Số phức-5-Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng-pages 47-61

1. 5 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG
DỤNG
5.1 LÝ THUYẾT
5.1.1 Định nghĩa
•
Cho số phức z = 0. Giả sử M là điểm nằm trong mặt
phẳng phức biểu diễn số phức z. Số đo (rađian) của mỗi
góc lượng giác với tia đầu là Ox, tia cuối là OM được gọi
là một acgumen của z. Như vậy, nếu ϕ là một acgumen
của số phức z, thì mọi acgumen của z có dạng
ϕ + k2π, k ∈ Z
(Người ta thường nói: Acgumen của z = 0 xác định sai
khác k2π, k ∈ Z)
x
y
O
M(z)
b
a
ϕ
• Dạng z = r (cos ϕ + i sin ϕ), trong đó r > 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức
z = 0. Còn dạng z = a + bi (a, b ∈ R) được gọi là dạng đại số của số phức z.
Chú ý: Nếu ϕ là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng ϕ + k2π, k ∈ Z.
5.1.2 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác
Nếu z = r (cos ϕ + i sin ϕ), z = r (cos ϕ + i sin ϕ ), r ≥ 0, r ≥ 0 thì
zz = rr [cos(ϕ + ϕ ) + i sin (ϕ + ϕ )] ,
z
z
=
r
r
[cos(ϕ − ϕ ) + i sin (ϕ − ϕ )] .
5.1.3 Công thức Moa-vrơ (Moive)
• Công thức Moa-vrơ (Moivre2
)
[r(cos ϕ + i sin ϕ)]n
= rn
(cos nϕ + i sin nϕ)
Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
Cho số phức z = r(cos ϕ + i sin ϕ) với r > 0. Khi đó z có hai căn bậc hai là
√
r cos
ϕ
2
+ i sin
ϕ
2
và
−
√
r cos
ϕ
2
+ i sin
ϕ
2
=
√
r cos
ϕ
2
+ π + i sin
ϕ
2
+ π
Phương pháp tìm dạng lượng giác của số phức z = a + bi (a, b ∈ R):
Bước 1: Tìm r: đó là môđun của z, r =
√
a2 + b2.
Bước 2: Tìm ϕ: đó là một acgumen của z; ϕ là số thực sao cho cos ϕ =
a
r
và sin ϕ =
b
r
.
2
Abraham De Moivre (1667-1754) là nhà toán học người Pháp. Tên tuổi của ông gắn liền với cuốn Doctrine
of Chances (Học thuyết may rủi) về lí thuyết xác suất và cuốn Miscellanea analytica (Tập kí về giải tích) về
chuỗi lặp và lượng giác học giải tích.
47
lovestem
.edu.vn

2. 5.1.4 Một số ví dụ
Câu 1. Dạng lượng giác của số phức z = 1 +
√
3i là:
A. z = 2 cos
π
6
+ i sin
π
6
. B. z = 2 cos
π
4
+ i sin
π
4
.
C. z = 2 cos
π
3
+ i sin
π
3
. D. z = 2 cos
π
2
+ i sin
π
2
.
Lời giải. Chọn đáp án C
Ta có r = 12 +
√
3
2
= 2.
Số phức z có một acgumen là ϕ sao cho cos ϕ =
1
2
, sin ϕ =
√
3
2
. Lấy ϕ =
π
3
thì ta có dạng
lượng giác của z là z = 2 cos
π
3
+ i sin
π
3
.
Câu 2. Tìm dạng lượng giác của 3.
A. 3(cos 0 − i sin 0). B. 3 cos
π
2
+ i sin
π
2
.
C. 3(cos 0 + i sin 0). D. Số 3 không có dạng lượng giác.
Lời giải. Chọn đáp án C
Số 3 có môđun bằng 3, có một acgumen bằng 0 nên nó có dạng lượng giác là 3(cos 0+i sin 0).
Sử dụng máy tính để đổi dạng số phức
a) Đổi số phức từ dạng đại số z = r(a + bi) về dạng lượng giác:
Bước 1: Bấm MODE 2.
Bước 2: Nhập số phức đã cho ở đề bài, sau đó ấn phím =. Kết quả cho ở dạng r∠ϕ. (Cần
chú ý đơn vị của ϕ).
b) Đổi số phức từ dạng lượng giác z = r (cos ϕ + i sin ϕ) về dạng đại số:
Bước 1: Bấm MODE 2.
Bước 2: Nhập số phức đã cho ở đề bài, sau đó ấn phím =. Kết quả thu được là số phức ở
dạng đại số. (Khi nhập cần chú ý đơn vị của ϕ).
Chú ý: 1) |z| = 1 khi và chỉ khi z = cos ϕ + i sin ϕ (ϕ ∈ R).
2) Khi z = 0 thì |z| = r = 0 nhưng acgumen không xác định (đôi khi coi acgumen của 0 là số
thực tùy ý và vẫn viết 0 = 0 (cos ϕ + i sin ϕ)).
5.2 Sai lầm thường gặp
Dạng lượng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ) của số phức z = 0 đòi hỏi r > 0. Tuy nhiên trong một
số bài tập r có chứa tham số, chúng ta thường không để ý đến điều kiện của r như trong ví dụ
dưới đây:
Câu 3. Tìm dạng lượng giác của số phức: z = 1 − cos ϕ + i sin ϕ, ϕ ∈ R.
Lời giải. Ta có z = 1 − cos ϕ + i sin ϕ = 2 sin2 ϕ
2
+ 2i sin
ϕ
2
.
ϕ
2
= 2 sin
ϕ
2
sin
ϕ
2
+ i cos
ϕ
2
.
Đến đây ta chưa thể khẳng định là r = 2 sin
ϕ
2
do ta chưa biết 2 sin
ϕ
2
có lớn hơn 0 hay
không. Vậy ta cần xét hai trường hợp sau:
Nếu sin
ϕ
2
> 0 thì z = 2 sin
ϕ
2
sin
ϕ
2
+ i cos
ϕ
2
= 2 sin
ϕ
2
cos
π
2
−
ϕ
2
+ i sin
π
2
−
ϕ
2
.
Nếu sin
ϕ
2
< 0 thì
z = 2 sin
ϕ
2
sin
ϕ
2
+ i cos
ϕ
2
= −2 sin
ϕ
2
− sin
ϕ
2
− i cos
ϕ
2
= −2 sin
ϕ
2
− cos
π
2
−
ϕ
2
− i sin
π
2
−
ϕ
2
= −2 sin
ϕ
2
cos −
π
2
−
ϕ
2
+ i sin −
π
2
−
ϕ
2
.
48
lovestem
.edu.vn

3. 5.3 BÀI TẬP
5.3.1 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Dạng lượng giác của số 2 là
A. 2(sin 0 + i cos 0). B. 2(cos 0 − i sin 0). C. 2(cos
π
2
+ i sin
π
2
). D. 2(cos 0 + i sin 0).
Câu 2. Tìm một acgumen của số phức z = −2 + 2
√
3i.
A. −
2π
3
. B. =
2π
3
. C.
π
6
. D.
3π
4
.
Câu 3. Số i có dạng lượng giác là
A. cos −
π
2
+ i sin −
π
2
. B. sin −
π
2
+ i cos −
π
2
.
C. cos
π
2
+ i sin
π
2
. D. sin
π
2
+ i cos
π
2
.
Câu 4. Nếu acgumen của z bằng −
π
2
+ k2π (k ∈ Z) thì
A. Phần ảo của z là số dương và phần thực của z bằng 0.
B. Phần ảo của z là số âm và phần thực của z bằng 0.
C. Phần thực của z là số âm và phần ảo của z bằng 0.
D. Phần thực và phần ảo của z đều là số âm.
Câu 5. Tìm một acgumen của số phức z = cos
π
4
− i sin
π
4
.
A.
π
4
. B. −
π
4
. C.
2π
3
. D. −
2π
3
.
Câu 6. Acgumen của số phức z = −1 + i bằng
A. −
π
4
+ k2π (k ∈ Z). B.
π
4
+ k2π (k ∈ Z). C.
π
2
+ k2π (k ∈ Z). D.
3π
4
+ k2π (k ∈ Z).
Câu 7. Dạng lượng giác của số phức 1 + i là
A.
√
2 cos
π
4
+ i sin
π
4
. B. 2 cos
π
4
+ i sin
π
4
.
C. −
√
2 cos
π
6
+ i sin
π
6
. D.
√
2 cos
π
6
+ i sin
π
6
.
Câu 8. Tìm một acgumen của số phức z = − sin
π
8
− i cos
π
8
.
A.
π
6
. B. −
5π
8
. C. −
π
6
. D.
π
3
.
Câu 9. Nếu z = cos ϕ − i sin ϕ thì acgumen của z bằng
A. ϕ + k2π (k ∈ Z). B. −ϕ + k2π (k ∈ Z).
C. ϕ + π + k2π (k ∈ Z). D. ϕ +
π
2
+ k2π (k ∈ Z).
Câu 10. Nếu z = − sin ϕ − i cos ϕ thì acgumen của z bằng
A. −
π
2
+ ϕ + k2π (k ∈ Z). B. −
π
2
− ϕ + k2π (k ∈ Z).
C.
π
2
+ ϕ + k2π (k ∈ Z). D. π − ϕ + k2π (k ∈ Z).
Câu 11. Dạng lượng giác của số phức 1 −
√
3i là
A. 4 cos −
π
6
+ i sin −
π
6
. B. 2 cos
π
3
+ i sin
π
3
.
C.
√
2 sin −
π
3
+ i cos −
π
3
. D. 2 cos −
π
3
+ i sin −
π
3
.
Câu 12. Tìm một acgumen của số phức z = 1 − sin ϕ + i cos ϕ với điều kiện 0 < ϕ <
π
2
.
A.
π
4
+ ϕ. B.
π
4
−
ϕ
2
. C.
ϕ
4
+
π
2
. D.
ϕ
2
−
π
2
.
49
lovestem
.edu.vn

4. Câu 13. Dạng lượng giác của số phức z = (1 − i
√
3)(1 + i) là
A. z = 2
√
2 sin −
π
4
+ i cos −
π
4
. B. z =
√
2 cos
π
12
+ i sin
π
12
.
C. z = −2
√
2 cos
π
6
+ i sin −
π
6
. D. z = 2
√
2 cos −
π
12
+ i sin −
π
12
.
Câu 14. Tìm một acgumen của số phức z = (a + i)3
+ (a − i)3
với a ∈ R và a >
√
3.
A. π. B. 0.
C. −π. D. z không có acgumen xác định.
Câu 15. Số phức −(cos ϕ + i sin ϕ) có dạng lượng giác là
A. cos ϕ +
π
2
+ i sin ϕ +
π
2
. B. cos ϕ −
π
2
+ i sin ϕ −
π
2
.
C. cos(ϕ + π) + i sin(ϕ + π). D. sin(ϕ + π) − i cos(ϕ + π).
Câu 16. Số phức cos ϕ − i sin ϕ có dạng lượng giác là
A. sin(−ϕ) + i cos(−ϕ). B. cos(−ϕ + π) + i sin(−ϕ + π).
C. cos(−ϕ) + i sin(−ϕ). D. cos(ϕ − π) + i sin(−ϕ − π).
Câu 17. Tìm một acgumen của số phức w = 2z2
, biết số phức z có mô đun bằng 1 và có một
acgumen là ϕ.
A. ϕ + 2π. B. 2ϕ. C.
3ϕ − π
2
. D.
ϕ
2
.
Câu 18. Giá trị của biểu thức T = (1 + i)5
là
A. T = 4 − 4i. B. T = 4 + 4i. C. T = −4 + 4i. D. T = −4 − 4i.
Lời giải. Chọn đáp án D
Ta có:
(1 + i)5
=
√
2 cos
π
4
+ i sin
π
4
5
= (
√
2)5
cos
5π
4
+ i sin
5π
4
(Áp dụng công thức Moivre)
= 4
√
2 −
√
2
2
− i
√
2
2
= − 4(1 + i).
Câu 19. Tìm một acgumen của số phức w = −
1
2z
, biết số phức z có mô đun bằng 1 và có
một acgumen là ϕ.
A. ϕ + 2π. B. ϕ + π. C.
ϕ
2
. D.
ϕ
2
+ π.
Câu 20. Giá trị của biểu thức T = (
√
3 − i)6
là
A. T = −210
. B. T = −2 + 2i. C. T = 2 − 2i. D. T = −26
.
Câu 21. Tìm một acgumen của số phức w =
z
z
, biết số phức z có mô đun bằng 1 và có một
acgumen là ϕ.
A. 2ϕ. B. −2ϕ. C. ϕ + π. D. ϕ + 2π.
Câu 22. Tìm một acgumen của số phức w = −z2
.z, biết số phức z có mô đun bằng 1 và có
một acgumen là ϕ.
A. −ϕ +
π
2
. B. ϕ + π. C.
ϕ
2
+ 2π. D. 2ϕ.
Câu 23. Giá trị của biểu thức T =
i
1 + i
2004
là
A. T = 21002
+ i. B. T =
1
21002
. C. T = −2−1004
+ 2i. D. T = −2−1002
.
50
lovestem
.edu.vn

5. Câu 24. Giá trị của biểu thức T =
5 + 3i
√
3
1 − 2i
√
3
21
là
A. T = 218
. B. T = 219
. C. T = 220
. D. T = 221
.
Câu 25. Dạng lượng giác của số phức z = sin φ + i cos φ là
A. z = cos
π
2
− φ + i sin
π
2
− φ . B. z = cos
π
2
+ φ + i sin
π
2
+ φ .
C. z = sin
π
2
− φ + i cos
π
2
− φ . D. z = cos
π
4
− φ + i sin
π
4
− φ .
Câu 26. Dạng lượng giác của số phức z =
1
2 + 2i
là
A. z =
√
2
2
cos
π
4
+ i sin
π
4
. B. z =
1
√
2
sin −
π
4
+ i cos −
π
4
.
C. z =
1
2
√
2
cos −
π
4
+ i sin −
π
4
. D. z = cos −
π
4
+ i sin −
π
4
.
Câu 27. Dạng lượng giác của số phức z =
1 − i
√
3
1 + i
là
A. z =
√
2 cos
π
12
+ i sin
π
12
. B. z =
√
2 cos −
π
12
+ i sin −
π
12
.
C. z =
√
2 cos −
π
6
+ i sin −
π
6
. D. z =
√
2 cos
π
6
+ i sin
π
6
.
Câu 28. Số phức z = −1 + i được viết dưới dạng lượng giác là:
A. z = 2 cos
π
6
+ i sin
π
6
. B. z =
√
2 cos
π
4
+ i sin
π
4
.
C. z =
√
2 cos
3π
4
+ i sin
3π
4
. D. z =
√
3 cos
π
6
+ i sin
π
6
.
Câu 29. Số phức z = 8i được viết dưới dạng lượng giác là:
A. z = 8 cos
3π
2
+ i sin
3π
2
. B. z = 8 cos
π
2
+ i sin
π
2
.
C. z = 8 (cos 0 + i sin 0). D. z = 8 (cos π + i sin π).
Câu 30. Cho số phức z = 1 − i
√
3. Hãy xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. z có một argument là
2π
3
.
B. |z| = 2.
C. z có một argument là
11π
3
.
D. z có dạng lượng giác là z = 2 cos
5π
3
+ i sin
5π
3
.
Câu 31. Dạng lượng giác của số phức z =
√
2 cos
π
6
− i sin
π
6
là:
A. z =
√
2 cos
11π
6
+ i sin
11π
6
. B. z =
√
2 cos
7π
6
+ i sin
7π
6
.
C. z =
√
2 cos
5π
6
+ i sin
5π
6
. D. z =
√
2 cos
13π
6
+ i sin
13π
6
.
Câu 32. Số phức nào dưới đây được viết dưới dạng lượng giác?
A. 2 sin
π
5
− i cos
π
5
. B.
√
3 cos
2π
3
+ i sin
2π
3
.
C. −2
√
2 cos
−π
5
+ i sin
−π
5
. D. −
1
2
cos
π
7
+ i sin
π
7
.
Câu 33. Cho số phức z = −1 − i. Argument của z (sai khác k2π) bằng:
A.
π
4
. B.
3π
4
. C.
5π
4
. D.
7π
4
.
51
lovestem
.edu.vn

6. Câu 34. Dạng lượng giác của số phức z =
√
3 + i là:
A.
√
3 cos
π
6
+ i sin
π
6
. B. 2 cos
−π
6
+ i sin
−π
6
.
C.
√
3 cos
−π
6
+ i sin
−π
6
. D. 2 cos
π
6
+ i sin
π
6
.
Câu 35. Số phức z = 2 − 2i có dạng lượng giác là:
A. 2
√
2 cos
3π
4
+ i sin
3π
4
. B. 2 (cos π + i sin π).
C. 2
√
2 cos
−π
4
+ i sin
−π
4
. D.
√
2 cos
π
4
+ i sin
π
4
.
Câu 36. Giá trị biểu thức (1 − i
√
3)6
bằng:
A. 64. B. 25
. C. 24
. D. Kết quả khác.
Câu 37. Viết dạng lượng giác của cos
π
17
− i sin
π
17
A. cos
18π
17
− i sin
18π
17
. B. cos
35π
17
− i sin
35π
17
.
C. cos
−π
17
− i sin
−π
17
. D. cos
16π
17
+ i sin
16π
17
.
Câu 38. Điểm biểu diễn của số phức z =
√
2 (cos 315◦
+ i sin 315◦
) có tọa độ là:
A. (1; −1). B. (−1; 1). C. (2; 2). D. (−2; 2).
Câu 39. Tìm argument của số phức z = 1 − i.
A. π. B.
−π
4
. C.
π
4
. D.
3π
4
.
Câu 40. Tìm dạng đại số của số phức z có mô-đun bằng 12 và argument bằng
π
3
?
A. z = 6 + 6i
√
3. B. z = 1 + i
√
3. C. z = 6 − 6i
√
3. D. z = −6 + 6i
√
3.
Câu 41. Số phức −2 cos
π
6
+ i sin
π
6
có dạng lượng giác là:
A. 2 cos
5π
6
+ i sin
5π
6
. B. 2 cos
−π
6
+ i sin
−π
6
.
C. 2 cos
7π
6
+ i sin
7π
6
. D. 2 cos
π
6
+ i sin
π
6
.
Câu 42. Dạng lượng giác của số phức sin
π
17
+ i cos
π
17
là:
A. cos
15π
34
+ i sin
15π
34
. B. cos
−15π
34
+ i sin
−15π
34
.
C. cos
−π
17
+ i sin
−π
17
. D. cos
18π
17
+ i sin
18π
17
.
Câu 43. Số −2 được viết dưới dạng lượng giác là:
A. 2(cos 0 + i sin 0). B.
√
2(cos 0 + i sin 0). C. 2(cos π + i sin π). D.
√
2(cos π + i sin π).
Câu 44. Dạng đại số của số phức có mô-đun bằng 1 và argument bằng 45◦
là:
A.
1
√
2
−
1
√
2
i. B.
1
2
+
1
2
i. C.
1
√
2
+
1
√
2
i. D. −
1
√
2
+
1
√
2
i.
Câu 45. Argument của số phức −
√
6 − i
√
2 là:
A.
π
6
. B.
π
3
. C.
5π
6
. D.
7π
6
.
Câu 46. Cho số phức z = −2 + 2
√
3i. Chọn đáp án sai.
A. Argument của z là
π
3
.
B. |z| = 4.
C. Dạng lượng giác của z là 4 cos
2π
3
+ i sin
2π
3
.
52
lovestem
.edu.vn

7. D. Cả hai câu B và C đều đúng.
Câu 47. Tìm mô-đun và argument của số phức −5 − 5
√
3i?
A. 10 và
π
3
. B. 5 và
5π
3
. C. 10 và
4π
3
. D. 5 và
π
6
.
Câu 48. Mô-đun của số phức −2 cos
π
3
+ i sin
π
3
là:
A. −2. B. 2. C. 1. D. −1.
Câu 49. Dạng đại số của số phức 2 cos
π
6
+ i sin
π
6
là:
A. 1 +
√
3i. B.
√
3 + i. C.
√
3 − i. D. 1 −
√
3i.
Câu 50. Dạng lượng giác của số phức −(cos ϕ + i sin ϕ) là:
A. cos(ϕ + π) + i sin(ϕ + π). B. cos −ϕ + i sin −ϕ.
C. cos(ϕ + 2π) + i sin(ϕ + 2π). D. cos(ϕ − π) + i sin(ϕ − π).
Câu 51. Số phức cos ϕ − i sin ϕ có dạng lượng giác là:
A. cos ϕ +
π
2
+ i sin ϕ +
π
2
. B. cos(ϕ + π) + i sin(ϕ + π).
C. cos(ϕ + 2π) + i sin(ϕ + 2π). D. cos(−ϕ) + i sin(−ϕ).
Câu 52. Cho z = 2 cos
3π
4
+ i sin
3π
4
và z =
√
2 cos
π
12
+ i sin
π
12
. Hỏi z.z bằng?
A.
√
6 −
√
2. B. −
√
6 +
√
2. C. 2
√
3 −
√
2. D.
√
2 + 2
√
3.
5.3.2 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 53. Số phức z = 2 − 2i có dạng lượng giác là:
A. 2
√
2 cos
3π
4
+ i sin
3π
4
. B. 2 (cos π + i sin π).
C. 2
√
2 cos
−π
4
+ i sin
−π
4
. D.
√
2 cos
π
4
+ i sin
π
4
.
Câu 54. Nếu acgumen của số phức z bằng
π
2
+ k2π, k ∈ Z thì:
A. Phần ảo của z là số dương và phần thực của z bằng 0.
B. Phần ảo của z là số âm và phần thực của z bằng 0.
C. Phần thực của z là số dương và phần ảo của z bằng 0.
D. Phần thực và phần ảo của z đều là số âm.
Câu 55. Nếu số phức z = cos ϕ − i sin ϕ thì acgumen của z bằng:
A. ϕ + k2π (k ∈ Z). B. −ϕ + k2π (k ∈ Z).
C. ϕ + π + k2π (k ∈ Z). D. ϕ +
π
2
+ k2π (k ∈ Z).
Câu 56. Cho số phức z = 1 −
√
3i. Hãy xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. |z| = 2.
B. z có một acgumen là −
π
3
.
C. z có dạng lượng giác là 2 cos
π
3
− i sin
π
3
.
D. z = 2 cos
5π
3
+ i sin
5π
3
.
Câu 57. Nếu số phức z = − sin ϕ − i cos ϕ thì acgumen của z bằng:
A. −
π
2
+ ϕ + k2π (k ∈ Z). B. −
π
2
− ϕ + k2π (k ∈ Z).
C.
π
2
+ ϕ + k2π (k ∈ Z). D. π − ϕ + k2π (k ∈ Z).
53
lovestem
.edu.vn

8. Câu 58. Cho hai số phức z1, z2 có |z1| = 8, |z2| =
1
2
. Biết một acgumen của z1 là −
π
4
; một
acgumen của z2 là
3π
4
. Tính z1.z2 +
z1
z2
.
A. −16 + 4i. B. −3 + 4i. C. −16 + 3i. D. −3 + 3i.
Câu 59. Cho hai số phức z1 = 3 (cos 20◦
+ i sin 20◦
), z2 = 2 (− cos 110◦
+ i sin 110◦
). Tích z1.z2
bằng:
A. 6(1 − 2i). B. 4i. C. 6i. D. 6(1 − i).
Câu 60. Cho hai số phức z1 = 4 (cos 10◦
+ i sin 10◦
), z2 = −2 (cos 280◦
+ i sin 280◦
). Thương
z1
z2
bằng:
A. 2i. B. −2i. C. 2(1 + i). D. 2(1 − i).
Câu 61. Acgumen của số phức z =
√
2 + i
√
6 1 − i
√
3 là:
A. 0. B.
2π
3
. C.
2π
3
+ k2π. D. k2π.
Câu 62. Số phức z =
2
1 + i
√
3
có dạng lượng giác là:
A.
√
2 cos
π
3
+ i sin
π
3
. B.
√
2 cos
−π
3
+ i sin
−π
3
.
C. cos
−π
3
+ i sin
−π
3
. D. cos
π
3
+ i sin
π
3
.
Câu 63. Số phức z =
5 + 3
√
3i
1 − 2
√
3i
có một acgumen là:
A.
π
6
. B.
π
4
. C.
π
2
. D.
8π
3
.
Câu 64. Cho z = 1 − i. Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của z.
A. 4
√
2 cos
−π
8
+ i sin
−π
8
v 4
√
2 cos
7π
8
+ i sin
7π
8
.
B.
√
2 cos
π
4
+ i sin
π
4
.
C.
√
2 cos
−π
4
+ i sin
−π
4
.
D. 4
√
2 cos
π
8
+ i sin
π
8
và 4
√
2 cos
−π
8
+ i sin
−π
8
.
Câu 65. Cho z1 = 1 +
√
3i, z2 =
7 + i
4 − 3i
, z3 = 1 − i2016
. Tìm dạng đại số của z25
1 .z10
2 .z2016
3 .
A. 0. B. 21037
− 21037
√
3i. C. −21021
√
3 + 21021
i. D. 21021
√
3 − 21021
i.
Câu 66. Dạng lượng giác của số phức z = 1 + i cot
π
5
là:
A. sin
π
5
cos
3π
10
+ i sin
3π
10
. B. sin
π
5
cos
7π
10
+ i sin
7π
10
.
C.
1
sin π
5
cos
3π
10
+ i sin
3π
10
. D.
1
sin π
5
cos
7π
10
+ i sin
7π
10
.
Câu 67. Cho các khẳng định sau:
1. Mọi số thực khác 0 đều có acgumen bằng k2π.
2. Nếu số phức z có một acgumen là ϕ thì số phức −z có một acgumen là −ϕ.
3. Số thực âm tùy ý có một acgumen là π.
4. Hai số phức z và lz (z = 0, l là số thực dương) có acgumen sai khác nhau 2π.
54
lovestem
.edu.vn

9. Số khẳng định đúng là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 68. Giá trị biểu thức (1 + i)10
bằng:
A. i. B. Kết quả khác. C. −32i. D. 32i.
Câu 69. Tìm đẳng thức đúng:
A. (1 + i)8
= 16i. B. (1 + i)8
= −16. C. (1 + i)8
= −16i. D. (1 + i)8
= 16.
Câu 70. Phần thực của số phức (1 + i)30
bằng:
A. 0. B. 1. C. 215
. D. −215
.
Câu 71. Cho số phức z =
1 − i
1 + i
. Phần thực và phần ảo của z2010
là:
A. a = 1, b = 0. B. a = 0, b = 1. C. a = −1, b = 0. D. a = 0, b = −1.
Câu 72. Cho z1 = 3(cos 15◦
+ i sin 15◦
), z2 = 4(cos 30◦
+ i sin 30◦
). Tính z1.z2?
A. 12(1 − i). B. 6
√
2(1 + i). C. 3
√
2(1 − 2i). D.
√
2(2 + i).
Câu 73. Cho z1 = 8(cos 100◦
+ i sin 100◦
), z2 = 4(cos 40◦
+ i sin 40◦
). Thương
z1
z2
bằng?
A. 1 + i
√
3. B. 2(1 − i
√
3). C. 1 − i
√
3. D. 2(1 + i).
Câu 74. Argument của z =
√
2 + i
√
2 là:
A.
π
2
. B.
3π
4
. C.
π
4
. D.
5π
4
.
Câu 75. Dạng lượng giác của z = −4i là:
A. 4 cos
3π
2
+ i sin
3π
2
. B. −4 cos
3π
2
+ i sin
3π
2
.
C. 4 cos
π
2
+ i sin
π
2
. D. 4 cos
−π
2
+ i sin
−π
2
.
Câu 76. Số phức cos a − i sin a, a ∈ [0; 2π] có dạng lượng giác là gì?
A. cos −a + i sin −a. B. cos(2π − a) + i sin(2π − a).
C. cos(π + a) + i sin(π + a). D. cos a −
π
2
+ i sin a −
π
2
.
Câu 77. Viết số phức
1
2 + 2i
dưới dạng lượng giác.
A.
√
2
2
cos
−π
4
+ i sin
−π
4
. B.
√
2
4
cos
−π
4
+ i sin
−π
4
.
C.
√
2
4
cos
π
4
+ i sin
π
4
. D.
√
2
4
cos
3π
4
+ i sin
3π
4
.
5.3.3 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG THẤP
Câu 78. Cho các khẳng định sau:
1. Acgumen của −1 + i bằng
3π
4
.
2. Số phức
1 + i
√
3 + i
có dạng lượng giác là
√
2
2
cos
π
12
+ i sin
π
12
.
3. |z| = 1 khi và chỉ khi z = cos ϕ + i sin ϕ.
4. Số phức z = 5 (cos 30◦
− i sin 30◦
) có dạng lượng giác là: 5 (cos(−30◦
) + i sin(−30◦
)).
Số khẳng định đúng là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
55
lovestem
.edu.vn

10. Câu 79. Một acgumen của số phức z = 0 là ϕ thì một acgumen của
1
z3
là:
A. −ϕ3
. B. ϕ3
. C. −3ϕ. D. 3ϕ.
Câu 80. Một acgumen của số phức z = 0 là ϕ thì một acgumen của
z
1 + i
là:
A. ϕ +
π
2
. B. ϕ − π. C. −ϕ +
π
4
. D. −ϕ −
π
4
.
Câu 81. Tìm một acgumen của số phức z =
√
3 − 2 + i.
A.
11π
2
. B.
4π
7
. C.
3π
7
. D.
7π
12
.
Câu 82. Tìm phần thực của số phức z = 1 +
√
3i
9
.
A. 256
√
3. B. 256
√
2. C. −512. D. 128
√
5.
Câu 83. Tìm một acgumen của số phức z = −
√
3 + i
12
.
A. 0. B.
5
6
. C.
5π
6
. D.
1
4096
.
Câu 84. Tìm môđun của số phức z =
1 +
√
3i
2 − i
10
.
A. |z| =
1
32
. B. |z| =
1024
3125
. C. |z| = 32. D. |z| =
3125
1024
.
Câu 85. Phần ảo của số phức z =
(1 + i)50
(
√
3 + i)49
là:
A. 2−25
√
3. B. 2−25
. C. 225
√
3. D. 225
√
3i.
Câu 86. Tìm điều kiện của số nguyên dương n để số phức zn = 1 +
√
3i
n
là một số thực.
A. n chia hết cho 3. B. n chia 3 dư 1. C. n chia 4 dư 1. D. n chia 3 dư 2.
Câu 87. Tìm phần ảo của số phức z =
cos
9π
17
+ i sin
9π
17
5
cos
2π
17
− i sin
2π
17
3 .
A. 0. B. −1. C. 1. D.
1
2
.
Câu 88. Cho số phức z có |z| = 2 và một acgumen là −
π
6
. Tính z−1
.
A.
1
4
+
√
3
4
i. B.
1
4
−
√
3
4
i. C.
√
3
4
+
1
4
i. D.
√
3
4
−
1
4
i.
Câu 89. Số phức liên hợp của số phức z = −1 + i
√
3
6
là:
A. 64. B. −64. C. 64(1 + i
√
3). D. −6 + 6i
√
3.
Câu 90. Cho số phức z = cos θ + i sin θ. Tính zn
−
1
zn
với n là số nguyên dương.
A. 2 sin(n − 1)θ. B. 2 cos(n − 1)θ. C. 2 cos nθ. D. 2i sin nθ.
Câu 91. Cho số phức z = 1 +
√
3i
n
, n ∈ N và thỏa mãn log4(n − 3) + log4(n + 9) = 3. Tìm
phần thực của số phức z.
A. 32. B. 0. C. 64. D. 7.
Câu 92. Dạng lượng giác của số phức z = sin ϕ + 2i sin2 ϕ
2
với ϕ ∈ [−π; 0] là:
A. 2 sin
ϕ
2
+ i sin
ϕ
2
. B. −2 sin
ϕ
2
cos
ϕ
2
+ π + i sin
ϕ
2
+ π .
C. 2 sin
ϕ
2
cos
ϕ
2
+ π + i sin
ϕ
2
+ π . D. −2 sin
ϕ
2
cos
ϕ
2
+
π
2
+ i sin
ϕ
2
+
π
2
.
56
lovestem
.edu.vn

11. Câu 93. Cho số phức z có môđun bằng 1 và ϕ là một acgumen của nó. Một acgumen của số
phức z2
− z sin
ϕ
2
= 0 là:
A.
3ϕ
2
−
π
2
nếu sin
ϕ
2
> 0. B.
3ϕ
2
+
π
2
nếu sin
ϕ
2
< 0.
C.
3ϕ
2
+
π
2
nếu sin
ϕ
2
> 0. D.
3ϕ
2
−
π
2
.
Câu 94. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để z =
1 + i
√
3
√
3 + i
n
là số thực.
A. 6. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 95. Cho số phức z = 1 − sin ϕ + i cos ϕ 0 < ϕ <
π
2
. Một acgumen của số phức z là:
A.
π
4
+
ϕ
2
. B.
π
4
−
ϕ
2
. C. −
π
4
+
ϕ
2
. D. −
π
4
−
ϕ
2
.
Câu 96. Cho hai số phức z1 và z2 với z1 = −3z2. Mối liên hệ giữa hai acgumen của hai số
phức trên là:
A. Tổng hai acgumen bằng π + k2π. B. Hiệu hai acgumen bằng π + k2π.
C. Tổng hai acgumen bằng −
π
2
+ k2π. D. Hiệu hai acgumen bằng −
π
2
+ k2π.
Câu 97. Tìm điều kiện của số nguyên dương n để số phức z =
7 + i
4 − 3i
n
là số ảo.
A. n chia hết cho 4. B. n chia 4 dư 1. C. n chia 4 dư 2. D. n chia 4 dư 3.
Câu 98. Viết dạng lượng giác của số phức z sao cho |z| =
1
3
và một acgumen của
z
1 + i
là
−
3π
4
.
A. z =
1
3
cos
π
2
+ i sin
π
2
. B. z =
1
3
cos
π
4
+ i sin
π
4
.
C. z =
1
3
cos
3π
4
+ i sin
3π
4
. D. z =
1
3
cos
−π
2
+ i sin
−π
2
.
Câu 99. Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết rằng: |z − 1| = |z − i
√
3| và iz có một
acgumen là
π
6
.
A. cos
π
3
+ i sin
π
3
. B. cos
−π
3
+ i sin
−π
3
. C. cos
π
6
+ i sin
π
6
. D. cos
−π
6
+ i sin
−π
6
.
Câu 100. Tìm phần ảo b của số phức w = z2000
+
1
z2000
, biết z +
1
z
= 1.
A. b = 0. B. b = 2. C. b = 1. D. b = −2.
Câu 101. Tìm số phức z sao cho |z| = |z − 2| và một acgumen của z − 2 bằng một acgumen
của z + 2 cộng với
π
2
.
A. z = 1 −
√
3i. B. z = 1 +
√
3i. C. z =
√
3 + i. D. z =
√
3 − i.
Câu 102. Nếu một acgumen của số phức z = 0 là φ thì số phức iz2
có một acgumen là
A. −2φ. B. φ + π. C. −2φ +
π
2
. D. 2φ +
π
2
.
Câu 103. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z| = 3 và một acgumen của iz là
5π
4
. Dạng
lượng giác của số phức z là
A. z = 3 cos
π
4
+ i sin
π
4
. B. z = 3 cos
3π
4
+ i sin
3π
4
.
C. z = 3 cos
−3π
4
+ i sin
−3π
4
. D. z = 3 cos
5π
4
+ i sin
5π
4
.
57
lovestem
.edu.vn

12. Câu 104. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z| =
1
3
và một acgumen của
z
1 + i
là −
3π
4
.
Dạng lượng giác của số phức z là
A. z =
1
3
sin
π
2
+ i cos
π
2
. B. z =
1
3
cos
π
2
+ i sin
π
2
.
C. z =
1
3
cos −
3π
4
+ i sin −
3π
4
. D. z =
1
3
cos
3π
4
+ i sin
3π
4
.
Câu 105. Tìm phần ảo b của số phức z = (1 − i)4
(
√
3 + i)6
.
A. b = 0. B. b =
√
3. C. b = −
√
3. D. b =
√
2.
Câu 106. Tìm phần thực a của số phức z = cos
π
3
− i sin
π
3
i5
(1 + i
√
3)7
.
A. a = 0. B. a = 2. C. a = −2. D. a =
1
3
.
5.3.4 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 107. Cho số phức w =
7 + i
4 − 3i
n
. Với giá trị nào của n thì w là số ảo?
A. n = 2k + 1 với k là số nguyên không âm. B. n = 4k với k là số nguyên dương.
C. n = 4k + 2 với k là số nguyên không âm. D. n = 6k với k là số nguyên dương.
Câu 108. Cho biểu thức Sn = (1 + i)n
+ (1 − i)n
. Tính giá trị của S2018.
A. 21009
. B. 0. C. 2252
. D. 2504
.
Lời giải. Chọn đáp án B
Ta có:
1 + i =
√
2 cos
π
4
+ i sin
π
4
=⇒ (1 + i)n
= 2
n
2 cos
nπ
4
+ i sin
nπ
4
.
1 − i =
√
2 cos
π
4
− i sin
π
4
=
√
2 cos −
π
4
+ i sin −
π
4
=⇒ (1 − i)n
= 2
n
2 cos −
nπ
4
+ i sin −
nπ
4
.
Vậy Sn = (1 + i)n
+ (1 − i)n
= 2
n
2 .2 cos
nπ
4
= 2
n+2
2 cos
nπ
4
.
Từ đó suy ra S2018 = 21010
. cos
1009π
2
= 0.
Câu 109. Dạng lượng giác của căn bậc hai của số phức z = cos ϕ − i sin ϕ là
A. z = cos −
ϕ
2
+ i sin −
ϕ
2
và z = cos π −
ϕ
2
+ i sin π −
ϕ
2
.
B. z = cos
π
4
−
ϕ
2
+ i sin
π
4
−
ϕ
2
và z = cos
5π
4
−
ϕ
2
+ i sin
5π
4
−
ϕ
2
.
C. z = cos
ϕ
2
−
π
4
+ i sin
ϕ
2
−
π
4
và z = cos
ϕ
2
+
3π
4
+ i sin
ϕ
2
+
3π
4
.
D. z = sin −
ϕ
2
+ i cos −
ϕ
2
và z = sin π −
ϕ
2
+ i cos π −
ϕ
2
.
Câu 110. Tìm phần ảo b của số phức w = z2000
+
1
z2000
, biết z +
1
z
= 1.
A. b = 0. B. b = 2. C. b = 1. D. b = −2.
Câu 111. Tìm số phức z sao cho |z| = |z − 2| và một acgumen của z − 2 bằng một acgumen
của z + 2 cộng với
π
2
.
A. z = 1 −
√
3i. B. z = 1 +
√
3i. C. z =
√
3 + i. D. z =
√
3 − i.
58
lovestem
.edu.vn

13. Câu 112. Cho số phức w =
3 −
√
3i
√
3 − 3i
n
. Với giá trị nào của n thì w là số thực?
A. n = 3k với k là số nguyên dương. B. n = 6k + 3 với k là số nguyên không âm.
C. n = 6k với k là số nguyên dương. D. n = 3k + 1 với k là số nguyên không âm.
Câu 113. Dạng lượng giác của số phức z = (tan 1 − i)4
là
A. z =
1
cos4 1
(cos 4 + i sin 4). B. z =
1
cos 1
(cos 1 + i sin 1).
C. z =
1
cos4 1
(cos 1 + i sin 1). D. z =
1
cos2 1
(cos 1 + i sin 1).
Lời giải. Chọn đáp án A
Xét số phức w = tan 1 − i.
w có môđun là
√
1 + tan2
1 =
1
cos2 1
=
1
cos 1
.
Giả sử ϕ là một acgumen của w. Ta có:
tan ϕ = −
1
tan 1
= − cot 1 = − tan
π
2
− 1
ϕ = 1 −
π
2
Suy ra w =
1
cos 1
cos 1 −
π
2
+ i sin 1 −
π
2
=
1
cos 1
cos
3π
2
+ 1 + i sin
3π
2
+ 1 .
Từ đó áp dụng công thức Moivre, ta có:
z = w4
=
1
cos4 1
[cos(6π + 4) + i sin(6π + 4)] =
1
cos4 1
(cos 4 + i sin 4).
Câu 114. Dạng lượng giác của số phức z = sin φ + i2 sin2 φ
2
với điều kiện sin
φ
2
> 0 là
A. z = cos
φ
2
+ i sin
φ
2
. B. z =
√
2 sin
φ
4
cos
φ
2
+ i sin
φ
2
.
C. z = 2 sin
φ
2
cos
φ
2
+ i sin
φ
2
. D. z = sin
φ
2
cos
φ
2
+ i sin
φ
2
.
Câu 115. Nếu một acgumen của số phức z = 0 là φ thì số phức −
z
z2 có một acgumen là
A. −φ. B. −φ + π. C. φ + π. D. 3φ + π.
Câu 116. Nếu một acgumen của số phức z = 0 là φ thì số phức iz2
có một acgumen là
A. −2φ. B. φ + π. C. −2φ +
π
2
. D. 2φ +
π
2
.
Câu 117. Cho số phức w =
3 −
√
3i
√
3 − 3i
n
. Với giá trị nào của n thì w là số ảo?
A. n = 2k + 1 với k là số nguyên không âm. B. n = 2k với k là số nguyên dương.
C. n = 6k + 3 với k là số nguyên không âm. D. n = 6k với k là số nguyên dương.
Câu 118. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z| = 3 và một acgumen của iz là
5π
4
. Dạng
lượng giác của số phức z là
A. z = 3 cos
π
4
+ i sin
π
4
. B. z = 3 cos
3π
4
+ i sin
3π
4
.
C. z = 3 cos
3π
4
+ i sin
3π
4
. D. z = 3 cos
5π
4
+ i sin
5π
4
.
59
lovestem
.edu.vn

14. Câu 119. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z| =
1
3
và một acgumen của
z
1 + i
là −
3π
4
.
Dạng lượng giác của số phức z là
A. z =
1
3
sin
π
2
+ i cos
π
2
. B. z =
1
3
cos
π
2
+ i sin
π
2
.
C. z =
1
3
cos −
3π
4
+ i sin −
3π
4
. D. z =
1
3
cos
3π
4
+ i sin
3π
4
.
Câu 120. Tìm phần ảo b của số phức z = (1 − i)4
(
√
3 + i)6
.
A. b = 0. B. b =
√
3. C. b = −
√
3. D. b =
√
2.
Câu 121. Cho số phức w = −
1
2
(1 + i
√
3). Tìm các số nguyên dương n để wn
là số thực.
A. n = 4k, k ∈ N∗
. B. n = 5k, k ∈ N∗
. C. n = 6k, k ∈ N∗
. D. n = 3k, k ∈ N∗
.
Câu 122. Tìm phần thực a của số phức z = cos
π
3
− i sin
π
3
i5
(1 + i
√
3)7
.
A. a = 0. B. a = 2. C. a = −2. D. a =
1
3
.
Câu 123. Dạng lượng giác của số phức z = 1 − i tan
π
5
là
A. z =
1
cos
π
5
cos −
π
5
+ i sin −
π
5
. B. z =
1
cos
π
5
cos
2π
3
+ i sin
2π
3
.
C. z =
−1
cos
3π
8
cos −
π
4
+ i sin −
π
4
. D. z = cos −
π
5
+ i sin −
π
5
.
Câu 124. Dạng lượng giác của số phức z = i + tan
5π
8
là
A. z =
1
cos
3π
8
cos
7π
8
+ i sin
7π
8
. B. z =
1
cos
π
8
cos
2π
3
+ i sin
2π
3
.
C. z = cos
π
3
+ i sin
π
3
. D. z = cos
7π
8
+ i sin
7π
8
.
Câu 125. Tìm phần thực a của số phức z =
(1 + i)10
(
√
3 + i)9
.
A. a = −
1
16
. B. a =
1
3
. C. a = −
2
3
. D. a =
2
3
.
Lời giải. Chọn đáp án A
Viết lại z dưới dạng lượng giác và khai triển ta có:
(1 + i)10
(
√
3 + i)9
=
√
2 cos
π
4
+ i sin
π
4
10
2 cos
π
6
+ i sin
π
6
9
=
25
cos
5π
2
+ i sin
5π
2
29 cos
3π
2
+ i sin
3π
2
=
1
24
(cos π + i sin π)
= −
1
16
.
Vậy phần thực của z bằng −
1
16
.
60
lovestem
.edu.vn

15. Câu 126. Cho số phức w =
7 + i
4 − 3i
n
. Với giá trị nào của n thì w là số thực?
A. n = 4k + 1 với k là số nguyên không âm. B. n = 2k với k là số nguyên dương.
C. n = 4k với k là số nguyên dương. D. n = 4k + 3 với k là số nguyên không âm.
Lời giải. Chọn đáp án C
Ta có:
7 + i
4 − 3i
= 1 + i =
√
2 cos
π
4
+ i sin
π
4
nên với số n nguyên dương thì:
7 + i
4 − 3i
n
= (
√
2)n
. cos
nπ
4
+ i sin
nπ
4
.
Vậy w là số thực ⇔ sin
nπ
4
= 0 ⇔ n = 4k, với k là số nguyên dương.
Câu 127. Tìm một acgumen của số phức w = z − (1 + i
√
3), biết một acgumen của z bằng
π
3
và |z| > 2.
A.
4π
3
. B.
π
3
.
C. −
4π
3
. D. z không có acgumen xác định.
61
lovestem
.edu.vn