1. DISUSUN
OLEH :
1. Nurul Fajriah (06122502039)
2. Rahmawati Indah L.S (06122502010)
Dosen Pengasuh :
Dr. Darmawijoyo
Dr. Nila Kesumawati, M.Si.
PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
2012-2013
1

2. GRUP SIKLIK
A. Pendahuluan
Pada pertemuan-pertemuan sebelumnya telah dibahas mengenai grup mulai dari
definisi grup, cara menentukan suatu himpunan merupakan grup atau bukan,
menjelaskan finite grup, definisi subgroup sampai terpenuhinya syarat-syarat
subgrup suatu grup, serta menentukan order dari grup dan order dari anggota grup.
Maka pada sub bahasan ini akan dijelaskan suatu orde dari suatu grup yang setiap
unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan (positif atau negatif) atau perkalian
dari suatu unsur tetap dari grup tersebut. Grup yang seperti ini dinamakan grup
siklik. Dengan kata lain, Grup Siklik adalah subgrup yang unsur-unsurnya
merupakan unsur-unsur dari grup itu sendiri berdasarkan pembangunnya atau
generatornya.
Suatu grup siklik bisa beranggotakan terhingga atau bisa juga beranggotakan
unsur-unsur tak hingga. Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur
terhingga dinamakan Grup Siklik berhingga (finite group cyclic) dan Grup Siklik
yang beranggotakan banyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak
hingga (infinite group cyclic).
Dengan demikian, setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan mampu:
a) Menjelaskan definisi dari grup siklik
b) Menentukan generator dari grup siklik
c) Mampu membuktikan apakah grup merupakan siklik atau tidak dengan
menentukan generatornya
d) Menerapkan teorema-teorema yang berhubungan dengan generator
e) Menentukan order dari grup siklik
f) Menentukan grup siklik dari suatu grup
g) Menganalisa keterkaitan grup siklik dengan grup komutatif (grup abelian)
2

3. B. Definisi
Definisi 1 :Grup Siklik (terhadap penjumlahan)
Grup G (G, +) disebut siklik, bila ada elemen 𝑎 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga
𝐺 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ 𝑍}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut.
(Fadli, 2006 : 55)
Contoh 1 :
Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G,+).
Buktikan bahwa G tersebut adalah grup siklik.
Penyelesaian
Diketahui : G = {0, 1, 2, 3}
Ditanya : Tentukan grup siklik dan subgrup siklik dari G!
Jawab :
G = {0, 1, 2, 3}
< 𝑎 >= {𝑛𝑎|𝑛 ∈ 𝑍}
<0> = {n (0) | n ∈ Z}
= {…, (-1).0, 1.0, …}
= {0}
<1> = {n (1) | n ∈ Z}
= {…, (-4).1, (-3).1, (-2).1, (-1).1, 0.1, 1.1, 2.1, 3.1, 4.1, …}
= {1, 2, 3, 0}
<2> = {n (2) | n ∈ Z}
= {…, (-2).1, (-1).1, 0.1, 1.2, 2.2, …}
= {2, 0}
<3> = {n (3) | n ∈ Z}
= {…, (-4).3, (-3).3, (-2).3, (-1).3, 0.3, 1.3, 2.3, 3.3, 4.3,…}
= {3, 2, 1, 0}
3

4. Karena G = <1> = <3> = {0, 1, 2, 3}, dengan kata lain 1 dan 3 adalah generator
dari G maka G = {0, 1, 2, 3} merupakan grup siklik.
Definisi 2 : Grup Siklik (terhadap perkalian)
Grup G (G, .) disebut siklik, bila ada elemen 𝑎 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga
𝐺 = {𝑎 𝑛 |𝑛 ∈ 𝑍}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut.
(Gallian, 2008 : 72)
Suatu grup G dan suatu unsur 𝑔 ∈ 𝐺, jika grup G dapat dinyatakan sebagai
𝐺 = {𝑔 𝑛 |𝑛 ∈ 𝑍}, maka g dikatakan pembangun dari grup G dan grup G
disebut Grup Siklik, biasanya dinotasikan G = <g>
(Muchlisah, 2005 : 58)
Contoh 2 :
Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .).
Buktikan bahwa G adalah grup siklik.
Penyelesaian :
Diket : G = {-1, 1}
Dit : Buktikan G adalah grup siklik.
Jawab :
G = {-1, 1}
<a> = {𝑎 𝑛 |𝑛 ∈ 𝑍}
<-1> = {…, (-1)-2, (-1)-1, (-1)o, (-1)1, (-1)2, …}
= {-1, 1}
<1> = {…, 1-2,1-1, 11, 12, …}
= {1}
Karena G = <-1> = {-1, 1}, dengan kata lain -1 adalah generator dari G maka
G = {-1, 1} merupakan grup siklik.
4

5. Definisi 3 : Sub Grup Siklik
(G, *) adalah suatu grup dan 𝑎 ∈ 𝐺, maka generator a yang membangun
suatu subgroup <a> dinamakan sub grup siklik dari (G, *)
(Fadli, 2006 : 55)
Jadi yang dimaksud dengan Sub Grup Siklik yaitu suatu subgrup yang
dibangkitkan oleh satu unsur.
Contoh 3 :
Buktikan bahwa Z8 adalah grup siklik. Kemudian tentukan sub grup sikliknya!
Penyelesaian :
Diketahui : Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Ditanya : - apakah Z8 grup siklik?
- tentukan subgrup siklik dari Z8
Jawab :
Bukti
Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
𝐺 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ 𝑍}
<0> = {n (0) | n ∈ Z}
= {…, (-1).0, 0.0, 1.0,…}
= {0}
<1> = {n (1) | n ∈ Z}
= {…, (-8).1, (-7).1, (-6).1, (-5).1, (-4).1, (-3).1, (-2).1, (-1).1, 0.1, 1.1, 2.1,
3.1, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, 8.1, …}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0}
<2> = {n (2) | n ∈ Z}
= {…, (-4).2, (-3).2, (-2).2, (-1).2, 0.2, 1.2, 2.2, 3.2, 4.2, …}
= {2, 4, 6, 0}
<3> = {n (3) | n ∈ Z}
= {…, (-8).3, (-7).3, (-6).3, (-5).3, (-4).3, (-3).3, (-2).3, (-1).3, 0.3,1.3, 2.3,
3.3, 4.3, 5.3, 6.3, 7.3, 8.3, …}
5

6. = {3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0}
<4> = {n (4) | n ∈ Z}
= {…, (-2).4, (-1).4, 0.4, 1.4, 2.4, …}
= {4, 0}
<5> = {n (5) | n ∈ Z}
= {…, (-8).5, (-7).5, (-6).5, (-5).5, (-4).5, (-3).5, (-2).5, (-1).5, 0.5,1.5, 2.5,
3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5, …}
= {5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0}
<6> = {n (6) | n ∈ Z}
= {…, (-4).6, (-3).6, (-2).6, (-1).6, 0.6, 1.6, 2.6, 3.6, 4.6, …}
= {6, 4, 2, 0}
<7> = {n (7) | n ∈ Z}
= {…, (-8).7, (-7).7, (-6).7, (-5).7, (-4).7, (-3).7, (-2).7, (-1).7, 0.7,1.7, 2.7,
3.7, 4.7, 5.7, 6.7, 7.7, 8.7, …}
= {7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}
Karena terdapat <a> = G yaitu 1, 3, 5 dan 7 maka Z8 adalah Grup Siklik.
Yang merupakan subgrup sikliknya yaitu
<2> = {2, 4, 6, 0}
<4> = {4, 0}
<6> = {6, 4, 2, 0}
Contoh 4 :
Buktikan bahwa U(10) adalah grup siklik. Kemudian tentukan sub grup sikliknya!
Penyelesaian :
Diketahui : U(10) = {1, 3, 7, 9}
Ditanya : - apakah U(10) grup siklik?
- tentukan subgrup siklik dari U(10)
Jawab :
Bukti
U(10) = {1, 3, 7, 9}
6

7. <a> = {𝑎 𝑛 |𝑛 ∈ 𝑍}
<1> = {11, 12, 10…}
= {1} ………………….<1> ≠ U(10)
<3> = {31, 32, 33, 30, …}
= {3, 9, 7,1} ………….<3> = U(10)
<7> = {71, 72, 73, 70,…}
= {7, 9, 3, 1} ………… <7> = U(10)
<9> = {91, 92, 93, 90,…}
= {9, 1,…} ………….. <9> ≠ U(10)
Karena terdapat <a> = G yaitu 3 dan 7 maka U(10) adalah Grup Siklik.
Yang merupakan subgrup sikliknya yaitu <1> = {1} dan <9> = {1, 9}
C. Teorema dan Akibat
 Teorema 1 : ak = agcd(n,k)
Let a be an element of order n in a group and let k be a positive integer.
Then ak = agcd(n,k) and |ak| = n/gcd(n,k).
 Akibat 1 : Generator dari finite group siklik
G=<a>adalah group siklik dengan order n, maka G=<ak>jika dan hanya
jika FPB (k,n) =1
 Akibat 2 : Generator Zn
Dengan bilangan bulat k dalam Zn, adalah generator dari Zn jika dan
hanya jika gcd (n, k) = 1
(Gallian, 2008 : 76)
Contoh 5 :
Dari acuan teorema 1 akibat 1, tentukan semua generator dari grup siklik U(50)
|U(50)| = 20 dan tiga adalah salah satu dari generatornya.
7

8. Demikianlah, dalam melihat teorema 1, daftar pelengkap dari generator-generator
untuk U(50) adalah
31 mod 50 = 3 311 mod 50 = 47
33 mod 50 = 27 313 mod 50 = 23
37 mod 50 = 37 317 mod 50 = 13
39 mod 50 = 33 319 mod 50 = 17
320 mod 50 = 1
 Teorema 2 : Teorema Dasar Grup Siklik
Setiap subgrup pada sebuah grup siklik adalah grup siklik itu pula.
Lebih-lebih jika 𝒂 = 𝒏, lalu order pada subgrup 𝒂 adalah sebuah
pembagi n dan atau setiap k pembagi positif pada n, grup 𝒂 memiliki
tepat satu subgrup berorder k, yaitu 𝒂 𝒏 𝒌
.
(Gallian, 2008 : 77)
Bukti :
Jika G = 𝑎 , a adalah generator G.
Andaikan bahwa H adalah sebuah subgrup G. Maka kita tunjukkan bahwa H
adalah siklik. Jika elemen dari G terdiri dari identitas diri sendiri, maka dengan
jelas H adalah siklik. Jadi kita boleh mengasumsikan bahwa 𝐻 ≠ 𝑒 .
Jika H mengandung sebuah unsur dengan bentuk 𝑎 𝑡 , dimana t adalah positif.
Diketahui, 𝐺 = 𝑎 , setiap unsur H mempunyai bentuk 𝑎 𝑡 .
Sehingga 𝑎 𝑡 ∈ 𝐻 dengan 𝑡 < 0
Dan lalu 𝑎−𝑡 ∈ 𝐻 , nilai –t adalah positif.
Maka, pernyataan kita diterima.
Sekarang jika m bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga 𝑎 𝑚 𝜖𝐻.
𝑚 𝑚
Secara tertutup, 𝑎 ≤ 𝐻. Selanjutnya kita menyatakan bahwa 𝐻 = 𝑎 .
Untuk membuktikan pernyataan ini dengan memisalkan b sebuah anggota H, dan
𝑚
menunjukkan bahwa b ada pada 𝑎 .
8

9. Selama 𝑏 ∈ 𝐺 = 𝑎 , kita punya 𝑏 = 𝑎 𝑘 untuk beberapa k.
Menggunakan algoritma dalam pembagian untuk k dan m, untuk mendapatkan
bilangan bulat q dan r sedemikian sehingga :
𝑘 = 𝑚𝑞 + 𝑟 dimana 0 ≤ 𝑟 < 𝑚.
Maka,
𝑎𝑘 = 𝑎 𝑚𝑞 +𝑟
= 𝑎 𝑚𝑞
∙ 𝑎 𝑟,
Jadi
𝑎 𝑟 = 𝑎−𝑚𝑞 ∙ 𝑎 𝑘
Selama
𝑎 𝑘 = 𝑏 ∈ 𝐻, dan
𝑎−𝑚𝑞 = 𝑎 𝑚 −𝑞
juga pada H, 𝑎 𝑟 ∈ 𝐻.
𝑚
Tapi m bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga 𝑎 ∈ 𝐻, dan
0 ≤ 𝑟 < 𝑚, maka r harus nol.
𝑎−𝑚𝑞 ∙ 𝑎 𝑘 = 𝑒, maka dari itu
𝑏 = 𝑎𝑘 = 𝑎 𝑚𝑞
= 𝑎 𝑚 𝑞
∈ 𝑎 𝑚
.
Sehingga,
𝑚
𝐻 = 𝑎 adalah sebuah pembagi n
𝑘 𝑘 𝑡
Pada akhirnya, jika k pembagi n. Jelas bahwa 𝑎𝑛 𝑘
= 𝑎 𝑛 = 𝑒 dan 𝑎𝑛 ≠
𝑒 untuk t positif < 𝑘, jadi 𝑎 𝑛 𝑘
memiliki order k.
Selanjutnya kita menunjukkan bahwa 𝑎𝑛 𝑘
adalah hanya subgrup dari order k.
Untuk mengakhiri ini, jika H menjadi subgrup dari order k. Sebelumnya kita
𝑚
sudah menunjukkan bahwa 𝐻 = 𝑎 , dimana m bilangan bulat positif terkecil
𝑚
sedemikian hingga 𝑎 pada H. Sekarang dituliskan
𝑛 = 𝑚𝑞 + 𝑟, dimana 0 ≤ 𝑟 < 𝑚, kita punya
𝑒 = 𝑎𝑛 = 𝑎 𝑚𝑞 +𝑟
= 𝑎 𝑚𝑞
∙ 𝑎 𝑟 , maka
𝑎 𝑟 = 𝑎−𝑚𝑞 = 𝑎 𝑚 −𝑞
∈ 𝐻.
9

10. Dengan, 𝑟 = 0 dan 𝑛 = 𝑚𝑞. Jadi,
𝑚
𝑘= 𝐻 = 𝑎 = 𝑛 𝑚. Ini mengikuti
𝑚
𝑚 = 𝑛 𝑘 dan 𝐻 = 𝑎 = 𝑎𝑛 𝑘
.
Contoh 6 :
Jika k adalah pembagi dari 30, subgrup order k adalah 𝑎30 𝑘
. Jadi daftar subgrup
dari 𝑎 dan daftar subgrup dari Z30 adalah :
Daftar Subgrup <a> Order
𝑎 = 𝑒, 𝑎, 𝑎2 , … , 𝑎29 Order 30
𝑎2 = 𝑒, 𝑎2 , 𝑎4 , … , 𝑎28 Order 15
𝑎3 = 𝑒, 𝑎3 , 𝑎6 , … , 𝑎27 Order 10
𝑎5 = 𝑒, 𝑎5 , 𝑎10 , 𝑎15 , 𝑎20 , 𝑎25 Order 6
𝑎6 = 𝑒, 𝑎6 , 𝑎12 , 𝑎18 , 𝑎24 Order 5
𝑎10 = 𝑒, 𝑎10 , 𝑎20 Order 3
𝑎15 = 𝑒, 𝑎15 Order 2
𝑎30 = 𝑒 Order 1
Pada umumnya, jika 𝑎 memiliki order n dan k pembagi n, lalu 𝑎𝑛 𝑘
adalah
subgrup tunggal pada order k.
 Akibat : Subgrup Zn
Untuk setiap pembagi positif k pada n, himpunan 𝑛 𝑘 adalah
subgrup tunggal 𝑍 𝑛 pada order k, lebih dari itu, hanya ada
subgrup dalam 𝑍 𝑛 .
(Gallian, 2008 : 77)
10

11. Contoh 7 : Berdasarkan dari contoh 6 di atas bahwa daftar subgrup dari 𝑍30
adalah :
Daftar Subgrup Z30 Order
1 = 0, 1, 2, … , 29 Order 30
2 = 0, 2, 4, … , 28 Order 15
Daftar Subgrup Z30 Order
3 = 0, 3, 6, … , 27 Order 10
5 = 0, 5, 10, 15, 20, 25 Order 6
6 = 0, 6, 12,18, 24 Order 5
10 = 0, 10, 20 Order 3
15 = 0, 15 Order 2
30 = 0 Order 1
 Teorema 3 : Jumlah pada elemen setiap order dalam Grup Siklik.
Jika d adalah sebuah pembagi positif pada n, angka pada unsur dalam
order d dalam sebuah grup siklik pada order n adalah 𝝋(𝒅).
 Akibat : Jumlah unsur pada elemen order adalah finite grup
Dalam grup finit, jumlah elemen order d habis dibagi oleh 𝝋(𝒅)
(Gallian, 2008 : 80)
Contoh 8
Tentukan subgrup dari Z12 dan buat diagram lattice
Z12 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
Penyelesaian
Ambil a = 2 dimana <2> = {0, 2, 4, 6, 8, 10}.
21 = 2 24 = 8
22 = 4 25 = 10
23 = 6 26 = 0
11

12. Apabila 2 dipangkatkan sampai n dimana n є Z hasilnya tetap berada pada <2>
sehingga tertutup terhadap operasi pada Z12. Akibatnya <2> merupakan subgrup
dari Z12.
Dengan cara serupa ambil a = 3 dimana <3> = {0, 3, 6, 9} sehingga diperoleh:
31 = 3 35 = 3
32 = 6 36 = 6
33 = 9 37 = 9
34 = 0 38 = 0
Dari hasil di atas <3> merupakan subgrup dari Z12.
Selanjutnya ambil a = 4 dimana <4> = {0, 4, 8}.
41 = 4 44 = 4
42 = 8 45 = 8
43 = 0 46 = 0
Apabila 4 dipangkatkan sampai pangkat ke-n, dimana n є Z hasilnya akan sama
dengan order dari <4> yaitu <4> = {0, 4, 8} sehingga tertutup terhadap operasi di
Z12 akibatnya <4> merupakan subgrup dari Z12.
Ambil a = 6 dimana <6> = {0, 6} dengan cara yang sama diperoleh:
61 = 6 63 = 6
62 = 0 64 = 0
Dengan memangkatkan a sampai pangkat ke-n hasilnya akan sama dengan <6>
sehingga <6> tertutup terhadap operasi di Z12 akibatnya <6> merupakan subgrup
dari Z12.
Dari hasil diatas dapat disimpulkan <2>, <3>, <4>, dan <6> merupakan subgrup
dari Z12. <2>, <3>, <4>, dan <6> merupakan subgrup sejati nontrivial dari Z12 dan
<0> merupakan subgrup trivial dari Z12.
Diagram lattice dari Z12 adalah sebagai berikut:
12

13.  Teorema 4 :
Setiap Grup Siklik adalah Grup Abelian.
(Muchlisah, 2005 : 59)
Bukti :
Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G,
sehingga G ={an | n ∈ Z}.
Misalkan G = {ak | k ∈ Z }
Akan ditunjukkan bahwa xy = yx untuk setiap x, y ∈ G.
Ambil sebarang x, y dalam G.
Karena x, y dalam G maka
x = am dan y = an
untuk suatu m dan n dalam Z, sehingga
am an = am+n
dan
yx = an am = an+m = am+n = am an = xy.
Terbukti G grup abelian.
Contoh 9
Dari Contoh 1, tunjukkan bahwa Grup Siklik tersebut merupakan Grup Komutatif.
Penyelesaian :
Generator 1 dan 3 adalah membangun suatu Grup Siklik dari Grup.
G = {0, 1, 2, 3} terhadap penjumlahan (G,+).
Misalkan x, y ∈ G, sehingga x = na dan y = ma, untuk m, n ∈ Z.
Ambil n = 1 dan m = 2, dan generator a = 3
x + y = na + ma
= (n + m)a
= 1.3 + 2.3
= (1 + 2).3
13

14. = 3.3 = 1
y + x = ma + na
= (m + n)a
= 2.3 + 1.3
= (2 + 1).3
= 3.3 = 1
Jadi, Grup Siklik G = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif.
14

15. GLOSARIUM
Grup Siklik : Grup Siklik adalah subgrup yang unsur-unsurnya
merupakan unsur-unsur dari grup itu sendiri berdasarkan
pembangunnya atau generatornya
Subgrup Siklik : Suatu subgrup yang dibangkitkan oleh satu unsur dari
suatu grup siklik
Generator : Pembangun suatu grup siklik
Gcd (n, k) : Greatest common divisor of the integers n dan k/ FPB (n,k)
Subgrup Trivial : Subgrup yang anggotanya adalah identitas
Subgrup sejati non trivial : Semua anggota subgrup yang lain selain identitas
Subgrup Lattice : Grup yang anggota FPB nya bukan 1
Diagram Lattice : Suatu diagram untuk menggambarkan subgrup-subgrup
dari suatu grup
15

16. DAFTAR PUSTAKA
Fadli. 2006. Struktur Aljabar, Grup Siklik (online).
(http://www.fadlibae.files.wordpress.com/ …/grup-siklik.pdf. diakses
tanggal 26 September 2012).
Gallian J. A. 2010. Contemporary Abstract Algebra. Belmont: Brooks
Muchlisah, Nurul. 2005. Teori Grup dan Terapannya. Surakarta: LPP UNS dan
UNS Press.
16

17. LATIHAN SOAL
1. Carilah generator dari Z6, Z8, dan Z20.
2. Diketahui bahwa <a>, <b>, dan <c> adalah grup siklik yang masing-masing
berorder 6, 8, dan 20. Carilah semua generator dari <a>, <b>, dan <c>.
3. Daftar anggota dari subgrup <20> dan <10> di Z30. Diketahui a adalah
sebuah anggota grup yang berorder 30. Daftar anggota dari subgrup <a20>
dan <a10>.
4. Daftar anggota dari subgrup <3> dan <5> di Z18. Diketahui a adalah sebuah
anggota grup yang berorder 18. Daftar anggota dari subgrup <a3> dan <a15>.
5. Daftarkan anggota subgrup siklik dari U(30)!
6. Tentukan lattice subgrup untuk Z8!
7. Tentukan lattice subgrup untuk U(12)!
8. Tentukan lattice subgrup untuk U(14)!
17

18. KUNCI JAWABAN
1) Mencari generator dari Z6, Z8, dan Z20
Jawaban :
Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} di bawah penjumlahan
𝐺 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ 𝑍}
<0> = {n (0) | n ∈ Z}
= {1.0}
= {0}
<1> = {n (1) | n ∈ Z}
= {1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, 6.1, …}
= {1, 2, 3, 4, 5, 0}
<2> = {n (2) | n ∈ Z}
= {1.2, 2.2, 3.2, …}
= {2, 4, 0}
<3> = {n (3) | n ∈ Z}
= {1.3, 2.3, …}
= {3, 0}
<4> = {n (4) | n ∈ Z}
= {1.4, 2.4, 3.4, …}
= {4, 2, 0}
<5> = {n (5) | n ∈ Z}
= {1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5…}
= {5, 4, 3, 2, 1, 0}
Karena Z6 = <1> = <5> = {0, 1, 2, 3, 4, 5} maka generator dari dari Z6 yaitu <1>
dan <5>
Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} di bawah penjumlahan
𝐺 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ 𝑍}
<0> = {n (0) | n ∈ Z}
18

19. = {1.0} = {0}
<1> = {n (1) | n ∈ Z}
= {1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, 8.1, …}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0}
<2> = {n (2) | n ∈ Z}
= {1.2, 2.2, 3.2, 4.2, …}
= {2, 4, 6, 0 }
<3> = {n (3) | n ∈ Z}
= {1.3, 2.3, 3.3, 4.3, 5.3, 6.3, 7.3, 8.3, …}
= {3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0}
<4> = {n (4) | n ∈ Z}
= {1.4, 2.4, …}
= {4, 0}
<5> = {n (5) | n ∈ Z}
= {1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5…}
= {5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0}
<6> = {n (6) | n ∈ Z}
= {1.6, 2.6, 3.6, 4.6, …}
= {6, 4, 2, 0}
<7> = {n (7) | n ∈ Z}
= {1.7, 2.7, 3.7, 4.7, 5.7, 6.7, 7.7, 8.7…}
= {7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}
Karena Z8 = <1> = <3> = <5> = <7> = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} maka generator dari
dari Z8 yaitu <1>, <3>, <5>, dan <7>.
Z20 = {0, 1, 2, 3, ..., 19} di bawah penjumlahan
𝐺 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ 𝑍}
<0> = {n (0) | n ∈ Z}
= {1.0}
= {0}
19

20. <1> = {n (1) | n ∈ Z}
= {1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, 8.1, 9.1, 10.1, 11.1, 12.1, 13.1, 14.1, 15.1,
16.1, 17.1, 18.1, 19.1, 20.1, …}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 0}
<2> = {n (2) | n ∈ Z}
= {1.2, 2.2, 3.2, 4.2, 5.2, 6.2, 7.2, 8.2, 9.2, 10.2, …}
= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 0}
<3> = {n (3) | n ∈ Z}
= {1.3, 2.3, 3.3, 4.3, 5.3, 6.3, 7.3, 8.3, 9.3, 10.3, 11.3, 12.3, 13.3, 14.3, 15.3,
16.3, 17.3, 18.3, 19.3, 20.3, …}
= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 2, 5, 8, 11, 14, 17, 0}
<4> = {n (4) | n ∈ Z}
= {1.4, 2.4, 3.4, 4.4, 5.4, …}
= {4, 8, 12, 16, 0}
<5> = {n (5) | n ∈ Z}
= {1.5, 2.5, 3.5, 4.5, …}
= {5, 10, 15, 0}
<6> = {n (6) | n ∈ Z}
= {1.6, 2.6, 3.6, 4.6, 5.6, 6.6, 7.6, 8.6, 9.6, 10.6, …}
= {6, 12, 18, 4, 10, 16, 2, 8, 14, 0}
<7> = {n (7) | n ∈ Z}
= {1.7, 2.7, 3.7, 4.7, 5.7, 6.7, 7.7, 8.7, 9.7, 10.7, 11.7, 12.7, 13.7, 14.7, 15.7,
16.7, 17.7, 18.7, 19.7, 20.7, …}
= {7, 14, 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 0}
<8> = {n (8) | n ∈ Z}
= {1.8, 2.8, 3.8, 4.8, 5.8,…}
= {8, 16, 4, 12, 0}
<9> = {n (9) | n ∈ Z}
= {1.9, 2.9, 3.9, 4.9, 5.9, 6.9, 7.9, 8.9, 9.9, 10.9, 11.9, 12.9, 13.9, 14.9, 15.9,
16.9, 17.9, 18.9, 19.9, 20.9, …}
= {9, 18, 7, 16, 5, 14, 3, 12, 1, 10, 19, 8, 17, 6, 15, 4, 13, 2, 11, 0}
20

21. <10> = {n (10) | n ∈ Z}
= {1.10, 2.10, …}
= {10, 0}
<11> = {n (11) | n ∈ Z}
= {1.11, 2.11, 3.11, 4.11, 5.11, 6.11, 7.11, 8.11, 9.11, 10.11, 11.11, 12.11,
13.11, 14.11, 15.11, 16.11, 17.11, 18.11, 19.11, 20.11, …}
= {11, 2, 13, 4, 15, 6, 17, 8, 19, 10, 1, 12, 3, 14, 5, 16, 7, 19, 9, 0}
<12> = {n (12) | n ∈ Z}
= {1.12, 2.12, 3.12, 4.12, 5.12,…}
= {12, 4, 16, 8, 0}
<13> = {n (13) | n ∈ Z}
= {1.13, 2.13, 3.13, 4.13, 5.13, 6.13, 7.13, 8.13, 9.13, 10.13, 11.13, 12.13,
13.13, 14.13, 15.13, 16.13, 17.13, 18.13, 19.13, 20.13, …}
= {13, 6, 19, 12, 5, 18, 11, 4, 17, 10, 3, 16, 9, 2, 15, 8, 1, 14, 7, 0}
<14> = {n (14) | n ∈ Z}
= {1.14, 2.14, 3.14, 4.14, 5.14, 6.14, 7.14, 8.14, 9.14, 10.14, …}
= {14, 8, 2, 16, 10, 16, 18, 12, 6, 0}
<15> = {n (15) | n ∈ Z}
= {1.15, 2.15, 3.15, 4.15, …}
= {15, 10, 5, 0}
<16> = {n (16) | n ∈ Z}
= {1.16, 2.16, 3.16, 4.16, 5.16, …}
= {16, 12, 8, 4, 0}
<17> = {n (17) | n ∈ Z}
= {1.17, 2.17, 3.17, 4.17, 5.17, 6.17, 7.17, 8.17, 9.17, 10.17, 11.17, 12.17,
13.17, 14.17, 15.17, 16.17, 17.17, 18.17, 19.17, 20.17, …}
= {17, 14, 11, 5, 2, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1, 18, 15, 12, 9, 6, 3, 0}
<18> = {n (18) | n ∈ Z}
= {1.18, 2.18, 3.18, 4.18, 5.18, 6.18, 7.18, 8.18, 9.18, 10.18, …}
= {18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0}
21

22. <19> = {n (17) | n ∈ Z}
= {1.19, 2.19, 3.19, 4.19, 5.19, 6.19, 7.19, 8.19, 9.19, 10.19, 11.19, 12.19,
13.19, 14.19, 15.19, 16.19, 17.19, 18.19, 19.19, 20.19, …}
= {19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}
<20> = {n (20) | n ∈ Z}
= {1.20, …}
= {0}
Karena Z20 = <1> = <3> = <7> = <9> = <11> = <13> = <17> = <19> = {0, 1, 2,
3, …, 19} maka generator dari dari Z20 yaitu <1>, <3>, <7>, <9>, <11>, <13>,
<17>, dan <19>.
2) Mencari semua generator dari <a>, <b>, dan <c>
Jawaban :
 |<a>| = 6 = U7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
<a> = 𝑎 𝑛 𝑛 ∈ 𝑍
<1> = {11, 12, …}
= {1}
<2> = {21, 22, 23, …}
= {2, 4, 1}
<3> = {31, 32, 33, 34, 35, 36, …}
= {3, 2, 6, 4, 5, 1}
<4> = {41, 42, 43, …}
= {4, 2, 1}
<5> = {51, 52, 53, 54, 55, 56,…}
= {5, 4, 6, 2, 3, 1}
<6> = {61, 62, …}
= {6, 1}
Karena U7 = <3> = <5> = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka generator dari dari U7 yaitu <3>
dan <5>.
22

23.  |<b>| = 8 = Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} di bawah penjumlahan
(Pencarian generator dapat dilihat pada penyelesaian nomor 1.)
Karena Z8 = <1> = <3> = <5> = <7> = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} maka generator dari
dari Z8 yaitu <1>, <3>, <5>, dan <7>.
 |<c>| = 20 = Z20 = {0, 1, 2, 3, ..., 19}
Z20 = {0, 1, 2, 3, ..., 19} di bawah penjumlahan
(Pencarian generator dapat dilihat pada penyelesaian nomor 1.)
Karena Z20 = <1> = <3> = <7> = <9> = <11> = <13> = <17> = <19> = {0, 1, 2,
3, …, 19} maka generator dari dari Z20 yaitu <1>, <3>, <7>, <9>, <11>, <13>,
<17>, dan <19>.
3) List elements of the subgroups <a10> dan <a20> in Z30
Jawaban :
𝐺 = 𝑛𝑎 𝑛 ∈ 𝑍 𝐺
<10> = 1.10 = 10
= 2.10 = 20
= 3.10 = 0
<10> = {10, 20, 0}
<20> = 1.20 = 20
= 2.20 = 10
= 3.20 = 0
<20> = {20, 10, 0}
Maka , list elements of the subgroups <a10> dan <a20>
<a10> = {a10, a20, a0}
<a20> = {a20, a10, a0}
4) List elements of the subgroups <a3> dan <a15>
Jawaban :
𝐺 = 𝑛𝑎 𝑛 ∈ 𝑍
<3> = 1.3 = 3
= 2.3 = 6
23

24. = 3.3 = 9
= 4.3 = 12
= 5.3 = 15
= 6.3 = 0
<3> = {3, 6, 9, 12, 15, 0}
<15> = 1.15 = 15
= 2.15 = 30
= 3.15 = 9
= 4.15 = 6
= 5.15 = 3
= 6.15 = 0
<15> = {15, 30, 9, 6, 3, 0}
List elements of the subgroups <a3> dan <a15>
<a3> = {a3, a6, a9, a12, a15, a0}
<a15> = {a15, a30, a9, a6 a3 a0}
5) List the cyclic subgroups of U(30)!
Jawaban :
U(30) = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
<1> = {1}
<7> = <13> ={1, 7, 13, 19}
<11> = { 1, 11}
<17> = <23> = {1, 17, 19, 23}
<19> = { 1, 19}
<29> = { 1, 29}
Ada 6 subgup siklik dari U(30)
6) Menentukan Lattice Subgrup untuk Z8
Jawaban :
Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Ambil a= 2 dimana <2> = {0, 2, 4, 6}. Berdasarkan teorema maka:
21 = 2 22 = 4 23 = 6
24

25. 24 = 0 25 = 2
Apabila 2 selanjutnya dipangkatkan sampai n, dimana n є Z maka hasilnya akan
berulang. Sehingga <2> tertutup terhadap operasi di Z8 akibatnya <2> merupakan
subgrup dari Z8.
Selanjutnya ambil a=4, dimana <4> = {0,4}. Dengan cara serupa kita dapatkan:
41=4 43=4 45=4
42=0 44=0
Apabila 4 dipangkatkan sampai n, dimana n є Z maka hasilnya akan berulang
pada order dari <4> sehingga <4> tertutup terhadap operasi di Z8 akibatnya <4>
merupakan subgrup dari Z8.
Ternyata subgrup dari Z8 adalah <2> dan <4> dimana <2> = {0, 2, 4, 6} dan <4>
= {0, 4}. <2> dan <4> merupakan subgrup sejati nontrivial dari Z8.
Sehingga, diagram lattice-nya adalah:
7) Menentukan lattice subgroup untuk U(12)
Jawaban :
U(12) = {1, 5, 7, 11}
<1> = {1}
<5> = {1, 5}
<7> = {1, 7}
25

26. <11> = {1, 11}
Sehingga, grup latticenya adalah :
U(12)
<5> <7> <11>
<1>
8) Menentukan lattice subgroup untuk U(14)
Jawaban :
U(14) = {1, 3, 5, 7, 11, 13}
<1> = {1}
<3> = {1, 3, 5, 7, 11, 13}
<5> = {1, 3, 5, 7, 11, 13}
<9> = {1, 9, 11}
<11> = {1, 9, 11}
<13> = {1, 13}
Sehingga, grup latticenya adalah :
U(14) = <3> = <5>
<9> = <11> <13
>
<1>
26