Tích phân-1-Sử dụng nguyên hàm tích phân-pages-1-17

1. 1 SỬ DỤNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
1.1 LÝ THUYẾT
1.1.1 Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K, ở đó K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng
của R. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F (x) = f(x) với
mọi x thuộc K.
Định lí 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm
số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
Định lí 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của
f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
Tính chất:
• f (x) dx = f(x) + C;
• kf(x) dx = k f(x) dx;
• [f(x) ± g(x)] dx = f(x)dx ± g(x) dx.
Bảng nguyên hàm
0 dx = C ax
dx =
ax
ln a
+ C (a > 0, a = 1)
dx = x + C cos x dx = sin x + C
xα
dx =
1
α + 1
xα+1
+ C (α = −1) sin x dx = − cos x + C
1
x
dx = ln |x| + C
1
cos2 x
dx = tan x + C
ex
dx = ex
+ C
1
sin2
x
dx = − cot x + C
Ví dụ
Câu 1. Nguyên hàm của (x3
−
2
x
+
√
x) dx là:
A.
x4
4
+ 2 ln |x| −
2
3
√
x3 + C. B.
x4
4
− 2 ln |x| −
2
3
√
x3 + C.
C.
x4
4
+ 2 ln |x| +
2
3
√
x3 + C. D.
x4
4
− 2 ln |x| +
2
3
√
x3 + C.
Lời giải. Chọn đáp án D
(x3
−
2
x
+
√
x) = x3
dx − 2.
1
x
dx + x
1
2 dx =
x4
4
− 2 ln |x| +
2
3
x
3
2 + C.
Câu 2. Nguyên hàm của (3 cos x − 3x−1
) dx là:
A. 3 sin x −
1
3
.
3x
ln 3
+ C. B. −3 sin x −
1
3
.
3x
ln 3
+ C.
C. 3 sin x −
3x
x
+ C. D. −3 sin x −
3x
x
+ C.
Lời giải. Chọn đáp án A
(3 cos x−3x−1
) dx = 3 cos x dx− 3x−1
dx = 3 cos x dx−
1
3
3x
dx = 3 sin x−
1
3
.
3x
ln 3
+C.
1
lovestem
.edu.vn

2. Câu 3. Nguyên hàm của ex
+ tan2
x dx là:
A. ex
+ tan x + x + C. B. ex
+ tan x − x + C. C. ex
+ cot x − x + C. D. ex
+ cot x + x + C.
Lời giải. Chọn đáp án B
ex
+ tan2
x dx = ex
dx+ tan2
x dx = ex
dx+
1
cos2 x
− 1 dx = ex
+tan x−x+C.
1.1.2 Tích phân
Định nghĩa: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của
f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) − F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác
định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là
b
a
f(x) dx.
Ta còn dùng kí hiệu F(x)
b
a
để chỉ hiệu số F(b) − F(a). Vậy:
b
a
f(x) dx = F(x)
b
a
= F(b) − F(a).
Chú ý:
• Trong trường hợp a = b thì
b
a
f(x) dx = 0.
• Trong trường hợp a > b ta định nghĩa
b
a
f(x) dx = −
a
b
f(x) dx.
• Tích phân của hàm f từ a đến b có thể kí hiệu bởi
b
a
f(x) dx hay
b
a
f(t) dt. Tích phân
đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.
Tính chất:
•
b
a
kf(x) dx = k
b
a
f(x) dx;
•
b
a
[f(x) ± g(x)] dx =
b
a
f(x) dx ±
b
a
g(x) dx;
•
b
a
f(x) dx =
c
a
f(x) dx +
b
c
f(x) dx (a < c < b).
Ví dụ
Câu 4. Tính
e
1
x +
1
x
dx.
A.
e2
+ 3
2
. B.
e2
2
. C.
e2
+ 1
2
−
1
e2
. D.
e2
+ 1
2
.
Lời giải. Chọn đáp án D
e
1
x +
1
x
dx =
x2
2
+ ln |x|
e
1
=
e2
2
+ ln e −
1
2
+ ln 1 =
e2
+ 1
2
.
2
lovestem
.edu.vn

3. Câu 5. Giá trị của b để
b
0
(2x − 4) dx = 0 là:
A. 0 hoặc 3. B. 0. C. 0 hoặc 4. D. 0 hoặc 2.
Lời giải. Chọn đáp án C
Ta có:
b
0
(2x − 4)dx = (x2
− 4x)
b
0
= b2
− 4b.
Khi đó
b
0
(2x − 4)dx = 0 ⇔ b2
− 4b = 0 ⇔
b = 0
b = 4
.
Câu 6. (Đề thi THPTQG 2017) Cho
π
2
0
f(x) dx = 5. Tính I =
π
2
0
[f(x) + 2 sin x] dx.
A. I = 5 +
π
2
. B. I = 3. C. I = 7. D. I = 5 + π.
Lời giải. Chọn đáp án C
I =
π
2
0
[f(x) + 2 sin x] dx =
π
2
0
f(x) dx + 2
π
2
0
sin x dx = 5 + 2. (− cos x)
π
2
0
= 7.
1.2 BÀI TẬP
1.2.1 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Chọn câu đúng trong các câu sau:
A. Một nguyên hàm khi đạo hàm có thể cho nhiều biểu thức khác nhau.
B. Một biểu thức khi lấy nguyên hàm chỉ cho ra kết quả một biểu thức duy nhất.
C. Nếu F (x) = f(x) thì bất cứ một biểu thức nào khác F(x) cũng không là nguyên hàm
của f(x).
D. Nếu F (x) = f(x) thì F(x) + 0.5 cũng là một nguyên hàm của f(x).
Câu 2. Hàm nào dưới đây KHÔNG PHẢI là một nguyên hàm của f(x) =
1
x2
+ 3?
A.
−1
x
+ 3x. B.
−1
x
+ 3x + 2. C.
−1
x
− 3x. D.
−1
x
+ 3x − 2.
Câu 3. Hàm nào dưới đây KHÔNG PHẢI là nguyên hàm của f(x) =
1
x
+ 6x2
?
A. ln |x| + 2x3
− 3. B. ln |x| + 3 − 2x3
. C. 3 + 2x3
+ ln |x|. D. 2x3
+ ln |x|.
Câu 4. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] (a < b) và có nguyên hàm là hàm y = F(x)
trên đoạn [a; b]. Phát biểu nào sau đây đúng?
A.
b
a
f(x) dx = F(a) + F(b). B.
b
a
f(x) dx = −F(a) + F(b) .
C.
b
a
f(x) dx = F(a) − F(b). D.
b
a
f(x) dx = −F(a) − F(b).
Câu 5. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f (x) liên tục trên đoạn [3; 4] và f(3) − f(4) = 1.
Khi đó
4
3
f (x) dx có giá trị bằng bao nhiêu?
A. 1. B. −1. C. 2. D. −2.
Câu 6. Tính I =
1
0
(x3
+ 2x2
+ 2x + 1) dx.
A.
35
12
. B.
−35
12
. C.
37
12
. D.
−37
12
.
3
lovestem
.edu.vn

4. Câu 7. Tính tích phân
2
−1
(5x4
+ 1) dx.
A. 36. B. 32. C. 34. D. 38.
Câu 8. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. xα
dx =
xα+1
α + 1
+ C với α là số nguyên. B. x2
dx = 2x + C.
C.
x2
2
+ 1 dx =
x3
6
+ x + C. D. xα
dx = αxα−1
+ C với α là số nguyên.
Câu 9. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f (x) liên tục trên đoạn [−1; 4] và f(−1)−f(4) = 5.
Khi đó
4
−1
f (x) dx có giá trị bằng bao nhiêu?
A. 5. B. −5. C. 4. D. −1.
Câu 10. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] (a < b) và c ∈ [a; b]. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A.
b
a
f(x) dx =
c
a
f(x) dx −
b
c
f(x) dx. B.
b
a
f(x) dx =
b
c
f(x) dx −
c
a
f(x) dx.
C.
b
a
f(x) dx =
c
a
f(x) dx +
b
c
f(x) dx. D.
b
a
f(x) dx =
b
c
f(x) dx +
a
c
f(x) dx.
Câu 11. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] (a < b) và f(x) ≤ 0 ∀x ∈ [a; b]. Khẳng định
nào sau đây đúng?
A.
b
a
f(x) dx =
a
b
f(x) dx. B.
b
a
f(x) dx =
b
a
|f(x)| dx.
C.
b
a
f(x) dx = −
a
b
|f(x)| dx. D.
b
a
f(x) dx =
a
b
|f(x)| dx.
Câu 12. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và f(x) dx =
1
3
x3
−
1
2
x2
+ 3x − 5. Tính giá
trị
2
0
f(x) dx.
A.
20
3
. B.
−10
3
. C.
−20
3
. D.
10
3
.
Câu 13. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và f(x) dx =
1
2
x4
−
1
2
x2
+ 1. Tính giá trị
2
−2
f(x) dx.
A. 0. B. 7. C. −7. D. 14.
Câu 14. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và f(x) dx =
1
2
x3
−
1
x
+ 3x − 4. Tính giá trị
1
2
−1
2
f(x) dx.
4
lovestem
.edu.vn

5. A.
7
8
. B.
−7
8
. C. −8. D. 8.
Câu 15. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và f(x) dx = x2
− 4x − 5. Tính giá trị
5
−1
f(x) dx.
A. −2. B. 5. C. 0. D. 10.
Câu 16. Hàm nào dưới đây là một nguyên hàm của f(x) =
1
2x2
−
5
x
.
A.
−1
2x
+
5
x2
. B.
−1
2x
− 5 ln |x|. C.
−1
4x
− 5 ln |x|. D.
−1
4x
+
5
x2
.
Câu 17. Tìm một nguyên hàm của f(x) = x3
− 3x2
− 4.
A.
x4
4
−
x3
2
− 4x. B.
x4
3
−
x3
2
− 2x2
. C.
x4
4
− x3
− 4x. D.
x4
4
− x3
+ 4x.
Câu 18. Hàm nào dưới đây là một nguyên hàm của f(x) =
1
x2
−
1
x
?
A.
1
x
− ln |x|. B.
−1
x
− ln |x|. C.
−1
x
+ ln |x|. D.
1
x
+ ln |x|.
Câu 19. Hàm nào dưới đây một nguyên hàm của f(x) = 5x4
− 6x2
+ 1.
A. x5
− 2x3
+ x. B. 5x5
− 3x3
+ x. C. x5
+ 3x3
+ x. D. 4x5
− 2x3
+ x.
Câu 20. Tìm giá trị bé nhất trong các tích phân sau:
A.
2
−2
x2
− 3x + 3 dx. B.
4
−1
x2
− 5x + 3 dx.
C.
2
0
x3
−
1
2
x2
− 1 dx. D.
4
1
x4
− 1 dx.
Câu 21. Hãy chọn kết luận SAI:
A. d(...) = 2x dx chỗ trống là x2
+ C.
B. d(...) = x3
dx chỗ trống là x4
.
C. d(...) = cos x dx chỗ trống là sin x + C.
D. d(...) = (1 + tan2
x) dx chỗ trống là tan x + C.
Câu 22. Hãy chọn kết luận SAI:
A. d(...) = 5x6
dx chỗ trống là x7
+ C. B. d(...) = 3x2
dx chỗ trống là x3
+ C.
C. d(...) = ex
dx chỗ trống là ex
+ C. D. d(...) =
1
cos2 x
dx chỗ trống là tan x + C.
Câu 23. Hãy chọn kết luận SAI trong các kết luận sau
A. d(...) = 3x2
.
1
sin2
x3
dx chỗ trống là − cot x3
+ C.
B. d(...) =
1
2
√
x
dx chỗ trống là 2
√
x + C.
C. d(...) =
1
x
dx chỗ trống là ln |x| + C.
D. d(...) = 2 sin 2x dx chỗ trống là − cos 2x + C.
Câu 24. Tìm nguyên hàm của sin 3x sin x.
A. 4 sin 2x + 8 sin 4x + C. B. 4 sin 2x − 8 sin 4x + C.
C.
1
2
sin 2x +
1
8
sin 4x + C. D.
1
4
sin 2x −
1
8
sin 4x + C.
Câu 25. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x2
biết F(1) = −1
A. F(x) =
x3
3
+ C. B. F(x) =
x3
3
−
4
3
. C. F(x) =
1
3
x3
−
2
3
. D. F(x) =
1
3
x3
− 1.
5
lovestem
.edu.vn

6. Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
√
2x − 1
A. f(x) dx =
2
3
(2x − 1)
√
2x − 1 + C. B. f(x) dx =
1
3
(2x − 1)
√
2x − 1 + C.
C. f(x) dx =
2
3
√
2x − 1 + C. D. f(x) dx =
−1
3
1
√
2x − 1
+ C.
Câu 27. Tìm số thực a thỏa mãn
a
−1
(2x − 4) dx = 7
A. 5. B. 1. C. 6. D. 3.
Câu 28. Tìm số thực b thỏa mãn
3
b
x2
− 6x + 1 dx = 24
A. −3. B. 0. C. 1. D. −2.
Câu 29. Chọn khẳng định SAI trong những khẳng định sau:
A.
1
cos2 x
dx = tan x. B.
1
cot2
x
dx = sin x.
C. − sin x dx = cos x. D. cos x dx = sin x.
Câu 30. Chọn khẳng định SAI trong những khẳng định sau:
A. e7x
dx =
e7x
7
. B. 8x
dx =
8x
3 ln 2
.
C.
1
x2
dx =
ln x
x
. D.
1
sin2
x
dx = − cot x.
Câu 31. Cho hàm F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) = x2
− 4 biết F(−3) = 1. Tìm F(x).
A. F(x) =
x3
3
− 4x − 2. B. F(x) =
x3
2
− 4x + 1.
C. F(x) =
x3
3
− 4x − 1. D. F(x) =
x3
2
− 4x − 1.
Câu 32. Cho ax
dx = ax
, số a có thể là số nào dưới đây?
A.
e
2
. B. 1. C. e. D. 2e.
Câu 33. Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số
1
x − 1
và F(2) = 1. Khi đó F(3) bằng bao
nhiêu?
A. ln 2 + 1. B. 2. C. 2 ln 2. D. e2
.
Câu 34. Họ các nguyên hàm của hàm số y = sin 2x là:
A. cos 2x + C. B.
1
2
sin 2x + C. C.
−1
2
sin 2x + C. D.
−1
2
cos 2x + C.
Câu 35. Nguyên hàm của hàm số
1
(2x − 1)2
là:
A.
1
2 − 4x
+ C. B.
−1
(2x − 1)3
+ C. C.
1
4x − 2
+ C. D.
−1
2x − 1
+ C.
Câu 36. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2
+
x
2
là:
A.
1
3
x3
+
x2
4
+ C. B. x3
+ 4x2
+ C. C.
1
3
x3
+ 4x2
+ C. D. x3
+
x2
4
+ C.
Câu 37. Hàm số F(x) = ex2
là nguyên hàm của hàm số:
A. f(x) = e2x
. B. f(x) = 2xex2
. C. f(x) =
ex2
2x
. D. f(x) = x2
ex2
− 1.
6
lovestem
.edu.vn

7. Câu 38. Giả sử
5
1
dx
2x − 1
= ln t. Giá trị của t là:
A. 9. B. 3. C. 81. D. 8.
Câu 39. Giá trị của
2
0
2e2x
dx bằng:
A. e4
. B. e4
− 1. C. 4e4
. D. 3e4
.
Câu 40. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
1
√
2x + 1
.
A. f(x) dx =
√
2x + 1 + C. B. f(x) dx = 2
√
2x + 1 + C.
C. f(x) dx =
1
2
√
2x + 1 + C. D. f(x) dx =
1
√
2x + 1
+ C.
Câu 41. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e9x
thỏa mãn F (0) = 2. Mệnh đề
nào sau đây là đúng?
A. F (x) =
1
9
e9x
+ 2. B. F (x) =
1
9
e9x
−
17
9
. C. F (x) =
1
9
e9x
+
17
9
. D. F (x) =
1
9
e9x
.
Câu 42. Tìm hàm số F(x), biết rằng F (x) =
2
(2x − 1)2
−
1
(x − 1)2
.
A. F(x) =
1
2x − 1
−
1
x − 1
+ C. B. F(x) =
1
x − 1
−
1
2x − 1
+ C.
C. F(x) =
1
x − 1
−
2
2x − 1
+ C. D. F(x) =
1
x − 1
−
C
2x − 1
.
Câu 43. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e2x
và F(0) =
3
2
. Tính F
1
2
.
A. F
1
2
=
1
2
e +
1
2
. B. F
1
2
=
1
2
e + 2. C. F
1
2
= 2e + 1. D. F
1
2
=
1
2
e + 1.
Câu 44. Giá trị của tích phân I =
2
0
5x + 7
x2 + 3x + 2
dx là:
A. 2 ln 2 + 3 ln 3. B. 2 ln 3 + 3 ln 2. C. 2 ln 2 + ln 3. D. 2 ln 3 + ln 4.
Câu 45. Tìm các hàm số f(x), biết rằng f (x) =
cos x
(2 + sin x)2
.
A. f(x) =
sin x
(2 + cos x)2
+ C. B. f(x) =
sin x
2 + sin x
+ C.
C. f(x) = −
1
2 + sin x
+ C. D. f(x) =
1
2 + cos x
+ C.
Câu 46. Tìm hàm số F(x), biết rằng F(x) là một nguyên hàm của f(x) = x + sin x và thỏa
mãn F(0) = 19.
A. F(x) = − cos x +
x2
2
+ 20. B. F(x) = − cos x +
x2
2
.
C. F(x) = − cos x +
x2
2
+ 18. D. F(x) = cos x +
x2
2
+ 20.
Câu 47. Tìm các hàm số F(x) thỏa mãn điều kiện F (x) = x +
1
x
.
A. F(x) = 1 −
1
x2
+ C. B. F(x) =
x2
2
+ ln x.
C. F(x) =
x2
2
+ ln x + C. D. F(x) =
x2
2
+ ln |x| + C.
Câu 48. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = xe
.
A. f(x) dx =
xe+1
e + 1
+ C. B. f(x) dx =
xe
ln x
+ C.
7
lovestem
.edu.vn

8. C. f(x) dx = e.xe−1
+ C. D. f(x) dx = xe
+ C.
Câu 49. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2017x
.
A. f(x) dx =
2017x
ln 2017
+C. B. f(x) dx = 2017x
+ C.
C. f(x) dx =
1
x + 1
2017x+1
+ C. D. f(x) dx = 2017x
ln 2017 + C.
Câu 50. Hàm số nào sau đây KHÔNG là nguyên hàm của hàm số f(x) =
x2
+ 2x
(x + 1)2
?
A. F(x) =
x2
− x − 1
x + 1
. B. F(x) =
x2
+ x + 1
x + 1
.
C. F(x) =
x2
+ 1
x + 1
. D. F(x) =
x2
− 3x − 3
x + 1
.
Câu 51. Tính giá trị của I =
π
0
1
4
sin 2x +
1
8
sin 4x dx.
A. I = 0. B. I = −
1
4
π4
. C. I = −π4
. D. I = −
1
4
.
Câu 52. (Bộ GD&ĐT - Đề minh họa 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
√
2x − 1.
A. f(x) dx =
2
3
(2x − 1)
√
2x − 1 + C. B. f(x) dx =
1
3
(2x − 1)
√
2x − 1 + C.
C. f(x) dx = −
1
3
√
2x − 1 + C. D. f(x) dx =
1
2
√
2x − 1 + C.
Câu 53. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = −
1
sin2
x
biết F
π
2
=
π
2
.
A. F(x) = x. B. F(x) = sin x +
π
2
− 1.
C. F(x) = cot x. D. F(x) = cot x +
π
2
.
Câu 54. Tìm hàm số F(x) biết rằng F (x) = 3x2
+ 2x + 1 và đồ thị y = F(x) cắt trục tung
tại điểm có tung độ bằng e.
A. F(x) = x2
+ x + e. B. F(x) = cos 2x + e − 1.
C. F(x) = x3
+ x2
+ x + 1. D. F(x) = x3
+ x2
+ x + e.
Câu 55. Biết f(u) du = F(u) + C. Tìm khẳng định đúng.
A. f(2x − 3) dx = 2F(x) − 3 + C. B. f(2x − 3) dx = F(2x − 3) + C.
C. f(2x − 3) dx =
1
2
F(2x − 3) + C. D. f(2x − 3) dx = 2F(2x − 3) + C.
Câu 56. Cho hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện f (x) = 2 + cos 2x và f
π
2
= 2π. Tìm
khẳng định SAI.
A. f(x) = 2x +
1
2
sin 2x + π. B. f(x) = 2x − sin 2x + π.
C. f(0) = π. D. f −
π
2
= 0.
Câu 57. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
2x
− 1
ex
biết F(0) = 1.
A. F(x) =
2x
+ ln 2 − 1
ex(ln 2 − 1)
. B. F(x) =
1
ln 2 − 1
2
e
x
+
1
e
x
−
1
ln 2 − 1
.
C. F(x) =
2x
+ ln 2
ex(ln 2 − 1)
. D. F(x) =
2
e
x
.
Câu 58. Giải phương trình ẩn a sau đây:
a
0
cos x dx = 0.
8
lovestem
.edu.vn

9. A. a =
π
3
. B. a =
π
3
+ k2π, k ∈ Z.
C. a =
π
6
+ k2π, k ∈ Z. D. a = kπ, k ∈ Z.
Câu 59. (Sở GD&ĐT Nam Định - 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e2x
.
A. f(x) dx = 2e2x
+ C. B. f(x) dx =
e2x+1
2x + 1
+ C.
C. f(x) dx =
e2x
2
+ C. D. f(x) dx = 2xe2x+1
+ C.
Câu 60. (Chuyên ĐH Vinh, lần 3 - 2017) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. tan x dx = − ln | cos x| + C. B. sin
x
2
dx = 2 cos
x
2
+ C.
C. cot x dx = − ln | sin x| + C. D. cos
x
2
dx = −2 sin
x
2
+ C.
Câu 61. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI?
A. 2x dx = x2
+ C. B.
1
x
dx = ln |x| + C.
C. ex
dx = ex
+ C. D. sin x dx = cos x + C.
Câu 62. Cho a > 0, a = 1 và C là hằng số. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. ax
dx = ax
. ln a + C. B. a2x
dx =
a2x
2 ln a
+ C.
C. a2x
dx = a2x
+ C. D. a2x
dx = a2x
. ln a + C.
Câu 63. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và F(x) là nguyên hàm của f(x). Biết
9
0
f(x) dx = 9
và F(0) = 3, tính F(9).
A. F(9) = −12. B. F(9) = 6. C. F(9) = 12. D. F(9) = −6.
Câu 64. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào KHÔNG PHẢI là một nguyên hàm của
hàm số f(x) = sin 2x?
A. F1(x) =
1
2
cos 2x. B. F2(x) = sin2
x + 2.
C. F3(x) =
1
2
sin2
x − cos2
x . D. F4(x) = − cos2
x.
Câu 65. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin2
x.
A.
x
2
−
sin 2x
2
+ C. B.
x
2
+
sin 2x
4
+ C. C.
x
2
−
sin 2x
4
+ C. D.
x
2
+
sin 2x
2
+ C.
Câu 66. Tìm các giá trị của b sao cho
b
0
(2x − 4) dx = 5.
A. {5}. B. {−1; 5}. C. {−1}. D. {−1; 4}.
Câu 67. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x3
+
3
x
− 2
√
x.
A. F(x) =
x4
4
+ 3 ln |x| −
4
3
√
x3 + C. B. F(x) =
x4
4
+ 3 ln x −
4
3
√
x3 + C.
C. F(x) =
x4
4
+ 3 ln |x| +
4
3
√
x3 + C. D. F(x) =
x4
4
− 3 ln |x| −
4
3
√
x3 + C.
Câu 68. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (3x − 1)5
.
A. f(x) dx =
1
3
(3x − 1)6
+ C. B. f(x) dx =
1
18
(3x − 1)6
+ C.
C. f(x) dx =
1
18
(3x − 1)5
+ C. D. f(x) dx =
1
6
(3x − 1)6
+ C.
9
lovestem
.edu.vn

10. Câu 69. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
x2
− x + 1
x − 1
.
A. F(x) = x +
1
x − 1
+ C. B. F(x) = 1 −
1
(x − 1)2
+ C.
C. F(x) =
x2
2
+ ln |x − 1| + C. D. F(x) = x2
+ ln |x − 1| + C.
1.2.2 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 70. Hàm số nào dưới đây KHÔNG là nguyên hàm của hàm số f(x) =
x(2 + x)
(x + 1)2
?
A.
x2
− x − 1
x + 1
. B.
x2
+ x − 1
x + 1
. C.
x2
+ x + 1
x + 1
. D.
x2
x + 1
.
Câu 71.
x
1 − x2
dx là:
A.
√
1 − x2 + C. B.
−1
1 − x2
+ C. C.
1
1 − x2
+ C. D. −
√
1 − x2 + C.
Câu 72. Tìm nguyên hàm
3
√
x2 +
4
x
dx?
A.
5
3
3
√
x5 + 4 ln |x| + C. B. −
3
5
3
√
x5 + 4 ln |x| + C.
C.
3
5
3
√
x5 − 4 ln |x| + C. D.
3
5
3
√
x5 + 4 ln |x| + C.
Câu 73. Cho hàm số f(x) =
20x2
− 30x + 7
√
2x − 3
; F(x) = (ax2
+ bx + c)
√
2x − 3 với x >
3
2
. Để
hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì giá trị của a, b, c là:
A. a = 4; b = 2; c = 1. B. a = 4; b = −2; c = −1.
C. a = 4; b = −2; c = 1. D. a = 4; b = 2; c = −1.
Câu 74. Cho f(x) dx = F(x) + C. Khi đó với a = 0, ta có f(ax + b) dx bằng:
A.
1
2a
F(ax + b) + C. B. F(ax + b) + C. C.
1
a
F(ax + b) + C. D.
2
a
F(ax + b) + C.
Câu 75. Mệnh đề nào sau đây là SAI?
A. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b) và C là hằng số thì f(x) dx = F(x)+C.
B. Mọi hàm số liên tục trên [a; b] đều có nguyên hàm trên [a; b].
C. F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b] ⇔ F (x) = f(x), ∀x ∈ [a; b].
D. f(x) dx = f(x).
Câu 76. Tìm công thức SAI?
A. ex
dx = ex
+ C. B. ax
dx =
ax
ln a
+ C(0 < a = 1).
C. cos x dx = sin x + C. D. sin x dx = cos x + C.
Câu 77. Cho hàm số y =
1
sin2
x
. Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm số và đồ thị hàm số
y = F(x) đi qua điểm M
π
6
; 0 thì F(x) là:
A.
√
3
3
− cot x. B. −
√
3
3
+ cot x. C. −
√
3 + cot x. D.
√
3 − cot x.
10
lovestem
.edu.vn

11. Câu 78. Tích phân
π
0
cos2
x sin x dx bằng:
A. −
2
3
. B.
2
3
. C.
3
2
. D. 0.
Câu 79. Hàm số F(x) = ln | sin x−3 cos x| là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm
số sau đây?
A. f(x) =
cos x + 3 sin x
sin x − 3 cos x
. B. f(x) =
− cos x − 3 sin x
sin x − 3 cos x
.
C. f(x) =
sin x − 3 cos x
cos x + 3 sin x
. D. f(x) = cos x + 3 sin x.
Câu 80. Giá trị của tích phân I =
e
1
x2
+ 2 ln x
x
dx là:
A.
e2
− 1
2
. B.
e2
+ 1
2
. C. e2
+ 1. D. e2
.
Câu 81. Tìm nguyên hàm x2
+
3
x
− 2
√
x dx:
A.
x3
3
+ 3 ln |x| +
4
3
√
x3 + C. B.
x3
3
+ 3 ln x −
4
3
√
x3 + C.
C.
x3
3
− 3 ln |x| −
4
3
√
x3 + C. D.
x3
3
+ 3 ln |x| −
4
3
√
x3 + C.
Câu 82. Cho I =
π
2
0
sin2
x dx và J =
π
2
0
cos2
x dx. Hãy chỉ ra khẳng định đúng:
A. I > J. B. I = J.
C. I < J. D. Không so sánh được.
Câu 83. Hàm số y = tan2
2x nhận hàm số nào dưới đây là nguyên hàm?
A. 2 tan 2x + x. B.
1
2
tan 2x − x. C. tan 2x − x. D.
1
2
tan 2x + x.
Câu 84. Cho I =
π
6
0
sinn
x cos x dx =
1
64
. Khi đó n bằng:
A. 3. B. 4. C. 6. D. 5.
Câu 85. Tìm nguyên hàm 2 + e3x 2
dx:
A. 3x +
4
3
e3x
+
1
6
e6x
+ C. B. 4x +
4
3
e3x
+
5
6
e6x
+ C.
C. 4x +
4
3
e3x
−
1
6
e6x
+ C. D. 4x +
4
3
e3x
+
1
6
e6x
+ C.
Câu 86. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = −
1
cos2 x
và F(0) = 1. Khi đó, ta có
F(x) là:
A. − tan x. B. − tan x + 1. C. tan x + 1. D. tan x − 1.
Câu 87. Cho hàm số y = 3
√
x + 4 3
√
x có nguyên hàm f(x) sao cho f(x) = 7. Tính giá trị của
biểu thức f(0) + f(64).
A. 1796. B. 1792. C. 1945. D. 2016.
Câu 88. Cho hàm số f(x) =
(x2
+ 1)2
x3
. Một nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(1) = −4
là:
A.
x2
2
+ 2 ln |x| −
2
x2
+ 4. B.
x2
2
+ 2 ln |x| −
1
x2
+ 4.
11
lovestem
.edu.vn

12. C.
x2
2
+ 2 ln |x| −
1
2x2
−
9
2
. D.
x2
2
+ 2 ln |x| −
2
x2
− 2.
Câu 89. Một nguyên hàm của hàm số f(x) = 9x
+ 3x2
là:
A. F(x) = 9x
+ x3
. B. F(x) = 9x
ln 9 + x3
.
C. F(x) =
9x
ln 9
+ 6x. D. F(x) =
9x
ln 9
+ x3
.
Câu 90. Giá trị của
π
4
0
(1 + tan x)4
.
1
cos2 x
dx bằng:
A.
31
5
. B.
31
3
. C.
21
2
. D.
31
4
.
Câu 91. Nếu
d
a
f(x) dx = 5 và
d
b
f(x) dx = 2 với a < b < d thì
b
a
f(x) dx bằng:
A. −2. B. 3. C. 8. D. 0.
Câu 92. Cho biết I =
5
2
f(x) dx = 3 và
5
2
g(t) dt = 9. Giá trị của A =
5
2
[f(x) + g(x)] dx là:
A. Chưa xác định. B. 3. C. 12. D. 6.
Câu 93. Giả sử rằng I =
0
−1
3x2
+ 5x − 1
x − 2
dx = a ln
2
3
+ b. Khi đó, giá trị của a + 2b là:
A. 50. B. 30. C. 60. D. 40.
Câu 94. Giả sử
5
1
dx
2x − 1
= ln K. Giá trị của K là:
A. 81. B. 9. C. 3. D. 8.
Câu 95. Giá trị của k để
k
0
(6x2
− 6x − 2) dx = −3 là:
A.
2
3
. B. −
2
3
. C.
3
2
. D. −
3
2
.
Câu 96. Nếu f(1) = 12, f (x) liên tục và
4
1
f (x) dx = 17. Giá trị của f(4) bằng:
A. 5. B. 19. C. 29. D. 9.
Câu 97. Cho
5
2
f(x) dx = 10. Khi đó
5
2
[2 − 4f(x)] dx = bằng:
A. 32. B. −34. C. 36. D. 40.
Câu 98. Tổng tất cả các giá trị của a để
a
1
x − 2
(3 − x)3
dx = 0 là:
A.
3
10
. B.
9
10
. C.
10
3
. D. 1.
Câu 99. Để
k
1
(k − 4x) dx = 6 − 5k thì giá trị của k là:
A. k = 1. B. k = 2. C. k = 3. D. k = 4.
12
lovestem
.edu.vn

13. Câu 100. Để
x
0
sin2
t −
1
2
dt = 0 với k ∈ Z thì x thỏa mãn:
A. x = k2π. B. x = kπ. C. x = k
π
2
. D. x = (2k + 1)π.
Câu 101. Cho f(x) là hàm số chẵn và
0
−3
f(x) dx = a. Chọn mệnh đề đúng:
A.
3
0
f(x) dx = −a. B.
3
−3
f(x) dx = a. C.
3
−3
f(x) dx = 2a. D.
0
3
f(x) dx = a.
Câu 102. Cho f(x) dx = x2
− x + C. Vậy f(x2
) dx bằng?
A.
x5
5
−
x3
3
+ C. B. x4
− x2
+ C. C.
2
3
x3
− x + C. D. Không tính được.
1.2.3 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG THẤP
Câu 103. Tính các hằng số A và B để hàm số f(x) = A sin(πx) + B thỏa mãn đồng thời các
điều kiện f (1) = 2 và
2
0
f(x) dx = 4.
A. A = −
2
π
, B = 2. B. A =
2
π
, B = 2. C. A = −
2
π
, B = −2. D. A =
2
π
, B = −2.
Câu 104. Biết rằng
1
0
2x + 3
2 − x
dx = a ln 2 + b với a, b ∈ Q. Chọn khẳng định SAI trong các
khẳng định sau:
A. a < 5. B. b > 4. C. a2
+ b2
> 50. D. a + b < 1.
Câu 105. Cho hàm số f(x) = 2x(x2
+1)4
. Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x); đồ thị hàm
số y = F(x) đi qua điểm M(1; 6). Nguyên hàm F(x) là:
A. F(x) =
(x2
+ 1)4
4
−
2
5
. B. F(x) =
(x2
+ 1)5
5
−
2
5
.
C. F(x) =
(x2
+ 1)5
5
+
2
5
. D. F(x) =
(x2
+ 1)4
4
+
2
5
.
Câu 106. Tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) =
x3
− 1
x2
biết F(1) = 0.
A. F(x) =
x2
2
−
1
x
+
1
2
. B. F(x) =
x2
2
+
1
x
+
3
2
.
C. F(x) =
x2
2
−
1
x
−
1
2
. D. F(x) =
x2
2
+
1
x
−
3
2
.
Câu 107. Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức: sin u. cos v + C = f(u) du.
A. cos u cos v. B. − cos u cos v. C. cos u + cos v. D. 2 cos u cos v.
Câu 108. (sin 2x − cos 2x)2
dx bằng:
A.
(sin 2x − cos 2x)3
3
+ C. B. −
1
2
cos 2x +
1
2
sin 2x
2
+ C.
C. x +
1
4
cos 4x + C. D. x −
1
2
sin 2x + C.
13
lovestem
.edu.vn

14. Câu 109. Cho f(x) =
4m
π
+ sin2
x. Tìm m để nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(0) = 1
và F
π
4
=
π
8
?
A. m = −
4
3
. B. m =
3
4
. C. m = −
3
4
. D. m =
4
3
.
Câu 110. Cho f (x) = 3 − 5 sin x và f(0) = 7. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào
đúng?
A. f(x) = 3x + 5 cos x + 2. B. f
π
2
=
3π
2
.
C. f(π) = 3π. D. f(x) = 3x − 5 cos x.
Câu 111. Họ nguyên hàm của hàm số y = sin3
x. cos x là:
A. tan3
x + C. B.
1
4
sin4
x + C. C.
1
3
cos3
x + C. D. − cos2
x + C.
Câu 112. I =
π
0
√
1 + cos 2x bằng:
A.
√
2. B. 0. C. 2. D. 2
√
2.
Câu 113.
π
4
0
sin
x
2
− cos
x
2
2
dx bằng:
A.
π + 2
√
2 − 4
4
. B.
2π
3
−
√
2
2
+ 1. C.
π − 2
√
2 + 1
3
. D.
3π
2
+
√
2 − 1.
Câu 114. Tích phân
2
0
|x2
− x| dx bằng:
A.
2
3
. B. 0. C. 1. D.
3
2
.
Câu 115. Biết I =
π
4
0
1 − 2 sin2
x
1 + sin 2x
dx = a ln
1
2
+ b ln
1
3
với a, b là các số nguyên. Tính giá trị
của biểu thức S = a + b.
A. S =
1
2
. B. S = 4. C. S = 1. D. S = 3.
Lời giải. Chọn đáp án A
Ta có:
I =
π
4
0
(1 − 2 sin2
x) dx
1 + sin 2x
=
π
4
0
cos 2x dx
1 + sin 2x
=
1
2
π
4
0
d(1 + sin 2x)
1 + sin 2x
=
1
2
ln(1 + sin 2x)
π
4
0
=
1
2
[ln(1 + 1) − ln(1 + 0)] =
1
2
ln 2.
⇒ a =
1
2
và b = 0 ⇒ S =
1
2
+ 0 =
1
2
.
Nhận xét: Vậy phép sử dụng bảng nguyên hàm ở câu này, thực chất là một phép đổi biến
và là một phép đổi biến đơn giản. Cách phân loại ở đây (phương pháp sử dụng bảng nguyên
hàm và phương pháp đổi biến số) là ta tách ra những phép đổi biến như thế, nó có hai cái lợi:
• Không cần thực hiện các phép đổi cận không cần thiết.
• Nếu trình bày tự luận thì khá đơn giản và ngắn gọn.
14
lovestem
.edu.vn

15. Chú ý: Để sử dụng được phương pháp này, ngoài việc sử dụng thành thạo bảng nguyên
hàm, chúng ta cần nắm vững các phép tính vi phân và biến đổi thành thạo các đẳng thức về
phép tính vi phân, đặc biệt là đưa biểu thức vào trong dấu vi phân.
Câu 116. Cho I =
1
0
(x + 1)2
x2 + 1
dx = a − ln b (a, b ∈ R) và các mệnh đề sau:
I.
a
b
= 2.
II. a3
+ 2b2
> 6.
III. Số phức a + bi có mô-đun bằng
5
4
.
IV. log1
b
√
2 không tồn tại.
Trong 4 mệnh đề trên, có tất cả bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 117. (Chuyên Hùng Vương, Gia Lai, lần 3 - 2017) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
f(x) = tan x +
1
√
2x + 1 +
√
2x − 1
.
A. F(x) = ln | cos x| +
1
6
(2x + 1)
3
2 +
1
6
(2x − 1)
3
2 + C.
B. F(x) = − ln | cos x| −
1
6
(2x + 1)
3
2 −
1
6
(2x − 1)
3
2 + C.
C. F(x) = − ln | cos x| +
1
6
(2x + 1)
3
2 −
1
6
(2x − 1)
3
2 + C.
D. F(x) = − ln | cos x| +
1
6
(2x + 1)
3
2 +
1
6
(2x − 1)
3
2 + C.
Câu 118. (THPT Thạch Thành 1, Thanh Hóa - 2017) Biết I =
2
1
2
x3 + x2
dx = a ln 3 +
b ln 2 + c với a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức S = a + b + c.
A. S = 8. B. S = 1. C. S = −8. D. S = −1 .
Lời giải. Chọn đáp án D
Biểu thức:
2
x3 + x2
=
2
x2(x + 1)
=
A
x
+
B
x2
+
C
(x + 1)
. Tìm được A = −2, B = 2, C = 2.
Do đó: I = 2
2
1
1
x2
−
1
x
+
1
x + 1
dx = 2 −
1
x
− ln |x| + ln |x + 1|
2
1
= 2 ln 3 − 4 ln 2 + 1.
Suy ra: S = a + b + c = −1.
Câu 119. Biết I =
π
2
π
3
cos x cos 5x dx =
a
b
√
3 +
c
d
√
2 với a, b, c, d là các số nguyên và
a
b
,
c
d
là
các phân số tối giản có nghĩa. Tính giá trị của biểu thức P = a2
+ b + c2
+ d.
A. P = 17. B. P = 44. C. P = 33. D. P = 29.
Câu 120. Biết I =
π
4
0
sin 2x
4 − cos2 x
dx = a ln 7 + b ln 6 + c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính
giá trị của biểu thức S = ab + c2
A. S = 1. B. S = −1. C. S = −3. D. S = 3.
Câu 121. (THPT Mỹ Đức A, Hà Nội - 2017) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y = cos4
x.
A. F(x) =
3
8
x +
1
4
sin 2x +
1
32
sin 4x + C. B. F(x) =
3
8
x +
1
4
sin 2x −
1
32
sin 4x + C.
C. F(x) =
3
8
x +
1
2
sin 2x +
1
8
sin 4x + C. D. F(x) =
3
8
x −
1
4
sin 2x −
1
32
sin 4x + C.
15
lovestem
.edu.vn

16. Câu 122. Biết I =
π
4
0
sin 2x
√
cos2 x + 4 sin2
x
dx =
a
b
5
2
+
c
d
với a, b, c, d là các số nguyên và
a
b
,
c
d
là các phân số tối giản có nghĩa. Tính giá trị của biểu thức S = a − b.
A. S = 4. B. S = −2. C. S = −1. D. S = 1.
Câu 123. Biết I =
ln 3
0
ex
(ex + 1)3
dx = a
√
2 + b với a, b là các số nguyên. Tính giá trị của
biểu thức P = a3
+ b3
.
A. P = 7. B. P = 9. C. P = 28. D. P = 0.
Câu 124. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 10] và thỏa mãn
10
0
f(x) dx = 7,
6
2
f(x) dx =
3. Tính giá trị của P =
2
0
f(x) dx +
10
6
f(x) dx.
A. 10. B. −4. C. 4. D. 7.
Câu 125. Biết I =
π
2
π
3
sin x + cos x
3
√
sin x − cos x
dx =
a
b
+
c
d
3
2(−1 +
√
3)2 với a, b, c, d là các số nguyên
và
a
b
,
c
d
là các phân số tối giản có nghĩa. Tính giá trị của biểu thức S = ab + cd.
A. S = 12. B. S = 6. C. S = −12. D. S = −6.
Câu 126. Biết I =
1
0
x3
1 + x2
dx =
1
2
(a ln 2 + b) với a, b là các số nguyên. Tính giá trị của biểu
thức S = ab.
A. S = −1. B. S = 3. C. S = −4. D. S = 2.
Câu 127. Biết I =
π
3
π
4
sin x
cos2 x
√
1 + cos2 x
dx = a
√
7 + b
√
5 + c
√
3 với a, b, c là các số nguyên.
Tính giá trị của biểu thức S = a + b + c.
A. S = 4. B. S = 0. C. S = 2. D. S = 8.
Câu 128. (THPT Đông Anh, Hà Nội - 2017) Cho
3
2
x2
+ 1
x2 (x2 − 1)
dx = ln a −
1
6
, với a là số
hữu tỉ. Tính giá trị của 4a.
A.
2
3
. B. 3. C. 6. D.
3
2
.
Câu 129. Biết I =
1
0
1
1 + ex
dx = ln
ae
1 + be
với a, b là những số nguyên. Tính giá trị của biểu
thức S = ab2
.
A. S = 16. B. S = 12. C. S = 2. D. S = 18.
Câu 130. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào KHÔNG PHẢI là một nguyên hàm của
hàm số f(x) = sin 2x?
A. F1(x) =
1
2
cos 2x. B. F2(x) = sin2
x + 2.
C. F3(x) =
1
2
sin2
x − cos2
x . D. F4(x) = − cos2
x.
16
lovestem
.edu.vn

17. Câu 131. Biết I =
π
4
0
sin3
x dx =
a
b
√
2 +
c
d
với a, b, c, d là các số nguyên và
a
b
,
c
d
là các phân
số tối giản có nghĩa. Tính giá trị của biểu thức P = a2
+ b2
.
A. P = 13. B. P = 25. C. P = 169. D. P = 208.
Câu 132. Cho a, b là các số thực thỏa mãn b > a > 0. Tính tích phân I =
b
a
ln (x + a)x+a
.(x + b)x+b
(x + a)(x + b)
dx.
A. I = ln
b
2a
ln(a + b). B. I = ln
b
a
ln(a + b).
C. I = ln
b
2a
ln(a + 2b). D. I = ln
2a
b
ln(a + 2b).
Câu 133. (Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa, lần 3 - 2017) Trong các hàm số
f(x) = ln
1
sin x
, g(x) = ln
1 + sin x
cos x
, h(x) = ln
1
cos x
. Hàm số nào sau đây có đạo hàm bằng
1
cos x
?
A. g(x) và h(x). B. g(x). C. f(x). D. h(x).
Câu 134. Biết I =
π
2
0
esin x
+ cos x . cos x dx = ae + b
π
4
+ c với a, b, c là các số nguyên. Tính
giá trị của biểu thức P = ab + c.
A. P = −1. B. P = 0. C. P = 5. D. P = 3.
Câu 135. Biết I =
π
6
0
sin 2x cos 3x dx =
a
b
√
3 +
c
d
với a, b, c, d là các số nguyên và
a
b
,
c
d
là các
phân số tối giản có nghĩa. Tính giá trị của biểu thức P = a − b.
A. P = 3. B. P = 1. C. P = −2. D. P = −7.
Câu 136. Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) = sin3
x cos x, thỏa mãn F(0) = π. Tính
F
π
2
.
A. F
π
2
= −π. B. F
π
2
= −
1
4
+ π. C. F
π
2
=
1
4
+ π. D. F
π
2
= π.
Câu 137. Biết I =
π
3
0
cos4
x dx =
a
b
√
3 +
c
d
π với a, b, c, d là các số nguyên và
a
b
,
c
d
là các phân
số tối giản có nghĩa. Tính giá trị của biểu thức P = ab + cd.
A. P = 356. B. P = 960. C. P = 244. D. P = 456.
17
lovestem
.edu.vn