Tích phân-7-Câu hỏi thực tế-pages-90-114

7 CÂU HỎI THỰC TẾ
7.1 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG THẤP
Câu 1. Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (đơn vị m/s), trong đó t là thời gian (đơn vị s).
Vận tốc ban đầu của vật là 6 ( m/s) và vật có gia tốc bằng
3
t + 1
( m/s2
). Vận tốc của vật sau
10 s (làm tròn đến hàng đơn vị) là:
A. 14 m/s. B. 13 m/s. C. 11 m/s. D. 12 m/s.
Câu 2. Gọi h(t) (đơn vị cm) là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng
h (t) =
1
5
3
√
t + 8 và lúc đầu bồn không có nước. Mực nước của bồn sau khi bơm nước được 6
giây (làm tròn đến hàng trăm) là:
A. 2, 33 cm . B. 5, 06 cm. C. 2, 66 cm. D. 3, 33 cm.
Câu 3. Ông An có mảnh vườn elip có độ dài trục lớn 16 m và độ dài trục nhỏ 10 m. Ông muốn
trồng hoa trên dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng. Kinh phí trồng hoa là 100
nghìn đồng/ m2
. Số tiền ông An cần để trồng hoa trên mảnh đất đó (làm tròn đến hàng nghìn)
là:
A. 7862 nghìn đồng. B. 7653 nghìn đồng. C. 7128 nghìn đồng. D. 7826 nghìn đồng.
Câu 4. Gọi h(t) (đơn vị m) là mức nước ở bể chứa sau khi bơm nước được t ( phút). Biết
h (t) =
1
24
3
√
t + 27 và lúc đầu bể không có nước. Mức nước ở bể sau khi bơm được 37 phút
(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là:
A. h = 5, 47 m. B. h = 7, 29 m. C. h = 7, 30 m. D. h = 5, 46 m.
Câu 5. Một ca nô chạy trên Hồ Tây với vận tốc 20 m/s thì hết xăng. Từ thời điểm đó ca nô
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −5t + 20, trong đó t (đơn vị s) là khoảng thời
gian kể từ lúc hết xăng. Từ lúc hết xăng đến khi dừng hẳn ca nô đi được:
A. 10 m. B. 20 m. C. 30 m. D. 40 m.
Câu 6. Chuyển động của một vật được xác định bởi phương trình S =
1
2
(t4
+ 3t2
), trong đó t
được tính bằng s, S được tính bằng m. Vận tốc của vật ở thời điểm t = 4 s là:
A. 140 m/s. B. 150 m/s. C. 200 m/s. D. 0 m/s.
Câu 7. Một đám vi khuẩn ban đầu có 250000 con. Kể từ đó, tại thời điểm t ngày, số lượng vi
khuẩn trở thành N(t) (con). Biết rằng N (t) =
4000
1 + 0.5t
. Sau 15 ngày, số lượng vi khuẩn là:
A. 264334. B. 267120. C. 267321. D. 264340.
Câu 8. Một vật chuyển động theo công thức S =
1
2
t4
−3t2
với t (đơn vị s) là khoảng thời gian
tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và S (đơn vị m) là quãng đường vật đi được. Vận tốc của
chuyển động tại thời điểm t = 4 s là:
A. 280 m/s. B. 140 m/s. C. 104 m/s. D. 232 m/s.
Câu 9. Một vật chuyển động với gia tốc đầu bằng 0. Vận tốc của vật biến đổi theo quy luật
a = 0, 1t ( m/s2
) trong đó t là thời gian được tính bằng s (giây) . Xác định quãng đường vật đi
trong nửa phút đầu tiên.
A. 450 m. B. 400 m. C. 900 m. D. 800 m.
Lời giải. Chọn đáp án A
Ta có a =
dv
dt
⇒ dv = adt mà ds = vdv ⇒ S =
30
0
0, 1t2
2
dt = 450 m
90
lovestem
.edu.vn

Câu 10. Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 2 +
t2
+ 2
t + 2
( m/s). Quãng đường mà vật
chuyển động trong 4 s đầu tiên là:
A. 14, 61 m. B. 14, 58 m. C. 14, 62 m. D. 14, 59 m.
Câu 11. Đến kì nghỉ hè, Ngân cùng cả nhà đi du lịch ở Đà Nẵng. Cả gia đình ngồi trên máy
bay để đi từ Hà Nội vào Đà Nằng với vận động chuyển động của máy bay là v(t) = 3t2
+ 4.
Quãng đường máy bay bay được từ giây thứ 5 đến giây thứ 8 là bao nhiêu?
A. 299 m. B. 399 m. C. 1173 m. D. 93 m.
Câu 12. Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 160 − 10t ( m/s). Hỏi trong
3 s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?
A. 435 m. B. 130 m. C. 45 m. D. 390 m.
Câu 13. Một lực F(x) biến thiên, thay đổi, tác động vào một vật thể làm vật thể này di chuyển
từ x = a đến x = b thì công sinh ra bởi lực này có thể tính theo công thức W =
b
a
F(x) dx.
Hãy tính công của một lực F(x) = 3
√
2x + 5 tác động vào vật thể làm vật này di chuyển từ
x = 2 đến x = 10.
A. W = 980. B. W = 98. C. W = 9, 8. D. W = 49.
Câu 14. Dòng điện xoay chiều hình sin chạy qua một đoạn mạch LC có biểu thức cường độ là
i = Io cos wt −
π
2
( A). Biết i = q với q là điện tích tức thời ở tụ điện. Tính từ lúc t = 0, điện
lượng chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn của đoạn mạch trong thời gian bằng
π
w
là:
A.
2Io
w
. B.
π
√
2Io
w
. C.
πIo
w
√
2
. D. 0.
Câu 15. Gọi h(t) ( cm) là mức nước trong bể sau khi bơm được t s . Biết rằng h (t) =
1
4
√
t + 9
và lúc đó mức nước đang là 10 cm. Hỏi sau 5 s thì mức nước trong bể là bao nhiêu? (chính xác
đến 0, 01 cm)
A. 14, 24 cm. B. 4, 23 cm. C. 14, 23 cm. D. 4, 24 cm.
Câu 16. Khi quan sát một đám vi khuẩn trong phòng thí nghiệm người ta thấy tại ngày thứ
x có số lượng vi khuẩn là N(x). Biết ban đầu có 5000 con vi khuẩn và phát triển với tốc độ
N (x) =
2000
x + 1
con/ngày. Đến ngày thứ 12 thì số con vi khuẩn là:
A. 5130. B. 5154. C. 10130. D. 10129.
Câu 17. Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 1.5+
t2
+ 4
t + 4
(m/s). Quãng đường vật đi được
trong 4s đầu là:
A. 2 − 20 ln 2. B. 2 + 20 ln 2. C. −2 + 20 ln 2. D. −2 + 20 ln 4.
Lời giải. Chọn đáp án C
S =
4
0
v(t) dt =
4
0
1.5 +
t2
+ 4
t + 4
dt = 1.5t +
t2
2
− 4t + 20 ln |t + 4|
4
0
= −2 + 20 ln 2
Câu 18. Gọi h(t)(cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t (giây). Biết rằng
h (t) =
1
5
3
√
t + 8 và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được
6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
A. 2.66cm. B. 0.55cm. C. 3, 14cm. D. 2, 66cm.
91
lovestem
.edu.vn

Lời giải. Chọn đáp án D
Mức nước cần tìm là: S =
6
0
h (t) dt =
6
0
1
5
3
√
t + 8 dt =
3
20
(t + 8)
4
3
6
0
= 2, 66
Câu 19. Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông
góc với trục Ox tại các điểm x = a, x = b(a < b), có diện tích thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x(a < x < b) là S(x).
A. V = π
b
a
S(x) dx. B. V = π
b
a
|S(x)| dx.
C. V =
b
a
S(x) dx. D. V = π2
b
a
S(x) dx.
Câu 20. Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên miền D = [a, b] có đồ thị là một đường cong C,
người ta có thể tính độ dài của C theo công thức L =
b
a
1 + (f (x))2 dx. Với điều giả sử đó,
độ dài đường cong C cho bởi hàm số y =
x2
8
− ln x trên [1, 2] bằng:
A.
3
8
− ln 2. B.
3
8
− ln 2. C.
31
24
+ ln 4. D.
31
24
− ln 4.
Câu 21. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi:y = x2
+ 1, x = 0 và
tiếp tuyến với y = x2
+ 1 tại điểm (1; 2) quanh trục Ox
A.
2π
5
. B.
4π
5
. C.
3π
5
. D.
π
5
.
Câu 22. Một chiếc máy bay bay từ Hà Nội vào Nha Trang với vận tốc chuyển động là
v(t) = 3t2
+ 5 (m/s). Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:
A. 36 (m). B. 252 (m). C. 1134 (m). D. 966 (m).
Câu 23. Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 243 − 3t2
( m/s). Hỏi rằng
trong 3 (s) trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?
A. 216 (m). B. 702 (m). C. 18 (m). D. 270 (m).
Câu 24. Hình phẳng C được giới hạn bởi các đường y = x2
+ 1, trục tung và tiếp tuyến của
đồ thị hàm số y = x2
+ 1 tại điểm (1; 2), khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có
thể tích bằng:
A. V =
4
5
π. B. V =
28
15
π. C. V =
8
15
π. D. V = π.
Câu 25. Một vật chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình vận tốc là v = 2t+5 (m/s).
Quãng đường vật đi được kể từ thời điểm t = 0 (s) đến t = 5 (s) là:
A. 10 (m). B. 20 (m). C. 40 (m). D. 50 (m).
Câu 26. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 6t+12t2
( m/s2
). Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc
bằng bao nhiêu?
A. 11100 (m). B. 4400 (m). C. 10900 (m). D. 11500 (m).
Câu 27. Cho hình (H) giới hạn bởi 3 đường



y = x ln x
y = 0
x = e
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh Ox.
A. π
51
27
e3
−
2
7
. B.
51
27
e3
π. C. π
51
27
e3
+
2
7
. D.
51
27
e3
π + π.
92
lovestem
.edu.vn

Lời giải. Xét phương trình tương giao của y = x ln x với y = 0 có:
x ln x = 0 ⇔ x = 1
⇒ V = π
e
1
x2
ln2
x dx
Đặt
u = ln2
x
dv = x2
dx.
⇒



du =
2 ln x
x
dx
v =
x3
3
.
⇒ V =
x3
ln2
x
3
e
1
−
2
3
e
1
x2
ln x dx =
e3
3
−
2
3
e
1
x2
ln x dx(I1)
Đặt
u = ln x
dv = x2
dx.
⇒



du =
1
x
dx
v =
x3
3
.
⇒ I1 =
x3
ln x
3
e
1
−
e
1
x2
e
dx =
e3
3
−
x3
9
e
1
=
e3
3
−
x3
9
+
1
9
=
2e3
9
+
1
9
⇒ V = π
e3
3
−
4
27
e3
−
2
27
= π
51
27
e3
−
2
7
Câu 28. Tính diện tích bề mặt của cổng parabol ở Trường đại học bách khoa Hà Nội biết
cổng có chiều cao
9
2
m, chiều rộng 6m.
93
lovestem
.edu.vn

A. 18 (m2
). B. 20 (m2
). C. 28 (m2
). D. 36 (m2
).
Lời giải. Gắn hệ trục tọa độ Oxy vào đồ thị parabol như hình vẽ bên dưới:
Parabol có dạng y = ax2
+ b. nên ta có hệ phương trình sau:



0 = a.32
+ b
9
2
= a.02
+ b
⇔



a = −
1
2
b =
9
2
Do đó parabol có phương trình y = −
1
2
x2
+
9
2
.
Diện tích hình phẳng là:
S =
3
−3
−
1
2
x2
+
9
2
dx = 2
3
0
−
1
2
x2
+
9
2
dx = 2 −
x3
6
+
9
2
x
3
0
= 18 (m2
)
Vậy diện tích bề mặt cổng parabol là: S = 18 (m2
).
Câu 29. Một người đứng từ sân thượng một tòa, anh ta ném một quả bi sắt theo phương
thẳng đứng hướng xuống với vận tốc 20 m/s. Hỏi chiều cao của tòa nhà bằng bao nhiêu nếu
sau 6 giây thì quả bi sắt cách mặt đất một đoạn 20 m? Gia tốc trong trường là g = 10 m/s2
và
bỏ qua ma sát.
A. 300 m. B. 350 m. C. 285 m. D. 320 m.
Câu 30. (ĐH Vinh - Lần 1 - 2017) Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng
yên ở độ cao 162 m so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi
94
lovestem
.edu.vn

xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy
luật v(t) = 10t − t2
. Trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được
tính theo đơn vị mét/phút ( m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu
là:
A. 7 m/p. B. 9 m/p. C. 5 m/p. D. 3 m/p.
Câu 31. (Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 2 - 2017) Một máy bay Boeing đang chạy đều trên đường
băng để chuẩn bị cất cánh với vận tốc là v0 ( km/h) thì phi công (người lái máy bay) nhận
được lệnh hủy cất cánh vì có sự cố ở cuối đường băng, ngay lập tức phi công kích hoạt hệ
thống phanh để dừng máy bay lại. Kể từ lúc đó máy bay chạy chậm dần đều với vận tốc
v(t) = −10000t + v0 ( km/h), trong đó t là thời gian tính bằng giờ kể từ lúc phanh. Hỏi vận
tốc v0 của máy bay trước khi phanh là bao nhiêu? Biết rằng từ lúc phanh đến khi dừng hẳn
máy bay di chuyển được 1, 5 km. (Kết quả làm tròn một chữ số thập phân).
A. v0 = 153, 2 km/h. B. v0 = 163, 2 km/h. C. v0 = 173, 2 km/h. D. v0 = 183, 2 km/h.
Câu 32. (Đồng Tháp - 2017) Người ta cần sơn trang trí
một bề mặt của một cổng chào có hình dạng như hình vẽ sau đây. Các
biên của hình tương ứng là các parabol có phương trình y = −x2
+ 6x;
y = −2x2
+ 12x − 10 (đơn vị đo độ dài là mét). Hỏi cần dùng
ít nhất bao nhiêu lít sơn để trang trí cho cổng chào? Biết 1 lít sơn dùng
được cho 10 m2
. (Kết quả làm tròn đến một chữ số phần thập phân).
A. 3, 6 lít. B. 2, 2 lít. C. 1, 5 lít. D. 2, 4 lít.
Câu 33. (Chuyên KHTN - 2017) Tại một thời điểm t trước lúc đỗ xe ở trạm dừng nghỉ, ba xe
đang chuyển động đều với vận tốc lần lượt là 60 km/h; 50 km/h; 40 km/h. Xe thứ nhất đi thêm
4 phút thì bắt đầu chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn ở trạm tại phút thứ 8; xe thứ hai
đi thêm 4 phút thì bắt đầu chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn ở trạm tại phút thứ 13;
xe thứ ba đi thêm 8 phút thì bắt đầu chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn ở trạm tại phút
thứ 12. Đồ thị biểu diễn vận tốc ba xe theo thời gian như sau: (đơn vị trục tung là 10 km/h,
đơn vị trục hoành là phút). Giả sử tại thời điểm t trên, ba xe đang cách trạm lần lượt là d1,
d2, d3. So sánh các khoảng cách này.
A. d1 < d2 < d3. B. d2 < d3 < d1. C. d3 < d1 < d2. D. d1 < d3 < d2.
Câu 34. (Chuyên ĐHSPHN
- 2017) Người ta cần trồng hoa tại phần
đất nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ
O, bán kính bằng
1
√
2
và phía trong elip có độ dài
trục lớn bằng 2
√
2, độ dài trục nhỏ bằng 2 (như
hình vẽ bên). Trong mỗi một đơn vị diện tích
cần bón
100
(2
√
2 − 1)π
kg phân hữu cơ. Hỏi cần sử
dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?
A. 30 kg. B. 40 kg. C. 50 kg. D. 45 kg.
95
lovestem
.edu.vn

Phương trình elip là:
x2
2
+ y2
= 1
Diện tích phần đất hình elip là: S = 2.
√
2
−
√
2
1 −
x2
2
dx
Đặt x =
√
2. cos t, t ∈ [0; π] ⇒ S = 2
√
2
π
0
√
1 − cos2 t. sin t dt = 2
√
2
π
0
sin2
t dt =
√
2π (đvdt)
Diện tích mảnh vườn người ta trồng hoa là:
√
2π −
1
2
π =
2
√
2 − 1
2
π (đvdt).
Vậy cần sử dụng
100
(2
√
2 − 1)π
.
(2
√
2 − 1)π
2
= 50 kg để bón cho hoa.
7.2 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 35. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô
tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −5t + 10 (đơn vị m/s) trong đó t (đơn vị s)
là thời gian tính từ lúc đạp phanh. Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, quãng đường ô tô di
chuyển được (làm tròn đến một chữ số sau dấu thập phân) là:
A. 0, 2 m. B. 2, 0 m. C. 10, 0 m. D. 20, 0 m.
Khi ô tô dừng hẳn thì v(t) = 0 ⇔ −5t + 10 = 0 ⇔ t = 2.
Ý nghĩa vật lí của đạo hàm nói rằng v(t) = S (t), trong đó S(t) là li độ của vật ở thời điểm t.
Do đó s(t) là một nguyên hàm của v(t) và trong 2 s ô tô đi được quãng đường là:
2
0
(−5t + 10) dt = −
5
2
t2
+ 10t
2
0
= 10 ( m).
Câu 36. Ông A muốn xây một cổng hình parabol có chiều dài chân đáy của cổng dài 3 m và
chiều cao của cổng là 2 m. Ông A muốn tính diện tích cổng để đặt cửa gỗ cho vừa kích thước.
Diện tích của cổng (làm tròn đến chữ số thứ nhất sau dấu thập phân) là:
A. 3, 5 m2
. B. 4, 0 m2
. C. 5, 5 m2
. D. 6, 0 m2
.
Lời giải. Chọn đáp án B
Parabol (gọi là (P)) có phương trình dạng y = ax2
+ bx + c (a = 0) .
Vì (P) đi qua điểm A(0; 2) và B
3
2
; 0 nên ta có hệ phương trình:



c = 2
b = 0
9
2
a + 2 = 0
⇔



c = 2
b = 0
a = −
8
9
.
Từ đó y = −
8
9
x2
+ 2 và diện tích cổng là:
96
lovestem
.edu.vn

S =
3
2
0
−
8
9
x2
+ 2 dx = 4 ( m2
).
Câu 37. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo
thời gian t (đơn vị s) là a(t) = 3t + t2
( m/s2
). Quãng đường vật đi được trong khoảng 10 s kể
từ khi bắt đầu tăng tốc là:
A.
3400
3
m. B.
4300
3
m. C.
130
3
m. D. 130 m.
Gọi S(t), v(t) lần lượt là quãng đường, vận tốc của vật tại thời điểm t.
Vì v (t) = a(t) nên v(t) = a(t)dt = 3t + t2
dt =
3t2
2
+
t3
3
+ C0.
Giả thiết v(0) = 10 cho ta C0 = 10, vậy
v(t) =
3t2
2
+
t3
3
+ 10.
Lại có S (t) = v(t) nên S(t) =
3t2
2
+
t3
3
+ 10 dt =
t3
2
+
t4
12
+ 10t + C1.
Giả thiết S(0) = 0 cho ta C1 = 0, vậy
S(t) =
t3
2
+
t4
12
+ 10t ⇒ S(10) =
103
2
+
104
12
+ 10.10 =
4300
3
( m).
Câu 38. Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng
nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản
người ta phát hiện ra một quy luật là cá chuyển động trong nước yên lặng theo công thức
s(t) = −
t2
10
+ 4t, với t (đơn vị h) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và
s (đơn vị km) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Khi thả con cá hồi vào
dòng sông có vận tốc nước chảy là 2 km/h thì khoảng cách xa nhất con cá hồi bơi ngược dòng
đến nơi đẻ trứng là:
A. 8 km/h. B. 30 km/h. C. 20 km/h. D. 10 km/h.
Vận tốc của con cá là: v(t) = g (t) = −
t
5
+ 4.
Vận tốc thực của con cá khi bơi ngược dòng là:
v(t) − 2 = −
t
5
+ 4 − 2 = −
t
5
+ 2
.
Quãng đường con cá bơi được trong khoảng thời gian t kể từ lúc bắt đầu có dạng:
s(t) = −
t
5
+ 2 dt = −
t2
10
+ 2t + C.
Từ g(0) = 0 suy ra C = 0 và do đó s(t) = −
t2
10
+ 2t = −
1
10
(t − 10)2
+ 10 ≤ 10.
Câu 39. Từ một khối gỗ hình trụ có đường kính 40 cm, người ta cắt khối gỗ bởi một mặt
phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 45 độ để làm một cái nêm như hình
vẽ dưới đây.
97
lovestem
.edu.vn

Gọi V là thể tích của nêm (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Giá trị của V là:
A. 5333 cm3
. B. 5332 cm3
. C. 5334 cm3
. D. 5335 cm3
.
Câu 40. Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang
và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh
và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang.
Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng
3
4
chiều
cao của bên đó. Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 2.90 cm3
/phút. Khi chiều
cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi 8π cm
(xem hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Chiều cao
của khối trụ bên ngoài (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) là:
A. 8 cm. B. 9 cm. C. 12 cm. D. 10 cm.
Câu 41. Một ô tô đang chạy với vận tốc 18 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh
ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −36t + 18 ( m/s), trong đó t (đơn vị s) là
khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu hãm phanh. Quãng đường ô tô di chuyển được từ lúc hãm
phanh đến khi dừng hẳn là:
A. 3, 5 m. B. 4, 5 m. C. 5, 5 m. D. 6, 5 m.
Câu 42. Một máy bay di chuyển với vận tốc được tính theo công thức v(t) = 3t2
+ 2t ( m/s),
trong đó t (đơn vị s) là khoảng thời gian tính từ lúc máy bay bắt đầu chuyển động. Tốc độ
trung bình máy bay đi được trong 10 s đầu tiên là:
A. 360 m/s. B. 36 m/s. C. 1100 m/s. D. 110 m/s.
Câu 43. Một vật chuyển động với vận tốc 15 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = t+3t2
( m/s2
).
Tính quãng đường vật đi được trong khoảng 10 s đầu kể từ lúc tăng tốc?
A. 845 m. B. 8450 m. C.
845
3
m. D.
8450
3
m.
98
lovestem
.edu.vn

Câu 44. Một con sông rộng 500 m,
để tạo điều kiện cho người dân hai bờ đi
lại giao lưu buôn bán, người ta xây dựng một
cây cầu bắt qua sông: bề dày của cầu 10 cm,
chiều rộng của cầu là 4 m và chiều cao của
cầu là 7 m so với mặt sông. Hãy ước tính thể
tích (lấy xấp xỉ đến chữ số hàng đơn vị) vữa
xây để xây dựng cây cầu như hình bên.
A. 200 cm3
. B. 280 m3
.
C. 400 cm3
. D. 204 m3
.
Chọn hệ trục toạ độ có gốc O(0; 0) như hình vẽ
và có toạ độ các điểm A(255; 2) và B(510; 0).
Khi đó có hàm số y1 = ax2
+ bx ⇒ y2 = ax2
+ bx − 0, 1.
Theo đề bài ta có hệ phương trình sau:
2552
a + 255b = 2
5102
a + 510b = 0
⇒



a = −
2
2552
b =
4
255
Diện tích chiều dày S của thân cầu là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y1, y2
và trục Ox. Do tính đối xứng nên ta chỉ tính S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai
hàm số y1, y2 và trục Ox trong khoảng (0; 255).
S = 2


0,1
0
−2
2552
x2
+
4
255
x dx +
255
0,1
1
10
dx

 = 50, 89 ≈ 51.
Cây cầu có chiều rộng 4 m nên thể tích vữa cần xây cầu là: V = 4S = 204 m3
.
Câu 45. Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 100−10t( m/s). Quãng đường
mà vật chuyển động trong nửa thời gian cuối là:
A. 500 m. B. 125 m. C. 250 m. D. 375 m.
Câu 46. Một bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay
các hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
√
x + 1 và trục Oy quay quanh trục Ox biết đáy lọ
và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm, khi đó thể tích lọ là:
A.
14π
3
dm2
. B.
15
2
dm2
. C.
15π
2
dm2
. D. 8π dm2
.
Câu 47. Trong Công viên Toán học có những
mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh
được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi
một đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một
mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành
từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ toạ
độ Oxy là 16y2
= x2
(25 − x2
) như hình bên. Tính
diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết mỗi đơn vị
trong trục Oxy tương ứng chiều dài 1 m.
A. S =
250
3
m2
. B. S =
125
4
m2
.
C. S =
125
6
m2
. D. S =
125
3
m2
.
Câu 48. Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 22 m/s và
gia tốc trọng trường là 10 m/s2
. Quãng đường từ lúc viên đạn được bắn lên đến khi rơi xuống
đất là:
A. 24, 2 m. B. 48, 4 m. C. 50 m. D. 25 m.
99
lovestem
.edu.vn

Câu 49. Bác
Nam có một khu vườn giới hạn bởi một đường parabol và một đường
thẳng. Nếu đặt trong hệ toạ độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol
có phương trình y = x2
và đường thẳng y = 25. Bác Nam dự định dùng
một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua
O và M trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp bác Nam xác định điểm
M bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ bằng
9
2
.
A. OM = 2
√
5. B. OM = 10. C. OM = 3
√
10. D. OM = 15.
Câu 50. Sơ đồ ở bên phác thảo hình ảnh một khung cửa số.
Diện tích của cửa sổ này được tính bằng công thức nào?
A. S =
1
2
−1
2
5
2
− 4x2
dx. B. S =
1
2
−1
2
5
2
− 2x2
dx.
C. S =
1
2
−1
2
2x2
dx. D. S =
1
2
−1
2
(1 − 4x2
) dx.
Câu 51. Một hạt proton di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc (theo đơn vị cm/s2
)
là: a = −20(1 + 2t)−2
với t tính bằng giây. Tìm hàm vận tốc v theo t biết rằng khi t = 0 thì
v = 30 cm/s2
.
A. v =
10
t
+ 30 ( cm/s2
). B. v =
10
1 + 2t
+ 30 ( cm/s2
).
C. v =
10
1 + 2t
+ 20 ( cm/s2
). D. Không xác định được .
a =
dv
dt
⇒ v = a dt ⇒ v =
−20
(1 + 2t)2
dt
Đặt u = 1 + 2t ta có: v =
−10
u2
du =
10
u
+ C =
10
1 + 2t
+ C
Với t = 0, v = 30 thì C = 20.
Vậy biểu thức vận tốc theo thời gian là: v =
10
1 + 2t
+ 20 ( cm/s2
)
Câu 52. Một tia lửa được bắn thẳng đứng từ mặt đất lên với vận tốc 15 m/s. Hỏi sau 2, 5
giây, tia lửa có chiều cao là bao nhiêu? (Lấy gia tốc trọng trường là 9, 8 m/s2
)
A. 6, 875 m. B. 39, 5 m. C. 37, 5 m. D. 13 m.
Câu 53. Trong mạch máy tính, cường độ dòng điện (đơn vị mA) là một hàm số theo thời
gian t: i = 0, 3 − 0.2t.Tổng điện tích đi qua một điểm trong mạch trong thời gian 0, 05 s là bao
nhiêu?
A. 0, 015 C. B. 0, 015 mC. C. 0, 0145 C. D. 0, 0145 mC.
Câu 54. Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì phanh gấp. Sau khi phanh, ô tô chuyển
động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −40t + 10 m/s, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng
giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn, ô tô còn di chuyển
thêm bao nhiêu mét?
A. 10 m. B. 5 m. C. 2, 5 m. D. 1, 25 m.
Câu 55. Tại một nơi không có gió, một khinh khí cầu ở độ cao 162m được cài đặt bay tự động
xuống mặt đất với vận tốc tuân theo phương trình v(t) = 10t − t2
(m/p), trong đó t(phút) là
thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) đo bằng mét/phút ( m/p). Đến lúc chạm đất
thì vận tốc của khí cầu là bao nhiêu?
100
lovestem
.edu.vn

A. v = 5(m/p). B. v = 7(m/p). C. v = 9(m/p). D. v = 3(m/p).
Quãng đường đi được của khinh khí cầu là s(t) là một nguyên hàm của v(t) và s(0) = 0. Ta có
10t − t2
dt = 5t2
−
t3
3
+ C, do s(0) = 0 ⇒ s(t) = 5t2
−
t3
3
Khinh khí cầu đến mặt đất khi s(t) = 162 ⇔
t3
3
−5t2
+162 = 0, trong đó t dương và nhỏ nhất,
giải ra t = 9(p). Thay vào ta được v(t) = 9(m/p).
Câu 56. Một chất điểm A chuyển động thẳng nhanh dần đều từ O; 8 giây sau nó đạt vận tốc
6(m/s). Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Chất điểm B cũng xuất phát từ O chậm
hơn A 12s, và đuổi kịp A sau 8s kể từ khi xuất phát. Tìm vận tốc B lúc đuổi kịp A.
A. 24(m/s). B. 12(m/s). C. 48(m/s). D. 36(m/s).
Câu 57. Hai viên đạn cùng rời khỏi nòng súng tại cùng một thời điểm t = 0, vận tốc viên
đạn 1 là: u(t) = 3t2
(m/s), viên đạn 2 bay với vận tốc: v(t) = 2t + 5(m/s). Hỏi từ giây thứ bao
nhiêu thì viên đạn 1 bay xa hơn viên đạn 2 kể từ nòng súng (điểm xuất phát).
A. Giây thứ 4. B. Giây thứ 3. C. Giây thứ 2. D. giây thứ 1.
Quãng đường của 2 viên đạn 1 và 2 lần lượt là U(t) và V (t) theo thứ tự là nguyên hàm cùa
u(t) và v(t) và U(0) = V (0) = 0.
Ta có: 3t2
dt = t3
+ C. Vì U(0) = 0 ⇒ U(t) = t3
.
Tương tự suy ra V (t) = t2
+ 5t. Viên đạn thứ 1 bay xa hơn viên đạn thứ 2 khi f(t) =
U(t) − V (t) = t(t2
− t − 5) đổi dấu từ âm sang dương khi t tăng từ 0. Lập bảng xét dấu f(t),
ta được kết quả là f(t) đổi đấu như thế khi qua t0 =
1 +
√
21
2
và 2 < t0 < 3, tức trong giây
thứ 3.
Câu 58. Vi khuẩn HP (Helicobacter Pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ m với số lượng là
F(m), biết nếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 4000 con thì bệnh nhân
sẽ được cứu chữa. Biết F (m) =
1000
2m + 1
và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 15
ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày (lấy
xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân có cứu chữa được không ?
A. 5433, 99 và không cứu được. B. 1499, 45 và cứu được.
C. 283, 01 và cứu được . D. 3716, 99 và cứu được.
Vi khuẩn HP gây đau dạ dày tại ngày thứ m với số lượng là:
F(m) = F (m) dm =
1000
2m + 1
dm = 500 ln 2m + 1
Suy ra số vi khuẩn trong dạ dày bệnh nhân sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh là:
F(15) = 500 ln 31 + 2000 = 3716, 99
Câu 59. Một vật đang chuyển động với v = 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t+t2
(m/s2
).
Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
A.
2300
3
(m). B.
4300
3
(m). C.
6300
3
(m). D.
8300
3
(m).
Lời giải. v(t) là vận tốc của vật, ta có: v (t) = a(t) = 3t + t2
⇒ v(t) = 3t + t2
dt =
3t2
2
+
t3
3
+ C
101
lovestem
.edu.vn

Vì v(0) = 10 ⇒ C = 10 ⇒ v(t) =
3t2
2
+
t3
3
+ 10.
⇒ s =
10
0
3t2
2
+
t3
3
+ 10 dt =
4300
3
(m).
Câu 60. Tính thể tích V của phần thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3, biết
rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
(0 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 2
√
9 − x2.
A. V =
3
0
2x
√
9 − x2 dx. B. V = 4π
3
0
9 − x2
dx.
C. V = 2
3
0
(x + 2
√
9 − x2) dx. D. V =
3
0
(x + 2
√
9 − x2) dx.
Câu 61. Một đám vi khuẩn tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng N (t) =
4000
1 + 0, 5t
và
số lượng vi khuẩn lúc đầu là 180000 con. Hỏi sau 3 ngày, số lượng vi khuẩn gần giá trị nào sau
đây?
A. 187335 . B. 187330. C. 187338 . D. 187340 .
Câu 62. Gọi h(t) (cm) là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng
h (t) = 3
√
t + 4 và lúc đầu bồn không có nước. Tính mức nước ở bồn sau khi bơm nước được
12 giây
A. 12 (cm). B. 128 (cm). C. 112 (cm). D. 6 (cm).
Câu 63. Giá trị trung bình của một hàm số y = f(x) từ x = a đến x = b được xác định bởi
công thức yTB =
b
a
f(x) dx
b − a
. Nhiệt độ T (tính theo o
C) ghi nhận trong một ngày thỏa mãn
đường cong T = 0.001t4
− 0.28t2
+ 25 với t là giờ, được tính lúc giữa trưa (−12 ≤ t ≤ 12). Hỏi
nhiệt độ trung bình của ngày hôm đó là bao nhiêu?
A. 15.7◦
C. B. 20◦
C. C. 18.7◦
C. D. 16.7◦
C.
Câu 64. Dòng điện xoay chiều chạy trong dây dẫn có tần số góc ω. Điện lượng chuyển qua
tiết diện thẳng của dây dẫn trong
1
6
chu kì dòng điện kể từ lúc dòng điện bằng không là Q1.
Cường độ dòng điện cực đại là:
A. 2Q1ω . B. 6Q1ω. C. Q1ω. D.
1
2
Q1ω.
Câu 65. Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 25 (m/s),
gia tốc trọng trường là 9, 8 (m/s2
). Quãng đường viện đạn đi được từ lúc bắn cho đến khi chạm
đất gần bằng kết quả nào nhất trong các kết quả sau đây:
A. 30, 78 (m). B. 32, 43 (m). C. 31, 89 (m). D. 33, 88 (m).
Câu 66. Người ta bơm nước vào một bồn chứa, lúc đầu bồn không chứa nước, mức nước ở
bồn chứa sau khi bơm phụ thuộc vào thời gian bơm nước theo một hàm số h = h(t) trong đó
h tính bằng cm,t tính bằng giây. Biết rằng h (t) = 3
√
2t + 1 và h(0) = 0. Mức nước ở bồn sau
khi bơm được 13s là:
A.
243
3
(cm). B.
243
8
(cm). C. 30 (cm). D. 60 (cm).
Câu 67. Cho mạch điện RLC mắc nối tiếp, dòng điện trong mạch có biểu thức i = 2 cos 100πt +
π
6
(A).
Tính điện lượng chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn trong
1
4
chu kì kể từ lúc dòng điện bị
triệt tiêu?
A.
1
50π
(C). B.
−1
25π
(C). C.
−1
50π
(C). D.
1
25π
(C).
Giả sử dòng điện bằng 0 vào thời điểm t1, ta có:
102
lovestem
.edu.vn

i = 2 cos 100πt +
π
6
= 0 ⇒ cos 100πt +
π
6
= 0 ⇒ 100πt1 +
π
6
=
π
2
⇒ 100πt1 =
π
2
−
π
6
=
π
3
⇒ t1 =
1
300
(s)
Thời điểm sau đó
1
4
chu kì thì:
t2 = t1 +
T
4
=
1
300
+
2π
4ω
=
1
300
+
2π
4.100π
=
1
300
+
1
200
=
5
600
=
1
120
(s)
Điện lượng chuyển qua tiết diện của dây dẫn trong khoảng thời gian trên là:
q =
t2
t1
idt =
t2
t1
2 cos 100πt +
π
6
dt =
2
100π
sin 100πt +
π
6
t2
t1
q =
2
100π
sin 100π.
1
120
+
π
6
− sin 100π.
1
300
+
π
6
q =
1
50π
sin π − sin
π
2
=
1
50π
(0 − 1) =
−1
50π
(C).
Câu 68. Cho hai mặt cầu (S1), (S2) có
cùng bán kính R thỏa mãn tính chất tâm
của (S1) thuộc (S2) và ngược lại. Thể tích
chung tạo bởi hai khối cầu (S1) và (S2)
là:
A. πR3
.
B.
πR3
2
.
C.
5πR3
12
.
D.
2πR3
5
.
Câu 69. Có một vật thể hình tròn xoay có hình giống như một cái ly. Người ta đo được đường
kính của miệng ly là 4 và chiều cao là 6. Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng
đối xứng là một parabol. Thể tích của vật thể đã cho là:
A. 12π. B. 12. C.
72
5
. D.
72
5
π.
Câu 70. Thùng chứa rượu là một hình tròn xoay có hai đáy là
hình tròn bằng nhau và chiều cao bình là 16. Đường cong của bình
là một cung tròn của đường tròn bán kính 10. Thể tích của thùng
chứa rượu này là:
A.
3776
3
π. B.
3
37776
.
C.
5824
3
π. D.
3
5824
π.
Lời giải. Không mất tính tổng quát, ta giả sử tâm của đường tròn là tâm O của gốc tọa độ.
Khi đó ta có phương trình đường tròn là x2
+ y2
= 100.
⇒ Thùng là hình tròn xoay được giới hạn bởi đường tròn x2
+y2
= 100, y = 0, x = 8, x = −8.
⇒ V = π
8
−8
(100 − x2
) dx =
5824
3
π (đvtt).
Câu 71. Một chi đoàn thanh niên đi dự trại ở một đơn vị bạn, họ dự định dựng một lều trại
có dạng parabol (nhìn tự mặt trước, lều trại được căng thẳng từ trước ra sau, mặt sau trại
103
lovestem
.edu.vn

cũng là parabol có kích thước giống như mặt trước) với kích thước nền trại là một hình chữ
nhật có chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách mặt đất là 3 mét. Hãy
tính thể tích phần không gian phía trong trại để cử số người tham dự trại cho phù hợp.
A. 36 m3
. B. 24 m3
. C. 18 m3
. D. 72 m3
.
Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có AB = 3 m, BC = 6 m đỉnh của parabol là I.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB, A
−3
2
; 0 , B
3
2
; 0 , I(0; 3).
Khi đó phương trình của parabol có dạng:
y = ax2
+ b, (a = 0).
Do I, A, B thuộc (P) nên ta có: y = −
4
3
x2
+ 3.
Vậy thể tích phần không gian phía trong trại là:
V = 6.2.
3
2
0
−
4
3
x2
+ 3 dx = 36 m3
.
Câu 72. Một khối cầu có bán kính 5 cm, người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt phẳng vuông
góc bán kính và cách tâm 3 cm để là một chiếc lu đựng. Tính thể tích chiếc lu.
A. 132π cm3
. B.
100
3
π cm3
. C. 43π cm3
. D. 41π cm3
.
Đặt hệ trục với tâm là O là tâm của mặt cầu, đường thẳng đứng là trục Ox, đường ngang là
trục Oy.
Khi đó đường tròn lớn có phương trình là:
x2
+ y2
= 25 (C).
Ta có chiếc lu là vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình giởi hạn bởi trục Ox, đường cong
y =
√
25 − x, x = 3, x = −3 quay quanh trục Ox.
Vậy, thể tích chiếc lu là:
V = π
3
−3
(25 − x2
) dx = 132π( cm3
).
Câu 73. Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính 30 cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt
phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 45◦
để lấy một hình nêm. Tính thể
tích của hình nêm.
104
lovestem
.edu.vn

A.
2250
4
cm3
. B. 2250 cm3
. C. 1250 cm3
. D. 1350 cm3
.
Câu 74. Thể tích của hình nêm có số đo như hình dưới đây là?
A.
2
3
R3
tan α.
B.
4
3
R3
tan α.
C.
2
3
R3
cot α.
D.
4
3
R3
cot α.
Câu 75. Tính thể tích vật thể tạo được khi lấy giao vuông góc hai ống nước hình trụ có cùng
bán kính đáy bằng a.
A. V =
16a3
3
. B.
2a3
3
. C.
4a3
3
. D. a3
.
Lời giải.
Hình vẽ mô tả vật thể M có thể tích bằng
1
8
vật thể tạo được khi lấy giao vuông góc hai ống
nước hình trụ. Ta gán vào đó trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Cắt M bằng mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại li độ x ta được thiết diện là hình vuông có
cạnh
√
a2 − x2 (phần gạch chéo trong hình vẽ).
Áp dụng công thức tính thể tích vật thể, ta có:
105
lovestem
.edu.vn

VM =
a
0
(
√
a2 − x2)2
dx = a2
x −
x3
3
a
0
=
2a3
3
.
Vậy thể tích vật thể cần tính là:
V = 8.
2a3
3
=
16a3
3
.
Câu 76. Tính thể tích lượng nước trong hình vẽ dưới đây.
A. πh2
(R −
h
3
). B. πh(R −
h
3
). C. πh2
(h −
R
3
). D. Đáp án khác.
Câu 77. Thành phố định xây cầu bắc ngang con sông dài 500 m, biết rằng người ta định xây
cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, mỗi nhịp cách nhau 40 m, biết hai bên đầu cầu và giữa
mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5 m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20 cm. Biết
một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua thể
tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu).
A. 20 m3
B. 30 m3
C. 40 m3
D. 50 m3
Câu 78. Một thùng đựng thư được thiết kế như hình bên,
phần phía trên là nửa hình trụ. Thể tích của thùng đựng thư
là bao nhiêu cm3
?
A. 640 + 160π cm3
.
B. 640 + 80π cm3
.
C. 640 + 40π cm3
.
D. 640 + 20π cm3
.
106
lovestem
.edu.vn

Câu 79. Bạn A có một cốc thủy tinh hình
trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là 6 cm,
chiều cao trong lòng đáy cốc là 10 cm đang
đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc
nước, vừa lúc khi nước chưa chạm miệng cốc
thì ở đáy mực nước trùng với đường kính
đáy. Tính thể tích lượng nước trong cốc.
A. 15π cm3
.
B. 60π cm3
.
C. 15π cm3
.
D. 70 cm3
.
Câu 80. Bạn A có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là 6 cm, chiều
cao trong lòng đáy cốc là 8 cm đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc
khi nước chưa chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Tính thể tích
lượng nước trong cốc.
A. 18π cm3
. B. 48π cm3
. C. 48 cm3
. D. 47 cm3
.
Câu 81. Người ta dựng một cái lều vải H có dạng hình chóp lục giác như hình vẽ bên. Đáy
của H là hình lục giác đều có độ dài cạnh là 3 m. Chiều cao SO = 6 m (SO vuông góc với mặt
đáy). Các cạnh bên của H là các sợi c1, c2, c3, c4, c5, c6 nằm trên các parabol có trục đối xứng
song song với SO. Giả sử giao tuyến nếu có của H với mặt phẳng P vuông góc với SO là một
lục giác đều và khi P đi qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh là 1. Tính thể tích
không gian bên trong cái lều.
A.
135
√
3
5
cm3
. B.
96
√
3
5
cm3
. C.
135
√
3
4
cm3
. D.
135
√
3
8
cm3
.
Câu 82. Một vật có kích thước và hình dáng như dưới đây. Vật thể có đáy là hình tròn bán
kính 4, khi cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác
đều. Thể tích của vật thể là:
107
lovestem
.edu.vn

A.
256
3
. B.
64
3
. C.
256
√
3
3
. D.
32
√
3
3
.
Câu 83. Trong chương trình nông thôn mới tại một xã X có xây một cây cầu như hình vẽ.
Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu (đường cong trong hình vẽ là các đường Parapol).
A. 19 m3
. B. 21 m3
. C. 18π m3
. D. 40π m3
.
Gọi (C1), (C2) lần lượt là 2 đường cong tạo bởi mép trong và ngoài cầu.
Xét hệ toạ độ Oxy trong đó O là trung điểm của đoạn thẳng nằm ngang. Khi đó:
(C1) là Parapol có đỉnh là (0; 2) và đi qua điểm (9, 5; 0) ⇒ (C1) : y = −
8
361
x2
+ 2.
(C2) là Parapol có đỉnh là (0; 2.5) và đi qua điểm (10; 0) ⇒ (C2) : y = −
1
40
x2
+
5
2
.
Diện tích phần không có bê tông phía trong là S1 =
9.5
−9.5
−
8
361
x2
+ 2 dx =
76
3
m2
Diện tích phần tạo bởi mép ngoài và mặt đất là S2 =
10
−10
−
1
40
x2
+
5
2
dx =
100
3
m2
Diện tích phần mặt bê tông là S = S2 − S1 = 8 m2
Thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu là V = S.h = 8.5 = 40 m3
.
Câu 84. (ĐH Vinh - Lần 3 - 2017)
Bạn có một cốc thủy tinh hình trụ,
đường kính trong lòng đáy cốc là 6 cm chiều cao trong lòng
cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc
nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước
trùng với đường kính đáy. Tính thể tích lượng nước trong cốc.
A. 15π cm3
. B. 60π cm3
. C. 60 cm3
. D. 70 cm3
.
Dựng hệ trục tọa độ Oxy.
Gọi S(x) là diện tích thiết diện đo mặt phẳng có phương vuông góc với trục Ox với khối nước,
mặt phẳng này cắt trục Ox tại điểm có hoành độ h ≥ x ≥ 0. Ta có:
r
R
=
h − x
h
⇔ r =
(h − x)R
h
108
lovestem
.edu.vn

Vì thiết diện này là nửa đường tròn bán kính r ⇒ S(x) =
πr2
2
=
π(h − x)2
R2
2h2
Thể tích lượng nước chứa trong bình là: V =
h
0
S(x) dx =
9π
200
10
0
(10 − x)2
dx
=
9π
200
10
0
(x2
− 20x + 100) dx = 15π(cm3
).
Câu 85. (Sở GD - ĐT Thanh Hóa
- 2017) Một công ty quảng cáo X muốn
làm một bức tranh trang trí hình MNEIF
ở chính giữa một bức tường hình chữ
nhật ABCD có chiều cao BD = 6 m, chiều
dài CD = 12 m (hình vẽ bên). Cho biết
MNEF là hình chữ nhật có MN = 4 m,
cung EIF có hình dạng là một phần của
cung parabol có đỉnh I là trung điểm của
cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh
phí làm bức tranh là 900 000 đồng một m2
. Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức
tranh đó?
A. 20 400 000 đồng. B. 20 600 000 đồng.
C. 20 800 000 đồng. D. 21 200 000 đồng.
Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm O của MN, trục hoành trùng với đường thẳng
MN thì parabol có phương trình là: y = −
1
6
x2
+ 6.
Khi đó, diện tích của khung tranh là: S =
2
−2
−
1
6
x2
+ 6 dx =
208
9
m2
Vậy số tiền là:
208
9
.900000 = 20800000 đồng.
Câu 86. (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - Quảng
Bình - 2017) Một khuôn viên dạng nửa hình tròn
có đường kính bằng 4
√
5 m. Trên đó người thiết kế
hai phần để tròng hoa và trồng cỏ Nhật Bản. Phần
trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol
có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút
của cánh hoa nằm trên nửa đường trong (phần tô
màu) cách nhau một khoảng bằng 4 m, phần còn lại
của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng
cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ và
kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 200 000 đồng một m2
. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ
Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
A. 3 895 000 đồng. B. 1 948 000 đồng.
C. 2 388 000 đồng. D. 1 194 000 đồng.
109
lovestem
.edu.vn

Ta
đặt trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó đường parabol
đi qua O(0; 0) và B(2; 4) có phương trình y = x2
còn nửa đường tròn có phương trình y =
√
20 − x2.
Diện tích phần trồng hoa là:
S1 =
2
−2
(
√
20 − x2 − x2
) dx = 11, 94m2
Diện tích phần trồng cỏ là:
S2 =
1
2
Shinhtron − S1 = 19, 476m2
Vậy ta tính được số tiền cần có là 3895000 đồng
Câu 87. (Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2017) Một chất điểm chuyển động trên đường
thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc thời gian t ( s) là
a(t) = 2t − 7 ( m/s2
). Biết vận tốc ban đầu bằng 10 m/s, hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm
nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?
A. 5 s. B. 6 s. C. 1 s. D. 2 s.
Vận tốc của vật được tính bằng công thức: v(t) = t2
− 7t + 10(m/s)
Quãng đường được tính bằng công thức: S(t) = v(t) dt =
t3
3
−
7
2
t2
+ 10t(m)
S (t) = t2
− 7t + 10 ⇒ S (t) = 0 ⇔ t = 2hoc5
Ta thấy S(0) = 0; S(2) =
26
3
; S(5) =
25
6
; S(6) = 6
Vậy Smax ⇔ t = 2
Câu 88. (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2017) Một mảnh vườn toán học có dạng hình chữ
nhật, chiều dài là 16 m và chiều rộng là 8 m. Các nhà Toán học dùng hai đường parabol, mỗi
parabol có đỉnh là trung điểm của một cạnh dài và đi qua hai mút của cạnh dài đối diện; phần
mảnh vườn nằm ở miền trong của cả hai parabol (phần gạch sọc như hình vẽ minh họa) được
trồng hoa Hồng. Biết chi phí để trồng hoa Hồng là 45000 đồng một m2
. Hỏi các nhà Toán học
phải chi bao nhiêu tiền để trồng hoa trên phần mảnh vườn đó ? (Số tiền được làm tròn đến
hàng nghìn).
A. 3 322 000 đồng. B. 3 476 000 đồng. C. 2 159 000 đồng. D. 2 715 000 đồng.
Đặt trục tọa độ như hình
vẽ. Phương trình đường parabol (P) là: y = 4 −
1
8
x2
Phương trình đường parabol (P’) là: y = −4 +
1
8
x2
Diện tích
phần trồng hoa là: S =
4
√
2
−4
√
2
(8 −
1
4
x2
) dx = 128
√
2
3
110
lovestem
.edu.vn

Số tiền cần chi là: 128
√
2
3
.45000 = 2715000 (đồng)
Câu 89. Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình chóp lục giác cong đều như hình vẽ
dưới đây. Đáy của (H) là một hình lục giác đều cạnh 3 m. Chiều cao SO = 6 m (SO vuông góc
với đáy). Các cạnh bên của (H) là các sợi dây nằm trên các đường parabol có trục đối xứng
song song với c1, C2, c3, c4, c5, c6. Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng (P) vuông
góc với SO là một lục giác đều và khi (P) qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh
bằng 1 m.Tính thể tích phần không gian bên trong cái lều đó.
A.
135
√
3
5
m3
. B.
96
√
3
5
m3
. C.
135
√
3
4
m3
. D.
135
√
3
8
m3
.
Câu 90. Một đoàn tàu rời nhà ga trong 10 tiếng. Đồ thị dưới mô tả vận tốc của tàu là hàm
v(t) phụ thuộc thời gian.
Gọi s là quãng đường vật đi được.
a) Quãng đường tàu đi được trong suốt 10 tiếng là:
A. 420 km. B. 520 km. C. 425 km. D. 525 km.
b) Cho biết quãng đường vật đi được trong 10 tiếng tính theo công thức S =
10
1
v(t) dt. Khi
đó, tính S =
5
2
v(t − 1) dt.
111
lovestem
.edu.vn

A. 125. B. 150. C. 127, 5. D. 125, 5.
(a)
Dựa vào đồ thị, ta có:
v(t) =



40t, 0 ≤ t < 1
40, 1 ≤ t < 3
10 + 10t, 3 ≤ t < 4
50, 4 ≤ t < 9
500 − 50t, 9 ≤ t < 10
Vì vận tốc bằng đạo hàm của quãng đường nên ta có tổng quãng đường mà đoàn tàu đi
được trong 10 tiếng là:
S =
10
0
v(t)dt =
1
0
40tdt +
3
1
40dt +
4
3
(10 + 10t)dt +
9
4
50dt +
10
9
(500 − 50t)dt
= 20 + 80 + 45 + 250 + 25
= 420 (km)
(b)
Đặt t = t − 1 thì ta có:
S =
5
2
v(t − 1)dt =
4
1
v(t )dt =
4
1
v(t)dt =
3
1
40dt +
4
3
(10 + 10t)dt = 80 + 45 =
125 (km).
Câu 91. Tại buổi kết thúc của buổi hòa nhạc, mọi người rời nhà hát trong 3 giờ, lượng khách
rời nhà hát mỗi giờ là hàm phụ thuộc theo thời gian được mô tả bởi đồ thị dưới đây.
Số người ra khỏi nhà hát trong giờ thứ hai là:
A. 1250. B. 2250. C. 1500. D. 1350.
112
lovestem
.edu.vn

Dựa vào đồ thị, ta có:
N(t) =



−500t + 2500, 0 ≤ t < 1
−1500t + 3500, 1 ≤ t < 2
−500t + 1500, 2 ≤ t < 3
Từ đó, suy ra số người ra khỏi nhà hát trong giờ thứ hai là:
S =
2
1
N(t)dt =
2
1
(−1500t + 3500)dt = 1250 người.
Câu 92.
Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài
trục lớn bằng 16 m và độ dài trục bé bằng 10 m. Ông
muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8 m và nhận
trục bé elip làm trục đối xứng (phần như hình vẽ).
Biết kinh phí để trồng hoa là 100 000 đồng mỗi m2
.
Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên
bãi đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
A. 15 306 000 đồng. B. 7 653 000 đồng.
C. 30 612 000 đồng. D. 3 826 000 đồng.
Gắn hệ trục tọa độ Oxy lên mảnh vườn như hình vẽ bên,
khi đó ta tìm được phương trình chính tắc của khu vườn
hình elip là:
x2
64
+
y2
25
= 1.
Diện tích trồng hoa chính bằng 4 lần diện tích của hình
thang cong OCDE.
−8 −4 4 8
−5
5
0
AB
C
D1
E1
F
G
D
O E
Ta có: S = 4.S = 4.
4
0
25. 1 −
x2
64
dx.
Nhập biểu thức tích phân vào máy tính CASIO, ta dễ dàng thu được kết quả S ≈ 76, 53.
Vậy số tiền ông An cần bỏ ra để trồng hoa trên bãi đất đó là khoảng 7.653.000 đồng.
(Nếu muốn tính chính xác giá trị của S mà không dùng đến máy tính, ta có thể thực hiện
phép đổi biến x = 8 sin t, sau đó đưa về dạng tích phân cơ bản và được kết quả là 20
√
3+
40
3
π.)
Câu 93. Một
vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v ( km/h) phụ thuộc thời gian
t ( h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 h kể từ
khi vật bắt đầu chuyển động, đồ thị là một phần parabol có đỉnh I(2; 9)
và trục đối xứng song song với trục tung; khoảng thời gian còn lại đồ
thị là một đường thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà
vật chuyển động trong 3 giờ đó. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A. 23, 25 km. B. 21, 58 km. C. 15, 50 km. D. 13, 83 km.
Giả sử phương trình của đồ thị parabol là y = ax2
+ bx + c.
Vì parabol đi qua điểm (0; 4) và có đỉnh là điểm I(2; 9) nên ta có hệ phương trình sau:
113
lovestem
.edu.vn




c = 4
4a + 2b + c = 9
−
b
2a
= 2
⇔



a = −
5
4
b = 5
c = 4
.
=⇒ y = −
5
4
x2
+ 5x + 4. Tại x = 1 thì y =
31
4
.
Từ đó ta có hàm vận tốc là:
v(t) =



−
5
4
t2
+ 5t + 4, 0 ≤ t < 1
31
4
, 1 ≤ t < 3
Vậy quãng đường S mà vật chuyển động được trong 3(h) là:
S =
3
0
v(t) dt =
1
0
v(t) dt +
3
1
v(t) dt =
1
0
−
5
4
t2
+ 5t + 4 dt +
3
1
31
4
dt =
73
12
+
31
2
=
259
12
≈ 21, 58 (km).
114
lovestem
.edu.vn

Tích phân-7-Câu hỏi thực tế-pages-90-114

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Tích phân-7-Câu hỏi thực tế-pages-90-114

Similar to Tích phân-7-Câu hỏi thực tế-pages-90-114 (20)

More from lovestem

More from lovestem (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Tích phân-7-Câu hỏi thực tế-pages-90-114