1. TEOREMA HOMOMORFISME
DASAR
KELAS 5 C
NUR CHOLID M
AMIR ARSAD
AHMAD TRIHRYANTO
TETRIKLADITRA
RIFMAWATI MAISAROH
ADHINDA ADYHANING D
ATIK SUKAWATI
SEPTIARI AYU L
1
2. Pengertian Homomorfisme
• Definisi 8.1
Misalkan (G,) dan (G’,) masing masing adalah
grup. Pemetaan : GG’ disebut homomorfisme
dari G ke G’ jika dan hanya jika untuk setiap a,b G
berlaku (a b) = (a) (b). Homomorfisme
disebut pula pemetaan yang mempertahankan
atau mengawetkan operasi, dan dapat disajikan
dengan skema sebagai berikut :
2
3. Pengertian Homomorfisme
Operasi pada G kadang kadang tidak ditulis, sehingga (ab) ditulis (ab).
Ada beberapa nama khusus untuk pemetaan :
a. Pemetaan onto atau surjektif jika dan hanya jika range atau himpunan
bayangan G adalah G’.
b. Pemetaan injektif jika dan hanya jika…
c. Pemetaan bijektif jika dan hanya jika…
d. Pemetaan pada G yaitu pemetaan dari G ke dalam G itu sendiri.
e. Pemetaan identitas dari G ke G dengan (x) = x.
3
(G,) (G’,) (G,) (G’,)
a a’ a (a)
b b’ atau b (b)
ab a’ b’ ab (ab) = (a) (b)
4. Pengertian Homomorfisme
• Sehubungan dengan pemetaan tersebut, ada
beberapa homomorfisme khusus pula :
• Definisi 8.2
1) Suatu homomorfisme dari grup G G’ yang
injektif disebut monomorfisme.
2) Suatu homomorfisme dari grup G G’ yang
surjektif disebut epimorfisme.
3) Suatu homomorfisme dari grup G G’ yang
bijektif disebut isomorfisme.
4
5. Pengertian Homomorfisme
• Defini 8.3
1) Suatu homomorfisme dari suatu grup
kedalam grup itu sendiri disebut
endomorfisme.
2) Suatu endomorfisme yang bijektif disebut
automorfisme.
3) Apabila antar grup (G,) dan grup (G’,)
terdapat homomorfisme, maka dikatakan
bahwa (G,) dan (G’,) homomorfik.
5
6. Sifat sifat Homomorfisme
• Teorema 8.1
Misalakan (G; ) dan (G’;) adalah grup,
sedangkan pemetaan : G G’
merupakan homomorfisme, maka :
i) (i) = i’, I elemen identitas dalam G dan i’
adalah elemen identitas dalam G’
ii)(x-1) = (x)-1 untuk setiap x ∊ G
(x)-1 ialah ((x))-1 yaitu invers dari (x)
dalam G’
6
7. Sifat sifat Homomorfisme
• Bukti,
Akan dibuktikan (i) = i’ dengan i elemen identitas G dan i’ elemen
identitas G’
i) i’ adalah elemen identitas dalam G’ maka (x) i’ = (x).
Untuk x ∊ G, x ∊ G, dan i ∊ G maka x i = x, sehingga (x i) = (x).
Jadi (x) i’ = (x i)
= (x) (i) karena homomorfisme
i’ = (i).
ii) Akan dibuktikan bahwa (x-1) = (x)-1
i’ = (i) = (x x-1) untuk setiap x ∊ G.
Maka i’ = (x) (x-1) karena suatu homomorfisme
(x)-1 i’ = (x)-1 (x) (x-1)
(x)-1 = i’ (x-1)
(x)-1 = (x-1) untuk setiap x ∊ G.
8. Sifat sifat Homomorfisme
• Teorema tersebut dapat dikatakan bahwa (i)
peta (bayangan) elemen identitas dalam G
adalah elemen identitas dalam G’ dan (ii)
bayangan invers x dalam G adalah invers
bayangan x dalam G’.
• Jadi apabila : GG’ merupakan
homomorfisme dan G merupakan suatu grup,
maka G’ adalah grup. Tetapi apabila G’ suatu
grup maka G belum tentu merupakan grup.
8
9. Sifat sifat Homomorfisme
• Teorema 8.2
Jika : GG’ homomorfisme dan G merupakan grup
komutatif, maka G’ merupakan grup komutatif.
• Bukti,
Ambil a,b ∊ G dan a’,b’ ∊ G’ dengan (a) = a’ dan (b) = b’,
serta (G,) dan (G’,)
(ab) = (a) (b) = a’ b’
G grup komutatif, a,b ∊ G ; ab =ba
(ab) = (ba) = (b) (a) = b’ a’
Jadi a’,b’ ∊ G’ memenuhi a’ b’ = b’ a’
Yang berarti G’ grup komutatif
9
10. Sifat sifat Homomorfisme
• Teorema 8.3
Misalkan (G,) dan (G’,) adalah grup.
Jika pemetaan : GG’ merupakan homomorfisme yang
surjektif, maka -1 (i’) adalah subgrup normal dari G.
Dengan perkataan lain, himpunan semua x ∊ G yang
memenuhi (x) = i’ ∊ G’, merupakan subgrup normal N dari
G.
Jadi N = x ∊ G x = -1 (i’), i’ ∊ G’ merupakan subgrup
normal dari G.
10
11. Sifat sifat Homomorfisme
• Bukti,
1) akan dibuktikan bahwa N subgrup, yaitu jika ab
∊ N maka ab-1 ∊ N.
Ambil a,b ∊ N maka (a) = i’ dan (b) = i’.
(ab) = (a) (b)
(ab-1) = (a) (b-1)
= (a) ((b))-1
= i’ (i’)-1 = i’’ i’ = i’
Jadi ab-1 ∊ N dan N merupakan subgrup.
11
12. Sifat sifat Homomorfisme
2) Akan dibuktikan bahwa N subgrup normal,
yaitu jika g ∊ G dan n ∊ N maka (g . n . g-1) ∊ N
(g . n . g-1) = (g) (n) (g-1)
= (g) i’ ((g))-1 = i’
Jadi (g . n . g-1) ∊ N dan N subgrup normal.
Himpunan N = x ∊ G x = -1 (i’), i’ ∊ G
disebut inti (kernel) dari pemetaan tersebut
dan dinyatakan dengan ker ().
12
13. Sifat sifat Homomorfisme
• Teorema 8.4
Misalkan (G,) dan (G’,) adalah grup,
sedangkan adalah homomorfisme dari G ke
G’. Himpunan semua peta (bayangan) anggota
dari G dalam G’ oleh homomorfisme
merupakan subgrup dari G’.
13
14. Sifat sifat Homomorfisme
• Teorema 8.5
Misalkan G suatu grup dan N subgrup normal
dari G. Sedangkan G/N grup faktor.
Jika pemetaan : GG/N didefinisikan oleh
(x) = Nx untuk setiap x ∊ G, maka suatu
homomorfisme.
14
15. Contoh 1
Misalkan G suatu grup dan N subgrup normal
dari G. Pemetaan : GG/N didefinisikan
oleh (x) = Nx untuk setiap x ∊ G. Tunjukkan
bahwa suatu homomorfisme dari G onto
G/N !
15
16. Penyelesaian
: GG/N didefinisikan oleh (x) = Nx untuk x ∊ G. Ambil
sebarang x,y ∊ G , maka (x) = Nx dan (y) = Ny.
(x,y)= Nxy
= Nnxy karena N subgrup normal dari G
= Nx Ny
(x,y)= (x) . (y)
Jadi suatu homomorfisme.
Ambil sebarang T ∊ G/N, dan misalkan T = Nt untuk t ∊ G.
Maka T = Nt = (t). Ini berarti bahwa setiap elemen dari
G/N merupakan peta elemen dari G oleh homomorfisme .
Jadi suatu homomorfisme dari G onto G/N.
16
17. Contoh 2
Misalkan (G,) dan (G’,) adalah grup,
sedangkan adalah homomorfisme dari G ke
G’. Buktikan bahwa himpunan semua peta
(bayangan) anggota dari G dalam G’ oleh
homomorfisme merupakan subgrup dari G’ !
17
18. Penyelesaian
Misalkan : (G,)(G’,) suatu homomorfisme,
sedangkan H adalah himpunan semua peta
elemen-elemen dari G dalam G’ oleh
homomorfisme , atau H = x ∊ G’ x = (a) untuk
a ∊ G.
Maka H G’. Untuk membuktikan bahwa H
subgrup dari G’, ditunjukkan bahwa (H,) suatu
grup.
H bukan himpunan kosong, sebab untuk i ∊ G
maka (i) = i’ ∊ H.
18
19. Penyelesaian
a) Ambil x,y ∊ H maka ada a,b ∊ G sedemikian hingga (a)
= x dan (b) = y.
(ab) ∊ G maka (ab) ∊ H
Suatu homomorfisme
Maka (ab) = (a) (b)
= x y
Karena (ab) ∊ H maka (x y) ∊ H. Ini berarti H
tertutup terhadap operasi , atau operasi merupakan
operasi biner dalam H.
b) G’ suatu grup, sehingga operasi dalam G’ bersifat
asosiatif. Karena H G’ maka operasi dalam H
bersifat asosiatif pula.
19
20. Penyelesaian
c) Ambil x ∊ H, maka ada a ∊ G sehingga (a) =
x. Karena suatu homomorfisme, maka :
(ai) = (a) (i) (i a) = (i) (a)
(a) = (a) i’ dan (a) = i’ (a)
x = x i’ x = i’ x
Jadi x i’ = i’ x untuk setiap x ∊ H. Ini berarti
elemen identitas dalam H adalah i’ yaitu
elemen identitas dalam G’
20
21. Penyelesaian
d) Menurut teorema, jika a ∊ G maka (a-1) = (a)-1
Karena adalah homomorfisme, maka untuk a ∊ G berlaku:
(aa-1) = (a) (a-1)
(i) = (a) (a)-1
i’ = (a) (a)-1 , dan
(a-1 a) = (a-1) (a)
(i) = (a)-1 (a)
i’ = (a)-1 (a)
Jadi (a) (a)-1 = (a)-1 (a) = i’
Ini berarti (a)-1 adalah invers dari (a) dalam H
Dari (a), (b), (c), dan (d) disimpulkan bahwa H suatu grup.
Karena H G’ dan G’ suatu grup maka H subgrup dari G’.
21
22. Contoh 3
Misalkan G adalah himpunn bilangan bulat
dengan operasi penjumlahan dan G’ adalh
himpunan bilangan bulat selain nol dengan
operasi perkalian. Pemetaan : GG’
didefinisikan oleh (x) = 2x untuk setiap x G.
Tunjukkan bahwa adalah homomorfisme !
22
23. Penyelesaian
Misalkan adalah pemetaan dari G ke G’
dengan (x) = 2x untuk setiap x ∊ G.
Ambil sebarang a,b ∊ G maka (a) = 2a dan
(b) = 2b
(a+b) = 2a+b = 2a . 2b = (a) . (b)
Jadi suatu homomorfisme
23