Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. Χatzopoulos ΜΑ(ΚΗ)S
Ιδιότητες του αριθμού 2020
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Ευτυχισμένο το νέο έτος!
Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.com

2. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.com
Πρόλογος
Έτσι θα το αφήσουμε τον αριθμό 2020; Δεν θα το μελετήσουμε αστρολογικά, υπερφυσικά
ή υπερσυμπαντικά; Δεν θα προβλέψουμε τι θα μας φέρει αυτό το έτος; Ας αφήσουμε
καλύτερα στους «ειδικούς» της μαντικής και ερμηνείας των άστρων και εμείς να
ασχοληθούμε με τις ιδιότητες του αριθμού 2020!
Αρχικά θα δούμε τις ιδιότητές και πώς μπορούμε να το εισάγουμε στις ασκήσεις μας.
Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε βασικά γεγονότα που αναμένουμε μέσα στο 2020 και
επηρεάζουν τα μαθηματικά. Θα κλείσουμε, με 20 ασκήσεις από Α, Β και Γ Λυκείου και
από τους διαγωνισμούς μαθηματικών.
Μια συνήθεια που έγινε θεσμός!
Δείτε τις ιδιότητες των προηγούμενων ετών: 2019, 2018, 2017, 2016, 2015, 2014

3. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.com
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 2020
1) Είναι δίσεκτο έτος. Δεν είναι αριθμός Fibonacci, ούτε αριθμός Bell, ούτε κανονικός
αριθμός και δεν είναι τέλειος αριθμός.
2) 2
2020 2 5 101   άρα έχει διαιρέτες τους αριθμούς 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 , 101 , 202 , 404 ,
505 , 1010 , 2020. Το άθροισμα των διαιρετών του είναι 4284.
3) 2 11111102020 0100 δηλαδή 10 9 8 7 6 5 2
2020 2 2 2 2 2 2 2      
4) 2
2020 4.080.400 και 3
2020 8.242.408.000
5) 44,94 02020 441 και 3
2020 12,641
6) 7,ln 612020 0853 και 3l ,og 302020 5351
7) Η γωνία 20200
γράφεται 0 0 0
2020 5 360 220   άρα βρίσκεται στο τρίτο τεταρτημόριο,
ενώ, η γωνία 2020 rad βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο. Επίσης,
0,ημ 042020 4062 και συν2020  -0,999029
8) 2020 στα Γαλλικά: Deux mille vingt
2020 στα Ισπανικά: Dos mil veinte
2020 στα Πορτογαλικά: Dois mil vinte
9) 2 + 0 + 2 + 0 = 4 άρα ο πυθμενικός αριθμός είναι το 4.
10) M2 200 MXX (σε Ρωμαϊκή αρίθμηση)
11) Παράσταση με τετράγωνους αριθμούς: 2 2 2 2
2020 42 16 38 24   
12) Η μέση τιμή (ή κεντρική τιμή ή διάμεσος ή μέσος όρος) των αριθμών
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 4 6 6 8 10 2016, 2 4 5 6 7 8 9 2024            
ισούται με 2020!
13) Ως άθροισμα διαδοχικών φυσικών αριθμών (Γιώργος Χασάπης):
402 403 404 405 406
249 ... 256
31
202
32 ... 7
0
0
   



 
  
14) ln2020
e 2020 ή iπ 0
e 2020 0 
15) Παράσταση μόνο με τον αριθμό ένα:

4. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.com
    
     
       
11 1 1 1 1 1
1 1
2020 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 11 11 11 11 1 1
1111 1 1 111 1 1 11 1 1 1 1
   

       
           
         
Σημείωση: Ενδιαφέρον παρουσιάζει να εμφανίσουμε το 2020 με όσο γίνεται λιγότερα ψηφία
του «1».
16) Παράσταση μόνο με τον αριθμό 2
22
2
2
2020 2222 222 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
            
17) Με εκθέτη τον αριθμό 4 ή 5:
4 4 4 4 4 4
1 1 2 3 5 6 2020     
και
5 5 5 5 5 5 5
4 4 1 1 1 1 2 2020      
18) Με παραγοντικό: 2020 6! 5! 6! 4! 6! 2! 3!      
19) Είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τετραγώνων τριών
πρώτων αριθμών και του άσσου με έξι διαφορετικούς τρόπους:
7² + 11² + 43² + 12
= 2020
7² + 17² + 41² + 12
= 2020
13² + 13² + 41² + 12
= 2020
11² + 23² + 37² + 12
= 2020
17² + 19² + 37² + 12
= 2020
23² + 23² + 31² + 12
= 2020
20) (Θεώρημα του Lagrange) Κάθε φυσικός n μπορεί να παρασταθεί ως άθροισμα
τεσσάρων τετραγώνων µη αρνητικών ακεραίων, δηλαδή κάθε θετικός ακέραιος γράφεται στη
μορφή 2 2 2 2
α β γ δ   (δεν είναι μονοσήμαντη η γραφή) με α, β, γ, δ μη αρνητικούς
ακέραιους. Στην περίπτωση του 2020 οι αριθμοί αυτοί είναι διαδοχικοί πρώτοι αριθμοί κάτι
πολύ σπάνιο!
2 2 2 2
2020 17 19 23 29   
# Γενικά
1) Το 37ο
συνέδριο της ΕΜΕ θα διεξαχθεί στο Ναύπλιο.
2) Θα ανακοινωθούν του νέου Πολυνομοσχέδιου για την Παιδεία
3) Αναμένουμε την Τράπεζα θεμάτων από το σχολικό έτος 2020 – 21
4) Αναμονή του διαγωνισμού Πυθαγόρα που για πρώτη φορά θα διεξαχθεί σε αρκετές πόλεις
(και όχι μόνο στην Αθήνα όπως πέρυσι) και θα αφορά τους μαθητές Β Δημοτικού μέχρι Γ
Γυμνασίου!
5) Αναμένουμε τη μονογραφία μου πάνω στη σύνθεση των συναρτήσεων (!)

5. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.com
# 20 Ασκήσεις για X – maths
Α΄ Λυκείου
1) Να αποδείξετε ότι:
2019 2021 1 2020   και 1 2021 2018 2020 1 2020    
2) Να αποδείξετε ότι:
1 2 2020 1 2 1 3 1 2020
1
α α ... α α α α α ... α α
α
ν
         

3) Να αποδείξετε ότι: 2020 2020 2020
3 5 8 
4) Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει α β 2  . Να αποδείξετε ότι:
α) αβ 1 β) 2 2
α β 2  γ) 3 3
α β 2  δ) 4 4
α β 2  ε) 2020 2020
α β 2 
Σημείωση: Γνωρίζουμε τις εξής βασικές ανισότητες:
1. 2 2
α β 2αβ 
2. 2 2
α β 2αβ  
3. α β 2 αβ, για αβ 0  
4.  
2
α β 4αβ 
5.    
22 2
2 α β α β  
6. 2 2 2 2
α β αβ και α β αβ    
5) Να αποδείξετε ότι:
2020 2021
2021 2020 2021 2020
 
 
n
6) Δίνονται οι ακολουθίες των περιττών και άρτιων όρων φυσικών αριθμών:
1,3,5,7,... και 0,2,4,6,....
Να βρείτε τον 2020ο όρο των παραπάνω ακολουθιών.
Β΄ Λυκείου
7) Να αποδείξετε ότι
x x
ημ συν 2
2020 2020
   
    
   
για κάθε xR .
Για ποια τιμή του x ισχύει η ισότητα;
8) Δίνεται η εξίσωση  2020 2020
ημ x συν x, x 1 R
α) Να αποδείξετε ότι x x 0   .

6. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.com
β) Να λύσετε την εξίσωση (1).
9) Δίνεται το πολυώνυμο   3 2
P x x 2021x 2018x 2020    . Να βρείτε την αριθμητική
τιμή  P 2020 χωρίς υπολογιστή τσέπης.
10) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ μέσο της ΒΓ. Αν ισχύει
να βρείτε τα μέτρα των γωνιών του τριγώνου ΑΒΓ.
11) Να λύσετε την εκθετική εξίσωση  2020x 1010x
e e 1 e e 0   
12) Να αποδείξετε ότι: ln2021 ln2020
2020 2021
Γ΄ Λυκείου
13) Να βρείτε τα όρια
     
 x 0 x 0 x 0
ημ 2020x συν 2020x 1 ημ 2020x x
, ,
x x συν 2020x 1
lim lim lim
  
 

14) Δίνεται συνάρτηση  f : 0, R τέτοια ώστε:
    x
lnf x 2020f x e x 2019    για κάθε xR
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R
β) Να αποδείξετε ότι  f 0 1
γ) Να λύσετε την εξίσωση  f x 1
15) Δίνεται συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε:
   2019 2019
f x 2020f x x x 2019    για κάθε xR
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R
β) Να αποδείξετε ότι  f 1 1
γ) Να λύσετε την εξίσωση  f x 1
16) Δίνεται η συνάρτηση  
x
f x
1 x


α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
β) Να αποδείξετε ότι ένα προς ένα.
γ) Να βρείτε τα όρια    x x
lim f x , lim f x
 
δ) Να υπολογίσετε το σύνολο τιμών της f

7. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.com
ε) Να υπολογίσετε τη συνάρτηση  
2020 φορές
f f ... f x
 
  
 
17) Αν
 
x 0
f x 1
1
x
lim


  , τότε να βρείτε το όριο
 
 x 0
f x 2020
f x
lim


.
18) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα
2020
2020
2020
ημx συν xdx

 και  
2020π
2020π
ημ ημ2020x dx

19) Αν  
1 3 ... 2019 x
1 3 ... 2019
f x 2t dt
   
  
  τότε να υπολογίσετε το  f 2020
# Για διαγωνισμούς
20 - 20) Να λύσετε στους θετικούς ακέραιους την εξίσωση
 
1 1 1 1 2020
...
2 3 3 4 4 5 x x 1 4044
    
   