RNG dan SUB RING

1. UNIVERSITAS GADJAH MADA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
JURUSAN MATEMATIKA
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA
Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281
Bahan Ajar:
BAB / POKOK BAHASAN I
RING DAN SUBRING
Direncanakan Untuk Perkuliahan
Minggu ke-1 dan 2
PENGANTAR STRUKTUR ALJABAR II
(Semester III/3 SKS/MMM-2201)
Oleh:
Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S.
Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si.
Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.S.
Didanai dengan dana DIPA-UGM (BOPTN)
Tahun Anggaran 2013
November 2013

2. BAB I
RING DAN SUBRING
Pada MK Pengantar Struktur Aljabar I telah diperkenalkan suatu struktur
aljabar abstrak, yaitu grup. Grup merupakan suatu himpunan tak kosong yang
dilengkapi suatu operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma. Ada banyak con-
toh grup yang dapat kita temukan dalam kehidupan sehari-hari, yakni grup (Z, +),
(Q, +), (R, +), (M2×2(R), +), dan lain sebagainya. Namun kenyataannya ada
banyak himpunan yang dilengkapi dengan dua operasi biner dan memenuhi be-
berapa aksioma tertentu, sehingga dapat didefinisikan suatu struktur aljabar abstrak.
Pada bab ini akan diperkenalkan struktur abstrak dengan dua operasi tersebut, yakni
struktur ring.
1.1. Pengantar: Sifat Himpunan Bilangan Bulat Terhadap Penjumlahan dan
Perkalian
Sebelum masuk ke pokok bahasan utama bab ini tentang Ring dan Subring,
terlebih dahulu akan ditampilkan sifat-sifat himpunan bilangan bulat terhadap ope-
rasi penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan yang tidak asing lagi bagi kita.
Sudah diketahui dari ”Pengantar Struktur Aljabar I (Pengantar Teori
Grup)” bahwa, himpunan bilangan bulat Z terhadap penjumlahan + merupakan
grup Abelian. Juga sudah diketahui bersama bahwa selain operasi penjumlahan pa-
da himpunan bilangan bulat Z juga dapat didefinisikan operasi perkalian bilangan-
bilangan (dinotasikan dengan ·).
Dengan mudah dapat disimpulkan bahwa terhadap operasi penjumlahan +
dan perkalian ·, himpunan bilangan bulat Z bersifat:
1. terhadap penjumlahan +: (Z,+) merupakan grup Abelian
2. terhadap perkalian ·: Z bersifat assosiatif, yakni
(∀n1, n2, n3 ∈ Z)(n1 · n2) · n3 = n1 · (n2 · n3)
1

3. 3. terhadap keduanya (penjumlahan dan perkalian): Z bersifat distributif
kiri dan kanan, yakni
• (∀n1, n2, n3 ∈ Z)(n1 + n2) · n3 = (n1 · n3) + (n2 · n3)
• (∀n1, n2, n3 ∈ Z)n1 · (n2 + n3) = (n1 · n2) + (n1 · n3).
1.2. Ring: Definisi, Contoh, dan Sifat Elementer
Dari fenomena sifat himpunan Z terhadap penjumlahan + dan perkalian ·
yang disebutkan dalam Subbab 1.1 di atas, didefiniskan struktur abstrak yang
disebut RING sebagai berikut.
Definisi 1.2.1. Misalkan R adalah sebarang himpunan tak kosong, dan pada R
didefinisikan 2 (dua) operasi yang dinotasikan dengan + dan · yang selanjutnya
disebut operasi penjumlahan dan perkalian. Himpunan R disebut RING terhadap
operasi penjumlahan + dan perkalian · jika memenuhi:
(i). terhadap penjumlahan +: (R,+) merupakan grup Abelian
(ii). terhadap perkalian ·: R bersifat assosiatif, yakni
(∀r1, r2, r3 ∈ R)(r1 · r2) · r3 = r1 · (r2 · r3)
(iii). terhadap keduanya (penjumlahan dan perkalian): R bersifat distributif
kiri dan kanan, yakni
• distributif kiri: (∀r1, r2, r3 ∈ R) (r1 + r2) · r3 = (r1 · r3) + (r2 · r3)
• distributif kanan: (∀r1, r2, r3 ∈ R) r1 · (r2 + r3) = (r1 · r2) + (r1 · r3).
Untuk mengefisienkan penulisan, himpunan R yang dilengkapi dengan ope-
rasi penjumlahan + dan perkalian · merupakan ring, dinotasikan tripel (R, +, ·).
Nampak jelas bahwa definisi ring merupakan abstraksi dari sifat yang dimiliki oleh
suatu obyek yang sudah kita kenal sehari-hari, yakni himpunan bilangan bulat Z
terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan.
Dari sini dengan mudah disimpulkan bahwa himpunan bilangan bulat Z
merupakan contoh ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dan dituliskan
sebagai (Z, +, ·).
2

4. Contoh 1.2.2. Berikut contoh-contoh yang lain:
1. Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa himpunan bilangan rasional Q, him-
punan bilangan real R, dan himpunan bilangan kompleks C juga merupakan
ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan yang sudah
kita kenal sehari-hari. Oleh karena itu dapat dituliskan dengan notasi
• Ring (Q, +, .),
• Ring (R,+,)
• Ring (C,+,).
Namun himpunan bilangan asli N bukan merupakan ring sebab terhadap pen-
jumlahan bukan merupakan grup.
2. Pandang himpunan matriks bujursangkar berukuran 2 × 2 dengan komponen-
komponen bilangan real, yakni
M2×2(R) =



A =


a11 a12
a21 a22

 | aij ∈ R, i, j : 1, 2



.
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian matriks yang sudah dipelajari dalam
MK Aljabar Linear Elementer dapat ditunjukkan bahwa M2×2(R) merupakan
ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.
Selanjutnya untuk setiap bilangan asli n, dapat ditunjukkan bahwa
Mn×n(R) =



A =








a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
... · · ·
...
an1 an2 · · · ann








| aij ∈ R



.
merupakan ring terhadap operasi terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
matriks. Sehingga dapat dinyatakan dengan ring
(Mn×n(R), +, ·).
Proses memperluas dari M2×2(R) ke Mn×n(R) merupakan salah contoh proses
generalisasi.
3

5. 3. Pandang himpunan semua fungsi dari R ke R sebagai berikut
F(R, R) = {f : R → R | f fungsi}.
Dari MK Kalkulus kita dapat mendefinisikan operasi penjumlahan fungsi dan
juga perkalian fungsi sebagai berikut. Untuk sebarang f, g ∈ F(R, R) didefi-
nisikan f + g dan f · g sebagai berikut:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
dan
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
untuk setiap x ∈ R. Dengan menggunakan sifat-sifat dalam kalkulus dapat di-
tunjukkan bahwa F(R, R) merupakan ring. Sehingga dapat dinyatakan dengan
ring
(F(R, R), +, ·).
4. Dari MK Pengantar Logika Matematika dan Himpunan, sudah kita ketahui
bahwa jika A adalah sebarang himpunan maka himpuann kuasa dari A adalah
himpunan semua himpunan bagian A dinotasikan dengan
2A
= {S | S ⊂ A}.
Dapat ditunjukkan bahwa (2A
, +, ·) merupakan ring, dengan operasi penjumla-
han dan perkaliannya didefinisikan sebagai berikut:
(∀S1, S2 ∈ 2A
)S1 + S2 = (S1 − S2) ∪ (S2 − S1)
dan
(∀S1, S2 ∈ 2A
)S1 · S2 = S1 ∩ S2
5. Dari MK Teori Grup, kita sudah tahu bahwa jika (G, +) adalah grup abelian,
maka kita dapat membentuk himpunan semua endomorphisma dari G ke G,
yakni
End(G) = {f : G → G | f homomorphisma grup}.
4

6. Kita sudah tahu bahwa (End(G), +) merupakan merupakan grup Abelian. Se-
lain itu kita dapat mendefinisikan operasi komposisi ◦ pada End(G), yakni
(f ◦ g)(x) = f(g(x)), ∀x ∈ G.
Dapat ditunjukkan bahwa (End(G), +, ◦) merupakan ring.
Sudah kita ketahui bahwa jika (R, +, ·) merupakan ring, maka jelas bahwa
(R, +) merupakan grup. Dengan demikian pada R akan terdapat elemen netral 0R
yang menenuhi:
(∀r ∈ R)0R + r = r + 0R = r,
dan setiap elemen r ∈ R terdapat −r ∈ R sedemikian hingga
r + (−r) = (−r) + r = 0R.
Berikut sifat-sifat dasar dari ring R dalam kaitannya dengan operasi perkaliannya.
Teorema 1.2.3. Jika (R, +, ·) merupakan ring, maka berlaku sifat-sifat sebagai
berikut:
(i). (∀r ∈ R)r · 0R = 0R · r = 0R
(ii). (∀r1, r2 ∈ R)(−r1) · r2 = −(r1 · r2) = r1 · (−r2)
(iii). (∀r1, r2 ∈ R)(−r1) · (−r2) = (r1 · r2)
(iv). (∀r1, r2 ∈ R)(r1 + r2)2
= r2
1 + r2
2 + r1 · r2 + r2 · r1
Bukti. (sebagai latihan)
Terkait dengan operasi perkalian, nampak bahwa dari contoh-contoh yang
diberikan sebelumnya bahwa pada suatu ring (R, +, ·) terhadap operasi perkalian,
R belum tentu bersifat:
(a). komutatif; sebagai contoh ring matriks (M2×2(R), +, ·)
(b). mempunyai elemen satuan; sebagai contoh ring (2Z, +, ·) tidak mempunyai
elemen satuan terhadap perkalian
5

7. (c). setiap elemen mempunyai invers terhadap perkalian; sebagai contoh (Z, +, ·)
yang mempunyai invers terhadap perkalian hanyalah 1 dan -1.
Dari kenyataan diatas, didefinisikan jenis-jenis ring berikut ini.
Definisi 1.2.4. Misalkan (R, +, ·) suatu ring.
(i). Ring R disebut ring komutatif jika R komutatif terhadap perkalian.
(ii). Ring R disebut ring dengan elemen satuan jika R mempunyai elemen satuan
terhadap perkalian.
(iii). Ring R disebut ring komutatif dengan elemen satuan jika R komutatif dan
mempunyai elemen satuan terhadap perkalian.
(iv). Ring R disebut ring pembagian (division ring) jika R mempunyai elemen
satuan dan setiap elemen tak nol di R mempunyai invers terhadap perkalian.
Contoh 1.2.5. 1. Ring (2Z, +, ·) merupakan ring komutatif, namun tidak mem-
punyai elemen satuan.
2. Ring matriks (M2×2(R), +, ·) merupakan ring dengan elemen satuan I2. Ring
matriks M2×2(R) bukan ring komutatif.
3. Ring (Z, +, ·), (R, +, ·), (Q, +, ·), dan (C, , +, ·) masing-masing merupakan
ring komutatif dengan elemen satuan.
Berikut ini merupakan akibat dari Teorema 1.2.3.
Akibat 1.2.6. Diberikan sebarang ring R dengan elemen satuan 1R. Elemen 0R
dan 1R merupakan elemen yang berbeda jika dan hanya jika R = {0R}.
Bukti. (⇒). Sudah jelas R = {0R}, sebab 1R ∈ R dan 1R = 0R.
(⇐). Diketahui R = {0R}. Misalkan a ∈ R sedemikian sehingga a = 0R.
Andaikan 1R = 0R, diperoleh a = a1R = a0R = 0R. Hal ini terjadi kontradik-
si dengan fakta a = 0R. Jadi pengandaian salah, yang benar 1R = 0R.
6

8. 1.3. Subring: Definisi dan Syarat Perlu dan Cukup
Sudah kita ketahui bahwa himpunan bilangan bulat genap dapat dinyatakan
sebagai
2Z = {2n | n ∈ Z},
dan dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian bilangan bulat 2Z juga merupakan ring. Hal ini berbeda dengan him-
punan bilangan ganjil
1 + 2Z = {1 + 2n | n ∈ Z}
bukan merupakan ring terhadap operasi penjumlahan bilangan-bilangan bulat, se-
bab tidak tertutup terhadap penjumlahan.
Dari fenomena ini, kita dapat mendefinisikan struktur subring sebagai berikut.
Definisi 1.3.1. Misalkan S adalah suatu himpunan bagian tak kosong dalam ring
(R,+,·). Himpunan S disebut subring dari R jika S juga merupakan ring terhadap
operasi penjumlahan dan perkalian yang sama pada ring R.
Jadi subring adalah suatu ring di dalam suatu ring. Nampak jelas bahwa 2Z
subring dalam ring (Z,+,·), dan 1 + 2Z bukan merupakan subring dalam (Z,+,·).
1. Dengan mudah dapat disimpulkan bahwa (Z,+,·) merupakan subring (Q,+,·),
juga merupakan subring di (R,+,·) dan (C,+,·).
2. Himpunan matriks segitiga atas
T2×2(R) =



A =


a11 a12
0 a22

 | a11, a12, a22 ∈ R



merupakan subring dalam (M2×2(R), +, ·). Begitu juga himpunan matriks
diagonal
D2×2(R) =



A =


a11 0
0 a22

 | a11, a22 ∈ R



merupakan subring di (M2×2(R), +, ·).
7

9. Dari definisi subring, dapat disimpulkan bahwa suatu himpunan bagian dari
suatu ring (R, +, ·) merupakan ring jika:
1. terhadap penjumlahan +: (S,+) juga merupakan grup Abelian
2. terhadap perkalian ·: S juga bersifat assosiatif, yakni
(∀s1, s2, s3 ∈ S)(s1 · s2) · s3 = s1 · (s2 · s3)
3. terhadap keduanya (penjumlahan dan perkalian): S bersifat distributif kiri
dan kanan, yakni
• (∀s1, s2, s3 ∈ S)(s1 + s2) · s3 = (s1 · s3) + (s2 · s3)
• (∀s1, s2, s3 ∈ S)s1 · (s2 + s3) = (s1 · s2) + (s1 · s3)
Nampak bahwa:
1. Syarat 1 ekuivalen dengan menyatakan bahwa S merupakan subgrup dalam grup
(R, +), hal ini ekuivalen dengan terpenuhinya:
(∀s1, s2 ∈ S)(s1 − s2) ∈ S.
2. Syarat 2 merupakan syarat keassosiatifan yang pasti terpenuhi oleh sebarang
himpunan bagian dari R. Terhadap operasi · ini yang masih harus dicek adalah
sifat ketertutupannya yakni
(∀s1, s2 ∈ S)(s1 · s2) ∈ S.
3. Syarat 3 merupakan syarat kedistributifanan, yang juga pasti terpenuhi oleh se-
barang himpunan bagian dari R.
Dengan demikian, kita dapat menurunkan syarat perlu dan cukup agar him-
punan bagian S dalam ring R merupakan subring dalam teorema sebagai berikut.
Teorema 1.3.2. Misakan S himpunan tak kosong dalam ring (R, +, ·). Himpunan
S merupakan subring dari R jika dan hanya jika
(∀s1, s2 ∈ S)(s1 − s2), s1 · s2 ∈ S.
8

10. Bukti. (⇒). Diketahui S merupakan subring dari (R, +, ·), sehingga berdasarkan
penjelasan sebelumnya diperoleh bahwa untuk setiap s1, s2 ∈ S berlaku
s1 − s2 ∈ S dan s1 · s2 ∈ S.
(⇐). (sebagai latihan)
Teorema di atas memberikan pada kita cara yang lebih efisien untuk menge-
cek suatu himpunan bagian dari suatu ring merupakan subring atau bukan.
1.4. Latihan
Kerjakan soal-soal latihan berikut ini.
1. Untuk sebarang ring (R, +, ·), tunjukkan bahwa {0} merupakan subring!
2. Apakah ring (2A
, +, ·) pada Contoh 1.2.2 (4) merupakan ring dengan elemen
satuan? Jelaskan!
3. Jika (R1, +1, ·1) dan (R2, +2, ·2) merupakan ring, tunjukkan bahwa R1 ×R2 juga
merupakan ring terhadap operasi penjumlahan + dan perkalian · sebagai berikut:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 +1 x2, y1 +2 y2)
(x1, y1) · (x2, y2) = (x1 ·1 x2, y1 ·2 y2)
untuk setiap (x1, y1), (x2, y2) ∈ R1 × R2 !
4. Tunjukkan secara umum himpunan kZ merupakan subring pada ring bilangan
bulat Z !
5. Misalkan A adalah sebarang himpunan tak kosong. Selanjutnya didefinisikan
himpunan semua fungsi dari A ke R sebagai berikut ini
F(A, R) = {f : A → R | f fungsi}.
Selanjutnya didefinisikan operasi penjumlahan + dan kali · pada F(A, R) seba-
gai beikut. Untuk setiap f1, f2 ∈ F(A, R) dan untuk setiap a ∈ A,
(f1 + f2)(a) = f1(a) + f2(a)
9

11. (f1 · f2)(a) = f1(a) · f2(a).
Perhatikan bahwa soal ini adalah perluasan (generalisasi) dari Contoh 1.2.2 (3),
yakni dengan mengganti R dengan sebarang himpunan A. Buktikan (F(A, R), +, ·)
merupakan ring !
6. Tunjukkan jika S1 dan S2 masing-masing merupakan subring dalam ring (R, +, ·)
maka S1∩S2 juga merupakan subring di R, tetapi S1∪S2 belum tentu merupakan
subring!
7. Misalkan (R, +, ·) merupakan ring. Tunjukkan bahwa himpunan
C(R) = {a ∈ R | (∀x ∈ R)ax = xa}
merupakan subring! Subring C(R) selanjutnya disebut pusat (center) dari ring
R.
8. Misalkan S sebarang himpunan, R sebarang ring, dan f : S → R fungsi bijektif.
Untuk setiap x ∈ S, didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian sbb.:
x + y = f−1
(f(x) + g(y))
x · y = f−1
(f(x) · g(y)).
Tunjukkan bahwa S merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
tersebut!
9. Buktikan bahwa untuk sebarang ring R, himpunan matriks berukuran n × n atas
ring R terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks merupakan ring!
10. Misalkan
M =





z1 z2
−z2 z1

 | z1, z2 ∈ C



dengan z notasi konjugat dari bilangan kompleks z. Buktikan bahwa M meru-
pakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks!
10