Integral adalah operasi invers dari turunan yang digunakan untuk menaikkan suatu persamaan. Dokumen ini menjelaskan konsep integral tak tentu dan tentu serta sifat-sifat dan rumus-rumus integral untuk berbagai fungsi termasuk trigonometri, substitusi, dan bentuk akar atau eksponen. Aplikasi integral meliputi menghitung luas daerah dan volume benda yang dibatasi oleh satu atau lebih kurva. Diberikan juga contoh soal lat

2. OLEH:
m.Nur Alamsyah
INTEGRAL

3.  Integral adalah operasi invers dari turunan. Jika diferensial
digunakan untuk menurunkan suatu persamaan, maka
integral digunakan untuk menaikkan suatu persamaan.
Rumus dasar integral, yaitu:
𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
1
𝑛 + 1
𝑥 𝑛+1 + 𝑐
PENGERTIAN INTEGRAL

4.  Itegral Tak Tentu
bentuk : 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐
Dengan 𝑓(𝑥) merupakan turunan dari 𝐹(𝑥) dan 𝑐 disebut konstanta
pengintegralan, dengan 𝑐 ∈ 𝑅.
Sifat-sifat integral tak tentu, yaitu:
1) 𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
1
𝑛+1
𝑥 𝑛+1
+ 𝑐
2) 𝑎𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑎
𝑛+1
𝑥 𝑛+1
+ 𝑐
3) 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑐
4) 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
5) 𝑎 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
MACAM-MACAM INTEGRAL

5.  Integral Tentu
bentuk : 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 𝑎
𝑏
= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
dengan 𝑎 merupakan batas bawah, 𝑏 merupakan
batas atas, dan interval 𝑎, 𝑏 adalah daerah
pengintegralan.
MACAM-MACAM INTEGRAL

6.  Integral Tentu
Sifat-sifat integral tentu, yaitu:
1) 𝑎
𝑎
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0
2) 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
3) 𝑎
𝑏
𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∙ 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥, dengan 𝑘 ∈ 𝑅
4) 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± 𝑎
𝑏
𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
5) 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 2 ∙ 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
6) Jika 𝑓(𝑥) ≥ 0 pada 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≥ 0
7) Jika 𝑓(𝑥) ≤ 0 pada 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≤ 0
MACAM-MACAM INTEGRAL

7. Rumus-rumus integral fungsi trigonometri, yaitu:
 sin 𝑝 𝑑𝑝 = − cos 𝑝 + 𝑐
 cos 𝑝 𝑑𝑝 = sin 𝑝 + 𝑐
 sec2 𝑝 𝑑𝑝 = tan 𝑝 + 𝑐
 cosec2 𝑝 𝑑𝑝 = − cot 𝑝 + 𝑐
 tan 𝑝 ∙ sec 𝑝 𝑑𝑝 = sec 𝑝 + 𝑐
 cot 𝑝 ∙ cosec 𝑝 𝑑𝑝 = − cosec 𝑝 + 𝑐
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

8. Rumus-rumus integral fungsi trigonometri, yaitu:
 cot 𝑝 𝑑𝑝 = ln sin 𝑝 + 𝑐
 tan 𝑝 𝑑𝑝 = − ln cos 𝑝 + 𝑐
 sin 𝑎𝑝 + 𝑏 𝑑𝑝 = −
1
𝑎
cos 𝑎𝑝 + 𝑏 + 𝑐
 cos 𝑎𝑝 + 𝑏 𝑑𝑝 =
1
𝑎
sin 𝑎𝑝 + 𝑏 + 𝑐
 cot 𝑎𝑝 𝑑𝑝 =
1
𝑎
ln sin 𝑎𝑝 + 𝑐
 tan 𝑎𝑝 𝑑𝑝 = −
1
𝑎
ln cos 𝑎𝑝 + 𝑐
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

9. Misalkan diketahui integral 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑛
𝑑𝑥. Misalkan pula
𝑝 = 𝑎𝑥 + 𝑏 , maka
𝑑𝑝
𝑑𝑥
= 𝑎 . Dari rumus diatas, dapat
dihasilkan 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑛
𝑑𝑥 = 𝑝 𝑛 𝑑𝑝
𝑎
=
1
𝑎
∙
1
𝑛+1
∙ 𝑝 𝑛+1
+ 𝑐.
𝑎𝑥 + 𝑏 𝑛 𝑑𝑥 =
1
𝑎
∙
1
𝑛 + 1
∙ 𝑝 𝑛+1 + 𝑐
INTEGRAL SUBSTITUSI

10. Rumus integral parsial adalah:
𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢
INTEGRAL PARSIAL

11.  Bentuk 𝑎2 − 𝑥2
𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥 =
1
2
𝑎2
∙ arcsin
𝑥
𝑎
+
1
2
𝑥 𝑎2 − 𝑥2 + 𝑐
 Bentuk
1
𝑎2−𝑥2
1
𝑎2 − 𝑥2
𝑑𝑥 = arcsin
𝑥
𝑎
+ 𝑐
 Bentuk
1
𝑎2− 𝑝𝑥+𝑞 2
1
𝑎2 − 𝑝𝑥 + 𝑞 2
𝑑𝑥 =
1
𝑝
arcsin
𝑝𝑥 + 𝑞
𝑎
+ 𝑐
 Bentuk 𝑎2 − 𝑝𝑥 + 𝑞 2
𝑎2 − 𝑝𝑥 + 𝑞 2 𝑑𝑥 =
1
𝑝
1
2
𝑎2
∙ arcsin
𝑝𝑥 + 𝑞
𝑎
+
1
2
𝑝𝑥 + 𝑞 𝑎2 − 𝑝𝑥 + 𝑞 2 + 𝑐
INTEGRAL BENTUK AKAR

12. Rumus-rumus integral berbentuk
1
𝑥
dan eksponen, yaitu:
 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑐
 𝑎 𝑥
𝑑𝑥 =
𝑎 𝑥
ln 𝑎
+ 𝑐
 𝑒 𝑝𝑥+𝑞 𝑑𝑥 =
1
𝑝
∙ 𝑒 𝑝𝑥+𝑞 + 𝑐

1
𝑥
𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝑐

1
𝑝𝑥+𝑞
𝑑𝑥 =
1
𝑝
∙ ln 𝑝𝑥 + 𝑞 + 𝑐
INTEGRAL BENTUK
1
𝑥
DAN EKSPONEN

13.  Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh 1 kurva atau lebih.
1. Luas daerah dengan 1 kurva
a. Kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) kontinu pada interval 𝑎, 𝑏
Luas daerah yang dibatasi kurva 𝑦 = 𝑓 𝑥 , garis 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏
dengan sumbu 𝑥 adalah:
𝐿 =
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
b. Kurva 𝑥 = 𝑓(𝑦) kontinu pada interval 𝑎, 𝑏
Luas daerah yang dibatasi kurva 𝑥 = 𝑓(𝑦) , garis 𝑦 = 𝑎, 𝑦 = 𝑏,
dengan sumbu 𝑦 adalah:
𝐿 =
𝑎
𝑏
𝑓(𝑦) 𝑑𝑦
APLIKASI INTEGRAL

14.  Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh 1 kurva atau lebih.
2. Luas daerah dengan 2 kurva
Kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan 𝑦 = 𝑔(𝑥) kontinu pada interval 𝑎, 𝑏 .
Luas daerah yang dibatasi kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan 𝑦 = 𝑔(𝑥) dengan garis
𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏 adalah:
𝐿 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
Kurva 𝑥 = 𝑓(𝑦) dan x= 𝑔(𝑦) kontinu pada interval 𝑎, 𝑏 .
Luas daerah yang dibatasi kurva 𝑥 = 𝑓(𝑦) dan 𝑥 = 𝑔(𝑦) dengan garis
𝑦 = 𝑎 dan 𝑦 = 𝑏 adalah:
𝐿 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑦 − 𝑔(𝑦) 𝑑𝑦
APLIKASI INTEGRAL

15.  Menghitung volume benda putar yang dibatasi oleh 1 kurva
atau lebih.
1. Volume benda putar dengan 1 kurva
Kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) kontinu pada interval 𝑎, 𝑏
Volume daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 = 𝑎,
𝑥 = 𝑏, dan sumbu 𝑥 diputar 360° mengelilingi sumbu 𝑥
adalah:
𝑉 = 𝜋
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 2 𝑑𝑥
APLIKASI INTEGRAL

16.  Menghitung volume benda putar yang dibatasi oleh 1 kurva
atau lebih.
1. Volume benda putar dengan 1 kurva
Kurva 𝑥 = 𝑓(𝑦) kontinu pada interval 𝑎, 𝑏
Volume daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑥 = 𝑓 𝑦 , 𝑦 = 𝑎,
𝑦 = 𝑏, dan sumbu 𝑦 diputar 360° mengelilingi sumbu 𝑦
adalah:
𝑉 = 𝜋
𝑎
𝑏
𝑓(𝑦) 2 𝑑𝑦
APLIKASI INTEGRAL

17.  Menghitung volume benda putar yang dibatasi oleh 1 kurva
atau lebih.
2. Volume benda putar dengan 2 kurva
Kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan 𝑦 = 𝑔(𝑥) kontinu pada interval 𝑎, 𝑏
Volume daerah yang dibatasi kurva 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 𝑔 𝑥 , 𝑥 = 𝑎,
𝑥 = 𝑏, dan sumbu 𝑥 diputar 360° mengelilingi sumbu 𝑥
adalah:
𝑉 = 𝜋
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 2
− 𝑔(𝑥) 2
𝑑𝑥
APLIKASI INTEGRAL

18.  Menghitung volume benda putar yang dibatasi oleh 1 kurva
atau lebih.
2. Volume benda putar dengan 2 kurva
Kurva 𝑥 = 𝑓(𝑦) dan 𝑥 = 𝑔(𝑦) kontinu pada interval 𝑎, 𝑏
Volume daerah yang dibatasi kurva 𝑥 = 𝑓 𝑦 , 𝑥 = 𝑔 𝑦 , 𝑦 = 𝑎,
𝑦 = 𝑏, dan sumbu 𝑦 diputar 360° mengelilingi sumbu 𝑦
adalah:
𝑉 = 𝜋
𝑎
𝑏
𝑓(𝑦) 2
− 𝑔(𝑦) 2
𝑑𝑦
APLIKASI INTEGRAL

19.  Hitunglah 3𝑥2
− 6𝑥 + 7 𝑑𝑥!
 Diketahui 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 − 4𝑥 − 5. apabila kurva melalui titik
−2,1 , hitunglah nilai 𝑐!
 Hitunglah −1
2
2𝑥 − 1 2 𝑑𝑥!
 Hitunglah sin 4𝑥 + cos 3𝑥 𝑑𝑥!
 Hitunglah (𝑥 ∙ sin 𝑥) 𝑑𝑥!
LATIHAN

20. TERIMA KASIH
TERIMA KASIH