GRUP SIKLIK,GRUP PERMUTASI DAN HOMOMORFISMA

1. GRUP SIKLIK , GRUP
PERMUTASI DAN
HOMOMORFISMA
S T K I P M U H A M M A D YA H PA G A R A L A M
Oleh:
1. Sigit Winarso
2. Rizen Handika
3. Debi Hanggara

2. GRUP SIKLIK
Suatu orde dari suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai
perpangkatan (positif atau negetif) atau perkalian dari suatu unsur tetap
dari Grup tersebut. Grup yang seperti ini dinamakan Grup Siklik.
• Definisi 4.1 : (terhadap perkalian)
• Grup (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a Î G sedemikian hingga
• G ={an | n Î Z}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut.
• Definisi 4.2 : (terhadap penjumlahan)
• Grup (G,+) disebut siklik, bila ada elemen a Î G sedemikian hingga
• G ={na | n Î Z}.

3. • Definisi 4.3 :
• Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a Î G, maka generator a yang
membangun suatu Subgrup [a] dinamakan Subgrup Siklik dari (G,*).
yang dimaksud dengan Subgrup Siklik yaitu suatu Subgrup yang
dibangkitkan oleh satu unsur.
• Definisi 4.4 :
• Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a Î G, maka generator a yang
membangun suatu Subgrup [a] dimana [a] = G, maka Subgrup
dinamakan Grup Siklik.
• Grup Siklik adalah Subgrup yang unsur-unsurnya merupakan unsur-
unsur dari Grup itu sendiri. Suatu Grup Siklik bisa beranggotakan
terhingga banyaknya unsur, bisa juga beranggotakan tak hingga
unsur.

4. • Contoh 4.1 :
• Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .).
• Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.
• Penyelesaian :
• Generator dari G = {-1, 1} adalah -1 dan 1
• [-1] = {(-1)n | n Î Z}
• = {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …}
• = {-1, 1}
• [1] = {(1)n | n Î Z}
• = {(1)0, (1)1, (1)2, …}
• = {1}
• generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga :
• [-1] = {-1, 1}
• generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga :
• [1] = {1}.

7. GRUP PERMUTASI
• Definisi 4.5 :
• Suatu permutasi dari n unsur adalah suatu fungsi bijektif dari
n unsur ke himpunan itu sendiri.
• Untuk memudahkan digunakan bilangan bulat (1, 2, 3, …, n) untuk
menyatakan himpunan n unsur.
• Permutasi a disajikan :

8. • Contoh 4.6 :
• Misalkan  permutasi pada himpunan permutasi-permutasi dari
bilanganbilangan bulat (1, 2, 3, 4, 5) sehingga  (1) = 2,  (2) = 1,  (3)
4,  (4) = 5 dan  (5) = 3.
Ditulis permutasi ini :
Jika a dan b adalah dua permutasi, maka hasil kali dari a dan b
didefinisikan ab(i) = a(b(i)) untuk setiap i = 1, 2, 3, …, n (yaitu a kali b,
berarti pertama kita mengerjakan permutasi b kemudian
mengerjakan permutasi a pada hasi kalinya).

9. • Contoh 4.7 :
• Misalkan  dan  dua permutasi yang didefinisikan sebagai berikut :
• dan
Tentukan  dan 
!

11. HOSMOMORFISMA