Hàm số - 7. Đường tiệm cận

1. 7 ĐƯỜNG TIỆM CẬN
7.1 LÝ THUYẾT
7.1.1 Định nghĩa
Đường tiệm cận ngang
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +∞), (−∞; b) hoặc
(−∞; +∞)). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị
hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
lim
x→+∞
f(x) = y0, lim
x→−∞
f(x) = y0
Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
lim
x→x+
0
f(x) = +∞, lim
x→x−
0
f(x) = −∞
lim
x→x+
0
f(x) = −∞, lim
x→x−
0
f(x) = +∞
7.1.2 Một số sai lầm thường gặp
1. Học sinh quên không xác định tập xác định của hàm số nên xác định không đúng số
đường tiệm cận.
2. Học sinh tính nhầm giới hạn. VD: lim
x→−∞
x
√
x2 + 1
= −1 nhưng nhiều học sinh không để
ý và ra kết quả bằng 1.
3. Học sinh nhầm lẫn giữa việc có tiệm cận với việc hàm số không xác định tại một điểm.
7.1.3 Một số ví dụ
Câu 1. Các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số y = ax +
√
4x2 + 1 có tiệm cận ngang
là
A. a = ±2. B. a = −2 và a =
1
2
. C. a = ±1. D. a = ±
1
2
.
Lời giải. Chọn đáp án A
Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì ít nhất một trong hai giới hạn
lim
x→+∞
(ax +
√
4x2 + 1), lim
x→−∞
(ax +
√
4x2 + 1)
hữu hạn.
Ta có
lim
x→+∞
(ax +
√
4x2 + 1) = lim
x→+∞
a2
x2
− 4x2
− 1
ax −
√
4x2 + 1
lim
x→−∞
(ax +
√
4x2 + 1) = lim
x→−∞
a2
x2
− 4x2
− 1
ax −
√
4x2 + 1
Nếu a2
− 4 = 0 thì hai giới hạn trên đều là giới hạn vô hạn. Vì vậy để đồ thị hàm số có tiệm
cận ngang thì điều kiện cần là a2
− 4 = 0
66
lovestem
.edu.vn

2. 1. Nếu a = 2 thì lim
x→−∞
(2x +
√
4x2 + 1) = lim
x→−∞
−1
√
4x2 + 1 − 2x
= 0
2. Nếu a = −2 thì lim
x→+∞
(−2x +
√
4x2 + 1) = lim
x→+∞
1
2x +
√
4x2 + 1
= 0
Vậy a = ±2.
Câu 2. Cho hàm số y =
x − 1
√
x2 − 3x + 2
có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. (C) có đúng một tiệm cận ngang y = −1.
B. (C) có đúng một tiệm cận ngang y = 1.
C. (C) có hai tiệm cận ngang y = 1 và y = −1.
D. (C) không có tiệm cận ngang.
Lời giải. Chọn đáp án C
lim
x→+∞
x − 1
√
x2 − 3x + 2
= lim
x→+∞
1 −
1
x
1 −
3
x
+
2
x2
= 1
lim
x→−∞
x − 1
√
x2 − 3x + 2
= lim
x→−∞
−1 −
1
|x|
1 −
3
x
+
2
x2
= −1
Vậy (C) có hai tiệm cận ngang y = 1 và y = −1.
7.2 BÀI TẬP
7.2.1 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Đồ thị hàm số y =
3x − 2
x + 8
có tiệm cận đứng là:
A. x = −
−1
4
. B. x = 3. C. x = −8. D. x = −
2
3
.
Câu 2. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
x − 3
2x + 1
là:
A. x =
1
2
. B. y =
1
2
. C. x = −
1
2
. D. y = −
1
2
.
Câu 3. Đồ thị hàm số y =
2x + 1
−x + 2
có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:
A. x = 2; y = 2. B. x = 2; y = −2. C. x = −2; y = −2. D. x = −2; y = 2.
Câu 4. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
2x − 1
√
4x2 + 3
là:
A. y =
1
2
. B. y = 1. C. y = 2. D. y = 1; y = −1.
Câu 5. Đồ thị hàm số y =
x + 2
x − 1
có phương trình các đường tiệm cận là:
A. x = −2; y = −2. B. x = 1; y = −2. C. x = 1; y = 1. D. x = 1; y = −
1
2
.
Câu 6. Cho hàm số y =
3x − 5
1 − 2x
. Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.
67
lovestem
.edu.vn

3. C. Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Câu 7. Cho hàm số y = f(x) có lim
x→+∞
f(x) = 3 và lim
x→−∞
f(x) = −3. Khẳng định nào sau đây
là đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 3 và x = −3.
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 3 và y = −3.
D. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
Câu 8. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đồ thị hàm số y = ln x có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số y = 2−x
có tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số y = 2x
có tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số y = ln(−x) không có tiệm cận ngang.
Câu 9. Đường thẳng x = a được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:
A. lim
x→0
f(x) = a. B. lim
x→a
f(x) = 0. C. lim
x→∞
f(x) = a. D. lim
x→a
f(x) = ∞.
Câu 10. Đường thẳng y = a được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:
A. lim
x→∞
f(x) = a. B. lim
x→0
f(x) = a. C. lim
x→a
f(x) = ∞. D. lim
x→a
f(x) = 0.
Câu 11. Cho hàm số y =
x − 4
x + 2
có đồ thị là (1). Trong những phát biểu sau: a. (1) có 2 tiệm
cận đứng. b.(1) có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang. c. Tiệm cận đứng của (1) là x=1.
Chọn đáp án đúng nhất.
A. a đúng. B. b đúng. C. c sai. D. Đáp án B và C.
Câu 12. Cho hàm số y =
3x + 1
2x − 1
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y =
3
2
.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là y =
3
2
.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là x =
1
2
.
D. Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.
Câu 13. Đồ thị hàm số y =
2x − 3
x + 2
có:
A. Tiệm cận đứng là x = −2 và không có tiệm cận ngang.
B. Tiệm cận ngang là y = −2 và không có tiệm cận đứng.
C. Tiệm cận ngang là x = 2 và tiệm cận đứng y = 2.
D. Tiệm cận đứng là x = −2 và tiệm cận ngang y = 2.
Câu 14. Cho hàm số y =
x − 4
x + 2
có đồ thị là (1). Trong những phát biểu sau:
a. (1) có 2 tiệm cận đứng.
b. (1) có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.
c. Tiệm cận đứng của (1) là x=1.
Chọn đáp án đúng nhất.
A. a đúng. B. b đúng. C. c sai. D. Đáp án B và C.
Câu 15. Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
3x − 1
x − 3
là:
A. I(3, 3). B. I 3,
1
3
. C. I(3, 1). D. I 1,
1
3
.
68
lovestem
.edu.vn

4. 7.2.2 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 16. Cho hàm số y = f(x).Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Nếu hàm số liên tục trên R thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
B. Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì tiệm cận ngang không cắt đồ thị.
C. Đồ thị hàm số y = f(x) =
ax + b
cx + d
luôn có hai đường tiệm cận.
D. Nếu hàm số có dạng phân thức f(x) =
u
v
thì đồ thị hàm số luôn có tiệm cận đứng.
Câu 17. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
√
x2 + x + 1
x − 2
là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 18. Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
2x − 3
√
x2 + 1
là:
A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.
Câu 19. Đồ thị hàm số nào sau đây KHÔNG có đường tiệm cận
A. y =
1 − 3x
x + 1
. B. y =
2x2
+ 3x − 4
5x − 2
.
C. y =
3x − 5
1 − 2x
. D. y = x3
+ x2
− 5x + 1.
Câu 20. Cho hàm số y =
√
x2 + x
x − 1
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng..
C. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là y = 1 và y = −1.
D. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là x = 1 và x = −1.
Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Đồ thị hàm số không có quá 2 tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số có thể có vô số tiệm cận đứng.
C. Giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
D. Đồ thị hàm số có thể cắt đường tiệm cận của nó.
Câu 22. Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận ngang khi bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số.
B. Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận ngang khi bậc của tử số không lớn hơn bậc của
mẫu số.
C. Đồ thị hàm phân thức luôn có tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm phân thức luôn có tiệm cận đứng.
Câu 23. Cho hàm số y =
3x
√
x2 − 4
. Khẳng định nào sau đây đúng:
A. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là x = 2; x = −2 và 2 tiệm cận ngang là y = 3; y = −3.
B. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là x = 2; x = −2 và 1 tiệm cận ngang là y = 3 .
C. Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là x = 2 và 1 tiệm cận ngang là y = 3.
D. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là x = 2; x = −2 và không có tiệm cận ngang.
Câu 24. Cho hàm số y =
1
x + 1
(C). Mệnh đề nào sai:
A. Đồ thị hàm số (C) có tiệm cận ngang y = 0.
69
lovestem
.edu.vn

5. B. Bảng biến thiên của (C) là
x
y
y
−∞ −1 +∞
− −
+∞+∞
−∞
+∞
−∞−∞
.
C. Đồ thị hàm số (C) có tiệm cận đứng x = −1.
D. Đạo hàm y = −
1
(x + 1)2
.
Câu 25. Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận đứng:
A. y =
x − 1
x + 2
. B. y =
x − 2
x2 − x + 1
. C. y =
x + 2
x2 − x − 1
. D. y =
x − 1
(x + 2)3
.
Câu 26. Với m = 2 đồ thị hàm số y = 3x−1
2x+m
có đường tiệm cận đứng là:
A. x = −1. B. x = 1. C. y = 1. D. y = −1.
Câu 27. Đồ thị hàm số y = x+1
x−2
có:
A. Tâm đối xứng là điểm I(2; 1). B. Đường tiệm cận ngang y = 1.
C. Đường tiệm cận đứng x = 2. D. Cả A, B, C đều đúng.
Câu 28. Cho các hàm số: y =
x2
+ 3x − 1
√
x2 − x + 3
; y =
√
x2 − 1
2x − 3
; y =
√
1 − x2
x + 2
; y =
3
x−2x
. Có bao
nhiêu hàm số mà đồ thị hàm số có tiệm cận ngang?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 29. Đồ thị hàm số y =
x + 1
x2 + 2
có mấy đường tiệm cận:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 30. Đồ thị hàm số y =
x
x2 + |x|
có mấy tiệm cận:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 31. Đồ thị hàm số y =
|x|
x − 1
có mấy tiệm cận:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
7.2.3 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 32. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số y = |f(x)|
có bao nhiêu đường tiệm cận?
70
lovestem
.edu.vn

6. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 33. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = 3x2
+ x − 2 với đường tiệm cận ngang của đồ
thị hàm số y =
x + 2
x − 1
là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 34. Trong các giá trị m dưới đây, những giá trị nào để đồ thị hàm số y =
x2
− 4x + m
x − 2
có tiệm cận đứng x = 2.
A. m = 1. B. m = 1; m = −1; m = 2.
C. m = 2. D. m = −1.
Câu 35. Cho hàm số y =
2x − 1
x + 3
. Giá trị m để tiệm cận ngang của đồ thị hàm số giao với đồ
thị hàm số y = x2
+ 2x + m tại đúng 2 điểm phân biệt là:
A. m = ±3. B. 0 < m < 3. C. −3 < m < 0. D. m < 3.
Câu 36. Tìm tất cả giá trị của tham số a để hàm số y =
x −
√
x2 + 1
√
ax2 + 2
có tiệm cận ngang.
A. a ≥ 0. B. a ≤ 0. C. a = 1 hoặc a = 4. D. a > 0.
Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y =
4x − 5
x − m
nằm bên phải trục Oy.
A. m < 0. B. m > 0. C. m = 0. D. Đáp án khác.
Câu 38. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ, hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường
tiệm cận?
x
f (x)
f
−∞ −1 1 +∞
+ − 0 +
11
+∞ 1
00
11
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 39. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu
đường tiệm cận?
x
f (x)
f
−∞ −1 1 +∞
+ − 0 +
11
1 1
00
11
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
71
lovestem
.edu.vn

7. Câu 40. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có
bao nhiêu đường tiệm cận?
x
f (x)
f
−∞ −2 0 +∞
+ −
−10−10
+∞ 2
−∞−∞
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 41. Đồ thị hàm số y =
√
4 − x2
√
x(x2 − x − 6)(x − 2)
có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 5. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 42. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
(x − 1)3
(x2 − 1)(x − 2)
là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 43. Gọi M là 1 điểm thuộc đồ thị hàm số y =
x + 2
x − 2
(C). Gọi S là tổng khoảng cách từ
M đến 2 đường tiệm cận của (C). Giá trị nhỏ nhất của S là:
A. 2. B. 4. C. 2
√
2. D. 8.
Câu 44. Đồ thị hàm số y =
(m2
+ m)x − 1
x − 2
có đường tiệm cận ngang qua điểm A(−3, 2)
khi:
A.
m = −1
m = −2
. B.
m = 1
m = 2
. C.
m = 1
m = −2
. D.
m = −1
m = 2
.
Câu 45. Để đường cong (C):y =
x2
+ 3x + 6
x2 − ax + a
có đúng một đường tiệm cận đứng thì giá trị
của a là:
A. a = 1. B. a = 2. C.
a = 0
a = 4
. D.
a = 1
a = 2
.
Câu 46. Để đồ thị hàm số y =
mx2
− 3
x2 + x − 6
có 2 tiệm cận đứng thì:
A. m = 3. B. m = 2; m = 3. C. m =
3
4
; m =
1
3
. D. m = 3; m =
3
4
.
7.2.4 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 47. Cho đồ thị hàm số y =
ax + b
cx + d
như hình vẽ dưới đây.
72
lovestem
.edu.vn

8. −1. 1. 2. 3. 4.
−1.
1.
2.
3.
4.
5.
0
g
h
Kết luận nào sau đây là đúng:
A. ad > 0, bc > 0. B. ad > 0, bc < 0. C. ad < 0, bc > 0. D. ad < 0, bc < 0.
Câu 48. Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn lim
x→+∞
f(x) = 3 và lim
x→−∞
f(x) = −3. Mệnh đề nào
sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số y = f(x) không có đường tiệm cận nào.
B. Đồ thị hàm số y = f(x) chỉ có đúng hai tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số y = f(x) có ít nhất hai đường tiệm cận và số lượng đường tiệm cận là hữu
hạn.
D. Đồ thị hàm số y = f(x) có thể có vô số đường tiệm cận.
Lời giải. Chọn đáp án D
Ta chỉ cần xây dựng một hàm f(x) xác định trên [0; 1] sao cho f(x) có vô số tiệm cận đứng.
Chẳng hạn f(x) =
1
sin(nπx)
nếu x ∈
1
n
,
1
n + 1
và f(x) = 1 nếu x =
1
n
.
Câu 49. Cho m, n là các số nguyên và đồ thị hàm số y =
√
mx2 − 1 + nx2
+ 2
x + 1
có tiệm cận
ngang. Khi đó giá trị nhỏ nhất của m + n là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 50. Tìm m để đồ thị hàm số y =
3x − m
(m + 2)x − 1
và tiệm cận có dạng dưới đây:
−4. −2. 2. 4. 6.
−2.
2.
4.
6.
0
j
73
lovestem
.edu.vn

9. A. −3 < m < 1. B. m > 1 hoặc m < −3.
C. m > 1. D. m < −3.
Câu 51. Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y =
x2
− x + 3
x2 + mx + 1
có 2 đường tiệm cận
A. −2 ≤ m ≤ 2. B. m = −2. C. m ≥ 2. D. m = 2, −2.
Câu 52. Đồ thị hàm số y = f(x) có đúng hai tiệm cận như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị hàm
số y = f(|x|) có bao nhiêu đường tiệm cận
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 53. Đồ thị hàm số y = f(x) có đúng hai tiệm cận như hình vẽ dưới đây. Biết hàm số
y = f(x) chỉ gián đoạn tại điểm x = 1. Hỏi đồ thị hàm số y = f
1
x
có bao nhiêu đường
tiệm cận?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 54. Đồ thị hàm số y = f(x) có đúng hai tiệm cận như hình vẽ dưới đây. Tìm tất cả các
giá trị của m để đồ thị hàm số y = f(|x + m|) có đúng một tiệm cận?
74
lovestem
.edu.vn

10. A. m = −1. B. m ≤ −1. C. m < −1. D. Không tồn tại m.
Câu 55. Cho hàm số y = f(x) chỉ gián đoạn tại x = 1. Đồ thị hàm số y = f(x) có đúng hai
tiệm cận như hình vẽ . Biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) gồm hai nhánh, mỗi nhánh nằm hoàn
toàn trong các góc tạo bởi hai đường tiệm cận như hình vẽ dưới đây. Hỏi mệnh đề nào sau đây
sai?
A. Đồ thị hàm số y =
1
f(x)2 + 1
không phải một đường liền nét.
B. Đồ thị hàm số y =
f(x)
f(x) − 1
có tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số y = f(2x) có đúng hai tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số y =
1
f(x) − 1
có đúng một tiệm cận.
Lời giải. Chọn đáp án B
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1 nên lim
x→+∞
f(x) = lim
x→−∞
f(x) = 1. Vì vậy
lim
x→+∞
f(x)
f(x) − 1
và lim
x→−∞
f(x)
f(x) − 1
không phải giới hạn hữu hạn. Do đó đồ thị hàm số y =
f(x)
f(x) − 1
không có tiệm cận ngang.
Câu 56. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số
y =
1
|f(x)|
có bao nhiêu đường tiệm cận?
75
lovestem
.edu.vn

11. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải. Chọn đáp án B
Phương trình |f(x)| = 0 có duy nhất một x0 nghiệm. Do đó đồ thị hàm số y =
1
|f(x)|
có tiệm
cận đứng x = x0.
Ngoài ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 0. Vì vậy đồ thị hàm số y =
1
|f(x)|
có hai đường
tiệm cận
Câu 57. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của m để
đồ thị hàm số y =
1
f(|x + m|)
có đúng một tiệm cận.
A. m = −1. B. m ≤ −1. C. m < −1. D. Không tồn tại m.
Câu 58. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả giá trị của m đề đồ
thị hàm số y =
1
f(|x + m|)
có nhiều đường tiệm cận nhất.
A. m = 2. B. m ≥ 2. C. m > 2. D. = 2.
Lời giải. Chọn đáp án C
Để đồ thị hàm số y =
1
f(|x + m|)
có nhiều đường tiệm cận nhất thì phương trình f(|x+m|) = 0
phải có nhiều nghiệm nhất.
Ta tìm m để phương trình f(x + m) = 0 có nhiều nghiệm dương nhất. Từ đồ thị hàm số ta
76
lovestem
.edu.vn

12. thấy phương trình f(x + m) = 0 có 2 nghiệm dương khi tịnh tiến đồ thị hàm số y = f(x) sang
phải một đoạn lớn hơn 2.
Vậy m > 2.
Câu 59. Cho hàm số y =
2x − 1
x + 1
. Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tổng
khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất?
A. M(−1 +
√
3, 2 −
√
3); M(−1 −
√
3, 2 +
√
3).
B. M(1 +
√
3, 2 −
√
3); M(1 −
√
3, 2 +
√
3).
C. M(1 +
√
3, 2 +
√
3); M(1 +
√
3, 2 +
√
3).
D. M(−1 −
√
3, 2 −
√
3); M(−1 +
√
3, 2 +
√
3).
Câu 60. Cho hàm số y =
x + 2
x − 3
. Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ
điểm M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận ngang:
A. M(3 +
√
5, 1 −
√
5); M(3 −
√
5, 1 +
√
5). B. M(3 +
√
5, 1 +
√
5); M(3 −
√
5, 1 −
√
5).
C. M(3 −
√
5, 1 +
√
5); M(3 +
√
5, 1 −
√
5). D. M(3 +
√
5, 1 −
√
5); M(3 +
√
5, 1 +
√
5).
Lời giải. Chọn đáp án B
Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
x + 2
x − 3
là x = 3, y = 1.
Điểm M trên đồ thị hàm số có dạng t,
t + 2
t − 3
. Để M cách đều hai tiệm cận thì |t − 3| =
t + 2
t − 3
− 1 .
Phương trình trên tương đương với
(t − 3)2
= 5 ⇔
t − 3 =
√
5
t − 3 = −
√
5
⇔
t = 3 +
√
5
t = 3 −
√
5
Thay vào ta được hai điểm M lần lượt là M(3 +
√
5, 1 +
√
5); M(3 −
√
5, 1 −
√
5)
Câu 61. Giả sử M(x0; y0) là giao điểm của phân giác góc phần tư thứ nhất với tiệm cận ngang
của đồ thị hàm số y =
√
x2 + 1
x
. Tính x0 + y0.
A. 2. B. 3. C. 4. D. 8.
77
lovestem
.edu.vn