Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Γιώργος Χασάπης και Θωμάς Ποδηματάς Mέλη της lisari team. Αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. Χatzopoulos ΜΑ(ΚΗ)S
Ιδιότητες του αριθμού 2019
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Γιώργος Χασάπης –
Θωμάς Ποδηματάς
Mέλη της lisari team

2. Ευτυχισμένο το νέο έτος!
http://lisari.blogspot.com
Πρόλογος
Έτσι θα το αφήσουμε; Δεν θα το μελετήσουμε αστρολογικά, υπερφυσικά είτε υπερ -
συμπαντικά; Πώς θα προβλέψουμε τι θα φέρει αυτό το έτος; Ας αφήσουμε τα άλλα
στους «ειδικούς» και εμείς ας ασχοληθούμε με τον αριθμό 2019! Αρχικά θα δούμε τις
ιδιότητες του αριθμού 2019 και πώς μπορούμε να το εισάγουμε στις ασκήσεις μας! Στη
συνέχεια θα παρουσιάσουμε βασικά γεγονότα που αναμένουμε μέσα στο 2019 και
επηρεάζουν τα μαθηματικά. Θα κλείσουμε, με 19 ασκήσεις από Α, Β και Γ Λυκείου και
για διαγωνισμούς.
Μια συνήθεια που έγινε θεσμός!
Δείτε τις ιδιότητες από τα προηγούμενα έτη 2018, 2017, 2016, 2015, 2014

3. # ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 2019
1) Είναι περιττός και σύνθετος αριθμός. Δεν είναι αριθμός Fibonacci, ούτε αριθμός Bell, ούτε
κανονικός αριθμός και δεν είναι τέλειος αριθμός.
2) 2019 3 673  άρα έχει διαιρέτες τους αριθμούς 1, 3, 673, 2019
3) 2 11111102019 0011
4) 2
4.076 12019 .36 και 3
8.230.1722 9 901 .85
5) 44,933283872 9 201 732 και 3
12,6389822 9 301 319
6) 7,6103576ln 20 18 819 312
7) 3,305136log 2 319 601 8943
8) 0,86446054ημ2 12019 2904
9) 0,502700συν2019 67899099 
10) Η γωνία 20190
γράφεται 0 0 0
2019 5 360 219   άρα βρίσκεται στο τρίτο τεταρτημόριο.
Ενώ, η γωνία 2019 rad βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο.
11) 2 + 0 + 1 + 9 = 12 και 1 + 2 = 3, άρα ο πυθμενικός αριθμός είναι το 3.
12) MM2019 XIX (σε Ρωμαϊκή αρίθμηση)
13) Παράσταση με τετράγωνους αριθμούς
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2019 42 1 16
42 23 28
38 1 24
44 41 42
  
  
  
  
14) Παράσταση με κυβικούς αριθμούς
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
2019 13 6 4 3 1
13 5 4 5 2
13 2 7 9 6
    
    
    
15) Παράσταση μόνο με τον αριθμό 1
    
    
11 1 1 1 1 1
2019 1 1 1 1 1 1 1
11 11 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1
   
      
             
16) Παράσταση μόνο με τον αριθμό 2
22
2
2
2019 2222 222 22 2
2
2
2 2 2 2 2 2 2
2
    
       
17) Με εκθέτη τον αριθμό 5: 5 5 5 5 5 5
2019 4 4 1 1 1 2     

4. 18) Με παραγοντικό: 2019 6! 5! 6! 4! 6! 2! 3! 1!       
19)Είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τετραγώνων τριών
πρώτων αριθμών με έξι διαφορετικούς τρόπους:
7² + 11² + 43² = 2019
7² + 17² + 41² = 2019
13² + 13² + 41² = 2019
11² + 23² + 37² = 2019
17² + 19² + 37² = 2019
23² + 23² + 31² = 2019
# Γενικά
1) Το 2019 ορίστηκε ως Διεθνής Έτος Περιοδικού Πίνακα Χημικών Στοιχείων από τη Γενική
Συνέλευση των Ηνωμένων Εθνών [Πηγή: https://en.wikipedia.org/wiki/2019 ]
2) Θα ανακοινωθούν οι αλλαγές της ύλης στο Λύκειο [Πηγή: Υπουργείο Παιδείας]
3) Το 36ο
συνέδριο της ΕΜΕ θα διεξαχθεί στη Λάρισα.
4) Θα διεξαχθεί για πρώτη φορά ο μαθηματικός διαγωνισμός «Πυθαγόρας» που αφορά
μαθητές Δημοτικού και Α΄ και Β΄ Γυμνασίου.
5) Εθνικές Εκλογές (εκτός από τις Δημοτικές και Ευρωεκλογές) = μεταβολές στην Παιδεία
άρα και στα μαθηματικά.
# 19 Ασκήσεις για X – maths
Α΄ Λυκείου
1) Να αποδείξετε ότι:
i. 2018 2020 1 2019  
ii. 1 2020 2017 2019 1 2019    
Σημείωση: Παρατηρήστε ότι: 2
2018 2020 2019 1  
2) Να αποδείξετε ότι: 2019 2019 2019
3 5 8 
Σημείωση: Αν 0 α 1  ισχύει ν μ
ν μ α α  
3) Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει α β 2  . Να αποδείξετε ότι
α) αβ 1
β) 2 2
α β 2 

5. γ) 3 3
α β 2 
δ) 4 4
α β 2 
ε) 2019 2019
α β 2 
Σημείωση: Γνωρίζουμε τις ανισότητες:
1. 2 2
α β 2αβ 
2. 2 2
α β 2αβ  
3. α β 2 αβ, για αβ 0  
4.  
2
α β 4αβ 
5.    
22 2
2 α β α β  
6. 2 2 2 2
α β αβ και α β αβ    
Β΄ Λυκείου
4) Δίνεται η εξίσωση  2019 2019
ημ x συν x 1 , x 1  R
α) Να αποδείξετε ότι x 0  και x 0  .
β) Να αποδείξετε ότι x 1  και x 1 
γ) Να λύσετε την εξίσωση (1).
5) Δίνεται η εξίσωση  2019 2019
ημ x συν x, x 1 R
α) Να αποδείξετε ότι x 0  και x 0  .
β) Να λύσετε την εξίσωση (1).
Γ΄ Λυκείου
6) Δίνεται συνάρτηση  f : 0, R τέτοια ώστε:
    x
lnf x 2019f x e x 2018    για κάθε xR
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R
β) Να αποδείξετε ότι  f 0 1
γ) Να λύσετε την εξίσωση  f x 1
7) Δίνεται συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε:
   2019 2019
f x 2019f x x x 2018    για κάθε xR
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R
β) Να αποδείξετε ότι  f 1 1
γ) Να λύσετε την εξίσωση  f x 1

6. 8) Δίνεται η συνάρτηση  
x
f x
1 x


α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
β) Να αποδείξετε ότι ένα προς ένα.
γ) Να βρείτε τα όρια    x x
lim f x , lim f x
 
δ) Να υπολογίσετε το σύνολο τιμών της f
ε) Να υπολογίσετε τη συνάρτηση  
2019 φορές
f f ... f x
 
  
 
9) Επιμέλεια: Θωμάς Ποδηματάς
Έστω η συνάρτηση f : R R με τύπο:
   x 2 3x 2e 10
f x e x 2x 4
e
  
    , xR
Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f :
i) Είναι κυρτή στο σύνολο R .
ii) Η γραφική της παράσταση δέχεται μοναδική οριζόντια εφαπτομένη, την
οποία και να προσδιορίσετε.
iii) Η συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στη θέση 1x 1 .
Β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f και στη συνέχεια να αποδείξετε
ότι η συνάρτηση f δεν αντιστρέφεται.
Γ) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β ώστε να ισχύει:
   3f 3α β 2 2f α β 8 10     
Δ) Να λύσετε την εξίσωση:
       
2 2
x 1 2 x 1 2
f e 2019 f x 2018 f e 2018 f x 2019 
      
10) Επιμέλεια: Γιώργος Χασάπης
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα  
π/2 2019
π/2
ημx συνx dx


11) Επιμέλεια: Γιώργος Χασάπης
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα  
π/2019
2019
π/2019
ημ ημx dx

12 – 13 – 14 ) Μια τριπλή επαναληπτική άσκηση για τη Γ Λυκείου!
Επιμέλεια: Θωμάς Ποδηματάς
Έστω η συνάρτηση f : R R με τύπο    x x
f x ln e e
  , x R
Α) Να δείξετε ότι :
i) Η συνάρτηση f είναι άρτια στο σύνολο R

7. ii) Ισχύει ότι :    2x
f x ln e 1 x   , x R και    2x
f x x ln 1 e
   , x R
iii) Ισχύει ότι :      
 3
2f x f x f x 0    , για κάθε x R
Β)
i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς μονοτονία και ακρότατα και να
βρείτε το σύνολο τιμών της.
ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και να δείξετε ότι δεν
παρουσιάζει σημεία καμπής.
iii) Να δείξετε ότι :      3f 2019 f 2021 2f 2018 
Γ) Να δείξετε ότι για κάθε x 0 η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να δείξετε ότι
 
x 2x
1 e e 4
f x ln ,x ln 2
2

  
  
 
 
Δ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε το
σημείο καμπής της. Δείξτε ότι στο σημείο καμπής της ο ρυθμός μεταβολής της
συνάρτησης f είναι ο μέγιστος δυνατός. Ποιος είναι ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής
της συνάρτησης f ;
Ε) Να βρείτε τις ασύμπτωτες των παραστάσεων fC και fC  και να κάνετε τη
γραφική τους παράσταση.
ΣΤ) Να βρείτε τη σχετική θέση του γραφήματος fC ως προς τις ασύμπτωτές του
και στη συνέχεια να δείξετε ότι
2019 2019
2018
2018
1 2019
1 ln x dx ln
x 2018
  
     
   

Ζ) Να δείξετε ότι :
i)  f x x  , για κάθε x R
ii)  2x 2x
e 1 x e 1   , για κάθε x R
iii)   
3
2
0
f x dx 9 
Η) Να υπολογίσετε τα όρια :
i)    ημx x
1
x
L lim f e ημ e

    και
ii)
 
 2 2xx
f x
L lim
ημ e
 
 
  
Θ) Να δείξετε ότι :
2α
2β
e 1
ln β α α β
e 1
 
    
 
, για κάθε α,βR
Ι) Να δείξετε ότι :     α β α α β β
2ln e 1 α β ln e e e e  
        , για κάθε
α,βR
ΙΑ) Να δείξετε ότι :

8. i) Η συνάρτηση g : R R με τύπο     x
g x f x e
 , x R είναι γνησίως
φθίνουσα στο σύνολο R .
ii) Ισχύει ότι :
β β α α
α e e α β e e β
e e e e   
   , για κάθε α,βR με α β
ΙΒ) Να δείξετε ότι :
  2 5
ln 2 f x ln 2 ln x
4
 
    
 
, για κάθε  x 0,ln 2
ΙΓ) Έστω η συνάρτηση h : R R με τύπο    2f x
h x xe ,x
 R . Να βρείτε το
εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από το γράφημα της συνάρτησης h , τους
άξονες συντεταγμένων και την ευθεία με εξίσωση x ln2
Για διαγωνισμούς
15) Να εξετάσετε αν η εξίσωση  2
x 2018κ 2017 x 2019 0    , όπου κZ έχει
ακέραιες ρίζες.
16) Έστω ο αριθμός 2 3 2019 2020
α 2 2 2 ... 2 2      . Να αποδείξετε ότι ο αριθμός α είναι
πολλαπλάσιο του 30.
17) Να αποδείξετε ότι 3 3
2019 x
2
x 2019
  για κάθε x 0 .
18) Μια ευθεία εφάπτεται των δύο κύκλων  Κ,2019 και  Λ,2020 στα
διακεκριμένα σημεία A και Β αντιστοίχως. Αν το M είναι το σημείο τομής των δύο
εφαπτόμενων εξωτερικά κύκλων τότε να αποδείξετε ότι
ΜΑ
1
ΜΒ
 .
19) Να λύσετε στους θετικούς ακέραιους την εξίσωση
 
1 1 1 1 2019
...
2 3 3 4 4 5 x x 1 4042
    
   