Hàm số - 4. Phép biến đổi của đồ thị hàm số

1. 4 PHÉP BIẾN ĐỔI CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
4.1 TÓM TẮT LÍ THUYẾT
4.1.1 Phép tịnh tiến đồ thị:
Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho trước điểm I(a, b) . Phép tịnh tiến hệ trục tọa độ (Oxy)
theo véc tơ
−→
OI có biểu thức tọa độ: x = X + a, y = Y + b ta được hệ trục tọa độ mới (IXY ).
Với đồ thị (C) có phương trình y = f(x) trong (Oxy) tương ứng phương trình Y +b = f(X +a)
trong mặt phẳng (IXY ).
VD1: Với điểm I(1, 2) và (C) : y =
2x − 1
x − 1
,Viết biểu thức tọa độ phép tịnh tiến hệ trục tọa
độ theo véc tơ
−→
OI. Xác định phương trình (C) trong (IXY).
Lời giải:
• Thực hiện tịnh tiến hệ trục tọa độ:
x = X + 1
y = Y + 2
(1).
• Thay (1) vào (C) : y =
2x − 1
x − 1
ta có : Y + 2 =
2(X + 1) − 1
X + 1 − 1
=
2X + 1
X
.
Vậy phương trình (C) trong mặt phẳng (IXY ) là Y =
1
X
.
4.1.2 Tâm đối xứng của đồ thị:
Nhận xét : Đồ thị của hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
VD2: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = x3
− 3x2
nhận I(1, −2) là tâm đối xứng
Lời giải:
• Thực hiện tịnh tiến hệ trục tọa độ:
x = X + 1
y = Y − 2.
Phương trình (C) trở thành: Y − 2 = (X + 1)3
− 3(X + 1)2
⇔Y = X3
− 3X
.
• Ta có Y = X3
− 3X là hàm số lẻ ⇒ I(X = 0, Y = 0) là tâm đối xứng trong mặt phẳng
(IXY ).
Suy ra I(1, −2) là tâm đối xứng trong mặt phẳng (Oxy) (đpcm)
Chú ý:
- Đồ thị hàm số y = ax3
+ bx2
+ cx + d nhận điểm I(x0, y(x0)), với y (x0) = 0 làm tâm đối
xứng.
- Đồ thị hàm số hữu tỷ y =
ax + b
cx + d
, y =
ax2
+ bx + c
dx + e
nhận giao điểm của hai tiệm cận
làm tâm đối xứng.
4.1.3 Trục đối xứng
Nhận xét : Đồ thị của hàm số Y = f(X) là hàm số chẵn nhận đường thẳng X = 0 làm trục
đối xứng
VD3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = x2
+ 2x nhận đường thẳng x = −1 làm trục đối
xứng.
33
lovestem
.edu.vn

2. Lời giải:
• Thực hiện tịnh tiến hệ trục tọa độ:
x = X − 1
y = Y
(1).
Phương trình (C) trở thành: Y = (X − 1)2
+ 2(X − 1)
⇔ Y = X2
− 1. Là hàm số chẵn.
⇒ Đường thẳng X = 0 là trục đối xứng của đồ thị hàm số (C) trong mặt phẳng (IXY )
⇒ Đường thẳng x = −1 là trục đối xứng của đồ thị hàm số (C) trong mặt phẳng (Oxy) (đpcm)
4.1.4 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ
TUYỆT ĐỐI
Bước 1: Vẽ hàm số chứa trị tuyệt đối dạng |f(x)|, f(|x|), |f(|x|)|. (đã nêu ở mục trên).
Bước 2: Số nghiệm của f(x) = g(m) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số (C) : y = f(x) và
(H) : y = g(m)
a) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình |f(x)| = g(m).
VD4: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình | − x2
+ 4x + 3| = m
Lời giải:
• Vẽ đồ thị hàm số (C) : y = | − x2
+ 4x + 3|
• Số nghiệm của phương trình | − x2
+ 4x + 3| = m bằng số giao điểm của đồ thị (C) và
d : y = m
Suy ra m < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.
m = 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt.
m > 0 ⇒ phương trình có ba nghiệm phân biệt.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(|x|) = g(m).
VD5: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x2
− 4|x| + 1 = m
Lời giải:
• Vẽ đồ thị hàm số (C) : y = 2x2
− 4|x| + 1
34
lovestem
.edu.vn

3. • Số nghiệm của phương trình 2x2
−4|x|+1 = m bằng số giao điểm của đồ thị (C) và d : y = m
Suy ra m < −1 ⇒ phương trình vô nghiệm.
m = −1 hoặc m > 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm.
− 1 < m < 1 ⇒ phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
m = 1 ⇒ phương trình có ba nghiệm phân biệt.
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình |f(|x|)| = g(m).
VD6: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình |x2
− 2|x| − 3| = m
Lời giải:
• Vẽ đồ thị hàm số (C) : y = |x2
− 2|x| − 3|
• Số nghiệm của phương trình |x2
−2|x|−3| = m bằng số giao điểm của đồ thị (C) và d : y = m
Suy ra m < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.
m = 0 hoặc m > 4 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt.
0 < m < 3 hoặc m = 4 ⇒ phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
m = 3 ⇒ phương trình có năm nghiệm phân biệt.
3 < m < 4 ⇒ phương trình có sáu nghiệm phân biệt.
35
lovestem
.edu.vn

4. 4.2 BÀI TẬP
4.2.1 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. m thuộc khoảng nào để phương trình: |2|x| − 1| = m có hai nghiệm phân biệt.
A. m < 0. B. m = 0. C. m > 1. D. m > 1 hoặc m = 0.
Câu 2. Đồ thị hàm số y =
x2
x − 1
có tâm đối xứng I có tọa độ là:
A. (2; 4). B. (1; 2). C. (0; −1). D. Một tọa độ khác.
Câu 3. Đồ thị hàm số y = x4
− 4x3
+ 7x2
− 6x + 4 có trục đối xứng là phương trình:
A. x = 0. B. x = 1. C. x = 2. D. Một phương trình khác.
Câu 4. Cho đồ thị hàm số (C) : y =
5x − 3
x + 2
và điểm I(−2; 5). Tịnh tiến đồ thị hàm số theo
−→
OI khi đó hàm số (C) trở thành:
A. Y =
10X − 13
X + 4
. B. Y =
−13
X
. C. Y =
−13
X + 4
. D. Một kết quả
khác.
4.2.2 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 5. Tìm m để phương trình: |x|3
− 2x2
+ 3|x| − 1 =log4m có 2 nghiệm âm.
A.
1
4
< m. B.
1
4
< m < 1. C. m > 1. D. Một kết quả khác.
Câu 6. Đồ thị hàm số (C) : y = x4
+ 4x3
+ mx2
có trục đối xứng song song với trục tung khi:.
A. m = 2 B. m = 3 C. m = 4 D. Một kết quả khác
Câu 7. Xác định m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số: (C) : y =
(m + 1)x2
− 2mx − (m3
− m2
− 2)
x − m
.
nằm trên Parapol (P) : y = x2
+ 1.
A. m = 1. B. m = ±1. C. m = ∅. D. Một kết quả khác.
Câu 8. Cho hàm số: y =
x − 1
x + 1
. Xét các mệnh đề sau:
i) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng thuộc (C) : y =
2x2
+ 4x − 5
x2 + 3
.
ii) Đồ thị hàm số nhận đường thẳng (d) : y = x + 2 làm trục đối xứng.
iii) Đây là hàm lẻ.
iv) Đây là hàm chẵn.
Có bao nhiêu mệnh đề sai?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
4.2.3 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 9. Với m nào thì phương trình 2 cos x| cos x − 1| − m| cos x − 1| + 1 = 0 có ba nghiệm.
A. m > 5. B. m < 5. C. m = ∅. D. Một kết quả khác.
Câu 10. Cho điểm A(x; y) thỏa mãn |y| ≥
x2
− x + 2
x − 1
.. Xét các mệnh đề sau:
i) A thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số (C) : y =
x2
− x + 2
x − 1
.
ii) A thuộc nhánh trái của (C).
iii) A thuộc nửa mặt phẳng bên trái tiệm cận đứng.
iv) A thuộc nửa mặt phẳng phía dưới khi lấy đối xứng nhánh phải qua Ox.
36
lovestem
.edu.vn

5. Có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
4.2.4 CÂU HỎI Ở MỨC VẬN DỤNG CAO
Câu 11. Cho đồ thị hàm số (C) : y =
x2
x − 1
. A, B là hai điểm nằm trên (C) và đối xứng qua
đường thẳng (d) : y = x − 1. Giá trị của biểu thức M = xA.yB + xB.yA
A.
√
2. B. −2. C. −
1
2
. D. Một kết quả khác.
Câu 12. Cho đồ thị hàm số (C) : y =
x2
+ 2m2
x + m2
x + 1
. Tìm m > 0 để (C) có hai điểm đối
xứng qua I(1; 2).
A. m > −1. B. m < −1. C. −
1
2
< m <
1
√
2
. D. m > 1.
Câu 13. Cho đồ thị hàm số (C) : y =
x2
+ 2x
3(x − 1)
. Qua M ∈ (C) kẻ các đường thg song song với
tiệm cận và cắt tiệm cận dúng tại A, tiệm cận xiên tại B. Gọi I là giao điểm của hai đường
tiệm cận. Để chu vi AMBI nhỏ nhất thì x2
m + y2
m xấp xỉ bao nhiêu?
A. 24.526 B. 1.7045 C. 11.104 D. 3.134
4.3 ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN
4.3.1 ĐÁP ÁN
1.D 2.B 3.B 4.B 5.B 6.C 7.B
8.B 9.C 10.D 11.A 12.D 13.C
4.3.2 HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1
Vẽ đồ thị hàm số (C) : y = |2|x| − 1|
⇒ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì m > 1 hoặc m = 0.
⇒ Chọn đáp án D.
Câu 2 :
37
lovestem
.edu.vn

6. Đồ thị có tiệm cận xiên y = x + 1.
Đồ thị có tiệm cận ngang x = 1.
⇒ Tâm đối xứng I(1; 2). ⇒ Chọn đáp án B.
Câu 3 :
Thực hiện tịnh tiến hệ trục tọa độ
x = X + 1
y = Y
(1).
Thay (1) vào y = x4
− 4x3
+ 7x2
− 6x + 4 ta được Y = X4
+ X2
là hàm chẵn.
⇒ Nhận X = 0 làm trục đối xứng.
⇒ x = 1 là trục đối xứng của đồ thị hàm số y = x4
− 4x3
+ 7x2
− 6x + 4.
⇒ Chọn đáp án B.
Câu 4: Thực hiện tịnh tiến theo
−→
OI
x = X − 2
y = Y + 5
(1).
Thay vào y =
5x − 3
x + 2
ta được Y =
−13
X
.
⇒ Chọn đáp án B.
Câu 5:
Vẽ đồ thị hàm số (C) : y = |x|3
− 2x2
+ 3|x| − 1.
Để phương trình có 2 nghiệm âm thì −1 < log4 m < 0 ⇔
1
4
< m < 1.
⇒ Chọn đáp án B.
Câu 6:
Đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với trục tung có dạng x = a.
Thực hiện tịnh tiến hệ tọa độ
x = X + a
y = Y
Thay vào phương trình y = x4
+ 4x3
+ mx2
ta được đồ thị hàm số (C ) :
Y = (X + a)4
+ 4(X + a)3
+ m(X + a)2
.
Để (C) nhận x = a làm trục đối xứng thì (C ) nhận X = 0 làm trục đối xứng.
Hay hàm Y = (X + a)4
+ 4(X + a)3
+ m(X + a)2
là hàm chẵn.
⇒
a = −1
m = 4
.
⇒ Chọn đáp án C.
Câu 7:
Đồ thị có tiệm cận đứng là x = m.
Đồ thị có tiệm cận xiên là y = (m + 1)x + m2
− m.
Đồ thị hàm số nhận giao hai đường tiệm cận I(m; 2m2
) làm đối xứng.
38
lovestem
.edu.vn

7. Mà I ∈ (P) m = ±1.
⇒ Chọn đáp án B.
Câu 8 : ii) đúng, ba mệnh đề còn lại sai
⇒ Chọn đáp án B.
Câu 9:
Phương trình tương đương 2 cos x +
1
| cos x − 1|
= m
Vẽ đồ thị hàm số (C) : y = 2x +
1
|x − 1|
Xét trong đoạn [−1; 1] thì phương trình chỉ có nhiều nhất một nghiệm ⇒ m = ∅.
⇒ Chọn đáp án C.
Câu 10:
Nếu
x2
− x + 2
x − 1
< 0 ⇒ x < 1. Suy ra A thuộc nửa mặt phẳng bên trái tiệm cận đứng.
⇒ ii) và iii) đúng.
Nếu
x2
− x + 2
x − 1
> 0 ⇒ x > 1.
Suy ra A thuộc nửa mặt phẳng phía trên nhánh phải (cả đồ thị) của (C) ⇒ i) đúng.
Hoặc A thuộc nửa mặt phía dưới khi lấy đối xứng nhánh phải qua Ox. ⇒ iv) đúng.
⇒ Chọn đáp án D.
Câu 11:
Đường thẳng AB cắt (d) tại trung điểm H của AB.
Ta tìm H(h, h − 1) ∈ (d) sao cho đường thẳng ∆ vuông góc với (d) tại H cắt (C) tại hai điểm
A, B thỏa mãn
xA + xB
2
= xH.
Phương trình của ∆ : y = −x + 2h − 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của ∆ với (C) là:
x2
x − 1
= −x + 2h − 1
⇒ x2
− 2hx + 2h − 1 = 0.(1)
Ta có:
xA + xB
2
= xH ⇔
h
2
= h ⇔ h = 0.
Với h = 0 phương trình (1) có hai nghiệm x = ±
1
√
2
.
⇒ A(
1
√
2
;
−2 −
√
2
√
2
) và B(−
1
√
2
;
−2 +
√
2
√
2
)
39
lovestem
.edu.vn

8. ⇒ M =
1
√
2
.
−2 +
√
2
√
2
+
−1
√
2
.
−2 −
√
2
√
2
=
√
2.
⇒ Chọn đáp án A.
Câu 12:
Thực hiện tịnh tiến hệ tọa độ
x = X + 1
y = Y + 2
.
Khi đó hàm số y =
x2
+ 2m2
x + m2
x + 1
trở thành Y =
X2
+ 2m2
X + 3m2
− 3
X + 2
= f(X).
Để (C) có hai điểm đối xứng qua I(1; 2) thì −f(X) = f(−X) có nghiệm.
⇔ (1 − 2m2
)X2
= 3 − 3m2
.
Nếu m = ±
1
√
2
⇒ 0 = 3 − 3
1
2
⇒ vô lý.
Nếu m =
1
√
2
⇒ phương trình có nghiệm ⇔
3 − 3m2
1 − 2m2
> 0.
⇒ Chọn đáp án A.
Câu 13:
Vẽ đồ thị hàm số (C)
Thực hiện tịnh tiến:



x = X + 1
y = Y +
4
3
.
Khi đó đồ thị hàm số (C) trở thành Y =
1
3
X +
1
X
Xét M ∈ (C) ⇒ M(Xo;
Xo
3
+
1
Xo
).
⇒ A(Xo;
Xo
3
); B(0;
1
X
)
⇒ CVAMBI = 2.(IA + IB) = 2(
1
|Xo|
+ |Xo|.
√
10
3
)
Suy ra xM = 1 ±
√
3
4
√
10
⇒ đáp án C.
40
lovestem
.edu.vn