bagian dari G?
Berdasarkan definisi Z(G) diketahui bahwa setiap x ∈ Z(G) maka x ∈ G. Artinya
Z(G) ⊆ G.
Langkah 3. Apakah untuk setiap x, y ∈ Z(G) berlaku x ∗ y−1 ∈ Z(G)?
Ambil sebarang x, y ∈ Z(G) maka x, y ∈ G dan x ∗a = a ∗x serta y ∗b = b ∗y untuk
setiap a, b ∈ G. Karena y ∗ b = b ∗ y maka b ∗ y−1 = y−1 ∗ b dan akan diperoleh
x ∗ y−1
∗b = x∗ y−1
∗ b
= x∗ b ∗ y−1
= (x∗b)∗y−1
= (b∗x)∗y−1
= b∗ x ∗ y−1
Karena x ∗ y−1 ∈ G dan x ∗ y−1
∗ b = b ∗ x ∗ y−1
untuk setiap b ∈ G maka
x ∗ y−1 ∈ Z(G). Jadi, terbukti bahwa Z(G) subgrup dari G.
c
Mahmudi
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah
45. Matakuliah Aljabar Grup 42
Kedua, akan dibuktikan Z(G) komutatif, yaitu untuk setiap x, y ∈ Z(G) berlaku x ∗ y =
y ∗x. Ambil sebarang x, y ∈ Z(G) maka x, y ∈ G dan x ∗a = a ∗x serta y ∗b = b ∗y untuk
setiap a, b ∈ G. Dengan demikian x ∗ y = y ∗ x, artinya Z(G) subgrup komutatif.
Definisi 2.1.19 (Pemusat suatu Elemen Grup)
Misalkan hG, ∗i grup, himpunan semua elemen G yang saling komutatif dengan suatu
a ∈ G dinamakan pemusat dari a di G, dinotasikan C(a). Secara matematis ditulis
C(a) = { x ∈ G | x ∗ a = a ∗ x }
Sebagaimana halnya pusat grup, pemusat suatu elemen grup juga merupakan subgrup.
Hal tersebut dinyatakan oleh Teorema 2.1.20 berikut.
Teorema 2.1.20. Misalkan hG, ∗i grup maka C(a) merupakan subgrup dari G.
Bukti.
Soal Latihan
Berikut diberikana contoh menentukan pemusat elemen grup dan pusat grup.
Contoh 2.1.21
Misalkan G merupakan grup yang terdefinisi pada Tabel Cayley berikut.
∗ 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 2 3 4 5 6 7 8
2 2 1 8 7 6 5 4 3
3 3 4 5 6 7 8 1 2
4 4 3 2 1 8 7 6 5
5 5 6 7 8 1 2 3 4
6 6 5 4 3 2 1 8 7
7 7 8 1 2 3 4 5 6
8 8 7 6 5 4 3 2 1
(a) Tentukan pemusat setiap elemen G.
(b) Tentukan Z(G)
c
Mahmudi
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah
46. Matakuliah Aljabar Grup 43
Solusi.
(a) Sebagaimana Definisi 2.1.19, C(a) = { x ∈ G | x ∗ a = a ∗ x }, dengan memperhatik-
an Tabel Cayley tersebut dengan seksama dapat diperoleh
C(1) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
C(2) = { 1, 2, 5, 6 }
C(3) = { 1, 3, 5, 7 }
C(4) = { 1, 4, 5, 8 }
C(5) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
C(6) = { 1, 2, 5, 6 }
C(7) = { 1, 3, 5, 7 }
C(8) = { 1, 4, 5, 8 }
(b) Berdasarkan bagian (a), diperoleh Z(G) = { 1, 5 }.
c
Mahmudi
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah
