Hàm số - 9. Tiếp tuyến đồ thị hàm số

9 TIẾP TUYẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ
9.1 LÝ THUYẾT
9.1.1 Kiến thức cơ bản
• Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc
của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số M0(x0; f(x0)).
• Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:
y − y0 = f (x0).(x − x0)
• Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1) : y = f(x) và (C2) : y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ
phương trình sau có nghiệm:
f (x) = g (x)
f(x) = g(x)
(1)
Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đường đó.
9.1.2 Một số ví dụ
1. Phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm Mo(x0; yo)
1.1. Phương pháp giải.
• Nếu đề bài cho x0 thì ta tìm yo = f(x0). Nếu đề bài cho yo thì ta tìm x0 là nghiệm của
phương trình f(x) = yo.
• Tính y = f (x), từ đó suy ra y (x0) = f (x0).
• Phương trình tiếp tuyến ∆ cần tìm là:
y − yo = f (x0).(x − x0)
1.2. Ví dụ minh họa.
Câu 1. Cho hàm số y = x3
− 3x + 1 có đồ thị (C). Tọa độ tất cả điểm M thuộc đồ thị (C) để
tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc bằng 9 là:
A. (2; 3). B. (2; 3), (−2; −1). C. (−2; −1). D. (2; 3), (−2; 3).
Lời giải. Chọn đáp án B
Gọi M(x0; y0) Ta có: y (x0) = 3x2
0 − 3 = 9 ⇒ x0 = ± 2
Vậy M = (2; 3) hoặc M = (−2; −1).
Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) =
x + 1
x + 2
.
A. y = x + 1. B. y = 2x − 1. C. y = 2x + 2. D. y = x − 1.
Lời giải. Chọn đáp án A
TXĐ: D = R {2}.
f (x) =
1
(x + 2)2
⇒ f (−1) = 1.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(−1; 0) là:
y = 1.(x + 1) + 0 ⇔ y = x + 1
98
lovestem
.edu.vn

2. Phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số y = f(x) với hệ số góc k cho trước
Cách 1: Tìm tọa độ tiếp điểm.
• Gọi M(x0; yo) là tiếp điểm. Tính f (x0).
• Vì ∆ có hệ số góc là k nên ta có: f (x0) = k.
• Giải phương trình trên, ta tìm được x0 và tính được yo = f(x0).
Từ đó viết được phương trình của ∆.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
• Phương trình đường thẳng ∆ có dạng y = kx + m.
• ∆ tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
f(x) = kx + m
f (x) = k
• Giải hệ trên, ta tìm được m, từ đó viết được phương trình của ∆.
Chú ý: Hệ số góc của ∆ có thể được cho gián tiếp như sau:
(a) ∆ tạo với chiều dương trục hoành một góc α thì k = tan α.
(b) ∆ song song với đường thẳng d : y = ax + b thì k = a.
(c) ∆ vuông góc với đường thẳng d : y = ax + b thì k = −
1
a
.
(d) ∆ tạo với đường thẳng d : y = ax + b một góc α thì
k − a
1 + ka
= tan α.
2.2 Ví dụ minh họa.
Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) = x3
+ 2x + 1 có hệ số góc
là 5. Có mấy phương trình thỏa mãn:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
f (x) = 3x2
+ 2.
Gọi B(x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.
Hệ số góc của tiếp tuyến là:
f (x0) = 5 ⇔ 3x2
0 + 2 = 5 ⇔ x0 = ±1
Với x0 = 1 ⇒ y0 = 4 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y − 4 = 5(x − 1) ⇔ y = 5x − 1.
Với x0 = −1 ⇒ y0 = −2 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y + 2 = 5(x + 1) ⇔ y = 5x + 3.
+2x+1 biết tiếp tuyến
đó vuông góc với đường thẳng d : −2x + y − 1 = 0.
A. Chưa đủ dữ kiện. B. y =
−1
2
x + 1.
C. y =
−1
2
x − 1. D. Không có đáp án thỏa mãn.
Lời giải. Chọn đáp án D
f (x) = 3x2
+ 2.
Ta viết lại phương trình đường thẳng d: −2x + y − 1 = 0 ⇔ y = 2x + 1 ⇒ Hệ số góc của d là:
kd = 2, hệ số góc của tiếp tuyến là f (x0).
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nên f (x0).kd = −1 ⇔ f (x0) =
−1
2
⇔ 3x2
+2 =
−1
2
(vô nghiệm).
Vậy không có tiếp tuyến thỏa mãn.
Câu 5. Cho (C): y =
x3
3
+
3x2
4
− x.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song
song với d: x + y − 8 = 0.
A. y = x. B. y = −x +
9
16
.
99
lovestem
.edu.vn

C. y = −x −
9
16
. D. Cả hai đáp án A và C.
f (x) = x2
+
3x
2
− 1.
Đường thẳng d: x + y − 8 = 0 ⇔ y = 8 − x ⇒ Hệ số góc của d là −1 ⇒ Hệ số góc của tiếp
tuyến cũng là −1.
Giải phương trình f (x) = −1 ⇔ x2
+
3x
2
− 1 = −1 ⇒ x = 0 hay
−3
2
.
Với x = 0 thì y = 0 phương trình tiếp tuyến là y = −x.
Với x =
−3
2
thì y =
33
16
phương trình tiếp tuyến là y = −x +
9
16
.
3. Phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số y = f(x), ∆ đi qua điểm A(xA; yA)
Cách 1: Tìm tọa độ tiếp điểm.
• Gọi M(x0; yo) là tiếp điểm. Khi đó: yo = f(x0); yo = f (x0).
• Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M: y − yo = f (x0).(x − x0).
• ∆ đi qua điểm A(xA; yA) nên ta có: yA − yo = f (x0).(xA − x0).
• Giải phương trình trên, ta tìm được x0. Từ đó, viết được phương trình của ∆.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(xA; yA) và có hệ số góc k có dạng:
y − yA = k.(x − xA)
• ∆ tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
f(x) = k.(x − xA) + yA
f (x) = k
• Giải hệ phương trình trên, ta tìm được x, từ đó suy ra k và viết được phương trình tiếp
tuyến ∆.
3.2. Ví dụ minh họa.
− 3x + 1 đi qua điểm
A(1; −1).
A. y = −1. B. y =
9
4
x +
5
4
.
C. y = −
9
4
x −
5
4
. D. Cả hai đáp án A và C.
Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; −1) và có hệ số góc k có dạng:
(∆): y = k(x − 1) − 1
δ trở thành tiếp tuyến khi hệ sau có nghiệm:
x3
− 3x + 1 = k(x − 1) − 1
3x2
− 3 = k
Từ hệ phương trình suy ra: x3
− 3x + 1 = (3x2
− 3).(x − 1) − 1 ⇔ (x − 1)2
.(2x + 1) = 0
Do đó: x = 1 hay x =
−1
2
.
x = 1 ⇒ y = −1; k = 0 ⇒ Ta được tiếp tuyến (∆1) : y = −1.
x =
−1
2
⇒ y =
19
8
; k =
−9
4
⇒ Ta được tiếp tuyến (∆2) : y =
−9
4
x +
5
4
.
100
lovestem
.edu.vn

9.2 BÀI TẬP
9.2.1 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
− 2x + 1 tại điểm có
hoành độ bằng 1.
A. = 2x − 1. B. y = x + 1. C. y = −2x + 1. D. y = x − 1.
Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) =
1
x + 1
tại N(0; 1) là:
A. y = −x − 1. B. y = −x + 1. C. y = x + 1. D. y = x − 1.
Câu 3. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
x2
− 3x + 1
2x − 1
tại giao điểm của đồ thị hàm số với
trục tung là:
A. y = x − 1. B. y = x + 1. C. y = x. D. y = −x.
Câu 4. Cho hàm số y = ln(x2
+1).Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = −1
có hệ số góc bằng:
A. y = ln2. B. y = −1. C. y =
1
2
. D. y = 0.
Câu 5. Trong các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3
− 3x2
+ 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
nhất là:
A. y = 1. B. y = 0. C. y = −2. D. y = −3.
Câu 6. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cực đại của hàm số y = x4
− 4x2
+ 1.
A. y = 4x + 23. B. y = −4x − 2. C. y = 1. D. y = −4x + 2.
Câu 7. Cho hàm số y =
x − 2
x + 1
có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm
của (C) với trục hoành và trục tung lần lượt là:
A. y =
1
3
x −
2
3
và y = 3x − 2. B. y = 3x − 2 và y =
1
3
x −
2
3
.
C. y = −3x + 2 và y =
1
3
x −
2
3
. D. y =
1
3
x −
2
3
và y = −3x + 2.
− 4x2
+ 1 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
M thuộc (C) có hoành độ x0 thỏa mãn điều kiện y (x0) = 4 là:
A. y = −4x + 2. B. y = −4x − 2.
C. y = 4x + 2. D. y = −4x + 2 và y = 4x + 2.
+ x2
− x + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
tại giao điểm của nó với trục hoành.
A. y = 7x + 14. B. y = 7x − 14. C. y = −3x +
2
3
. D. y = −3x − 14.
9.2.2 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 10. Cho đường cong y = cos
π
3
+
x
2
và điểm M thuộc đường cong. Điểm M nào sau
đây có tiếp tuyến tại điểm đó song song với đường thẳng y =
1
2
x + 5?
A. M
5π
3
; 1 . B. M −
5π
3
; 1 . C. M −
5π
3
; 0 . D. M −
5π
3
; −1 .
Câu 11. Cho elip (E) có phương trình:
x2
100
+
y2
64
= 1. Phương trình tiếp tuyến của elip (E)
tại điểm M(5; 4
√
3) là:
A. 5
√
3 + 2x − 80 = 0. B. 5
√
3 − 2x + 80 = 0.
C. 5
√
3y + 4x − 80 = 0. D. −5
√
3y − 4x − 80 = 0.
101
lovestem
.edu.vn

2x − 1
x + 2
có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận của
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M ∈ (C), biết IM =
√
5
2
IO và M có hoành
độ dương.
A. y = x + 4 − 2
√
5. B. y =
4
5
x +
18 + 9
√
5
5
.
C. y = x + 4 + 2
√
5. D. y =
4
5
x + 4 − 2
√
5.
2x − 1
x − 1
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết
khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng
√
2.
A. y = −x + 1 và y = −x + 5. B. y = x − 1.
C. y = x − 5 và y = x − 1. D. y = −x + 5.
Câu 14. Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến song song với trục tung của đồ thị hàm số
y =
1
x2 − 1
là:
A. −1. B. 0. C. 1. D. Đáp số khác.
− 5x − 8 có đồ thị (C). Khi đường thẳng y = 3x + m tiếp xúc với
(C) thì tiếp điểm sẽ có tọa độ là:
A. M(4; 12). B. M(−4; −12). C. M(−4; 12). D. M(4; −12).
Câu 16. Tìm M trên (C) : y =
x + 1
x − 3
sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với d : y = x+2007.
A. (1; −1) hoặc (2; −3). B. (1; −1) hoặc (4; 5).
C. (5; 3) hoặc (1; −1). D. (5; 3) hoặc (2; −3).
Câu 17. Điểm M có hoành độ âm trên đồ thị (C) : y =
1
3
x3
− x +
2
3
sao cho tiếp tuyến tại M
vuông góc với đường thẳng y = −
1
3
x +
2
3
là:
A. M(−2; 0). B. M −
1
2
;
9
8
. C. M −3;
−16
3
. D. M −1;
4
3
.
Câu 18. Cho hàm số y = −x4
− x2
+ 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =
1
6
x − 1.
A. y = −6x + 6. B. y = −6x + 10. C. y = −6x + 12. D. y = −6x + 8.
Câu 19. Cho đồ thị (C) hàm số y = xlnx. Tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường
thẳng y =
−x
3
+ 1. Hoành độ của M gần nhất với số nào dưới đây:
A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.
Câu 20. Cho đồ thị hàm số y = x3
− 2x2
+ 2x(C). Gọi x1, x2 lần lượt là các hoành độ của
M, N trên (C) mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = −x + 2017. Khi
đó x1 + x2 có giá trị là:
A. −1. B. −
4
3
. C.
1
3
. D.
4
3
.
Câu 21. Cho (H): y =
x + 2
x − 1
. Mệnh đề nào sau đây đúng:
A. (H) có tiếp tuyến song song với trục tung.
B. (H) có tiếp tuyến song song với trục hoành.
C. Không tồn tại tiếp tuyến của (H) có hệ số góc dương.
D. Không tồn tại tiếp tuyến của (H) có hệ số góc âm.
102
lovestem
.edu.vn

Câu 22. Số tiếp tuyến của (C) : y = x4
+ x2
song song với d : y = 6x − 111.
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
x2
+ 3x + 3
x + 2
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số song
song với đường thẳng y = −3x + 2.
A. y = −3x + 3. B. y = −3x − 3. C. y = −3x + 11. D. cả A và C.
Câu 24. Cho hàm số (C): y =
√
3x3
+ 4, viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) biết
tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:
√
3y − x + 6 = 0 một góc bằng 30◦
.
A. y = 1. B. y = −
√
3x +
11 +
√
3
3
.
C. y = −
√
3x +
11 −
√
3
3
. D. y = 4.
Câu 25. Cho hàm số (C): y = x3
+ 3x2
− 9x + 5. Trong các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C),
tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất tại điểm:
A. (−12; 0). B. (−1; 16). C. (−1; −16). D. (0; 12).
− 3x2
+ 2 (C). Trên đường thẳng y = −2, điểm nào mà từ đó có
thể kẻ đến đồ thị hàm số (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
A. (2; −2). B.
55
27
; −2 . C.
43
28
; −2 . D. (0; −2).
Câu 27. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =
3x − 2
x − 1
tạo với trục hoành góc 45◦
.
A. y = −x + 2 hay y = −x + 6. B. y = −x hay y = −x + 2.
C. y = −2x + 2 hay y = −2x. D. y = −2x hay y = −2x + 6.
x + 3
2(x + 1)
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của M nằm trên (C)
sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B và đường trung trực của AB đi qua gốc tọa độ
A. y = −x +
3
2
. B. y = x +
5
2
.
C. y = −x +
3
2
hay y = −x −
5
2
. D. y = x +
5
2
hay y = −x +
3
2
.
9.2.3 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 29. Tìm m để đồ thị hàm số y =
(2m − 1) x − m2
x − 1
tiếp xúc với đường thẳng y = x.
A. m ∈ R. B. m ∈ ∅. C. m = 1. D. m = 1.
Câu 30. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x3
+ 3mx2
− 2m + 1 tiếp
xúc với trục hoành?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
2x − 3
x − 1
. Đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = 2x + m khi:
A. m =
√
8. B. m = 1. C. m = ±2
√
2. D. ∀m.
Câu 32. Với m thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây thì hai đồ thị (C) : y = x3
−2x+m
và (C ) : y =
−2x − 1
x
tiếp xúc với nhau?
2x
x + 2
khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
A. y = −x và y = x + 8. B. y = −x − 1 và y = x + 8.
C. y = x và y = x + 8. D. y = −x và y = −x + 8.
103
lovestem
.edu.vn

2x + 1
x + 1
rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4) và B(−4; −2).
A. y = −x − 1, y = −2x + 3 và y = x + 5. B. y = x + 1, y = x + 5 và y =
1
4
x +
5
4
.
C. y = −x − 1 và y =
1
4
x +
5
4
. D. y = −2x + 3 và y = x + 1.
2x − 3
x − 2
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
M ∈ (C), biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại hai điểm A và
B sao cho côsin góc ABI bằng
4
17
, với I là giao của hai đường tiệm cận.
A. y = −
1
4
x +
3
2
. B. y = −
1
4
+
5
2
.
C. y = −
1
4
x +
3
2
và y = −
1
4
x +
5
2
. D. y = −
1
4
x +
3
2
và y = −
1
4
x +
7
2
.
A. (−5; −3]. B. (−3; −1]. C. (1; 3]. D. (3; 5].
− 3mx2
+ (m + 1)x − m. Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số
với trục Oy. Khi đó giá trị của tham số m để tiếp tuyến của độ thị hàm số tại A vuông góc với
đường thẳng y = 2x − 3 là:
A.
3
2
. B. −
3
2
. C. Đáp số khác. D.
1
2
.
1
3
x3
−
m2
2
x2
+ m +
1
3
có đồ thị (Cm). Gọi M là điểm thuộc (Cm) có
hoành độ bằng −1. Tìm tất cả các giá trị của m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song
với đường thằng y = 5x + 5.
A. m = 2. B. m = 4.
C. m = −2. D. m = 2 hoặc m = −2.
Câu 38. Cho hàm số y = f(x) = x3
+ ax + b, a = b. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
có hoành độ x = a và x = b song song với nhau. Tính f(1).
A. 2a + 1. B. 2b + 1. C. 3. D. 1.
(m + 1)x + m
x + m
, m = 0 có đồ thị (Cm). Tiếp tuyến của (Cm) tại
A(0; 1) có phương trình là:
A. y = 2x + 1. B. y = −x + 1. C. y = x + 1. D. y = 2x + 1.
Câu 40. Đồ thị hàm số y = x3
+ bx2
+ cx + d có điểm uốn I(1; 0) và tiếp tuyến tại điểm uốn
có hệ số góc là −1. Giá trị của d là:
A. −2. B. −1. C. 0. D. 1.
Câu 41. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x3
+ (1 − 2m)x2
+ (2 − m)x + m + 2 có tiếp
tuyến tạo với đường thẳng (d) : x + y + 7 = 0 góc α biết cos α =
1
√
26
.
A. m ≤ −
1
4
hoặc m ≥
1
2
. B. m ≤ −
3
4
hoặc m ≥ 1.
C. m ≤ −
3
4
hoặc m ≥
1
2
. D. m ≤ −
1
4
hoặc m ≥ 1.
− 2x2
+ (m − 1)x + 2m có đồ thị (Cm). Có bao nhiêu giá trị của
m thỏa mãn từ M(1; 2) kẻ được đúng hai tiếp tuyến với (Cm).
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
− 2mx2
+ m có đồ thị (Cm), gọi A là một điểm thuộc (Cm) có
hoành độ bằng 1. Khoảng cách từ điểm B
3
4
; 1 đến tiếp tuyến của (Cm) tại A là lớn nhất
khi m bằng:
104
lovestem
.edu.vn

A. 1. B. −1. C. 0. D. đáp án khác.
Câu 44. Cho (C) : y =
2x − 1
x − 1
và I(1, 2). Điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại
M vuông góc với IM là:
A. M(2; 3). B. M(0; 1).
C. M(2; 1) hoặc M(0; 1). D. M(2; 3) hoặc M(0; 1).
2x
x + 1
có đồ thị hàm số (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết
tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B và tam giác OAB có diện tích
bằng
1
4
.
A. M(1; 1) hoặc M −
1
2
; −2 . B. M(1; 1) hoặc M −
1
2
; 8 .
C. M 1;
1
2
hoặc M −
1
2
; 8 . D. M 1;
1
2
hoặc M −
1
2
; −2 .
9.2.4 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ NÂNG CAO
Câu 46. Cho hàm số y = −x + 1 +
m
2 − x
. Tìm m để đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm cực
đại A cắt trục tung tại B sao cho tam giác OAB vuông cân.
A. m = 1. B. m =
1
√
2
. C. m = 4. D. m = 0.
1
3
mx3
+ (m − 1)x2
+ (4 − 3m)x + 1 có đồ thị (Cm). Tìm các giá trị
m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại duy nhất điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông
góc với đường thằng (d) : x + 2y − 3 = 0.
A. m = 0. B. m >
2
3
.
C. m < 0 hoặc m >
2
3
. D. 0 < m < 1.
1
3
mx3
+ (m − 1)x2
+ (4m − 3)x + 1 có đồ thị (Cm). Tìm các giá
trị m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó
vuông góc với đường thẳng (d) : x + 2y − 3 = 0.
A. m = 0; m =
1
2
. B. 0 < m <
1
2
hoặc
1
2
< m <
2
3
.
C. 0 < m <
1
2
hoặc
1
2
< m ≤
2
3
. D.
1
2
< m ≤
2
3
.
2mx + 3
x − m
có đồ thị (Cm). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận
của (Cm). Tiếp tuyến tại một điểm bất kì của (Cm) cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho tam
giác IAB có diện tích bằng 64. Khi đó giá trị của m là:
A. ±4. B. 4. C.
√
58
2
. D. ±
√
58
2
.
x + 2
x − 1
và điểm A(0; a). Xác định a để từ A kẻ đường hai tiếp tuyến
tương ứng nằm về hai phía của trục Ox.
A. a = 1. B. a > −
2
3
. C. a > −
2
3
; a = 1. D. a = 1.
Lời giải. Chọn đáp án C
Ta có M(x0; y0) ∈ (C) : y = f(x) =
x + 2
x − 1
⇔ y0 =
x0 + 2
x0 − 1
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại
105
lovestem
.edu.vn

M: y = f (x0)(x − x0) + y0 ⇔ y =
−3
(x0 − 1)2
x +
x2
0 + 4x0 − 2
(x0 − 1)2
.
Tiếp tuyến đi qua A(0; a) ⇒ a =
x2
0 + 4x0 − 2
(x0 − 1)2
⇔ (a − 1)x2
0 − 2(a + 2)x0 + a + 2 = 0.
Điều kiện để có hai tiếp tuyến kẻ từ A là:
a − 1 = 0
∆ > 0
⇔
a = 1
a > −2
.
Khi đó phương trình trên có hai nghiệm là x1 và x2, tung độ tiếp điểm tương ứng là y1 =
x1 + 2
x1 − 1
và y2 =
x2 + 2
x2 − 1
.
Điều kiện để hai tiếp điểm nằm về hai phía trục Ox:
y1y2 < 0 ⇔
x1 + 2
x1 − 1
.
x2 + 2
x2 − 1
< 0 ⇔
x1x2 + 2(x1 + x2) + 4
x1x2 − (x1 + x2) + 1
< 0 ⇔
a + 2
a − 1
+
4(a + 2)
a − 1
+ 4
a + 2
a − 1
−
2(a + 2)
a − 1
+ 1
< 0 ⇔
9a + 6
−3
< 0 ⇔ −3a − 2 < 0 ⇔ a > −
2
3
.
Kết hợp điều kiện, suy ra a > −
2
3
; a = 1.
Câu 51. Đồ thị hàm số (C) : y =
x + 1
x − 2
và đường thẳng (dm) : y = x + m cắt nhau tại hai
điểm phân biệt và tiếp tuyến tại hai điểm đó với (C) song song với nhau khi:
A. m = −2. B. m = 1. C. m = −1. D. m = 2.
− mx + m − 1 có đồ thị (Cm). Biết đồ thị (Cm) tại điểm M có
hoành độ x = −1 cắt đường tròn (C) có phương trình (x − 2)2
+ (y − 3)2
= 4 theo dây cung
có độ dài nhỏ nhất, giá trị của m là:
A. m = 2. B. m = 3. C. m = 2 hoặc m = 3. D. m = 1.
Ta có: y = 3x2
− m ⇒ y (−1) = 3 − m; y(−1) = 2m − 2.
Đường tròn (C) có tâm I(2; 3), bán kính R = 2.
Phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại M(−1; 2m − 2): y = (3 − m)x + m + 1.
d(I, d) =
|4 − m|
(3 − m)2 + 1
=
|1 + (3 − m)|
(3 − m)2 + 1
≤
√
2. (3 − m)2 + 1
(3 − m)2 + 1
=
√
2 < R .
Dấu "=" xảy ra ⇔ m = 2. Do đó d(I, d) lớn nhất ⇔ m = 2.
Tiếp tuyến d cắt (C) theo dây cung có độ dài nhỏ nhất ⇔ d(I, d) đạt lớn nhất ⇔ m = 2.
x + 1
2x − 1
có đồ thị (C). Để tồn tại ít nhất một điểm M thuộc (C)
sao cho tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai trục tọa độ có trọng tâm nằm trên đường thẳng
(d) : y = 2m − 1 thì m có giá trị nhỏ nhất là:
A. 0. B.
1
2
. C. −1. D.
1
3
.
Lời giải. Chọn đáp án D
Gọi M(x0; y0) ∈ (C).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M: y =
−3
(2x0 − 1)2
(x − x0) + y0.
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung, suy ra yB =
2x2
0 + 4x0 − 1
(2x0 − 1)2
.
Từ đó trọng tâm G của OAB có yG =
2x2
0 + 4x0 − 1
3(2x0 − 1)2
.
106
lovestem
.edu.vn

Vì G ∈ (d) nên
2x2
0 + 4x0 − 1
3(2x0 − 1)2
= 2m − 1.
Mặt khác
2x2
0 + 4x0 − 1
(2x0 − 1)2
=
6x2
0 − (2x0 − 1)2
(2x0 − 1)2
=
6x2
0
(2x0 − 1)2
− 1 ≥ −1.
Do đó để tồn tại ít nhất một điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán thì 2m − 1 ≥ −
1
3
⇔ m ≥
1
3
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của m là
1
3
.
Câu 54. Số tiếp tuyến của (C) : y = −x4
+ x2
song song với d : y = 2x − 1 là:
A. 0. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 55. Cho (H) : y =
x + 2
x − 1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. (H) có tiếp tuyến song song với trục tung.
B. (H) có tiếp tuyến song song với trục hoành.
C. Không tồn tại tiếp tuyến của (H) có hệ số góc âm.
D. Không tồn tại tiếp tuyến của (H) có hệ số góc dương.
Câu 56. Cho hàm số (C) : y =
x2
+ 2x + 2
x + 1
. Tìm tất cả điểm trên đường thẳng y = x mà từ
đó kẻ đúng 1 tiếp tuyến đến (C)>
A. (−2; −2). B.
3
4
;
3
4
. C.
3
4
;
3
4
, (−2; −2). D. (−1; −1), (−2; −2).
Câu 57. Cho hàm số (C) : y = f(x) = x3
− 12x + 12. Tìm m sao cho từ M(m; −4) kẻ được 3
tiếp tuyến đến đồ thị (C).
A. (−∞; −4). B. (−∞; −4) hoặc
4
3
; +∞ .
C.
4
3
; +∞ {2}. D. (−∞; −4) hoặc
4
3
; +∞ {2}.
Câu 58. Cho (C) : y = x3
− 3x2
+ 2. Các điểm trên đường y = −2 sao cho từ đó vẽ được 2
tiếp tuyến của (C) vuông góc với nhau là:
A.
55
27
; −2 . B.
1
2
; −2 . C.
55
9
; −2 . D.
5
9
; −1 .
Câu 59. Tìm trên đồ thị (C) : y = f(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d (a = 0) các điểm kẻ được đúng
1 tiếp tuyến đến (C).
A. −
b
3a
; f −
b
3a
. B. −
b
2a
; f −
b
2a
.
C. −
a
3b
; f −
a
3b
. D. −
c
3a
; f −
c
3a
.
107
lovestem
.edu.vn

Hàm số - 9. Tiếp tuyến đồ thị hàm số

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Hàm số - 9. Tiếp tuyến đồ thị hàm số

Similar to Hàm số - 9. Tiếp tuyến đồ thị hàm số (20)

More from lovestem

More from lovestem (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Hàm số - 9. Tiếp tuyến đồ thị hàm số